748
.pdfэтих рассуждений следует также, что использование термина “разупрочнение” по отношению к процессам на закритической стадии де формирования является физически оправданным.
Рис. 1. Модели поведения сред при разгрузке и повторной нагрузке
С учетом характерных особенностей поведения материалов рассмот рим приведенные на рис. 2 схематические изображения полных диаграмм деформирования и один из вариантов классификации сред по характеру ра зупрочнения.
Вобщем случае полная диаграмма деформирования имеет сложный нелинейный характер. Однако часто она может быть аппроксимирована кусочно-линейной функцией. На рис. 2 приведены диаграммы упругой (а)
иупругопластической (б) сред с линейным разупрочнением на закритиче ской стадии деформирования.
Взависимости от того, увеличивается или уменьшается интенсив ность разупрочнения при увеличении закритической деформации, можно ввести понятия среды с прогрессирующим разупрочнением (см. рис. 2, в, г)
исреды с регрессирующим разупрочнением (см. рис. 2, д, е). К первой ка тегории, в частности, отнесем легированную сталь при одноосном нагру жении [42] и циркониевую керамику [46], ко второй — легированную сталь при чистом сдвиге [42], титановый сплав ВТ5 при высоких температурах [30], наполненный полиэтилен высокой плотности [6], композит, получен ный армированием вольфрамовыми волокнами медной матрицы [17] и не которые перекрестно армированные слоисто-волокнистые материалы [45].
Кроме того, можно выделить категорию сред с неполным разупроч нением (см. рис. 2, з), заключительная стадия деформирования которых ха рактеризуется наличием практически не изменяющейся остаточной проч-
ности. К этой категории сред в большей степени относятся горные породы в условиях одноосного сжатия [5] и простого сдвига под действием каса тельного напряжения и давления [39].
О |
е О |
е |
|
ж |
з |
Рис. 2. Модели разупрочняющихся сред
Сложный характер разупрочнения связан с протеканием на разных структурных уровнях диссипативных процессов различной природы, а смена механизмов накопления повреждений приводит к изменению харак тера снижения напряжений на закритической стадии деформирования. При этом, в ряде случаев наличие практически прямолинейных участков на диаграмме является очевидным. Например, на рис. 2, ж приведена харак терная аппроксимация диаграммы растяжения мартенситно-стареющей стали [19], являющаяся иллюстрацией механического поведения среды с линейными участками разупрочнения по сменным механизмам.
Обратим внимание на то, что поведение некоторых материалов на закритической стадии деформирования может быть гораздо более слож ным. Экспериментально зарегистрированы диаграммы деформирования с обратной крутизной ниспадающего участка. На подобного рода диаграм мах кроме обычного ниспадающего участка, где падение напряжений со
провождается приращением деформаций, имеется участок необратимого накопления повреждений при уменьшении как напряжений, так и дефор маций. В связи с этим введем понятия особых точек на диаграммах и про иллюстрируем их на рис. 3.
Рис. 3. Особые точки на диаграммах деформирования
Пусть особой точкой 1-го рода (критической) S1(a Il6I) называется точка максимума абсолютных значений напряжений на диаграмме. Оче видно, что в данной точке для дифференцируемых функций а(е):
dc/dz = 0, |
а ^ ^ с г / dz1J < 0 , а для кусочно-линейных диаграмм: |
a i = |
a (8i ± 8) > 0, <*i = or(sj) < a(8j ± 8) < 0, где 8 — произвольное |
сколь угодно малое число, определяющее рассматриваемую окрестность особой точки.
