Тестовый контроль по математике учебно-методическое пособие
..pdfk2 |
= |
3 |
. Уравнение прямой y + 3 = |
3 |
(x − 2) |
или |
2 y + 6 = 3x − 6, |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
общее уравнение прямой 3x − 2 y −12 |
= 0. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Ответ: 3x − 2 y −12 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Возможные ошибки: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1. Ошибка в определении углового коэффициента прямой |
|||||||||||||
2х+ 3у −1 = 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
k1 ≠ 3 / 2, |
тогда k2 ≠ − 2 / 3, |
y + 3 = − |
2 |
(x − 2), |
2х+ 3у+ 5 = 0. |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2. Ошибка в признаке перпендикулярности двух прямых |
|||||||||||||
k2 |
≠ |
1 |
, k2 ≠ − |
3 |
y + 3 ≠ − |
3 |
(x− |
2), 3x + 2 y ≠ |
0. |
|
||||||
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
k1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры третьего уровня сложности
Пример 10
Расстояние от точки М0 (2;5) до прямой, проходящей через точки А(−2;1) и В(3; −4), равно…
|
|
|
|
1) −4 2; |
2) 0; |
3) 4; |
|
4)* 4 |
|
2. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Решение. Уравнение прямой, проходящей через две точ- |
|||||||||||||||||||||||
ки, |
х− х1 |
= |
у− у1 |
, тогда |
|
|
|
|
х+ 2 |
= |
|
|
у−1 |
|
или |
х+ 2 |
= |
у−1 |
. |
||||||||
|
|
|
|
х2 − х1 |
у2 − у1 |
3 + 2 |
|
|
|
−4 −1 |
|
5 |
|
−5 |
|||||||||||||
Общее уравнение |
х+ у +1 = 0 . Расстояние от точки до прямой |
||||||||||||||||||||||||||
d = |
|
|
Ax0 + By0 + C |
|
|
, тогда d = |
|
|
2 + 5 +1 |
|
|
= |
8 |
|
= 4 2. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
A2 + B2 |
|
|
12 +12 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Ответ: |
4 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Возможные ошибки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1. Ошибка при вычислении корня |
12 +12 ≠ |
12 + |
12 = |
|
|||||||||||||||||||
=1 +1+ = 2, следовательно, d ≠ 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61
2. |
|
Ошибка при |
раскрытии пропорции х+ 2 ≠ у− 1, |
|||||
х− у+ 3 ≠ |
0, тогда d ≠ |
|
2 − 5 + 3 |
|
|
= |
0. |
|
|
|
|||||||
|
|
|||||||
|
12 +12 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Расстояние d ≥ |
0, значит, |
d ≠ − 4 2. |
Тема «Кривые второго порядка»
Примеры первого уровня сложности
Пример 11
Фокусы эллипса лежат на оси ОХ, и расстояние между ними равно 6, большая полуось равна 5. Уравнение эллипса имеет вид…
|
|
1)* |
x2 |
|
+ |
y2 |
|
=1; |
2) |
x2 |
+ |
y2 |
|
=1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
25 |
|
16 |
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
3) |
x2 |
+ |
y2 |
|
=1; |
4) |
x2 |
|
+ |
y2 |
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
16 |
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
36 |
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Решение. |
Каноническое уравнение эллипса |
|
x2 |
+ |
y2 |
=1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2с = 6, |
|
с = 3, |
|
|
a2 |
|
b2 |
||||||||||
Расстояние |
|
|
между |
фокусами |
|
|
|
|
a = 5, |
|
тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||
b2 |
= a2 − c2 |
или b2 = 25 − 9 = 16. Получим |
x2 |
+ |
y2 |
|
=1. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
16 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Ответ: |
|
|
x2 |
|
+ |
y2 |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Возможные ошибки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1. Ошибка |
|
|
в |
вычислении параметра |
b: |
|
b2 ≠ |
a2+ c2 , |
||||||||||||||||||||||||||||||
b2 |
≠ |
25+ 9= 34. |
|
Выражение |
|
|
x2 |
+ |
y2 |
=1 |
не является искомым |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
25 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнением эллипса. |
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2. Не учтено, что фокусы эллипса лежат на оси ОХ, т.е. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b2 |
≠ |
25, a2 |
≠ |
16 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62
3. Подмена понятий а ≠ 6, b ≠ 5, уравнение |
x2 |
+ |
y2 |
=1 |
|
|
|||
25 |
34 |
|
не является искомым.
