Математические основы теории систем. Методы оптимизации
.pdfx
Z (x) = ∫ K(x, y, y′)dx,
x0
Z′ = K (x, y, y′),
K (x, y, y′) − Z′(x) = 0.
Получили ограничение вида ϕ = 0, следовательно, можно воспользоваться решением предыдущей задачи (4.21):
L = f(x, y, y′) + λ(х)(K(x, y, y′) – Z′(х)).
Неизвестные функции y(x) и z(x) находятся из системы уравнений:
|
|
L′ |
− |
d |
L′ |
= 0, |
|
|
|
||||||
|
|
y |
|
dx |
y′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L′ |
− |
d |
L′ |
= 0, |
(4.23) |
|
|||||||
|
|
z |
|
dx |
z′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ = 0. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L′z = 0, L′z′ = –λ(х), при этом второе уравнение системы (4.23) |
|||||||
примет вид: |
|
|
|
|
|
||
|
d |
λ(x) = 0 , или λ(x) = const |
(для любой изопериметрической |
||||
|
|
||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
задачи).
Постановка задачи для нескольких ограничений:
x |
x |
|
|
I = ∫1 |
f (x, y, y′)dx, Zi = ∫1 |
Ki (x, y, y′)dx, i = 1,...,m ограничения, |
(4.24) |
x0 |
x0 |
|
|
y(x0) = y0, y(x1) = y1 – граничные условия. |
|
||
Алгоритм решения изопериметрической задачи: |
|
||
1. Составляется функция Лагранжа |
|
||
|
|
m |
|
|
|
L = f + ∑λi Ki . |
(4.25) |
i=1
121
2. Составляется дифференциальное уравнение Эйлера:
L′ − |
d |
L′ |
|
= 0 , |
(4.26) |
|
dx |
′ |
|||||
Y |
Y |
|
|
3. Решается дифференциальное уравнение и находится неизвестная функция.
4. Исходя из граничных условий и ограничений, находятся постоянные интегрирования.
Пример
Среди всех кривых длины l, соединяющих точки А и В на плоскости, найти кривую, ограничивающую совместно с отрезком АВ максимальную площадь (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Графические иллюстрация изопараметрической задачи
Решение.
I – площадь под кривой.
B B
I = ∫ ydx → max, ∫ 1+ y′2 dx = l, y(a) = 0, y(b) = 0.
AA
1.Составляем функцию Лагранжа:
f = y, K = 1+ y′2 , L = y + λ 1+ y′.
2. Запишем уравнение Эйлера для функции Лагранжа:
L′ |
− |
d |
L′ |
′ |
= 0, |
L′ |
= 1, |
L′ |
′ |
= |
λy′ |
, 1− |
d |
( |
λy′ |
) = 0. |
y |
|
dx y |
|
y |
|
y |
|
1+ y′2 |
|
dx |
1+ y′2 |
|
122
3. Решаем дифференциальное уравнение:
d |
( |
|
λy′ |
) = 1, |
|||||||
dx |
|
1+ y′2 |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||
d( |
|
|
λy′ |
) = dx, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1+ y′2 |
|
|
|
|
||||||
d( |
|
λy′ |
|
|
) = ∫dx, |
||||||
|
+ y′ |
2 |
|||||||||
∫ |
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
λy′ |
= x − C1. |
|||||||
|
1+ y′2 |
|
Возведем обе части уравнения в квадрат:
λ2 y′2 |
= (x − C )2 |
, |
|
1+ y′2 |
|||
1 |
|
λ2 y′2 = (1+ y′2 ) (x − C1 )2 ,
λ2 y′2 = y′2 (x − C1 )2 + (x − C1 )2 ,
y′2 (λ2 − (x − C1 )2 ) = (x − C1 )2 , |
|
|
|
||||||||||
y′2 = |
|
(x − C1 )2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||
λ2 |
− (x − C1 )2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y′ = |
|
|
(x − C1 ) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
λ2 |
− (x − C1 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Воспользуемсятабличныминтегралом: ∫ |
|
|
z |
|
dz = λ2 − z2 |
+ C, |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
λ |
2 |
− z |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = λ2 − (x − C1 )2 + C2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( y − C2 )2 = λ2 − (x − C1 )2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
( y − C2 )2 + (x − C1 )2 = λ2 |
– уравнение окружности с центром в |
точке (С1, С2) и радиусом λ.