Особой точкой 2-го рода 5n (a n ,sn) назовем точку, по крайней мере, локального максимума абсолютных значений деформаций на диаграмме. В
данной точке для |
дифференцируемых функций е(сг): |
dz/dt7 = 0, |
||
g j|y 2e/<i<c72] < 0, |
а |
для |
кусочно-линейных |
диаграмм: |
8п = 8(а п ) >8(а п ± 8) > 0, |
еп = 8(a n) < s(an ± 8 )< 0 . |
|
На участке между особыми точками 1-го и 2-го родов модуль спада, или разупрочнения, вводимый как D = - da/dz, является положительным. В особой точке 2-го рода он меняет знак. Еще одной точкой, в которой мо дуль спада меняет знак, на этот раз, на положительный, является особая
точка 3-го рода |
5ш(а Ш|еП1). Вй |
соответствуют следующие условия: |
dz/dc = 0, |
ешр 2е/<Лг2]> 0 ; |
0 < еш = е(стш)< е(стш ±8), |
О> еш = е(°ш ) > е(<*ш ± S).
На рис. 3, б приведена характерная зависимость между первыми ин вариантами тензоров напряжений и деформаций для горных пород и бето-
13
на, полученная в результате проведения испытаний на одноосное растяже ние и сжатие [7]. Особая точка 2-го рода на диаграмме в процессе сжатия достигается прежде прочих. При сжатии объем уменьшается лишь при на чальных деформациях, а затем он начинает возрастать, что связано с нако плением повреждений в материале. Аналогичный эффект смены знака объ емной деформации в процессе сжатия был обнаружен и для перекрестноармированных стеклопластиков [22, 26].
Таким образом, поведение материалов таково, что при растяжении существует предел для средних напряжений, а при сжатии — для объем ных деформаций.
При решении краевых задач используются несколько различающиеся модели разупрочняюшихся сред, в частности, допускается кусочно линейная (с линейным разупрочнением) связь между девиаторными со ставляющими напряжений и деформаций, а объемное растяжение считает ся упругим [9]. Принимается нелинейный пластический закон скольжения в области контакта упругих частиц, включающий стадию разупрочнения от сдвига и участок остаточной прочности [18]. Считается приемлемой для решения задач горной геомеханики кусочно-линейная аппроксимация диа грамм, полученных при одноосном сжатии и различных боковых давлени ях, с учетом разрыхления материала и остаточной прочности после разу прочнения [25, 36]. Используется модель, учитывающая смену механизмов повреждения: разупрочнение с отрицательным мгновенным значением мо дуля сдвига и начальным положительным модулем объемного сжатия при отрицательной объемной деформации и разупрочнение с отрицательным модулем Юнга и начальным коэффициентом Пуассона при положительном значении объемной деформации [34].
При построении моделей разупрочняюшихся сред важным является вопрос определения критических состояний, то есть условий начала разу прочнения. По данным компьютерного моделирования деформации квазиизотропных зернистых композитов приемлемой является модель, соглас но которой закритическая стадия деформирования начинается, когда вто
рой инвариант тензора напряжений достигает критического значения j ^ ,
являющегося константой материала. При этом на закритической стадии
происходит снижение как j £ \ так и j® при |
> 0, независимо оттого, |
|
какое максимальное значение |
было достигнуто к моменту начала за- |
критического деформирования.
Согласно этой модели переход на закритическую стадию по 1-му и 2- му инвариантам происходит одновременно при условии j ^ = j^ ]T, крити ческое значение первого инварианта тензора напряжений не является константой материала, а определяется как / а1)ст= / с1)(/02) = j {2)a ). Потеря не
сущей способности происходит также одновременно, когда достигает
своего предельного значения A f : А / = А^(А2) = А/*)-
Учет разупрочнения при гидростатическом растяжении даже в рам ках наиболее простых моделей необходим, чтобы избежать противоречия. Материал, разрушенный от сдвига или формоизменения после полной реа
лизации закритической стадии ( j[2^ = A j \ = 0), не может сопротив
ляться гидростатическому растяжению.
