книги / Механика разрушения вязко-упругих тел
..pdfОтметим, что точно такое же соотношение можно получить с помощью принципа Вольтерра. Таким образом, в рассмотрен ном случае принцип Вольтерра справедлив при любом характе ре изменения длины трещины. Второй, наиболее распространен ный случай, когда a (t)= L (t), в частности, соответствует одно
родному растяжению пластины «на бесконечности». Здесь, ана логично предыдущему, можно показать, что справедливо ра венство
Ш |
utj |
- т |
- ш |
только при монотонном росте L(t).
Нормальные перемещения берегов трещины определяются из соотношения (7.8) при a = L (t) . Отметим, что к соотношению
(7.8) приводим в рассматриваемом случае с помощью принципа Вольтерра.
Третий из указанных случаев a (t) = l( t) аналогичен преды
дущему и для него справедливы критерии применимости прин ципа Вольтерра, изложенные выше.
Итак, можно констатировать, что для концепции d=const принцип Вольтерра выполняется всегда, если трещина растет монотонно со временем, а для некоторых типов внешних нагру зок, когда a(7)=const, этот принцип справедлив для любого за кона изменения длины трещины.
Концепция <?=const. В этом случае длина концевой области может изменяться со временем. Согласно доказательству, приве денному выше, операции интегрирования по области [0, d(t)] и
действия оператора 71* коммутативны только в случае монотон ного роста концевой зоны. Условия коммутативности указанных операций для второго интегрального члена выражения (7.2) бу дут точно такими же, как и в предыдущем случае. Таким обра зом, для выполнения коммутативности всех указанных опера ций, а следовательно, и для применимости принципа Вольтерра при исследовании роста трещин в рамках концепции a= const необходимо выполнение дополнительного условия монотонного роста концевой зоньпнесли все эти условия выполнены, то нор мальные перемещения берегов трещины также определяются формулой (7.8), где нужно положить a(t) = а .
Нормальные напряжения ау (х, 0, t) |
на продолжении трещи |
ны определяются соотношением (3.21) |
и будут точно такими же, |
как в упругом случае. |
|
Условие конечности напряжений на концах разреза при х = =d~L(t) в рассматриваемом случае имеет вид
Нш |
<7o(l. f) V L 2(f) — i;2 |
<£ = 0. |
(7.10) |
х-*т |
j |
|
|
- а д
Условие плавности смыкания берегов трещины (5.20) с учетом коммутируемости операций дифференцирования по х и действия оператора Т* в общем случае запишется так:
lim |
7 |
(7Л1> |
*-L(0 |
|
- m
Как следует из (7.11), условие плавности смыкания берегов, трещины совпадает с условием конечности напряжений (7.10) только в случае коммутативности операций интегрирования и действия оператора Г*, что эквивалентно принципу Вольтерра. Заметим, что в упругом случае такое совпадение имеет местовсегда.
В качестве иллюстрации критериев применимости принципа Вольтерра рассмотрим макроскопическую трещину (d(t)<gil(t))„ Если CJQ(!*, /) =qo(t), то из условия (7.11) для концепции
о = const следует
d{t) = ql (O jarcsin -^]2- ^ - |
(7.12) |
||
Если - щ -^s 1» выра7кение (7.12) преобразуется к виду |
|
||
d(t) |
a*Q2o(0 |
(7.13) |
|
8а2/ (/) |
|||
|
|
Из условия (7.12) следует, что при однородном растяжении плос кости усилиями cjo(t) = р о = const размер концевой зоны растет* если растет l(t), следовательно, в этом случае справедливо при
менение принципа Вольтерра.
Приведем пример, когда принцип Вольтерра неприменим. Пусть a=const и q0(t) = ^ 0=const, тогда согласно (7.13) d(t)
убывает с ростом трещины, следовательно, нет^коммутируемости операций интегрирования и действия оператора 7* в соотно шении (7.6).