Пример 12
Уравнение гиперболы с полуосями 2 и 5 соответственно
и с центром симметрии в точке М0 (−3;7) |
имеет вид… |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
(x + 3)2 |
|
+ |
( y − 7)2 |
=1; |
|
|
2) |
|
x2 |
|
|
− |
y2 |
|
= 1; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3) |
|
x2 |
+ |
y2 |
=1; |
|
|
|
|
4)* |
(x + 3)2 |
|
− |
( y − 7)2 |
= 1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Решение. Уравнение гиперболы с центром симметрии |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в точке |
|
М |
|
(х , у |
) |
имеет вид |
|
(x − х0 )2 |
|
− |
( y − у0 )2 |
|
= 1, |
|
тогда |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|||||||
|
(x + 3)2 |
|
− |
( y − 7)2 |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ответ: |
(x + 3)2 |
|
− |
( y − 7)2 |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возможные ошибки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1. Не учтены координаты центра симметрии |
x2 |
|
− |
y2 |
|
= 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
52 |
|
|
||
|
2. Записано уравнение эллипса |
(x + 3)2 |
|
+ |
( y − 7)2 |
=1 вместо |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнениягиперболы. |
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
52 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Пример 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Координаты фокуса параболы у2 |
= 8х равны… |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1)* F (2;0); |
|
|
2) F (4;0); |
|
|
3) |
|
F (0; 2); |
4) F (0; 4). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение. Фокус параболы у2 = 2 pх расположен на оси ОХ, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
т.е. F (x0 ;0), |
где x0 = |
p |
. Параметр p = 4 , тогда F (2;0) равен… |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: F (2;0).
63
Возможные ошибки:
1.Ошибкав параметре p = 8, фокус найден неверно F (4;0).
2.Фокус взят на оси OY, т.е. F (0; 2).
Примеры второго уровня сложности
Пример 14
Уравнение 9х2 + 4 у2 − 36х+ 8 у+ 4 = 0 определяет кривую с каноническим уравнением…
1) |
(x − 2)2 |
+ |
( y +1)2 |
= −1; |
2) |
|
9(x2 − 4х) |
+ |
y2 + 2 у |
=1; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
9 / 4 |
|
1 |
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
−1 |
||||||
3)* |
(x − 2)2 |
+ |
( y +1)2 |
=1; |
4) |
(x − 2)2 |
− |
( y +1)2 |
= 1. |
||||||||
|
|
4 |
|
||||||||||||||
4 |
|
9 |
|
|
|
9 |
|
|
|||||||||
Решение. |
Сгруппируем уравнение (9х2 − 36х) + (4 у2 + 8у) = |
= −4, 9(х2 − 4х) + 4( у2 + 2 у) = −4 . Выделим полный квадрат ка-
ждой |
переменной: |
|
9(х2 − 4х+ 4 − 4) + 4( у2 + 2 у+1−1) = −4 , |
||||||||||||||
9(х2 − 4х+ 4) − 36 + 4( у2 + 2 у+1) − 4 = −4 , |
получим |
|
9(х− 2)2 + |
||||||||||||||
+4( у +1)2 = 36. |
Разделим |
|
уравнение |
на |
36, |
тогда |
|||||||||||
|
(x − 2)2 |
+ |
( y +1)2 |
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ответ: |
(x − 2)2 |
+ |
( y +1)2 |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Возможные ошибки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
Ошибки |
в |
выделении полного |
квадрата |
|
a2 + 2ab ≠ |