При рассмотрении изотропных материалов одной из упрощающих гипотез является предположение об отсутствии деформационной анизо тропии. В соответствии с этим предположением определяющие соотноше
ния в приращениях имеют вид |
|
day = (3K'Vijmn + IG 'D y^ck ,»,. |
(5) |
Входящие в подобные уравнениям деформационной теории соотно шения (5) модули разупрочнения - К' и - G' в простейшем варианте оп ределяются следующим образом: К 1= -ХК, G' = -XG , где X — параметр разупрочнения, К и G — модули упругости. Очевидно, что этот же пара метр определяет модуль разупрочнения при одноосном нагружении.
Ограниченность модели, связанная с постоянством коэффициента Пуассона, преодолевается введением двух независимых параметров разу прочнения X и |i : Gf = -AJG, К' = —JLIAT
В этом случае на параметры разупрочнения накладываются ограни чения, обусловленные пределами изменения текущего коэффициента Пу ассона, определяемого как отношение приращений деформаций. При из менении его в диапазоне от 0 до 0,5 должны иметь место неравенства
<3.
3iiK +XG
Если установить, что процесс деформации на закритической стадии сопровождается уменьшением средних напряжений при увеличении отно сительного изменения объема (d c ^ < 0, d z^ > 0), то рассмотренные со отношения позволят описать наблюдаемое при испытаниях реальных мате риалов разупрочнение при гидростатическом растяжении и упрочнение при сжатии.
Упрощенной моделью разупрочняющейся трансверсально изотропной среды, в частности, слоистого композита с изотропными слоя ми является модель, описываемая определяющими соотношениями вида
^(<fc [, + da 22) = K dz\i+dE22)+l'dE^, dar, = l'{dzn +dz22) - n pdsr,.
^(dan - d a 22) = G1(dzn - d e 22),
dol2 = 2GLdzn ,
dcttf ~ -G £dsl3, d(j13= -2G^dz13
при значениях инвариантов j ^ = e33 > j ^ T или = V^i3 + 8 23 > Уест» что соответствует ослаблению межслойного взаимодействия. А также вида
|
^(don + dG22) = - k p(dsn +dz22) + tJdz33, |
|
||
|
d<j33 = l'(dz п + dz22) + ndz33, |
|
|
|
|
^(dan - d a 22) = -G ^(dzu - d e 22), |
|
(7) |
|
|
dGi2 = |
• <tei3 = C/JJC/£I3, |
dG22 = 2.Gjjdz23 |
|
при |
значениях |
инвариантов |
= (8n + 822) > Уесг |
4:111 |
y^3) = ^дгп - e 22)2 +4ef2 > y ^ r , что соответствует ослаблению материала |
|
при деформациях вдоль слоев и совместном формоизменении. |
|
Здесь У1р > 0, кр > О, G£ > О, G£ > 0 |
— модули разупрочнения, |
Г — коэффициент поперечной деформации |
материала на закритической |
стадии деформирования.
Эффект поперечного взаимодействия на закритической стадии суще ственно ослабляется, и в рамках простейшей модели им можно пренебречь, положив /' = 0. Однако при построении более адекватных моделей целесо образно уточнить значение коэффициента /', которое может быть даже от рицательным.
При исследовании трансверсально-изотропных волокнистых компо зитов модели несколько отличаются от рассмотренной. В частности, закритическая стадия деформирования, вызванная продольным сдвигом
(у|4^ >УесгХ может сопровождаться разупрочнением не в направлении х3, а в направлениях х{ и х2.