Выведем, основываясь на соотношениях (7.6) и (7.8), необ ходимую нам в дальнейшем формулу для определения переме щений берегов трещины под действием постоянного давления ро.
В этом случае, |
положив в |
соотношения (7.8) |
и (7.11) |
<7о(|, t ) = p 0 и d ( t) = l( t) , имеем |
|
|
|
»(*. 0, t) = Тт[(а + |
р0) Ф (*, I (0)], |
(7.14) |
|
где |
/ (t)) Г0 (*, I (0) - ( х + 1 (t)) Г0 (X, - |
1(<)). |
|
Ф (X, I (*)) = (X - |
В заключение отметим, что полученные здесь критерии при менимости принципа Вольтерра справедливы и для других бо йчее сложных случаев, таких, как трехмерные и анизотропные за дачи о распространении трещин в однородных вязко-упругих те лах, а также плоские задачи для областей более сложного вида при условии, что для указанных задач существуют функции Грина.
При наличии функций Грина доказательство применимости принципа Вольтерра имеет везде одну и ту же структуру, посколь ку центральным местом этого доказательства является установ ление критериев коммутативности действия оператора наследст венной упругости (агрегата операторов в более сложных слу чаях) и операции интегрирования по областям приложения внешней нагрузки.
К этому выводу можно прийти, основываясь на результатах работы [127], в которой с общих позиций строго обоснованы критерии применимости принципа Вольтерра для ряда задач те ории вязкоупругости с изменяющимися со временем граничны ми условиями.
Далее в работе будем исследовать задачи о распространении трещин в вязко-упругих телах, когда выполнены условия, обес печивающие применение принципа Вольтерра.
§ 8. ИНКУБАЦИОННЫЙ ПЕРИОД РАЗВИТИЯ ТРЕЩИНЫ
Развитие трещины в вязко-упругом теле при докритических нагрузках в общем случае можно условно разбить на три периода [75, 125]: инкубационный (подготовительный), пе риод медленного квазистатического роста трещины и период ди намического развития трещины.
Во время инкубационного периода происходит раскрытие бе регов трещины без ее роста (при возрастающих нагрузках р(х, t)
возможно подрастание концевой области).
Согласно принципу Вольтерра, изложенному в предыдущем разделе, уравнение контура трещины в однородной вязко-упру гой пластине можно во многих случаях представить так:
а(х,1) = Тф0(х,Г), |
(8.1) |
где Г* имеет вид (3.18), а 6о(лг, t) — функция силовых и геомет
рических параметров.
Для прямолинейной изолированной трещины в бесконечной пластине, находящейся под действием самоуравновешенных на пряжений р(х, t), эта функция согласно (3.20) имеет вид
|
|
L |
|
L = l + d, |
|
М * .0 = |
- |
J <7(U)r0(L ,* ,g K , |
(8.2) |
||
где |
|
|
|
|
|
я ( * f ) e |
|p (*•*)• |
\Х\ < 1 |
И), |
|
|
чк ’ |
’ |
|p ( x , t ) - 0 (t), |
l ( t ) ^ \ x \ ^ L ( t ) . |
|
Рост трещины, согласно бк-модели [82, 105], начнется, когда раскрытие берегов трещины при д;=/0 (/0 — начальная длина трещины) достигнет предельного значения [85, 193]
S ( M ) U = 6K. |
(8.3) |
Тогда, полагая, что внешняя нагрузка приложена мгновен но 1 в момент t = 0, определим длительность инкубационного пе
риода |
из условия (8.3) с учетом соотношений |
(5.41) |
и (8.1) в |
виде |
^ |
|
|
|
a (0 б, (/«) + \ R (**, т) б, (р (т), /0) dx = |
fiK. |
(8.4) |
Далее будем рассматривать операторы наследственной тео рии упругости разностного типа
|
g(0 + [ R{t — i)g{i)dx |
(8.5) |
|
о |
|
В этом случае уравнение (8.4) примет форму |
|
|
t• |
(8.6) |
|
б0 (/0) + j |
R (/* —т) бо (р(т). /0) dx = То |
|
|
бк |
|
6 |
|
|
В случае, когда внешняя нагрузка не изменяется со време нем, т. е. р(х, t) =р(х)у уравнение (8.6) упрощается и имеет вид
о
1 Под термином «мгновенно» понимаем приложение нагрузки за время, значительно меньшее времени релаксации рассматриваемого вязко-упругого тела.
