|
Пример расчета |
|
Дана цепь (рис. 4.64) с параметрами |
|
E = 200 B, |
|
|
|
R1 = R3 = R5 = 100 Ом, |
|
|
R2 = R4 =400 Oм, |
|
|
|
L = 0,2 Гн. |
|
|
|
R3 |
|
R4 |
i4 |
Е |
L |
|
|
|
К1 |
R2 |
|
|
|
R5 |
К2 |
R1 |
|
|
|
|
|
Рис. 4.64 |
|
|
Определить закон изменения тока i4(t) в переходном режиме при условии, что срабатывание коммутаторов происходит в моменты времени:
1)K1 в t = 0,
2)K2 в t = 2τ1, где τ1 – постоянная времени цепи, образованной
врезультате первой коммутации.
|
|
Решение |
|
|
|
|
Первая коммутация |
|
|
|
Расчет |
докоммутацион- |
|
i2(0– ) |
|
ной цепи (рис. 4.65). Следует |
R3 |
R4 |
помнить, что индуктивность в це- |
|
|
пях с источниками постоянных |
|
R2 |
|
E |
|
воздействий представляет собой |
i3(0– ) |
|
R5 |
короткозамкнутый участок. |
|
|
1. Запишем правила (зако- |
|
|
|
|
Рис. 4.65 |
|
ны) коммутации: |
|
|
|
|
|
|
|
|
i (0− ) = i (0+ ) = i (0− ) , |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
L |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
i (0− ) = i |
|
|
|
R4 + R5 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
3 R |
+ R + R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
i (0− ) = |
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 (R4 + R5 ) |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
R2 + R4 + R5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
400 |
(400 +100) |
|
|
|
i3 |
(0− ) = 200 100 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 200 (100 + 222) = 0,621 А, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
400 |
+ 400 |
|
+100 |
|
|
|
|
iL (0− ) = 0,621 |
|
400 +100 |
= 0,345 А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
400 + 400 +100 |
|
|
|
Расчетпослекоммутационнойцепи
2. Определение корней характеристического уравнения 2.1. Составим характеристическое уравнение по методу входно-
го сопротивления (рис. 4.66):
Z ( p) = pL + R |
|
+ ( R1 + R3 )( R4 + R5 ) = 0 , |
|
|
2 |
|
R1 + R3 + R4 + R5 |
|
|
|
|
( R |
|
|
|
+ |
+ R )( R |
+ R ) |
|
|
p = −1 L R2 |
|
1 |
3 4 |
5 |
= |
|
|
|
|
|
R1 + R3 + R4 + R5 |
|
|
|
|
|
|
(100 +100)(400 |
+100) |
|
с−1 , |
= −1 0, 2 400 + |
|
|
|
|
|
= −2714,3 |
|
|
|
|
|
|
|
100 +100 + 400 |
+100 |
|
|
p = −2714 с−1 ,
τ1 = −1 p = +0,386 10−3 c = 0,386 мс.
2.2. Проверим правильность полученных результатов методом, основанным на определении постоянной времени цепи.
|
R3 |
R4 |
|
pL |
|
|
|
R2 |
R5 |
|
R1 |
|
|
Рис. 4.66 |
|
Для индуктивной цепи первого порядка τ = L/RЭ, где RЭ – эквивалентное сопротивление пассивной цепи, полученной из рассматриваемой путем удаления источников, относительно зажимов реактивного элемента (в нашем случае индуктивности). Правило удаления источников: ветви с источниками тока обрываются, источники напряжения замыкаются накоротко.
В |
нашем |
случае |
пассивная |
цепь имеет вид (см. рис. 4.67): |
R4 |
|
|
+ R3 )(R4 |
+ R5 ) = |
R = R + ( R1 |
Э |
2 |
R1 |
+ R3 + R4 |
+ R5 |
R5 |
|
|
|
|
|
= 400 + 200 500 = 542,857 Ом, |
|
|
200 +500 |
|
τ = L/RЭ = 0,2/542,857 = 0,368 мc.