К построению модели ортотропной разупрочняющейся среды
Условие за |
El |
E 2 |
E3 |
V12 |
V21 |
V13 |
V31 |
V23 |
V32 |
^12 |
I |
Gu |
критической |
|
|
|
|
|
|
G2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
деформации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ц |
E 2 |
Ei |
V12 |
V21 |
VJ3 |
V31 |
VZ3 |
v32 |
-G& |
G2I |
-G(i |
|
Ei |
-E i |
Ei |
V12 |
V21 |
V13 |
V3I |
V23 |
v32 |
~G& |
|
Gn |
|
Ei |
E 2 |
-E i |
v12 |
V21 |
V13 |
V31 |
V23 |
v32 |
Gu |
-Gii |
-Gii |
|
- E f |
-E i |
Ei |
0 |
0 |
V13 |
V31 |
v23 |
v32 |
~G& |
-Gii |
-Gii |
|
Ei |
-E i |
-E i |
Vl2 |
V2l |
v13 |
V31 |
0 |
0 |
~G12 |
-G ^ |
-Gii |
4 Ч - £ п > 'Й ~E\ |
E 2 |
-E i |
V12 |
V21 |
0 |
0 |
V23 |
v32 |
|
-Gii |
-Gii |
Упрощенная модель ортотропной разупрочняющейся среды описы вается определяющими соотношениями
* 11= i - |
' - I T 'dov |
~ 1 Г dG33’ |
|||
&22 = - |
d °i 1+ |
,da22 - ^ |
dc33, |
||
|
ь х |
л 2 |
|
-^з |
|
|
|
|
|
|
(8) |
* 3 3 |
= “ ^ * |
У11“ " ^ |
* |
Г22+ 7 Г * 3 3 * |
|
|
Е\ |
Е2 |
|
Е3 |
|
* 1 3 |
= ~zpr~dci3> dz23 = —— |
dG23i del2= —— dal2 |
|||
|
ZCri3 |
|
|
^2 3 |
^1 2 |
при значениях касательных модулей и коэффициентов поперечной дефор мации, зависящих от условия закритической деформации и приведенных в таблице 1. Индексом “р ” отмечены положительные модули разупрочнения, знак “минус” учтен в определяющих соотношениях. Помеченные штрихом коэффициенты являются отрицательными и находятся по формулам
|
|
Е ( |
! Р |
v 2 = — F * v21. |
|
! ' |
Е\ |
|
ЕГ |
, |
Ц |
t |
v 32 |
= --=Г-v23- |
V“ ' |
Ез |
< |
II |
Е Г |
< |
||
|
|
А |
. |
|
Е р |
|
£ з . |
|
vb |
= ~ Т Г - у: |
|
|
|
Е 2 |
Рассмотренные определяющие соотношения базируются на дефор мационной теории пластичности, хотя и записаны в приращениях, устанав ливают связь между напряжениями и деформациями в неупругой области после достижения пределов прочности наиболее простым образом и могут быть пригодны для решения ряда прикладных задач. Однако, учитывая, что поведение деформируемых сред гораздо сложнее, далее (в п. 9.2) рас смотрим вопросы построения более общих определяющих соотношений.
Наиболее теоретически обоснованным ограничением, связанным с построением моделей разупрочняющихся сред, является условие Адамара (при строгом неравенстве называемое условием сильной эллиптичности)
C,jnma,bjamb„ >0 Va * 0, V b*0
В соответствии с теоремой Адамара, для того, чтобы конфигурация упругого тела была устойчива по отношению к малым деформациям для любой смешанной граничной задачи, приведенное локальное неравенство должно выполняться в каждой точке [35]. В работе [29] приведено обоб щение этой теоремы на случай упругопластических тел, которое распро страняет данное ограничение на тензоры, определяющие связь между при ращениями напряжений и деформаций как при разгрузке, так и при актив ном нагружении.
Условию Адамара удовлетворяет изотропный материал со свойства ми: G > 0, К > ~ y ^ G , то есть допускаются состояния упругого материала
с отрицательным модулем объемного сжатия (состояния разупрочнения). При этом привычных ограничений на коэффициент Пуассона не наклады вается и он может принимать значения больше 1 и меньше -1 . Состояние разупрочнения, связанное с отрицательным модулем Юнга, возникает при
-G < К <0, соответствующий коэффициент Пуассона v < -1. Наруше
ние условия Адамара связывается с возникновением внутренней структуры в начально-однородном массиве матери&яа вследствие локализации де формаций [23, 29].