где 6(/) = Г 0бо(/)— упругое раскрытие берегов трещины при
х= 1.
Отметим, что, по-видимому, впервые для б,«-модели уравне ние, определяющее величину инкубационного периода, было по лучено в [124]. Здесь была найдена простая аналитическая за висимость, определяющая t* для материала, деформирование ко
торого описывается Эа*-операторами Ю. Н. Работнова [111].
Вработе [74] соотношение (8.7) было получено для вязкоупругого аналога задачи Гриффитса.
Как известно (см. § 2), различают два типа вязко-упругих материалов. Во-первых, материалы, кривые ползучести которых имеют горизонтальную асимптоту*, и материалы с квазивязким течением (тела типа Максвелла).
Всвязи с этим отметим, что если при монотонно возрастаю щей нагрузке решение уравнений (8.4) и (8.6) всегда существу ет, то иная ситуация будет, когда внешняя нагрузка не изменя ется со временем. В этом случае решение уравнения (8.7) будет существовать для произвольной нагрузки только для вязко-уп ругих тел типа Максвелла. Следовательно, разрушение этих вяз ко-упругих тел может иметь место при сколько угодно малых на грузках.
Пусть внешняя нагрузка представима в форме pf(xt у), где р — параметр нагружения, имеющий размерность напряжения, f(x, У) — некоторая функция координат. Тогда для вязко-упру
гих тел первого типа решение уравнения (8.7) существует то лько для параметров р, больших некоторого предела рб-
Другими словами, при р<рб величина 6(x=lo, t) не может
достичь бк даже за сколько угодно большое время и роста тре щины не происходит. Будем, следуя [73], называть рб безопас
ными нагрузками.
В общем случае величины безопасных нагрузок определяют ся из соотношения 21
«к |
_Т<о |
(8 .8) |
|
6(/,Рб) |
“ г 0 ’ |
||
|
где Too и То — соответственно длительное (t=oo) и мгновенное
(/= 0 ) значения функции Г* - 1.
1 Деформирование таких вязко-упругих тел описывается ограниченными интегральными операторами [113], к примеру Эа -операторами [111].
2 Для вязко-упругого аналога задачи Гриффитса при концепции а = const подобное соотношение получено в работе [75].
Выражение (8.8) для вязко-упругой пластины можно пред ставить в виде
К |
А . |
(8.9) |
|
б(/.Ре) |
|||
|
|
где £(ь Еоо — мгновенный и длительный модули упругости.
Для макроскопических трещин (d<C/), вершина которых уда лена на значительное расстояние от границ тела, упругое рас крытие берегов трещины при x = l( t) можно выразить через ко
эффициент интенсивности напряжений Ki |
в виде [141] |
|
||
|
^2 |
(концепция о = |
|
|
6 (/ (/)) = |
— |
const), |
(8.10) |
|
б (/ (t)) = |
| / |
Ц- (концепция |
d = const). |
(8.11) |
Тогда коэффициенты интенсивности напряжений, соответст вующие безопасной нагрузке iCi6, определяются из (8.9) соот ветственно по формулам
|
о = const, |
Л? |
(8. 12) |
-jr~, d = const, |
|
|
^CO |
где Ki* — критическое значение коэффициента интенсивности
напряжений, соответствующее критическому значению парамет ра нагрузки р*, которая вызывает рост трещины в теле с мгно венными характеристиками.
В большинстве случаев Кг можно представить в виде
К, = Р/('.Ч*). |
(8-13) |
где т|а— некоторые геометрические параметры.