Следовательно, p = –1/ τ = –1/0,368 = –2714,286 c -1.
3. Запишем полное решение в виде суммы принужденной и свободной составляющей:
i4 (t ) = i4пр +i4св = i4пр + A1e−2714t .
4. Расчет принужденной составляющей.
Цепь в принужденном режиме будет иметь вид, представленный на рис. 4.68.
|
i3 |
|
i4пр = i3пр |
|
R2 |
, |
R |
|
R2 + R4 + R5 |
3 |
пр |
R4 |
i |
|
|
|
4пр |
|
|
|
E |
R2 |
|
i3пр = |
|
E |
. |
|
|
|
R1 |
|
R5 |
R1 |
+ R 3 |
+ R2 (R4 + R5 ) |
|
|
|
|
|
R2 + R4 + R5 |
|
Рис. 4.68 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
400(400 +100) |
|
|
|
i3пр |
= 200 / 100 |
+100 + |
|
|
= 200 / 422 |
= 0, 474 |
А, |
|
|
|
|
|
400 + 400 +100 |
|
|
|
i |
= 0, 474 400 |
(400 + 400 +100) = 0, 211 А, |
|
|
4пр |
|
|
|
|
|
|
|
i4пр |
= 0, 211 А. |
|
|
|
|
|
|
|
5. Расчет свободной составляющей.
Схема замещения в момент времени 0+ представлена на рис. 4.69, а,
гдеJL1 = iL(0–) = 0,345 A.
Определим ток i4(0+) методом наложения. Посхеме (рис. 4.69, б)
|
iE (0+ ) = |
|
|
Е |
= 200 / (100 +100 + 400 +100) = |
|
R1 |
+ R3 |
+ R4 + R5 |
|
4 |
|
= 200 / 700 = 0, 286 A.
По схеме (рис. 4.69, в)
|
iJ (0+ ) = J L1 |
|
R1 + R3 |
|
. |
|
|
R1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
+ R3 + R4 + R5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J L1 = 0,345 А, |
|
|
|
iJ (0+ ) = 0,345 |
|
100 +100 |
= 0,0986 |
А . |
|
|
|
|
|
+100 + 400 +100 |
4 |
100 |
|
|
|
Полный ток
i4 = i4E −i4J = 0, 286 −0,0986 = 0,1874 А.
Таким образом,
i4 (0+ ) = 0,1874 А.
Определим постоянную интегрирования:
i4(0+) = 0,211+ A1 = 0,1874; A1 = – 0,0236.
Таким образом,
i4(t) = 0,211 – 0,0236 e–2714 t
на промежутке t = (0+, tk2), где t = 0+ – момент первой коммутации.
Вторая коммутация
Для расчета переходных процессов в цепи после второй коммутации введем дополнительную переменную t1 = t – 2τ1.
Расчет докоммутационной цепи
1. Определим независимые начальные условия для второй коммутации (рис. 4.70).
iL (t′ = 0− ) = iL (t′ = 0+ ) = iL (2τ1 ) .
Определим закон изменения iL(t) после первой коммутации (см. расчет первой коммутации):
iL (t ) = iLпр +iLсв ,
Рис. 4.70
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iLпр = i3пр |
|
R4 + R5 |
, |
|
R |
+ R |
+ R |
|
|
|
2 |
4 |
5 |
|
|
|
i3пр |
= 0, 474 А, |
|
i |
= 0, 474 |
400 +100 |
|
= 0, 263 А. |
|
|
L пр |
400 |
+ 400 +100 |
|
|
|
|
|
С помощью правил коммутации определим постоянную интегрирования:
iL (0+ ) = 0, 263 + Α2 = iL (0− ) = 0,345 А , 0,263 + A2 = 0,345, A2 = 0,082.
Следовательно,
iL (t) = 0, 263 + 0,082e−2714t .
Для второй коммутации
iL (0− ) = iL (2τ1 ) = 0,263 + 0,082e −2714 0 ,368 2 10−3 = 0,293 А = iL (0+ ) .
