книги / Автоматизация научных исследований
..pdf4. Критерий Д-оптимальности. Этот критерий требует такого
расположения точек в области Qt , при котором определитель матри
цы С = (F'F)~' минимален (или определитель матрицы М = F1F
максимален). £>-оптимальный план минимизирует объем эллипсоида рассеяния оценок коэффициентов модели исследуемого объекта.
5. Критерий G-оптимальности. Критерий G-оптимальности тре бует такого расположения точек в области Qt , при котором достигает ся наименьшая величина максимальной дисперсии оценки зависимой переменной в области Qv В отличие от критериев А- и D-опти- мальности, связанных с точностью нахождения коэффициентов моде ли, критерий G-оптимальности требует максимальной точности оценки зависимой переменной.
Все перечисленные критерии связаны с предположением, что вид модели исследуемого объекта известен. Однако на практике часто возникает такая ситуация, когда исследователь не знает истинного вида модели. В таком случае эксперимент обычно сначала планирует ся, исходя из простейшего предположения о линейности модели от носительно варьируемых переменных. После проведения опытов про веряется адекватность линейной модели. Если модель адекватна, экс перимент заканчивают. В противном случае переходят к построению модели более высокого порядка (например, к построению квадратич ной модели) и так далее до получения адекватной модели.
На практике часто полезно стремиться к тому, чтобы один и тот же план удовлетворял одновременно ряду критериев, например, был бы D-оптимальным и ортогональным и т.п. В общем случае такого сочетания свойств не наблюдается, однако иногда в одном плане со четается ряд полезных свойств. Например, легко убедиться в справед ливости следующего утверждения: ортогональный план для линейной модели (5.3) одновременно является и ротатабельным, если
(FrF)~' = С = g l, g - константа, I - единичная матрица.
В самом деле, согласно (6.20) дисперсия оценки зависимой пере менной в точке плана х для таких планов определяется как
4 .0 = / Т|W fJ f y■'fix )* 2 = go2(i + i x?) •
Если центр плана находится в точке х° = 0, то величина <jju) за
висит лишь от расстояния точки х до центра плана.
Выбор критерия оптимальности плана осуществляется, исходя из конкретного содержания решаемой задачи. Часто бывает нецелесооб разно отказываться от таких полезных свойств планов, как ортого нальность или ротатабельность. Действительно, потеря ортогонально сти приводит к существенным усложнениям вычислений, в то время как повышение точности за счет перехода к неортогональному плану может оказаться незначительным.
6.4.Планы для моделей, описываемых полиномами первого порядка
6.4.1. Вид модели
Здесь будут рассмотрены планы, предназначенные для построе ния линейных моделей исследуемого объекта вида
у(а, x) = a0+axxi +... +апхп. (6.29) Обозначим через F матрицу
F = (/,X), |
(6.30) |
|
где |
|
|
/ = (U,...,1)T, |
(6.31) |
|
получим для информационной матрицы плана выражение |
|
|
М = FTF = N |
Гх |
(6.32) |
Хт/ |
х тх |
|
6.4.2. Полные факторные планы
Мы здесь ограничимся рассмотрением планов, в которых каждый фактор х, принимает значения только на двух уровнях. Без ограниче
ния общности можно считать, что эти значения суть + 1 и - 1 . Множество всех точек в «-мерном пространстве, координаты ко
торых являются + 1 или - 1 , называется полным факторным планом
типа 2" Число точек в этом плане |
|
N = 2" |
(6.33) |
Пример 6.2. При п, равном 1; 2 и 3, матрицы планирования X для факторных планов 2 " имеют вид:
|
|
|
|
л=Э |
+ 1 |
|
|
|
+1 |
+ 1 |
|
|
п-2 |
- 1 |
+ 1 |
+ 1 |
|
|
|
|
+ 1 |
||
П=1 |
+ 1 |
+1 |
+1 |
- 1 |
|
-1 +1 |
|
|
|
||
+ 1' |
- 1 |
- 1 |
+ 1 |
||
Х,= |
X, = |
|
X, = |
+ 1 - 1 |
|
- 1 |
+ 1 -1 |
+1 |
|||
|
-1 |
-1 |
- 1 |
+ 1 |
- 1 |
|
|
|
+1 |
- 1 |
- 1 |
|
|
|
- 1 |
- 1 |
- 1 |
Точки этих планов показаны на рис. 6.3. На рис. 6.3,а показан полный факторный план для п - 1, на рис. 6.3,6 - для и = 2 и на рис. 6.3,в - для и = 3.
*2 ♦
-1
Рис. 6.3
Матрица планирования Х„+, факторного плана 2"+| может быть получена с помощью матрицы Х„ плана 2 " по формуле
Хя
Х„+1 = X. (6.34)
где I определяется уравнением (6.31).
6.4.3. Дробные факторные планы
Число опытов N = 2П полных факторных планов быстро растет с увеличением размерности факторного пространства п, так что при больших п эти планы оказываются практически неприемлемыми. При этом из множества точек факторных планов 2 " может быть отобрана некоторая часть, представляющая дробный факторный план и содер жащая подходящее число опытов.