Неизвестные постоянные: С1, С2 и λ. Для их нахождения используем три условия:
123
B
у(а) = 0, у(b) = 0, ∫ 1+ y′2 dx = l.
|
A |
|
|
|
4.6. Функционалы, зависящие |
|
|
|
от производных высших порядков |
|
|
Постановка задачи: |
|
|
|
x |
|
|
|
I = ∫1 |
f (x, y, y′, y′′,..., y(n) )dx → min, |
|
|
x0 |
|
|
|
граничные условия: y(x0) = y00, |
y(x1) = y10, |
|
|
|
y′(x0) = y01, |
y′(x1) = y11, |
(4.27) |
|
y(n–1)(x0) = y0 n–1, |
y(п–1)(x1) = y1 n –1. |
|
Найти: функцию у(х), доставляющую экстремум функционалу. Поиск решения будем вести на примере следующей задачи:
x1
I = ∫ f (x, y, y′, y′′)dx → min,
x0
y(x0) = y00, y(x1) = y10, y′(x0) = y01, y′(x1) = y11.
Предположим, что экстремум функционала достигается при функции у(х). Дадим функции у(х) приращение δу, тогда у′ получит приращение δу′, у′′ – приращение δу′′.
Наложим условие δу = δу′ = 0 в точках х0 и х1. Далее, аналогично функционалам, зависящим от производных первого порядка; найдем главное приращение функционала:
|
x |
|
|
x |
|
|
x |
|
|
∂I = ∫1 |
fy′∂ydx + ∫1 |
fy′′∂y′dx + ∫1 |
fy′′′∂y′′dx, |
||||||
|
x0 |
|
|
x0 |
|
|
x0 |
|
|
x1 |
y′∂ |
|
x1 |
|
y′ x |
∂ |
исходя из |
|
|
∫ |
|
= − ∫ |
|
(4.5). |
|||||
|
f ′ y′dx |
|
( f ′ )′ |
ydx, |
|
|
|||
x0 |
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
x1
Проинтегрируем ∫ fy′′′∂y′′dx по частям:
x0
124
x1 |
f ′ ∂y′′dx = {u = |
|
|
|
|
|
|
= ( f ′ )′ dx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∫ |
f |
′ , du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
y′′ |
|
|
|
|
|
y′′ |
|
|
|
|
|
y′′ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
y′′dx |
d2 y |
|
|
d2 y |
dx |
|
d |
( |
y′ |
y′ |
dx |
|
( y′)′ |
dx |
|
|||||||||||
= ∂ |
= |
|
|
2 |
|
|
− |
|
2 |
|
= |
|
= |
= |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − |
1 ) |
∂ |
x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= d(∂y′), x = ∂y′} |
= f |
′ |
∂y′ |
x1 − |
∫ |
( f |
′ )′ |
∂y′dx, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′ |
|
x0 |
|
|
|
y′′ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f′y′′ δy′ |
x |
= 0, так как δy′ = 0 в точках х0 и х1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последнее выражение также проинтегрируем по частям.
|
x1 |
|
∂y′dx = {u = ( f ′ )′ , du = ( f |
|
|
|
|
dx, dx = ∂y′dx = |
|||||||||||
− |
∫ |
f ′ |
|
′ )′′ |
|
||||||||||||||
|
y′′ |
|
|
|
|
|
y′′ |
x |
|
|
|
|
|
y′′ xx |
|
||||
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= d(∂y), x = ∂y} |
= −( f ′ )′ ∂y |
|
∫ |
( f |
′ )′′ ∂ydx, |
||||||||||||||
x 0 |
|
||||||||||||||||||
|
+ |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
′′ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
′′ xx |
f′y′′ δy x |
x 1 |
так как δy = 0 |
в точках х0 и х1. |
||||||||||||||||
= 0, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом |
, |
∫ |
f ′ y′′dx |
= ∫ |
( f |
′ |
|
)′′ |
ydx, |
||||||||||
|
y′′∂ |
|
y′′ |
|
xx |
|
∂ |
||||||||||||
∂I = ∫1 |
fy′∂ydx |
− ∫1 |
x0 |
|
|
|
x0 |
( fy′′′ )″xx ∂ydx = |
|||||||||||
( fy′′ )′x ∂ydx |
+ ∫1 |
||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
x0 |
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
− ( f ′ )′ + ( f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
∫ |
( f |
′ |
′ )′′ |
)∂ydx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y |
y′ |
x |
|
|
y′′ xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На функции, доставляющей экстремум функционалу:
|
x1 |
( f ′ − ( f ′ )′ |
+ ( f ′ )′′ |
|
|
∂I = |
∫ |
)∂ydx = 0, |
|||
|
y |
y′ x |
y′′ xx |
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
Поскольку δу ≠ 0, то f′y – (f′y′)′x +(f′y′′)′′xx = 0.