Расчет послекоммутационной цепи
2. Определение корней характеристического уравнения Составим характеристическое уравнение методом входного
сопротивления (рис. 4.71):
Z ( p) = pL + R + |
R4 ( R1 + R3 ) |
= 0 , |
|
|
|
2 |
|
|
R4 + R1 + R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
( R + R ) |
|
|
p = −1/ L R2 |
+ |
|
4 |
1 |
3 |
= |
|
|
R4 |
|
|
|
|
|
|
+ R1 + R3 |
|
|
|
|
|
400(100 |
+100) |
|
|
= −1/ 0, 2 400 + |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
400 +100 +100 |
|
= −2667 с-1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ2 = −1/ p = 0,375 10−3 мс.
3.Запишем полное решение:
i4 (t1 ) =i4пр + А2е-2667t1 .
4.Расчет принужденной составляющей (рис. 4.72):
i4пр =i3пр R2 R+2 R4 ,
|
|
i3пр = |
|
|
Е |
|
|
|
, |
|
|
|
|
R |
|
+ R + |
R2 R4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
R2 + R4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
400 400 |
|
|
|
|
i3пр = 200 / 100 +100 + |
|
|
|
|
= 200 / 400 = 0,5 А, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
400 + 400 |
|
|
|
|
i |
|
= |
0,5 |
|
|
400 |
|
= 0, 25 |
А, i |
|
= 0, 25 А. |
пр |
|
|
|
|
|
пр |
4 |
|
400 + 400 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Расчет свободной составляю- |
|
R3 |
JL2 |
щей. Схема замещения в t1 = 0+ для вто- |
|
рой коммутации имеет вид (рис. 4.73), на |
|
|
|
E |
R4 |
которой величина задающего тока ис- |
|
|
R2 |
точника тока |
|
R1 |
J L 2 =iL (tk 2 ) =iL (2τ1 ) = 0, 293 А. |
|
|
|
Рис. 4.73 |
Определим ток i4(0+) методом на- |
|
ложения (рис. 4.74). |
Составляющая от действия источника ЭДС (см. рис. 4.74, а):
iE (0+ ) = |
|
E |
|
= 200 / (100 +100 + 400) = 0,333 A . |
R1 |
+ R3 |
|
4 |
+ R4 |
Составляющая от действия источника тока (см. рис. 4.74, б):
iJ (0+ ) = J L 2 |
|
R1 + R3 |
= 0, 293 |
100 +100 |
= 0, 0977 A. |
R1 |
+ R3 + R4 |
|
4 |
100 +100 + 400 |
|
|
|
|
|
|
Полный ток
i4 |
(0+ ) = iE −iJ = 0,333 −0, 0977 = 0, 2353 А . |
|
4 |
4 |
Определим постоянную интегрирования:
i4(0+) = 0,25 + A3 = 0,2353; A3 = – 0,0147.
Таким образом,
i4 (t′) = 0,25 −0,0147e−2667t′
для промежутка времени t′ = (2τ1; +∞) .
Итак, закон изменения тока после срабатывания первого коммутатора
i4(t)1 = 0,211 – 0,0236e –2714 t,
после срабатывания второго коммутатора
i4(t1)2 = 0,25 – 0,0147e –2667 t′, где t1 = t – 2 τ1.
На рис. 4.75 изображен график изменения i4(t) в переходных режимах после срабатывания первого и второго коммутаторов.
209
4.5. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Классический метод расчета обладает несомненными достоинствами, обусловленными физической наглядностью связей между величинами, которые выражаются дифференциальными уравнениями Кирхгофа, и сравнительной простотой их совместного решения. Часто, однако, задачи при решении классическим методом приводят к громоздким выкладкам, связанным, главным образом, с отысканием постоянных интегрирования, причем эта процедура усложняется с ростом порядка цепи.
Отмеченные недостатки отсутствуют при применении операторного метода, в соответствии с которым уравнения переходного процесса в линейных цепях, представляющие собой линейные диф-
210