Для построения дробного факторного плана типа 2"~п из множе ства п отбирают n - р основных факторов, для которых строят полный факторный план с матрицей X . Этот план дополняют затем р
столбцами, соответствующими оставшимся факторам. Каждый из этих р столбцов получается как результат поэлементного перемноже ния не менее двух и не более п - р определенных столбцов, соответ ствующих основным факторам. Для определения способа образова ния каждого из р столбцов дробного факторного плана вводится по нятие генератора плана.
Генератор представляет собой произведение основных факторов, определяющее значение элементов каждого из дополнительных р столбцов матрицы плана. Очевидно, что в случае плана типа 2П' Р должно иметься р генераторов.
Построим дробный факторный план для п = 3. Исходим из фак торного плана 2 2 для основных факторов х} и х2, и дополняем этот план столбцом значений третьего фактора, элементы которого явля ются произведением соответствующих элементов первого и второго столбцов (здесь это единственная возможность определения столбца для фактора х ,) (табл. 6 .1 ).
|
|
Таблица 6.1 |
X , |
*2 |
Х 3 ~ Х \ Х 2 |
-1 |
+1 |
-1 |
+1 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
Выражение х3 = х,х2 является генератором плана. Преимущест вом этого плана является меньшее число опытов ( 2 3"1 = 4 ) по сравне нию с числом опытов полного факторного плана (23 = 8 ). Получен ный дробный план является полурепликой факторного плана 2 3
Рассмотрим задачу построения дробных факторных планов для п —4; 5; 6 ; 7. Для этих размерностей факторного пространства можно построить дробные планы, содержащие 8 опытов. Исходим из полного факторного плана 2 3 для факторов х,,х2 и х3 и дополняем его столб цами, образованными поэлементными произведениями столбцов плана 23: х1х2,х|х3,х2х3,х,х2х3. Эти произведения могут являться генератора ми для дробных планов. Используя один из четырех возможных гене раторов, можно построить четыре дробных плана типа 2 41:
х,х2,
х,х3,
х4 =
х2х3,
х,х2х3.
По сравнению с 24 =16 опытами полного факторного плана получен
ный дробный план состоит из 2 4' 1 = 8 опытов.
При п —5 для построения дробного плана типа 25-2 имеется воз можность выбрать два любых из четырех возможных генераторов для образования столбцов факторов х4 и х5. Очевидно, что возможно по-
|
о5-2 |
. |
строение шести различных вариантов плана типа l |
||
х,х2, |
х,х3, |
|
х,х2, |
Х2Х3, |
|
х,х2, |
х,х2х, |
|
х,х3, |
*5 = х2х3, |
|
х,х3, |
х,х2х3 |
|
^ 2Х3’ |
х,х2х3 |
|
Еще шесть дробных планов можно получить, если поменять местами столбцы для факторов х4 и х5.
Для пяти факторов дробный план типа 25”2 содержит восемь опы
тов по сравнению с 25 = 32 опытами полного факторами плана.
При п = 6 для построения дробного плана 2 6-3 необходимо вы брать три из четырех возможных генераторов для получения столбцов
факторов х4,х5,х6.Возможны следующие комбинации:
х,х2, |
* 1 * 3 > |
|
Х2Х3, |
х.х2. |
х,х3, |
|
Х|Х2Х3, |
х,х2, |
Х5 =\ х2х3, |
* 6 = 1 |
* ,* 2 * 3 > |
х,х3, |
* 2 * 3 > |
|
х,х2х3. |
Рассматривая возможные перестановки трех полученных столбцов, получим 24 варианта дробных планов типа 26-3
Для шести факторов дробный план типа 26-3 содержит восемь опытов по сравнению с 2б = 64 опытами полного факторного плана.
Дробный план типа 27' 4 для п = 7 приведен в табл. 6.2.
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.2 |
*1 |
*2 |
*3 |
*4 = Х ] Х 2 |
*5 = *1*3 |
*6 = *2*3 |
*7 = *1*2*3 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+ 1 |
+ 1 |
- 1 |
+1 |
+1 |
- 1 |
- 1 |
+ 1 |
- 1 |
+1 |
- 1 |
+1 |
- 1 |
+1 |
- 1 |
- 1 |
- 1 |
- 1 |
+1 |
+1 |
- 1 |
- 1 |
+ 1 |
+1 |
+1 |
- 1 |
+1 |
- 1 |
- 1 |
- 1 |
- 1 |
+1 |
- 1 |
- 1 |
+1 |
- 1 |
+ 1 |
+1 |
- 1 |
- 1 |
- 1 |
- 1 |
+ 1 |
+1 |
- 1 |
- 1 |
- 1 |
+1 |
+1 |
+1 |
- 1 |
Для семи факторов дробный план типа 2,7 - 4’ содержит восемь опытов по сравнению с 2 7 = 128 опытами полного факторного плана.
