m33751_3
.docВ нашем случае , ,
.
Построение всех полученных линий и характерных точек в системе координат xOy показано на рис. 2.1.
ТЕМА 3. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Изучение этой темы следует начать со знакомства с понятиями дифференциального уравнения и его решения. Далее следует обратить внимание на различие в понятиях «решение», «общее решение» и «частное решение» дифференциального уравнения. Познакомьтесь с геометрическим смыслом этих понятий. Для того чтобы успешно решить задачи этой темы, нужно усвоить принцип деления уравнений на типы и различать методы, применяемые для решения дифференциальных уравнений.
В данном типовом задании рассмотрены следующие типы уравнений: а) дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; б) линейные дифференциальные уравнения первого порядка; в) линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Вопросы для самопроверки
1. Какое уравнение называется дифференциальным? Как определяется порядок уравнения?
2. Что называется общим решением дифференциального уравнения? частным решением?
3. Каков геометрический смысл общего и частного решений дифференциального уравнения первого порядка?
4. Приведите примеры дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
5. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным? Укажите способ его решения.
6. Каков вид линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?
7. Какую структуру имеет общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?
8. Напишите формулу общего решения линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от корней характеристического уравнения.
9. Укажите вид частного решения линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида , где – многочлен степени .
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
В общем виде дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными записывается следующим образом
.
Для нахождения общего решения используем 4-х шаговый алгоритм.
Шаг 1. Запишем производную в виде отношения дифференциалов . В таком случае исходное уравнение примет вид
.
Шаг 2. Умножим обе части уравнения на . В результате получим
.
Шаг 3. Чтобы переменные y и x были разделены знаком равенства, разделим обе части уравнения на функцию . Имеем
.
Шаг 4. Проинтегрировав левую и правую части полученного равенства по переменным y и x, получим общий интеграл дифференциального уравнения
.
Наконец, выразив y через x и C придем к общему решению дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
,
где , – заданные непрерывные функции от аргумента x. Решение линейного уравнения ищут в виде , где и – новые неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение , , будем иметь
, или
.
Поскольку искомая функция раскладывается на две неизвестные функции и , то одну из них, – функцию , всегда можно подобрать так, чтобы выражение, содержащееся в квадратной скобке, обращалось в нуль. В результате последнее уравнение преобразуется в систему двух дифференциальных уравнений
где оба уравнения являются уравнениями с разделяющимися переменными. Решая первое уравнение находим функцию . Выполняем подстановку найденной функции во второе уравнение, которое после этого принимает вид
.
Интегрирование последнего выражения позволяет определить вторую неизвестную функцию и, перемножив функции, записать общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка
.
Задание 4. Найти общее или частное решение указанных дифференциальных уравнений первого порядка.
Вариант 4.1 |
Вариант 4.2 |
Вариант 4.3 |
1. ; |
1. ; |
1. ; |
2. , . |
2. , . |
2. , . |
Вариант 4.4 |
Вариант 4.5 |
Вариант 4.6 |
1. ; |
1. ; |
1. ; |
2. , . |
2. , . |
2. , . |
Вариант 4.7 |
Вариант 4.8 |
Вариант 4.9 |
1. ; |
1. ; |
1. ; |
2. , . |
2. , . |
2. , . |
Вариант 4.10 |
Вариант 4.11 |
Вариант 4.12 |
1. ; |
1. ; |
1. ; |
2. , . |
2. , . |
2. , . |
Вариант 4.13 |
Вариант 4.14 |
Вариант 4.15 |
1. ; |
1. ; |
1. ; |
2. , . |
2. , . |
2. , . |
Вариант 4.16 |
Вариант 4.17 |
Вариант 4.18 |
1. ; |
1. ; |
1. ; |
2. , . |
2. , . |
2. , . |
Вариант 4.19 |
Вариант 4.20 |
Вариант 4.21 |
1. ; |
1. ; |
1. ; |
2. , . |
2. , . |
2. , . |
Вариант 4.22 |
Вариант 4.23 |
Вариант 4.24 |
1. ; |
1. ; |
1. ; |
2. , . |
2. , . |
2. , . |
Вариант 4.25 |
Вариант 4.26 |
Вариант 4.27 |
1. ; |
1. ; |
1. ; |
2. , . |
2. , . |
2. , . |
Вариант 4.28 |
Вариант 4.29 |
Вариант 4.30 |
1. ; |
1. ; |
1. ; |
2. , . |
2. , . |
2. , . |
Решение типовых примеров
Пример 3.1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными
.
Решение.
Шаг 1. Полагая , запишем данное уравнение в виде
.
Шаги 2 и 3. Произведем разделение переменных. Для этого умножим обе части уравнения на , а затем разделим на . После сокращения общих множителей получим
.
Шаг 4. Проинтегрируем обе части полученного уравнения
.
Последнее выражение представляет собой общий интеграл дифференциального уравнения. Выразив y получим искомое общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными
или .
Пример 3.2. Требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка , удовлетворяющее начальному условию .
Решение. Разделим обе части уравнения на x и представим искомую функцию в виде произведения двух новых неизвестных функций . В таком случае исходное дифференциальное уравнение может быть записано в виде
,
или .
Выберем функцию такой, чтобы квадратная скобка в последнем уравнении равнялась нулю. В результате от исходного уравнения мы переходим к системе из двух дифференциальных уравнений
(3.7)
Из первого уравнения системы (3.7) находим функцию
.
Замечание. При интегрировании последнего выражения произвольную постоянную можно положить равной нулю C 0, так как для наших целей достаточно найти лишь одно из частных решений данного уравнения.
Подставим полученное решение во второе уравнение системы (3.7). В таком случае будем иметь дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными
.
Функцию определим в результате интегрирования по частям