![](/user_photo/_userpic.png)
новая папка 1 / 279717
.pdf![](/html/65386/468/html_9a_kwSkAUz.NgOr/htmlconvd-FM3Md11x1.jpg)
Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный педагогический университет»
Н.М. Новак
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
РАЗДЕЛ «ОБЩАЯ МЕТОДИКА»
Оренбург 2012
Рецензенты:
В.В. Попов – кандидат педагогических наук, старший преподаватель кафедры математического анализа и методики преподавания математики ОГПУ
А.Д Сафарова – кандидат педагогических наук, доцент кафедры алгебры, геометрии и истории математики ОГПУ
Новак Н.М. Методические указания и контрольная работа
по методике преподавания математики. Раздел «Общая мето-
дика»: учебно-методическое пособие для студентов физико-
математического факультета – Оренбург: издательство ОГПУ,
2012. – 28 с.
© Новак Н.М., 2012 © Издательство ОГПУ, 2012
2
Методические указания к выполнению контрольной работы
по методике преподавания математики.
Образцы решений
З а д а н и е 1 . В данной теореме выделить условие, заключение и разъяснительную часть. Сформулировать утверждения: обратное для данного, противоположное для данного, обратное для противоположного. Доказать данную теорему, а также истинность или ложность каждого сформулированного утверждения.
Р е ш е н и е . Дана теорема.
Диагонали прямоугольника равны. Чтобы легче было выделить условие и заключение теоремы, ее формулируют в виде импликации, применяя союз: «если …, то …».
Сформулируем данную теорему в форме импликации.
Если четырехугольник является прямоугольником, то диагонали четырехугольника равны.
Это утверждение содержит два предложения: условие и заключение теоремы.
Условие теоремы: А – четырехугольник является прямоугольником. Заключение теоремы: В – диагонали четырехугольника равны. Теорема рассматривается на множестве четырехугольников. В дан-
ном случае множество четырехугольников – это разъяснительная часть теоремы.
Разъяснительной частью теоремы принято считать множество объектов, на котором рассматривается теорема.
Данную теорему на языке логики можно записать следующим обра-
зом: A B .
3
![](/html/65386/468/html_9a_kwSkAUz.NgOr/htmlconvd-FM3Md14x1.jpg)
N |
|
P |
Докажем эту теорему. |
|
|||
|
|
|
Дано: MNPQ – прямоугольник. |
M |
|
Q |
Доказать: MP NQ . |
|
|||
|
|
||
|
Доказательство. Чтобы |
доказать равенство отрезков МР и NQ, |
найдем треугольники, сторонами которых они являются. Это треугольники
MNQ, NPQ, MNP, PQM. Рассмотрим MNQ и QPM . Эти треугольники равны.
MN PQ как противоположные стороны прямоугольника
MQ – общая сторона
NMQ PQM 90 как углы прямоугольника
Будем считать данную теорему прямой теоремой или прямым утверждением и сформулируем обратное, противоположное, обратное для пр о- тивоположного утверждения.
Обратное утверждение. (B A) . Если диагонали четырехугольни-
ка равны, то этот четырехугольник является прямоугольником.
Это утверждение ложно. Для доказательства достаточно привести контрпример.
N P
Диагонали равнобедренной трапеции равны, но она не является прямоугольником.
MNPQ – равнобедренная трапеция,
M Q MP NQ .
Противоположное утверждение. ( A B) . Если четырехугольник
не является прямоугольником, то диагонали четырехугольника не равны. Это утверждение ложно. Для доказательства достаточно привести
контрпример. Равнобедренная трапеция не является прямоугольником, но ее диагонали равны.
4
![](/html/65386/468/html_9a_kwSkAUz.NgOr/htmlconvd-FM3Md15x1.jpg)
Обратное противоположному утверждение. ( B A) .
Если диагонали четырехугольника не равны, то этот четырехугольник не является прямоугольником.
Докажем истинность этого утверждения методом «от противного». Пусть диагонали четырехугольника не равны. Предположим, что он является прямоугольником. По прямой теореме ( A B) сразу получается,
что диагонали данного четырехугольника равны. Это противоречит условию. Противоречие с условием получено из-за того, что мы сделали невер-
ное предположение о том, что данный четырехугольник является прямоугольником. Значит, данный четырехугольник не является прямоугольником. Что и требовалось доказать.
Выполненное нами задание еще раз подтверждает, что прямое утверждение эквивалентно обратному для противоположного:
(A B) ( B A) ; обратное утверждение эквивалентно противополож-
ному: (B A) ( A B) . В нашем случае прямое утверждение и обрат-
ное для противоположного истинны, а обратное и противоположное утверждения ложны.
