Методичка + вихідні
.pdfМіністерство освіти і науки України
Національний університет “Львівська політехніка”
ДОСЛІДЖЕННЯ АНОМАЛЬНОГО ГРАВІТАЦІЙНОГО ПОЛЯ ПРОСТОЇ МОДЕЛІ ЗЕМЛІ І МІСЯЦЯ
МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ
до виконання лабораторної роботи з курсу ”Основи фізичної геодезії”
базового напряму 6.080101 “Геодезія, картографія та землеустрій”
Затверджено на засіданні кафедри вищої геодезії та астрономії Протокол № 9 від 19.02.2018 р.
Львів – 2018
Дослідження аномального гравітаційного поля простої моделі Землі і Місяця: Методичні рекомендації до лабораторної роботи з курсу ”Основи фізичної геодезії” для студентів геодезичних спеціальностей / Укл.: Двуліт П.Д., Джуман Б.Б. – Львів: Видавництво Національного університету “Львівська політехніка”, 2018. – 10 с.
Укладачі |
Двуліт. П.Д., д-р техн. наук, проф. |
|
Джуман Б.Б., канд. техн. наук, асист. |
Відповідальний зв випуск |
Заблоцький Ф.Д., д-р техн. наук, проф. |
Рецензент |
Савчук С.Г., д-р техн. наук, проф. |
Вступ
Як відомо всі астрономічні та геодезичні вимірювання виконують в полі дії прискорення вільного падіння, тобто в гравітаційному полі Землі. Тоді всі прилади та інструменти встановлюють за рівнями у напрямі прямовисної лінії, яка збігається із напрямом дії прискорення вільного падіння g. Величина і напрям вектора g в кожному пункті спостереження змінюється з плином часу. Гравітаційне поле в даній точці спостереження залежить в основному від форми і розмірів Землі, від нерівномірного розподілу густини її внутрішніх мас, а також від відцентрової сили, яка виникає внаслідок обертання Землі. Крім цього на гравітаційне поле впливають також маси атмосфери Землі і маси Місяця, Сонця та інших планет, що неперервно переміщуються.
Дослідження вивчення гравітаційного поля поблизу земної поверхні виконують за принципом порівняння реального поля з полем фізико-математичної моделі Землі. За таку модель приймають рівневий еліпсоїд обертання, який створює на своїй поверхні і у зовнішньому просторі нормальне гравітаційне поле, в кожній точці якого можна теоретично обчислити нормальне значення прискорення вільного падіння γ. При цьому густина мас такого еліпсоїда приймається або сталою у всьому об’ємі, або рівномірно зростає до його центру, а кутову швидкість обертання приймають рівною кутовій швидкості Землі.
За допомогою гравіметричних приладів вимірюють значення прискорення вільного падіння g на фізичній поверхні Землі [1]. Напрям вектора прискорення вільного падіння визначають із астрономічних спостережень, які характеризуються астрономічними широтою φ і довготою λ місця спостереження. Порівнюючи g з нормальним значенням γ, обчислюють для цих точок спостереження аномалії прискорення вільного падіння g .
Гравіметричні аномалії
g
є основними характеристиками гравітаційного поля та їх
використовують для розв’язку наукових і практичних задач геодезії, геофізики, геології та інших наук. Далі на основі дискретних значень гравіметричних аномалій в пунктах спостережень складають гравіметричні карти. Основними причинами, які обумовлюють локальні (місцеві) і регіональні аномалії прискорення вільного падіння є різні густини мас геологічних структур поблизу даної ділянки земної поверхні. Далі ми розглянемо числові приклади обчислення аномалії, обумовленої притяганням мас деякого геологічного тіла, для якого відоме положення, розміри, форма, а також різниця густин даного тіла і мас вміщающих порід. Таку задачу називають прямою задачею гравіметричної розвідки і вона має однозначний розв’язок. Дане геологічне тіло називають аномальним, а різницю густин – аномальною густиною.