Последнее выражение есть формула Эйлера–Пуассона для старшей степени производной 2.
125
Если функционал зависит от производной n-й степени, то формула Эйлера-Пуассона примет следующий вид:
f ′ − ( f ′ )′ |
+ ( f ′ )′′ − ... + (−1)n |
dn |
( f ′( n ) ) = 0. |
(4.28) |
|
|
|||||
y |
y′ x |
y′′ |
dxn |
y |
|
|
|
|
|
Условия Лежандра для определения типа экстремума: если на интервале интегрирования
fy′′( n ) y( n ) ≤ 0 , то у(х) доставляет максимум функционалу, fy′′( n ) y( n ) ≥ 0 , то у(х) доставляет минимум функционалу,
fy′′( n ) y( n ) = 0 , то требуются дополнительные исследования на экстремум.
Пример 1
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = ∫(240xy − y′′2 )dx, y(0) = y′(0) = 0, y(1) = 1, |
y′(1) = 6. |
||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Запишем уравнение Эйлера–Пуассона: |
|
|
|
||||||||||||
f |
′ − ( f ′ )′ |
+ ( f |
′ )′′ |
= 0, |
|
|
|
|
|
||||||
|
y |
y′ x |
|
|
y′′ |
xx |
|
|
|
|
|
|
|
||
f |
= 240xy − y′′2 , |
f |
|
′ = 240x, |
f ′ = 0, |
f ′ |
= −2y′′, |
( f ′ )′′ |
= −2yIY , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y′ |
y′′ |
|
y′′ xx |
|
|
240x − 2yIY = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
yIY |
= 120x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y′′′ = 60x2 + k1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y′′ = 20x3 + k1x + k2 , |
|
|
|
|
|
||||||||||
y′ = 5x4 + |
k x2 |
+ k2 x + k3 , |
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
k x3 |
|
k x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
y = x5 + |
1 |
|
+ |
|
1 |
|
+ k3 + k4 . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив в эти выражения граничные условия, получим искомую функцию y = x5 + x3 – x2.
126
|
: |
f ′′ |
( 2y′′)′ |
2 |
|
0, |
|
- |
|
Определение типа экстремума |
|
y′′y′′ = |
− |
y′′ = − |
|
< |
|
следова |
|
тельно, найденная функция доставляет функционалу максимум.
Пример 2
Найти форму прогиба балки из условия минимума потенциальной энергии:
|
|
e |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
I ( y) = ∫ |
( |
|
µ y′′ + ρy)dx, y(e) = 0, y(−e) = 0. |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
− e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|||||||||
1. f ′ − |
|
d |
f ′ |
+ |
d2 |
( f |
′ ) |
= 0, |
||||||
|
|
|
||||||||||||
y |
|
dx y′ |
|
dx2 |
y′′ |
|
||||||||
y(x) = − |
1 |
( |
ρ )x4 + C1x3 |
+ C2 x2 + C3 x + C4 , |
||||||||||
24 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
µ |
|
|
|
|
|||||
y(x) = y(− x), отсюда C1 = C3 = 0, |
||||||||||||||
y′ = − |
1 |
(ρ )x3 + 2C2 x. |
|
|
||||||||||
6 |
|
|
||||||||||||
|
|
µ |
|
|
|
|
|
|
|
2. Из начальных условий находятся константы:
|
1 |
|
|
ρ |
|
3 |
+ 2C2e, |
|
|
|
|
||||||
0 = − |
|
|
( |
µ |
)e |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
(ρ )e4 + C1e3 + C2e2 + C3e + C4 , |
||||||||||||
0 = − |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
24 µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
C2 |
= |
1 |
( |
|
ρ )e2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
24 |
|
|
µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
C4 |
= |
1 |
( |
|
ρ )e4 |
− |
1 |
( |
ρ )e4 |
= − |
1 |
( |
ρ )e4 . |
||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
24 |
|
|
µ |
|
|
12 |
|
µ |
24 |
|
µ |
3. Подставляются значения констант в функцию и получим
y(x) = 1 (ρ )(− x4 + 2e2 x2 − e4 ). 24 µ
127
Задание для самостоятельного решения
Дано:
–функционал, зависящий от функции, ее производной и аргумента функции;
–граничные условия;
–ограничения в виде определенного интеграла (в некоторых вариантах не задаются).
