Применение метода конечных элементов
..pdfфокарт. Удобнее проверять исходные данные, если ввести их в программу, которая затем представляет диаграмму всей анализи руемой области в целом. Такой метод позволит очень быстро об наружить элементы с неверными номерами узлов или ошибочны ми координатами, так как их графическое изображение будет на кладываться на изображение других элементов. Наиболее совер шенный метод обработки исходных данных — использовать гене ратор данных элемента. Это программа, которая размещает и ну мерует узлы, вычисляет координаты узлов и затем разбивает об ласть на элементы. Программы этого типа обычно приспосабли вают к определенным областям применения, потому что исходные данные могут существенно различаться при переходе от одной об ласти применения к другой. Если говорить более подробно, дан ные, которые вводятся в программу, составленную для решения задачи о кручении бруса, будут сильно отличаться от исходных данных, которые вводятся в программу, связанную с задачей пе реноса тепла, если даже обе программы основаны на одной и той же системе уравнений. Мой собственный опыт показывает, что трудно написать набор программ, способных генерировать вес исходные данные для задач переноса тепла, в которых конвекция происходит только на некоторых граничных элементах. В гл. 18 представлена программа, генерирующая исходные данные эле мента.
7.4.Решение задачи о кручении бруса с помощью вычислительной машины
Блок-схема вычислений, представленная на фиг. 7.3, составле на не для какой-либо определенной задачи, а дает общую схему реализации метода конечных элементов. При рассмотрении кон кретных областей применения должны быть введены незначитель ные изменения. Мы будем комментировать эти модификации в конце каждой главы прикладного характера. Начнем с нескольких замечаний о машинной реализации задачи о кручении, рассмотрен ной в гл. 6 . Реализация этой задачи на ЭВМ отличается от общей
блок-схемы на фиг. 7.3, потому что внешняя нагрузка — крутящий момент — не входит в расчетные формулы до тех пор, пока не оп ределены узловые значения. С другой стороны, приложенный кру тящий момент обычно при расчете конструкции известен и требу ется определить максимальное сдвиговое напряжение, вызываемое этим моментом.
Одна из процедур получения правильных значений сдвиговых напряжений состоит в следующем. Задача решается в предполо жении, что торцевые сечения повернутся относительно друг другп на единичный угол закручивания. Это эквивалентно следующей ве
личине угла закручивания на единицу длины:
0 2л / 1 \
L ~ 360 \ L ) Рад/М*
Вычисляются крутящий мом-ент, который вызовет такое закручи вание стержня, и соответствующие ему напряжения в элементах.
Печать и схо д н ы х данных
элемент а
Вычисление матриц жесткости
и нагрузки для элемента
Вклю чение матриц для элемента
в глобальные матрицы
I цикла по элемент ам
Считывание поскольку в данной задаче I узловые силы отсутствуют.
-считывается число - /
Считывание заданных у зл о вы х значений искомой в е личины и модиф икация
глобальной матрицы жест кост и
Разлож ение глобальны х матриц
и реш ение системы урав- нений обратной прогонкой
Вычисление для элемент ов напряж ений; соответствую щ их закручиванию сечения на (юин градус, и определение вкла да эт ого элемента в интеграл
1АФМ
Конец циклопа элементам
Вычисление крутящего момен- I та,соответствующего закру
чиванию сечения на один градус. i/ определение отношения ТА /тс
цикл
элемент ам
Печать максимального сдвигового напряжения и
номера элемента, в котором оно встречается
Ост анов
Фиг. 7.5. Блок-схема программы решения задачи о кручении стержня.
Истинные значения напряжений могут быть определены:
X — |
т |
|
|
_1_ист_ |
(7.19) |
||
ИС1 |
FnРасч-ru РаСЧ* |
||
|
отодвинут на более поздний этап работы программ, ибо эти зна чения тоже должны быть умножены на отношение ГИСт/7расч.
В гл. 18 представлена и рассмотрена программа, которая мо жет быть использована при решении задачи о кручении, сформули рованной в гл. 6 . Эта программа была использована для расчета
напряжений сдвига в стержне с квадратной формой сечения (фиг. 6.3), причем разбиение на элементы соответствовало фиг. 7.6. На
Фиг. 7.7. Согласованные значения ту2 для'стержня квадратного сечения.