Зауважимо, що такі обчислення виконують для однорідних тіл простої геометричної форми з метою грубої попередньої оцінки параметрів геологічної структури. Тоді поверхню Землі приймають за площину, оскільки аномальна маса і площа, на якій помітно проявляється гравітаційний ефект, є невеликими в порівнянні з масою і розмірами всієї Землі [2].
Спостереження за рухами штучних супутників Місяця дозволили виявити на видимій
його стороні крупні позитивні аномальні маси – маскони. Такі аномалії досягають 2 10 |
5 |
всієї |
|
маси Місяця. У першому наближенні можна прийняти, що ці аномальні тіла однорідні і мають форму кулі з глибиною її центра в декілька десятків кілометрів від його поверхні.
Всі результати вимірювань і теоретичні розрахунки виражаються в міжнародній системі одиниць СІ (метр, кілограм, секунда). В даній системі одиниця прискорення вільного
падіння має розмірність м с 2 , а одиниця градієнту прискорення вільного падіння – с 2 |
. Дуже |
часто за одиницю прискорення вільного падіння в геодезії і геофізиці приймають позасистемні
одиниці 1 мГал = 10 |
-5 |
м с |
2 |
і 1 мкГал = 10 |
-8 |
м с |
2 |
, відповідно тисячна і мільйонна доля |
|||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
одиниці Гал, яку названо на честь італійського вченого Галілео Галіллея (1 Гал = 10-2 |
м с |
2 |
). |
||||||||
|
Для гравітаційного градієнту прискорення вільного падіння використовується одиниця етвеш: 1 Е = 10-9 с 2 = 0.1 мГал/км.
В таблиці 1 наведено основні характеристики гравітаційних полів планет земної групи, які необхідні для наближених розрахунків.
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 1 |
|
Основні характеристики гравітаційних полів |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Сталі, познач. |
Одиниці |
|
Чисельні значення |
|
|||
вимірювання |
|
|
|
|
|
|
|
|
Земля |
Місяць |
Марс |
|
Венера |
Меркурій |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гравітаційна |
м3·кг-1·с-2 |
|
|
6.6742·10-11 |
|
|
|
стала, G |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геоцентрична |
|
|
|
|
|
|
|
гравітаційна |
м3·с-2 |
398600.5 |
4902.7 |
42828.3 |
|
324858.2 |
22040 |
стала, GM · 109 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Середній |
км |
6378.137 |
1737 |
3397.2 |
|
6051.448 |
2440 |
радіус, a |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Маса, М |
кг |
5.972· |
7.348· |
5.390· |
|
4.867· |
3.285· |
·1024 |
·1022 |
·1023 |
|
·1024 |
·1023 |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Прискорення |
|
|
|
|
|
|
|
вільного |
мГал |
978033 |
162306 |
370494 |
|
887098 |
372000 |
падіння, е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кутова |
|
|
|
|
|
|
|
швидкість |
с-1 |
7.292115 |
0.2664 |
7.088191 |
|
0.0299 |
0.1240 |
оберт., ω · 105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J2 · 106 |
- |
1083 |
210 |
1959 |
|
6 |
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ω2a |
мГал |
3391.6 |
1.24 |
1707 |
|
0.054 |
0.375 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dg/dz |
мГал·м-1 |
0.31 |
0.19 |
0.22 |
|
0.29 |
0.30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Гравітаційне поле на земній поверхні, створене внутрішньою матеріальною точкою
Нехай центр А (рис. 1) однорідної кулі радіуса відносно плоскої поверхні Землі Q.
Позначимо через |
1 |
густину маси кулі, а через |
|
R знаходиться на глибині а (а > R)
2 |
– густину мас, що оточують кулю. |
Тоді різниця 1 2 визначає аномальну густину маси кулі. Добуток об’єму на аномальну густину дає аномальну масу кулі:
m |
4 |
3 |
(1) |
3 |
R . |
||
|
|
|
Рис. 1 Найпростіша фізична модель Землі
З теорії ньютонівського потенціалу відомо, що сила притягання однорідною кулею в зовнішній точці і її потенціал відповідно дорівнюють силі притягання і потенціалу точкової маси, рівної масі кулі і поміщеній в її центрі. Згідно закону Ньютона дві матеріальні точкові маси m1 і m2 , які знаходяться на віддалі r, притягуються з силою
F
G |
m m |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||
|
r |
2 |
|
|
|
|
,
(2)
де G – гравітаційна стала.