Требуется: решить задачу вариационного исчисления, то есть найти функцию, удовлетворяющую ограничениям и граничным условиям.
Методические указания
1.Для нахождения решения задачи вариационного исчисления использовать формулу Эйлера–Лагранжа.
2.Если в условие задачи в качестве ограничения входит определенный интеграл (изопериметрическая задача), то сначала составляется функция Лагранжа, которая затем подставляется в уравнение Эйлера–Лагранжа.
3.В изопериметрической задаче для нахождения постоянных интегрирования следует использовать граничные условия и ограничения в виде определенного интеграла.
4.Обозначения в задании:
x(t) – функция, которую требуется найти; t – аргумент;
1 |
|
dt → |
|
|
|
|
|||
∫ x |
|
|
|
|
|||||
|
&2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
x(0) = 1; |
x(1) = 0 . |
∫ x |
2 |
dt → экстр. ∫ xdt = 0; |
|||||||
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2. |
e |
|
|
|
|
1 |
|
x(0) = 1; |
x(1) = 6 . |
∫tx |
dt → экстр. ∫ xdt = 3; |
||||||||
|
|
&2 |
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
3. |
∫ x |
|
dt → |
|
)dt → . |
|
|||
2 |
экстр. ∫ (3x − tx |
2 |
|
||||||
|
|
& |
|
|
& |
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
128
4. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x(0) = −4; |
|
x(1) = 4 . |
|||||||
∫ x |
dt → экстр. ∫txdt = 0; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
& |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x(0) = x(1) = 0 . |
|||||
∫ x |
dt → экстр. ∫ xdt = 1; |
|
∫txdt = 0; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
& |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
& |
2 |
dt → |
|
экстр. ∫ xdt = − |
|
|
|
∫txdt = −2; |
x(0) = 2; x(1) = −14 . |
|||||||||||||||
6. |
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||
∫ x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
|
& |
2 |
dt → |
|
экстр. ∫ xcostdt = |
; |
x(0) = 1; |
x(π) = −1 . |
|||||||||||||||||
∫ x |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(0) = 0; |
|
x(π) = π . |
|||
∫ x |
dt → экстр. ∫ xsin tdt = 0; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
& |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
= |
|
3π |
|
x(0) = 0; |
x(π) = π . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
&2 |
|
|
|||||||||||||
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
; |
|||||||||||
∫ xsin tdt → экстр. ∫ x |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
2 &2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10. |
∫t |
dt |
→ экстр. ∫txdt = |
; |
|
|
x(1) = 1; |
x(2) = 2 . |
||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11. |
2 |
|
x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x(1) = 4; |
|
|
x(2) = 1 . |
|||||||
∫t |
dt → экстр. ∫ xdt = 2; |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 &2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
dt = 1; x(0) = x(1) = 0 . |
||||||||||||||||
∫ x |
dt → экстр. ∫ x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
&2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
T0 |
(x |
|
− x |
|
)dt → экстр. x(0) = 0; |
x(T0 ) = a . |
|||||||||||||||||||
∫ |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
&3 |
|
& |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3/2 |
|
|
|
|
2x)dt → экстр. x(0) = 0; |
3 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
&3 |
+ |
= 1. |
|||||||||||||||||||
14. |
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||
∫ (x |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
15. |
T0 |
(x |
|
+ x |
|
)dt → экстр. x(0) = 0; |
x(T0 ) = a . |
|||||||||||||||||||
∫ |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
&3 |
|
& |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
e |
|
|
|
dt → экстр. x(1) = 1; |
|
|
|
|
x(e) = 1 . |
|
|
|
|
||||||||||||
∫tx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
&2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
129
17. |
1 |
|
|
|
dt → экстр. x(0) = 0; |
x(1) = 1. |
||
∫(1+ t)x |
||||||||
|
|
|
|
&2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
18. |
1 |
|
|
+ 2x)dt → экстр. x(1) = 1; x(0) = 0 . |
||||
∫(tx |
||||||||
|
|
|
&2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
& |
2 |
)dt → экстр. x(1) = 1; |
x(e) = 2 . |
|
19. |
|
|
|
|||||
∫(3x−tx |
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
20. |
e |
|
x |
dt → экстр. x(1) = 3; x(e) = 1. |
||||
∫t |
|
|||||||
|
|
2 |
&2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
130