|||||||||||
≠ a2+ 2ab+ b2 . Из |
уравнения |
9(х2 − 4х) + 4( у2 + 2 у) = −4 не |
|||||||||||||||
следует 9(х2 − 4х+ 4) + 4( у2 + 2у+1) = −4, |
9(х− 2)2 + 4( у+1)2 = −4. |
||||||||||||||||
Сумма квадратов неотрицательна. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. |
Ошибка |
в |
преобразовании. |
Уравнение |
9(х2 − 4х) + |
||||||||||||
+4( у2 + 2 у) = −4 делятна (−4) иполучают |
9(x2 − 4х) |
+ |
y2 + 2у |
=1. |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
−1 |
64
Примеры третьего уровня сложности
Пример 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Эксцентриситет гиперболы |
(x − 2)2 |
− |
( y +1)2 |
= 1 равен… |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
16 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|||
1)* 5 / 4; |
2) 25 / 16; |
3) 4 / 5; |
4) 4 / 3. |
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. Эксцентриситет гиперболы вычисляется по фор- |
|||||||||||||||
муле ε = |
с |
, где c2 |
= a2 + b2 . Тогда c = |
16 + 9 = |
|
25 = 5, ε = |
5 |
. |
|||||||
|
|
||||||||||||||
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||
Ответ: 5 / 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Возможные ошибки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. Неправильно определены а ≠ |
16, |
с ≠ 25, ε ≠ |
25 / 16. |
|
|||||||||||
2. Неправильно применена формула ε ≠ |
а |
, ε ≠ |
4 |
. |
|
|
|||||||||
|
5 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
Раздел «Аналитическая геометрия в пространстве» Темы «Плоскость», «Прямая в пространстве»
Примеры первого уровня сложности
Пример 16
Уравнение плоскости β, проходящей через точку Р(1; −2;5) параллельно плоскости α: 3x + 2 y − 4z + 5 = 0 , имеет вид…
1) |
x − 2 y + 5z + 21 = 0; |
2)* 3x + 2 y − 4z + 21 = 0; |
3) 3x + 2 y − 4z −13 = 0; |
4) x − 2 y + 5z +13 = 0. |
Решение. Нормальный вектор плоскости α имеет координаты n{3; 2; −4}. Плоскость β проходит через точку Р(1; −2;5)
перпендикулярно вектору n{3; 2; −4} и определяется уравнением
A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0. Тогда 3(x −1) + 2( y + 2) −
−4(z − 5) = 0 или 3x − 3 + 2 y + 4 − 4z + 20 = 0, окончательно
3x + 2 y − 4z + 21 = 0.
Ответ: 3x + 2 y − 4z + 21 = 0.
65
Возможные ошибки:
1. Меняютместамикоординатыточкиинормальноговектора,
т.е. 1(x − 3) − 2( y − 2) + 5(z + 4) ≠ |
|
0, Уравнение x − 2 y + 5z + 21 ≠ |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неявляетсяискомойплоскостью. |
|
|
3(x +1) + 2( y + 2) − 4(z + 5) ≠ 0, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2. |
|
Ошибка |
в |
|
знаках: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3x + 2 y − 4z −13 ≠ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Пример 17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 3y − z = 0 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
Косинус |
угла |
|
между |
|
плоскостями |
|
|
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||
3x + y + 2z − 5 = 0 равен… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1) |
|
7 |
|
|
; |
2) − |
1 |
; |
|
|
|
3)* |
1 |
; 4) |
7 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
13 |