Анализ опубликованных экспериментальных данных о закритическом деформировании различных материалов приводит к заключению, что описание их поведения в рамках модели однородной сплошной среды с мгновенными свойствами не всегда может быть осуществлено с соблюде нием условий Адамара. В частности, приводятся экспериментальные диа граммы с ниспадающим участком, полученные при сдвиговом деформиро-
18
вании [42 и др.]. При одноосном сжатии (имеются данные о развитии про дольных и поперечных деформаций) некоторых горных пород реализуются такие состояния, для которых касательные модули Е < 0, G <0, К > О и v > 1 [33].
Данное противоречие и возможность устойчивого закритического деформирования, которое обнаруживается в упомянутых опытах, может быть объяснено [14] наличием определенной структурной неоднородности испытанных материалов, препятствующей потере устойчивости локализационного типа. Локализация деформаций находится на грани континуаль ного описания [23]. Описание механических процессов в масштабах, соиз меримых с размерами элементов структуры, требует отказа от гипотезы однородности, модели среды с эффективными свойствами и перехода на структурный уровень рассмотрения.
Выполнение условия Адамара для линейно упругих тел свидетельст вует также о наличии вещественных значений скоростей распространения волн сдвига и сжатия-растяжения в данной среде [20], следовательно, по становка динамических задач при деформировании на стадии разупрочне ния в противном случае некорректна и лишена физического смысла. Если учесть, что любой реальный процесс осуществляется с некоторой, пусть малой, но конечной скоростью, не затрагивая структуры материала и усло вий проведения опытов, то в силу указанного противоречия модель одно родной разупрочняющейся среды, строго говоря, не является допустимой.
Однако в опытах на жестких испытательных машинах диаграммы хорошо воспроизводятся и изменяются сравнительно слабо при невысоких скоростях деформирования. Внешние проявления неустойчивости отсутст вуют при этом как на восходящем, так и ниспадающем участках диаграм мы. С любого этапа закритического деформирования можно осуществить разгрузку, образец не теряет связности [25 и др.]. Указанные скорости час то реализуются на практике, и соответствующие диаграммы полезны и важны для практических целей.
Таким образом, при скоростях, обеспечивающих равномерную де формацию образца и получение на жестком испытательном оборудовании диаграммы с ниспадающим участком, последний имеет смысл для стати ческих задач.
3.Модели механического поведения элементов структуры
иустойчивость закритического деформирования
сферических включений
В отношении деформационных свойств элементов структуры компо зиционных материалов после выполнения условия разрушения авторами научных работ принимаются весьма различные предположения [16, 38]: “зануление” всех деформационных характеристик [2] (прямая 1 на рис. 4) или только некоторых элементов матрицы жесткостей [13, 28], использова ние модели типа идеального упругопластического тела [24, 38] (прямая 2, рис. 4) или линейно-разупрочняющегося тела [38, 44] (прямая 3, рис. 4). Используются также некоторые комбинированные модели, например, в [16]. Ряд моделей учитывает многостадийность процесса разрушения структурного элемента [13].
напряжение
Рис. 4. Модели механического поведения элементов структуры композита после достижения критического состояния и полная диаграмма деформирования
Результаты, согласующиеся с экспериментальными данными, полу ченные некоторыми авторами на основе использования моделей идеально упругопластического и линейно-разупрочняющегося тела, подводят к мыс ли, что эти модели обеспечивают приближенное описание реального пове дения материала, графическим отражением которого является равновесная диаграмма деформирования с ниспадающей ветвью (см. рис. 4).
Для решения задач механики неоднородных сред представляется очень важным, но мало разработанным вопрос, по какому пути пойдет де формирование некоторого структурного элемента в зависимости от его ок ружения в композите — соответствующему линии 1 или 4 (см. рис. 4) — и возможны ли промежуточные пути? Ответ на этот вопрос основывается на исследованиях закономерностей закритического деформирования материа-
20