Тогда для первой и второй концепций соответственно имеем
o=const’ |
<8л4> |
^Рб = ^00 I d = const. |
(8.15) |
Отметим, что для вязко-упругих тел, деформирование котоых описывается ограниченными интегральными операторами ?112], существует безопасный размер трещины /б, такой, что
при /^ /б трещина не развивается.
Эта безопасная длина определяется в общем случае из урав нения (8.8), а для вязко-упругой пластины — выражением (8.9),. которые в данном случае принимают соответственно вид
6К _
6 ( ‘ б. Р ) ~ Т ,
М а т е р и а л |
Т е м п е р а |
|
т у р а , °С |
||
|
Медь |
145 |
Сталь |
454 |
Эпоксидная смола ЭД-6 |
20 |
Полиуретан Solithane |
20 |
50/50 |
|
’ |
\ |
Ев |
|
(8.16> |
6 (/6. р) — £ ю |
|
|||
|
|
|
Та б л и ц а 2 |
|
|
П а р а м е т р ы |
|
!.Рб/Р* |
|
а |
JI. г“ - 1 |
ra - l |
К о н ц еп ц и я К о н ц еп ц и и |
|
a = c o n s t |
co n st |
|||
0,7 |
0,5 |
0,36 |
0,65 |
0,42 |
0,7 |
0,726 |
0,128 |
0,39 |
0,15 |
0,5 |
0,052 |
0,12 |
0,84 |
0,7 |
0 |
13,55 |
2,7 |
0,41 |
0,17 |
В том случае, если вязко-упругое тело с трещиной подверже но равномерному одноосному растяжению, ориентированному нормально берегам трещины (аналог задачи Гриффитса), то для концепции a = co n st безопасная нагрузка определится из со отношения
(8-17>
а для вязко-упругой пластины соответственно
(8.18)
В качестве примера исследуем случай, когда ядром интеграль ного оператора (8.5) является дробно-экспоненциальная функ ция [111]
R ( t - x ) = } 3 a ( P , t - T ) = X ( t - т Г а V |
, (8.19) |
л=О |
|
где а, р, %— реологические параметры материала, определяемые
из эксперимента; Г — гамма-функция Эйлера.
Отметим, что в этом случае |
= 1 + -g-. В табл. 2 приведе- |
ны значения — для некоторых |
конструкционных вязко-упругих |
р* |
|
материалов. |
|
Следует подчеркнуть, что значение величин рб и /б имеет практическую ценность, так как позволяет с помощью соответст вующего подбора конструкционных материалов (или их реоло гических свойств) уменьшить докритический рост образовавших ся трещин.
На рис. 30 приведены значения инкубационного периода t*
в зависимости от отношения р для материалов с реологически
ми параметрами, приведен |
|
||
ными в табл. 2 (кривые 1, р/рс_____ |
' |
||
2, 3 соответствуют |
первой, * |
||
второй и |
третьей |
строкам |
|
таблицы). |
величины |
про |
|
Расчет |
|
водился по формуле
и
(8 .20)
которая справедлива для концепции а = const и сле
дует из соотношения (8.7) с учетом формул (8.11) и (8.13), с помощью таблиц для дробно-экспоненциаль ных функций [112].
§ 9. НАЧАЛЬНАЯ
СТАДИЯ
РАЗВИТИЯ
ТРЕЩИНЫ
После инкубаци онного периода при докри-
тических внешних нагрузках начинается медленный рост тре щины, причем если рост устойчивых 1 трещин носит при посто янных нагрузках затухающий характер, то развитие неустой чивых трещин происходит с возрастающей скоростью вплоть до достижения трещиной критической длины /= /* , когда начинает ся ее быстрый динамический рост. Как следует из многих экс периментальных данных [1, 10, 16], ускорение движущейся
1 Термины «устойчивый» и «неустойчивый» относятся к характеру раз вития трещины в упругом теле (см. § 4).