Если изменить разъяснительную часть теоремы, то картина истинно-
сти может измениться.
Рассмотрим нашу теорему не на множестве четырехугольников, а на множестве параллелограммов. В этом случае все четыре утверждения будут истинными.
Прямая теорема будет формулироваться следующим образом.
Если параллелограмм является прямоугольником, то диагонали параллелограмма равны.
Это утверждение истинно.
Обратное утверждение формулируется следующим образом.
Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм яв-
5
![](/html/65386/468/html_9a_kwSkAUz.NgOr/htmlconvd-FM3Md16x1.jpg)
ляется прямоугольником.
|
Докажем истинность этого утверждения. |
||
N |
|
P |
Дано: MNPQ – параллелограмм, MP NQ . |
|
Доказать: MNPQ – прямоугольник. |
||
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Для доказательства достаточ- |
M |
|
Q |
но установить, что хотя бы один угол этого парал- |
|
|||
|
|
|
лелограмма равен 90°.
Рассмотрим треугольники MNQ и QPM. Они равны по третьему при-
знаку равенства треугольников. MN QP как противоположные стороны параллелограмма, MQ – общая сторона, MP NQ по условию. Значит,
NMQ PQM . Так как сумма углов, прилежащих к каждой стороне па-
раллелограмма, равна 180°, NMQ PQM 180 90 . MNPQ – прямо-
2
угольник.
Истинность утверждения противоположного прямому будет следовать из его эквивалентности обратному утверждению.
Таким образом, рассмотренное нами задание раскрывает роль такого понятия, как разъяснительная часть теоремы. Стоит изменить разъяснительную часть, и картина истинности может измениться.
З а д а н и е 2 . Дано некоторое утверждение. Провести относительно него рассуждения методом нисходящего анализа. Доказать данное утверждение методом синтеза.
Поясним это задание.
Понятия анализа и синтеза имеют разнообразные трактовки в окружающей нас жизни.
Мы будем понимать анализ как прием мышления, при котором от следствия переходят к причине, породившей это следствие, а синтез – как прием мышления, при котором от причины переходят к следствию, порожденному этой причиной.
6
![](/html/65386/468/html_9a_kwSkAUz.NgOr/htmlconvd-FM3Md17x1.jpg)
Сразу нужно отметить, что по отдельности эти приемы практически не используются. Они, как правило, выступают во взаимодействии, образуя единый аналитико-синтетический метод. Мы их разделяем только для того, чтобы лучше изучить.
Рассуждения методом анализа всегда начинаются с того утвержде-
ния, которое нужно доказать. Оно путем логически обоснованных шагов сводится к утверждению, которое заведомо истинно.
Поясним сказанное примером. Пусть нам дано утверждение
a b a b , где a 0 и b 0 .
2
Проведем рассуждения методом нисходящего анализа.
|
a b |
|
|
|
|
|
Предположим, что неравенство |
|
a b |
( a 0 |
и b 0 ) верно. |
||
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||
Тогда из |
|
|
|
|
|
a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
)2 0 . |
|||
ab a b 2 a b . a b 2 a b 0 . ( |
a |
|
b |
|||||||||
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последнее неравенство заведомо верно.
Хотя мы и пришли к неравенству заведомо истинному, данное неравенство еще не доказано. Дело в том, что мы получали следствия, заранее предположив, что данное неравенство верно. А ведь этот факт еще не установлен! Итак, нисходящий анализ не является методом доказательства.
Для чего же его рассматривают в математике? Он зачастую помогает найти путь доказательства. Вот и сейчас мы пришли к истинному неравенству
(a
b)2 0 , которое можно принять за исходное, чтобы доказать дан-
ное неравенство. Доказательство нередко проводят методом синтеза. Сущность рассуждения синтетическим методом состоит в том, что
оно всегда начинается с заведомо истинного утверждения. Это утверждение путем логически обоснованных шагов преобразуется в доказываемое утверждение.