фиг. 7.6 также показаны значения xzy по элементам. Максималь ное значение xzv, равное 892 Н/см2, было получено в элементе, бли жайшем к узлу, расположенному в середине стороны квадрата. Это значение отличается от теоретического на 5,6%. Расчетные значения соответствуют крутящему моменту, равному 196,3 Н-см.
Расчетные значения могут быть уточнены путем использования теории согласованных результантов элементов, рассмотренной в
Фиг. 7.9. Согласованные значения туг, полученные с помощью восьми элементов.
гл. 6. Узловые значения ху1, вычисленные с использованием этой
теории, представлены на фиг. 7.7. Значение 905 Н/см2, которое встречается в угловом узле, на 4,2% меньше теоретического значе ния, равного 945 Н/см2. Наибольшее сдвиговое напряжение xyz= = 915 Н/см2 получено в узле, первом из тех, которые расположены
выше узла в середине стороны квадрата. Это значение на 3,2%
Фиг. 7.10. Область влияния, соответствующая е = 0,7.
отличается от теоретического максимума. Однако положения рас четного и теоретического максимумов не совпадают.
Теория согласованных результантов элементов приводит к си стеме уравнений, порядок которой совпадает с порядком системы, используемой для определения {Ф}. Это представляет определен ное неудобство, когда в рассмотрение включается большое число узлов. Приближенный метод составления согласованных резуль тантов ограничивается анализом элементов, расположенных в рай оне с наибольшим результантом элемента. Это приближение назы вается «областью влияния» [2 ].
[29.07]
{/(1)) = 1 П = {/(3)) = {/(4)} = 29,07 [ [29.07]
46. Для тела, разбитого на три элемента, ниже даны сокращен ные матрицы жесткости. Используя метод прямой жесткости, по стройте матрицу [/(]. В каждом узле рассмотрите по одной неиз вестной. Узел i для каждого элемента помечен звездочкой.
" |
1 2 |
—4 |
—8 " |
' |
12 |
— 8 |
—4" |
[£(1 )]=[А:(3)] = |
—4 |
1 2 |
— 8 |
[£(2)] = |
— 8 |
16 |
— 8 |
|
— 8 |
— 8 |
16 |
|
—4 |
— 8 |
12 |
47. Сокращенные матрицы элементов для двухэлементной зада чи теории упругости даны ниже. В каждом узле рассматриваются по два перемещения. Используя метод прямой жесткости, построй
те матрицу [/С]. Узел i для каждого элемента помечен звездочкой.
К задаче 47.
|
162 |
0 |
0 |
—216 |
— 162 |
216 |
|
|
0 |
432 |
— 144 |
0 |
144 |
—432 |
|
[*<!>] = |
0 |
— 144 |
768 |
0 |
—768 |
144 |
|
—216 |
0 |
0 |
288 |
216 |
—288 |
||
|
|||||||
|
— 162 |
144 |
—768 |
216 |
930 |
—360 |
|
|
216 |
—432 |
144 |
—288 |
—360 |
720 |
9-763
768 |
0 |
—768 |
144 |
0 |
— 144" |
0 |
288 |
216 |
—288 |
—216 |
0 |
—768 |
216 |
930 |
—360 |
— 162 |
144 |
144 |
—288 |
—360 |
720 |
216 |
—432 |
0 |
—216 |
— 162 |
216 |
162 |
0 |
— 144 |
0 |
144 |
—432 |
0 |
432 |
48. Постройте матрицу [/С] для четырехэлементного тела по данным сокращенным матрицам элементов. В каждом узле одна неизвестная, а узел i помечен звездочкой.