Приймемо, що маса в точці спостереження дорівнює одиниці. В цьому випадку значення сили притягання чисельно дорівнює значенню прискорення. Таким чином, сила притягання однорідною кулею одиничної точкової маси ( mp 1), віддаленої від центру кулі
на відстань r (рис. 1) і її потенціал T обчислюють за формулами
g T
Gm |
|
r |
2 |
|
|
Gm |
|
r |
,
.
(3)
(4)
На горизонтальній площині Q, яка співпадає з плоскою земною поверхнею, приймемо початок прямокутних координат xOz в точці О над центром кулі. За вісь Ох приймемо довільний горизонтальний напрямок, що проходить через початок координат, а формули (3) і
(4) будемо роглядати як функції від х. На осі Ох розмістимо досліджувану (біжучу) точку P(x). Позначимо через α кут AOP. З прямокутного трикутника АОР знаходимо очевидні співвідношення
і
g
x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
r |
2 |
a |
2 |
x |
2 |
a |
2 |
(1 |
|
|
), tg |
, |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
2 |
a |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sin |
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
, |
(5) |
|||||
r |
|
a |
2 |
x |
2 |
|
|
|
x |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
1 |
a |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cos |
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
||||||
r |
a |
2 |
x |
2 |
|
|
x |
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Позначимо вертикальну і горизонтальну складову вектора прискорення g через g z
(див. рис. 2).
Рис. 2 Складові аномалії прискорення вільного падіння
Визначимо g z і
g |
x |
|
, використовуючи (3) і (5)
g z |
g cos |
|
Gma |
|
|
|
|
Gm |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
(a 2 x 2 ) 2 |
|
|
|
|
a 2 (1 |
|
|
) 2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
a 2 |
|
(6) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Gmx |
|
|
|
|
Gmx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
g x |
g sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
3 |
|
|||||||||||
|
|
(a 2 x 2 ) 2 |
|
|
|
a3 (1 |
|
|
) 2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
a 2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напрям вертикальної складової g z співпадає з напрямом вектора γ, а по своїй величині складає декілька десятків мілігал. Величина g z характеризує відмінність реального значення прискорення вільного падіння від його нормального значення і через те називається аномалією
прискорення вільного падіння. Але горизонтальна складова |
g x |
в геодезичному відношенні |
помітно впливає на зміну напряму вектора g, викликаючи відхилення прямовисної лінії від нормального напряму на малий кут
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
x |
, |
|
|
|
|
|
(7) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
який виражений в радіанах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Виразимо відхилення прямовисної лінії в секундах дуги |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
g x С g |
x |
, |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2.06 105 |
|
|
|
|
кут.сек |
|||||||
|
|
|
|
С |
|
|
|
0.212 |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
0.980 106 |
мГал |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
де |
|
206265 |
|
– число кутових секунд в радіані, |
|
0.9810 10 |
6 |
мГал – середнє нормальне |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
значення прискорення вільного падіння на поверхні Землі. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Аномальна маса викликає на земній поверхні не тільки відхилення прямовисної лінії, |
||||||||||||||||||
але й зміну форми (деформацію) рівневої поверхні. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Для визначення зміщення рівневої поверхні використовують формулу Брунса |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
N |
T |
|
GM |
|
, |
|
|
|
(9) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де N – зміщення рівневої поверхні у напрямі r в досліджуваній точці під впливом точкової аномальної маси m.
Формулу (9) можна представити у вигляді, зручному для обчислень
де
D |
GM |
|
a |
||
|
N |
Gm |
cos або |
|
a |
|||
|
|
.