14 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Решение. |
|
Угол между |
плоскостями вычисляется по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формуле |
cos φ = |
|
|
|
|
A1 A2 + B1B2 + C1C2 |
|
|
|
|
|
, |
где |
n{ А; В;С} |
– |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A12 |
+ B12 + C12 |
|
A22 + B22 + C22 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
координаты нормали. Вектора n1 {2;3; −1} |
|
и |
|
n2 {3;1;2} соот- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ветственно есть нормали данных плоскостей. Тогда |
cosφ= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2*3 +3*1−1*2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 + 3− 2 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
7 |
|
|
||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= |
= |
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 +9 +1 9 +1+ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
22 |
+32 + (−1)2 32 +12 + 22 |
4 |
|
14 14 14 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Ответ: |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возможные ошибки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1. Ошибка в вычислении корня: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
22 + 32 −12 |
32 +12 + 22 = 4 + 9 −1 9 +1+ 4 = 13 14 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Косинус угла не равен |
|
|
7 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1314
2.Ошибка в знаменателе формулы: вместо произведения
находят сумму длин, |
т.е. |
22 + 32 + (−1)2 + 32 +12 + 22 = |
|||
= 4 + 9 +1 + 9 +1 + 4 = 2 |
14. Косинус угла не равен |
|
7 |
. |
|
|
14 |
||||
|
|
2 |
|
66
Пример 18
Плоскость проходит через точки М1 (2;3; −1), М2 (0;−1; 2), М3 (5;0;3), общее уравнение этой плоскости имеет вид…
1) −x +12 y − 8z − 49 = 0; |
2)* −7x +17 y +18z −19 = 0; |
3) −7x +17 y +18z + 83 = 0; 4) 7x +17 y + 8z +19 = 0 . |
|
Решение. Векторы М1М2 , |
М1М2 , М1М , где М(x, y, z) |
произвольная точка плоскости, компланарны, и смешанное произведение равно нулю. Уравнение плоскости, проходя-
x − x1
щей через три точки, x2 − x1 x3 − x1
x − 2 |
y − 3 z +1 |
|
x − 2 |
|
|
||||
0 − 2 |
−1− 3 |
2 + 1 |
= 0 или |
−2 |
5 − 2 |
0 − 3 |
3 + 1 |
|
3 |
y − y y2 − y1 y3 − y1 y − 3
−4 −3
z − z1 |
|
|
|
||
z2 |
− z1 |
= 0 . Тогда |
z3 |
− z1 |
|
z+1 3 = 0. Раскроем
4
определитель |
|
|
(x − 2)(−4 * 4 − (−3) *3) − ( y − 3)(−2 * 4 − 3*3) + |
|||||
+(z +1)(−2 * (−3) − 3* (−4)) = 0 . |
Получим |
−7(x − 2) +17( y − 3) + |
||||||
+18(z +1) = 0. Общее уравнение −7x +17 y +18z −19 = 0. |
||||||||
|
|
Ответ: −7x +17 y +18z −19 = 0. |
|
|||||
|
|
Возможные ошибки: |
|
|
||||
|
|
1. |
В |
уравнении |
записывают |
сумму координат |
||
|
x + 2 |
|
y + 3 |
z +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 + 2 |
−1 + 3 |
2 +1 |
|
= 0, после раскрытия определителя получа- |
|||
|
5 + 2 |
|
0 + 3 |
3 +1 |
|
|
|
|
ют неправильный результат: −x +12 y − 8z − 49 = 0. |
||||||||
|
|
2. |
Ошибка в раскрытии определителя (x − 2)(−4 * 4 − |
−(−3) * 3) + ( y − 3)(−2 * 4 − 3*3) + (z + 1)(−2 * (−3) − 3* (−4)) = 0.
Получают неправильный ответ: −7x +17 y + +18z + 83 = 0.