- |
6 |
—4 |
—2" |
' |
4 |
—2 |
—2' |
|
1*(1,] = |
—4 |
12 |
—8 |
1 |
[£<*>] = |
— 2 |
6 |
—4 |
|
— 2 |
— 8 |
10 |
|
|
— 2 |
—4 |
6 |
" |
3 |
0 |
—3' |
" 1 |
— 1 |
0_ |
||
[*(3)] = |
0 |
6 |
— 6 |
|
[А(4,] = |
— 1 |
2 |
— 1 |
|
—3 |
— 6 |
9 |
|
|
0 |
— 1 |
1 |
49. Выполните следующие преобразования приведенной ниже системы уравнений с симметричной матрицей:
а) Приведите матрицу [/С] к треугольному виду и одновремен но разложите {F}.
б) Используя только матрицу [/С] треугольного вида, разложи
те вектор-столбец |
{77}т = [6 , 12, |
12, 6]. Убедитесь, что для |
выпол |
|
нения указанного |
разложения |
достаточно информации, |
которая |
|
хранится в матрице треугольного вида |
[/С]. |
|
||
в) Решите полученную систему уравнений для вектор-столбцов, |
||||
соответствующих случаям а) и б) . |
|
|
||
|
4£/1 + 2£/, |
|
= 4 , |
|
|
2U1 + 8Ui r2Ut |
= 8 , |
|
|
|
2t/2 + |
8t/3 + |
2t/4= 8 , |
|
|
|
2t/s+ |
4t/4= 4 . |
|
50. Преобразуйте и решите систему уравнений (6.2 0 ), исполь
зуя метод, изложенный в этой главе.
51. Преобразуйте и решите одну из представленных ниже си стем уравнений, когда задано одно из следующих условий:
(I) U1==3; (II) U2= 4, С/4= — 1; (III) !/,= 0 ;
(IV) [ / , = 0 , Ut = l ,
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12и г + |
6t/2- |
4U3 + U4 |
= 4 0 , |
|||||||
6 ^ + 1 8 ^ + |
6t/8— |
4Ut + Us |
= 7 5 , |
|||||||
- 4 t / i + |
6t/ 2 + |
24£/3+ 1 2 t/4- |
4U&= |
120, |
||||||
|
4t/2+ 1 2 t/3+18H 4 + |
6^ |
= |
7 5 , |
||||||
|
D2— |
4t/ 3 —[— 6t/ 4 —j—12t/s= 4 0 . |
||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 l /i + |
U2 + 0U3+ |
t/4= 40, |
|
|
|
|||||
|
[ / 1 + |
6t/2+ |
£/3 + |
2t/4= 2 8 , |
|
|
|
|||
|
|
t/ 2 + 2 ( /3 + 0t/4= 28, |
|
|
|
|||||
|
t/ 1 + |
2^/2 + |
0(73+ |
6Jy4= 4 0 . |
|
|
|
|||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4t/2+ |
2 £ /3 |
|
|
= |
1 2 , |
||||
4C/i+ 12£/2 + |
4t/ 3 |
|
|
= 1 8 , |
|
|||||
2 t/i+ |
4C/2+ |
12£/3 + |
4C/ 4+ |
2£/S= 2 4 |
, |
|||||
|
|
|
4H3 +12C/ 4 + 4t/5= 1 0 |
, |
||||||
|
|
|
2U3+ |
4t/ 4 + |
6t/6= |
6. |
|
52—56. Представленные ниже поперечные сечения стержней разбейте на линейные треугольные элементы и вычислите макси мальное напряжение сдвига, используя программу TORSION, пред ставленную в гл. 18. Для получения исходных данных об элементе можно использовать программу GRID. Каждый из стержней имеет^длину 100 см, сделан из стали, G =8-106 Н/см2 и подвержен
действию крутящего момента величиной 5000 Н-см. Сравните по лученные результаты с теоретическими максимумами, когда это возможно.
57.Вычислите узловые значения компонент напряжений сдвига для одного из поперечных сечений задач 52—56, используя пред ставленную в гл. 18 программу CONSTR вычисления согласован ного результанта элемента.
58.Измените программу TORSION так, чтобы можно было рас сматривать элементы из разных материалов, и проанализируйте изображенное ниже сечение составного стержня. Стержень имеет длину 100 см и подвержен действию крутящего момента величиной
3000 Н-см.
9*