7
![](/html/65386/468/html_9a_kwSkAUz.NgOr/htmlconvd-FM3Md18x1.jpg)
|
Докажем данное неравенство методом синтеза. |
|||
|
Заведомо известно, что ( a |
b)2 0 , где a 0 и b 0 . Теперь бу- |
||
дем получать следствия из заведомо верных неравенств. |
||||
|
( a b)2 0 |
. a 2 a b b 0. a b 2 ab . a b ab , |
||
|
|
|
|
2 |
ч. т. д. |
|
|
|
|
|
Рассуждения, проведенные методом синтеза, являются математиче- |
|||
ским доказательством. Трудность применения синтеза заключается в том, |
||||
что подчас довольно трудно найти то истинное утверждение, с которого |
||||
следует начать доказательство. Но здесь приходит на помощь нисходящий |
||||
анализ. |
|
|
|
|
|
Замечание. Кроме нисходящего анализа при обучении математике |
|||
используется еще метод восходящего анализа. Восходящий анализ являет- |
||||
ся методом доказательства. Чаще всего он используется в ходе объяснения |
||||
учителем нового материала. |
|
|||
|
Рассуждения методом восходящего анализа начинаются, как и всегда |
|||
при анализе, с того утверждения, которое требуется доказать. При этом |
||||
доказательство состоит из отдельных шагов. На каждом шаге формулиру- |
||||
ется не только доказываемое утверждение, но и утверждение достаточное |
||||
для установления его истинности. Восходящий анализ заканчивается то- |
||||
гда, когда в качестве достаточного условия будет взято заведомо истинное |
||||
утверждение. |
|
|
||
|
Приведем пример. |
|
||
|
Теорема. Доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны. |
|||
|
В |
|
Дано: ABCD – ромб. |
|
|
|
|
Доказать: AC BD . |
|
А |
О |
С |
Доказательство. |
|
|
|
Первый шаг. Для того, чтобы доказать, что AC BD , |
||
|
|
|
||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
достаточно доказать, что ВО – высота ABC .
Второй шаг. Для того, чтобы доказать, что ВО – высота ABC , достаточно доказать, что ABC – равнобедренный и ВО – медиана ABC .
Утверждения о том, что ABC – равнобедренный и ВО – медианаABC , заведомо истинны. AB BC , так как ABCD – ромб; AO OC , так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Значит, диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Восходящий анализ, как и другие методы доказательства, не универсален. Его основным недостатком является некоторая громоздкость. Зато это компенсируется целым рядом достоинств:
а) восходящий анализ формирует умение осуществлять поиск решения задачи;
б) способствует развитию логического мышления, так как вынуждает устанавливать причинно-следственные связи;
в) схема его применения довольно проста.
З а д а н и е 3 . Разработать методику введения определения понятия конкретно-индуктивным или абстрактно-дедуктивным методом.
1. Введение понятия конкретно-индуктивным методом.
При введении математических понятий в школьном обучении полезно руководствоваться следующей схемой, которая, однако, должна быть динамичной, сокращаться или дополняться в зависимости от объективно меняющихся условий обучения (состава класса, характера математических понятий и т. п.). В качестве примера рассмотрим методическую схему поэтапного изучения понятия «параллельные прямые». Представим это в виде таблицы:
9
|
|
|
Психологиче- |
Конкретное словесное или |
|||
Этапы процесса обучения |
ские ступени |
символическое выражение |
|||||
формирова- |
данного понятия; конкретные |
||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
ния понятия |
модели данного понятия |
|||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
1-й шаг. Отыскание |
Восприятие |
Строительство |
железной |
||||
ярких практических при- |
и ощущение |
дороги |
на прямых |
участках |
|||
меров, показывающих це- |
|
пути (укладка рельсов); конту- |
|||||
лесообразность изучения |
|
ры проема двери |
|
||||
этого понятия |
|
|
|
|
|
||
2-й шаг. Выявление |
Переход от |
1) Горизонтальное распо- |
|||||
различных существенных |
восприятия |
ложение прямых (несуще- |
|||||
и несущественных при- |
к представ- |
ственный признак) |
|
||||
знаков |
данного |
понятия |
лению |
2) Равноотстоящие друг от |
|||
(учащиеся), введение тер- |
|
друга (существенный признак) |
|||||
мина, |
обозначающего |
|
3) Прямые, не имеющие |
||||
данное понятие (учитель) |
|
общих |
точек (существенный |
||||
|
|
|
|
признак) |
|
||
|
|
|
|
4) |
Прямые бесконечно |
||
|
|
|
|
продолжаются в обе стороны |
|||
|
|
|
|
(несущественный признак) |
|||
Рассмотрение |
особых |
|
Отмечается, что совпада- |
||||
случаев, если они имеют- |
|
ющие прямые также находятся |
|||||
ся |
|
|
|
друг от друга на одинаковом |
|||
|
|
|
|
(равном нулю) расстоянии |
|||
|
|
|
|
«Параллельный» – от гре- |
|||
Мотивировка термина, |
|
ческого слова parallelos, озна- |
|||||
обозначающего |
данное |
|
чающего «рядом идущий» |
||||
понятие (учитель) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
10