m32352_2
.DOCПРИМЕР 2. Даны координаты вершин пирамиды ABCD:
Требуется:
записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов;
найти угол между векторами и (в градусах, минутах, секундах);
найти проекцию вектора на вектор ;
найти площадь грани ;
составить уравнение ребра ;
составить уравнение грани ;
составить уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины , и найти координаты точки М ее пересечения с гранью ;
найти длину полученной высоты и объем пирамиды ABCD.
Решение.
1) Известно, что произвольный вектор представляется в системе орт , , по формуле
, (1.5)
где – координаты вектора в системе координат , порожденной ортами, причем
.
Если заданы точки и , то
. (1.6)
Воспользовавшись формулой (1.6) и координатами заданных точек, получим
Если вектор задан формулой (1.5), то его модуль вычисляется следующим образом:
. (1.7)
Используя формулу (1.7), получаем модули найденных векторов:
2) Воспользуемся формулой
,
где – скалярное произведение векторов и , которое вычисляется следующим образом:
У нас
то есть .
3) Известно, что
,
то есть в нашем случае
4) Воспользуемся формулой для нахождения площади треугольника, построенного на векторах и :
,
где – векторное произведение векторов, которое вычисляется по следующему правилу:
.
В нашем примере , причем
Таким образом,
(кв.ед.).
5) Для составления уравнений ребра АС пирамиды воспользуемся каноническими уравнениями прямой в пространстве
, (1.8)
где точка, лежащая на прямой, а направляющий вектор прямой. В нашем случае можно положить , а Тогда из (1.8) получаем
то есть уравнение ребра окончательно запишется следующим образом:
6) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , можно получить следующим образом: сначала найдем нормальный вектор плоскости как векторное произведение любой пары векторов, соединяющих заданные точки, а затем воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через заданную точку, например, с известным нормальным вектором :
. (1.9)
В качестве нормального вектора грани АВС можно взять вектор , найденный ранее, или вектор . Итак, назначим , а . Тогда из уравнения (1.9) получаем искомое уравнение грани АВС:
.
7) Нормальный вектор грани АВС является, очевидно, направляющим вектором высоты пирамиды, опущенной на грань АВС из вершины D. Для составления искомого уравнения высоты остается воспользоваться каноническими уравнениями (1.8), где , а :
.
Для нахождения координат точки М пересечения полученной высоты с гранью АВС перейдем от канонических уравнений высоты к параметрическим и решим их совместно с уравнением грани:
это значение параметра t, соответствующее искомой точке М. Для получения координат точки М подставим найденное значение параметра в параметрические уравнения высоты, в результате чего будем иметь .
8) Найдем длину высоты DM двумя способами: как расстояние между точками D и M и как расстояние от точки D до плоскости АВС.
Способ 1. .
Способ 2. Расстояние от точки до плоскости с уравнением вычисляется по формуле
.
В нашем случае , уравнение плоскости (грани АВС) , поэтому
.
Объем пирамиды ABCD можно найти по известной формуле: . В нашем случае имеем:
(куб. ед.).
ПРИМЕР 3. Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки равно расстоянию до прямой Полученную кривую построить в системе координат.
Решение. Пусть – текущая точка искомой кривой. Опустим из точки перпендикуляр на прямую (рис. 1.2). Тогда . Так как , то
.
Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке и ветвями, направленными вниз (см. рис. 1.2).
Рис. 1.2
ПРИМЕР 4. Составить уравнение линии, являющейся геометрическим местом точек, сумма расстояний от каждой из которых до точек и постоянна и равна .
Решение. Возьмем произвольную точку кривой М(x; y) и соединим ее отрезками прямых с точками А и В. По условию при этом выполняется равенство МА + МВ = . Распишем его в координатах и проведем тождественные преобразования:
=
.
Получили каноническое уравнение эллипса с центром симметрии в начале координат. Большая и малая полуоси эллипса равны соответственно и 2, а фокусы находятся в ранее заданных точках и (рис. 1.3).
Рис. 1.3
ПРИМЕР 5. Составить уравнение линии, являющейся геометрическим местом точек, разность расстояний от каждой из которых до точек и постоянна и равна .
Решение. Возьмем произвольную точку кривой М(x; y) и соединим ее отрезками прямых с точками C и D. По условию при этом выполняется равенство МC МD = . Распишем его в координатах и проведем тождественные преобразования:
=
.
Получили каноническое уравнение гиперболы с центром симметрии в начале координат. Действительная и мнимая полуоси гиперболы равны соответственно 2 и 1, а фокусы находятся в ранее заданных точках и (рис. 1.4).
Рис. 1.4