67
Пример 19
Уравнение прямой L1, проходящей через точку М0 (3; −1;5)
параллельно прямойL2 |
|
|
x + 2 |
= |
y − 3 |
= |
|
|
z + 4 |
, имеет вид… |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1)* |
|
x − 3 |
= |
y +1 |
= |
z − 5 |
; |
|
2) |
1 |
|
= |
7 |
= |
|
−2 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
x − |
3 y +1 z − 5 |
|||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
x + 3 |
= |
|
y +1 |
= |
|
z + 5 |
; |
|
|
|
4) |
x −1 |
= |
y − 7 |
= |
z + 2 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
−1 |
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Решение. Вектор s = {1;7; −2} |
– направляющий прямых L2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и L1, так как прямые параллельны. Уравнение прямой L1 имеет |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вид |
x − 3 |
= |
y +1 |
= |
z − 5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Ответ: |
|
|
x − 3 |
= |
y +1 |
= |
z − 5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возможные ошибки:
1. Путают местами координаты точки М0 и направляющего
вектора |
|
|
, получают неправильный ответ |
x −1 |
= |
y − 7 |
= |
|
z + 2 |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
s |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|||
|
|
|
2. |
|
|
|
|
В |
|
|
числителе |
записывают |
|
сумму |
|
|
координат |
||||||||||||||||||||||||||
|
x + 3 |
= |
y +1 |
= |
z + 5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
7 |
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Пример 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Косинус угла между прямыми |
|
x − 2 |
= |
y +1 |
= |
|
|
z |
|
и |
x |
= |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||
= |
y −1 |
= |
z − 2 |
равен… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1) − |
|
3 |
|
|
; |
|
2) |
10 |
; |
3) |
|
1 |
; |
|
4)* |
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
10 |
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
68
|
Решение. Угол между прямыми вычисляется по фор- |
||||||||||||||||||||||
муле |
cos φ = |
|
|
|
|
|
|
m1m2 + n1n2 + p1 p2 |
|
|
|
|
, |
где s1 {m1 |
, n2 , p1} , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
m12 + n12 + p12 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m22 + n22 + p22 |
|
|
|
|
||||||||||
s2 {m2 , n2 , p2 } |
|
|
|
– |
направляющие векторы прямых. |
|
Имеем |
||||||||||||||||
s1 {3;0; −1} , |
s2 {1;7;0} , тогда |
cosφ= |
|
|
|
|
−3*1+ 0*7 −1*0 |
|
= |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
+ 02 |
+ (−1)2 12 + |
72 + 02 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|||||||||
= |
3 |
|
|
= |
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10 |
50 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Ответ: |
|
|
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
10 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возможные ошибки: предполагается, что надо найти острый угол между прямыми, поэтому косинус угла должен быть положительным.
Примеры второго уровня сложности
Пример 21
Плоскость проходит через точку M 0 (2; 2; −1) и отсекает на
положительной оси OY отрезок в 2 раза больше, чем на положительных осях OX и OZ. Общее уравнение этой плоскости имеет вид…
1)* 2x + y + 2z − 4 = 0; |
2) x + 3y + 2z − 4 = 0; |
3) 2x + y + z − 4 = 0; |
4) 2x + y + 2z + 4 = 0. |
Решение. Воспользуемся уравнением плоскости в отрез-
ках x + y + z =1, где a, b, c – отрезки, отсекаемые плоскостью a b c
на координатных осях соответственно. Пусть а – отрезок, отсекаемый на осях OX и OZ, тогда 2а – отрезок, отсекаемый на оси
OY. Уравнение плоскости примет вид |
x |
+ |
y |
+ |
z |
=1, подставим |
|
2а |
а |
||||
|
a |
|
|
69
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
координаты точки |
M 0 (2; 2; −1), |
тогда |
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
= 1, или |
|
|
=1, |
||||||
a |
2а |
а |
a |
|||||||||||||||||||
а = 2. Уравнение |
плоскости |
в |
отрезках |
|
x |
+ |
y |
+ |
z |
=1, |
общее |
|||||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
уравнение 2x + y + 2z − 4 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: 2x + y + 2z − 4 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Расстояние |
между |
параллельными |
плоскостями |
|||||||||||||||||||
α: 2x + 3y − z + 5 = 0 и β: 2x + 3y − z − 5 = 0 равно… |
|
|
|
|||||||||||||||||||
1)* |
10 |
; |
2) 10; |
3) –10; |
4) |
|
|
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
1) Найдем точку на плоскости α. Для этого зададим произвольно две координаты точки и из уравнения плоскости α найдем третью координату. Например, пусть x = 3, y = −2, тогда
z = 5. Таким образом, точка A(3; −2;5) α.
|
|
2) Найдем расстояние от точкиA до плоскости β |
|
поформуле |
||||||||||||
d = |
|
Ax0 + By0 + Cz0 + D |
|
= |
|
2 3 + 3 (−2) − 5 − 5 |
|
= |
|
|
−10 |
|
|
= |
10 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
A2 + B2 + C2 |
|
|
|
22 + 32 +12 |
|
|
|
14 |
14 |
|
Ответ: 10 . 14
Возможные ошибки:
В пункте 2) в формулу расстояния следует подставлять коэффициенты плоскости β ; расстояние нужно вычислять по абсолютной величине.
70