трещины во время этого периода очень мало и трещина основ ную часть этого периода проходит со скоростью, близкой к по стоянной. Это позволяет нам исследовать задачу в квазистатической постановке, т. е. полагать движение настолько медлен ным, что можно пренебречь инерционными членами в уравне ниях движения и использовать в дальнейшем уравнения стати ки упруго-наследственных тел в форме (3.1).
Будем далее условно разделять этот период на два этапа. Во время первого этапа (назовем его переходным) трещина начи нает свое движение и проходит расстояние, равное начальному размеру концевой зоны. После этого начинается второй этап, во время которого неустойчивые трещины медленно подрастают до критического размера (когда начинается их спонтанный рост), а развитие устойчивых трещин носит затухающий характер, и, если внешняя нагрузка постоянна, их развитие со временем пре кращается.
Уравнения, описывающие рост трещины во время этих двух этапов, разнятся между собой, поэтому целесообразно их иссле довать раздельно.
Остановимся вначале на исследовании первого (переходно го) этапа развития трещины. Этот этап начинается при /= /* (конец инкубационного периода) и длится до tu когда длина трещины достигнет величины li= l0-{-d.
Будем полагать, что в каждый момент времени для расту щей трещины справедливо условие (8.3), которое в данном слу
чае примет вид |
|
8 (х91) \x=nt) = 8К. |
(9.1) |
Тогда согласно соотношениям (9.1) и (8.5) уравнение роста трещины при действии медленно возрастающих или постоянных докритических нагрузок p(t) запишется так1:
бк = 6, [/ (0] + j R ( t - x ) б [р (т), I (t), /0] dx +
^о
+ J tftf - T )8 [p (т), / (0, 1(т)] dx. |
(9.2) |
При p(/) = p = const уравнение (9.2) преобразуется к виду t
(9.3)
1 Уравнение, описывающее рост трещины на начальном этапе, было по лучено в работе [125].
Определим длительность переходного периода AU=U—U. Поскольку в рассматриваемом случае 6[l(ti)> /0] = 0 , то из
(9.1) получаем уравнение для определения величйны Д74 в виде
A/t |
(9.4) |
бк = s ( У + J R(Att - в ) 6(/lf /(0 + Q)do. |
О
Рассмотрим случай, когда внешняя нагрузка не изменяется со временем. Сделаем приближенную оценку величины Д*1в В связи с тем, что 6(/ь /(0 + ^*)) в интервале О ^ 0^ Д ^1 есть мед
ленно изменяющаяся функция, то для некоторых типов интег ральных операторов' справедлива следующая аппроксимация 4:
Ati |
а;» |
J R (Д/i — 0) 6 (llt l (0 + |
Q) dQttk (a) 6 (/,) j R (Мг— 0) d0, (9.5) |
6 |
oJ |
где k(a) — корректирующий множитель, причем
В этом случае уравнение (9.4) преобразуется к виду
б |
А*1 |
(9.6) |
= 1 + A (a )jtf(0 )d 0 . |
||
|
О |
|
Для макроскопических трещин d<C/o можно считать |
||
тогда при к(а) = 1 уравнение |
(9.6) совпадает |
с уравнением |
(8.7), определяющим инкубационный период, т. е. t* и Д^ в этом
случае равны.
В общем случае можно констатировать, что для макроскопи ческих трещин величины и Д/i будут одного порядка.
Оценим величину Д^1 для немалых концевых областей. Рас
смотрим в рамках концепции a=const кинетику роста трещины под действием гидростатического давления р, приложенного к ее берегам. В этом случае согласно (7.14) уравнение (9.6) примет
вид
Aft
Jt = i + ft(a) J/?(0)d0. |
(9.7) |
О |
|
1. Рассмотрим интегральный оператор с экспоненциальным |
|
ядром |
|
R ( t - x ) = Ke4ii,- x\ |
(9.8) |
где Я и р — реологические параметры материала. |
|
1 Обоснование такой аппроксимации и значения k(a) для различных опе
раторов приведено в третьей главе.