N
D cos
,
(10)
Аналізуючи формули (3-10) можна прийти до наступних висновків:
1) В точках P(x), розміщених симетрично відносно початку координат, величини |
g , |
g z і N набувають одинакові значення, так як залежать від |
x |
2 |
і знак координати х не має |
|||||
|
||||||||
значення. Їх ізолініями є концентричні кола. |
|
|
|
|
||||
2) Ці величини одержують максимальні значення на початку координат (х = 0) і |
||||||||
прямують до нуля при |
x . Максимальні значення сили притягання g і її вертикальної |
|||||||
складової g z g одинакові, тобто g макс g z макс g х 0 |
|
Gm |
||||||
|
a |
2 . Максимальні зміщення |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рівневої поверхні N |
|
N |
Gm |
. |
|
|
|
|
макс |
|
|
|
|
|
|||
|
|
a |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
3) Величина горизонтальної складової g x і відхилення виска в точках P(x), які симетрично розміщені відносно початку координат, рівні за абсолютною величиною, але
обернені за знаком, так як залежать від знаку абсциси х. При х = 0 і |
x |
обидві величини |
|
g x і |
рівні нулю. |
|
|
|
4) Дослідження формули |
|
|
g x |
|
Gmx |
|
(11) |
||
|
|
|
||||
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a 2 |
x2 ) 2 |
|
|
на екстремум показує, що g x і |
|
приймають максимальні значення при |
x |
a |
. |
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
|
Числовий приклад |
|
|
|
|
1. Обчислити притягання |
|
g , горизонтальну та вертикальну складові |
g z |
і |
|
g
x
,
відхилення прямовисних ліній
і зміщення рівневої поверхні N в точках P(x) земної поверхні
на відстанях від початку координат |
x |
для побудови графіків значень функцій
0, |
a |
||
2 |
|||
|
|||
g |
z |
||
|
|
,
,
a 2
, 2a, 4a . Результати обчислень використати
і N. Відомості таких обчислень приведені в
таблиці 2, а відповідні графіки – на рис. 3.
2. Зберігаючи умови і хід розв’язку попередньої задачі, визначити наближені характеристики аномального гравітаційного поля на поверхні Місяця і побудувати графіки
функцій |
g z |
, |
|
і N. Відомості таких обчислень приведені в таблиці 3, а графіки значень |
||||||||
функцій g z , |
|
і N на рис. 4. |
|
|
|
|
||||||
Відомість обчислень елементів аномального гравітаційного поля на плоскій земній |
||||||||||||
поверхні: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дано: a = 100 м, R = 70 м, = 1.0 |
· 10-3 кг/см3, 980 103 |
мГал. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 2 |
|
|
|
|
|
|
Елементи локального аномального поля Землі |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ точки |
|
|
|
х, м |
|
g , мГал |
|
g z , мГал |
g x , мГал |
, ̋ |
N, мкм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
0.96 |
|
0.958 |
0.000 |
0.000 |
98 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
50 |
|
0.77 |
|
0.685 |
0.343 |
0.072 |
87 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
70 |
|
0.64 |
|
0.527 |
0.369 |
0.078 |
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
100 |
|
0.48 |
|
0.339 |
0.339 |
0.071 |
69 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
200 |
|
0.19 |
|
0.086 |
0.171 |
0.036 |
44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
400 |
|
0.06 |
|
0.014 |
0.055 |
0.012 |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3. Графік значень функції:
а – g z ; б – ; в –N
Відомість обчислень елементів аномального гравітаційного поля на поверхні
Місяця:
Дано: а = 150 км, |
m 1.65 10 |
21 |
г, |
|
163 10 |
3 |
мГал. |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 3 |
|
Елементи аномального гравітаційного поля Місяця |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
№ точки |
х, км |
|
g , мГал |
|
g z , мГал |
|
g x , мГал |
, ̋ |
N, м |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
489 |
|
|
|
|
489 |
|
|
0 |
0 |
450 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
30 |
|
470 |
|
|
|
|
461 |
|
|
92 |
117 |
441 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
75 |
|
391 |
|
|
|
|
350 |
|
|
175 |
221 |
402 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
100 |
|
338 |
|
|
|
|
282 |
|
|
188 |
238 |
374 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
225 |
|
150 |
|
|
|
|
83 |
|
|
125 |
158 |
250 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
450 |
|
49 |
|
|
|
|
15 |
|
|
46 |
59 |
142 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|