При построении дробных факторных планов для и от 5 до 15 ис ходим из факторного плана 2 4 и дополняем его всевозможными по элементными произведениями столбцов плана 2 4:
х,х2,х,х3,х,х4,х2х3,х,х4,х3х4,х,х,х3,Х хХ 2 Х 4 ,х,х3х4,х2х3х4,х,х,х3х4.
Выбирая необходимое число генераторов для оставшихся факторов, строим дробные планы типа 2 5Ч,2 6' 2,2 7' 3,2 8“4,2 9' 5,...,2 |5‘П, каждый из
которых содержит 16 опытов. Заметим, что полный факторный план
215 требует поставки 32 768 экспериментов. Преимущества дробных планов с точки зрения числа опытов очевидны.
6.4.4.Формулы для вычислений и свойства полных
идробных факторных планов для линейных моделей
Матрица F для плана типа 2" р (при р = 0 имеем полный фактор ный план) и линейной модели вида (6.29) содержит n + 1 столбцов и JV = 2"~р строк. Например, для плана 23| имеем
1 |
- 1 |
- 1 |
+ 1 |
1 |
+ 1 |
- 1 |
- 1 |
F = |
|
|
(6.35) |
1 |
- 1 |
+ 1 |
- 1 |
1 |
+1 |
+1 |
+1 |
Первый столбец соответствует фиктивной переменной х0 при сво
бодном члене уравнения модели, которая во всех опытах принимает значение, равное единице. Легко убедиться в том, что информацион ная матрица плана 2”~р для модели (6.29) имеет вид
M = F TF = 2"-'’I,,+1 =M ,I,1, |
(6.36) |
где 1 Л+, - единичная матрица размера n + 1 . |
|
Для дисперсионной матрицы получаем |
|
C = M-| = l l „ l . |
(6.37) |
Из (6.37) с учетом (6.3) следуют простые формулы для оценок коэф фициентов
О, = — |
' = 0 ,1,.. , n . |
(6.38) |
Jy j=\ |
|
|
Для дисперсий оценок коэффициентов а ,2 получаем |
|
|
|
о] - о2 |
|
|
N |
|
Здесь от2 - оценка дисперсии у |
(дисперсии ошибки наблюдений). Из |
(6 .3 9 ) следует, что оценки всех коэффициентов имеют одну и ту же дисперсию.
Вид выражений (6.36) и (6.37) определяет ортогональность плана
2!'~г для модели (6.29). План для модели (6.29) является также рота табельным. Полные и дробные факторные планы для линейных моде лей вида (6.29) в случае, когда область планирования - гиперкуб с ко ординатами вершин +1 и - 1 , являются также D-,A-,G-оптимальными планами. Это означает, что для данного частного вида области плани рования и числа опытов N —2"~р рассмотренные планы обеспечива ют максимально возможную точность оценок коэффициентов и всей модели в целом.
Перечисленные свойства факторных планов объясняют, почему эти планы находят широкое применение при построении линейных моделей исследуемого объекта.
Пример 6.3. При изучении возможностей повышения выхода од ной из производных пиперазина рассматривались факторы, приведен ные в табл. 6.3.
Предполагался линейный вид зависимости между выходом и ука занными факторами. Был использован дробный факторный план типа
2 5' 2, т.е. четверть реплики полного факторного плана |
2 5 содержа |
||||
щий 8 опытов. Полный факторный план 25 содержит 32 опыта. |
|||||
|
|
|
|
Таблица 6.3 |
|
|
Значения факторов для примера 6.3 и их интервалы |
||||
Факторы |
|
|
варьирования |
|
|
|
|
|
Интервал |
||
|
-1 |
0 |
+ 1 |
||
|
варьирования |
||||
* |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
х] -отношение |
1:1 |
1,25:1 |
1,5:1 |
0,25 |
|
NAOH/Исходный продукт 1 |
|||||
|
|
|
|
||
х2* - отношение Ис |
1:1 |
1,25:1 |
1,5:1 |
0,25 |
|
ходный продукт 1/ Ис |
|||||
|
|
|
|
||
ходный продукт 2 |
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
хъ - длительность ре |
3 |
4 |
5 |
1 |
|
акции, г |
|||||
|
|
|
|
||
х4 - температура, С |
20 |
25 |
30 |
5 |
|
* |
|
|
|
|
|
х5 - момент добавления |
20 |
40 |
60 |
20 |
|
исходного продукта 1, мин |
|||||
|
|
|
.. |
План эксперимента и его результаты приведены в табл. 6.4. Для по строения плана использованы генераторы х]х2х3 и - х,х2, определяю
щие характер изменения в плане факторов х4 и х5 соответственно.
Таблица 6.4
Номер |
|
|
|
|
|
|
V (среднее двух |
|
|
|
Х2 |
|
|
|
параллельных |
||
опыта |
*0 |
*i |
*3 |
*4 |
*5 |
|||
наблюдений) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
i |
+1 |
- 1 |
- 1 |
- 1 |
-1 |
1 |
50,0 |
|
2 |
+1 |
+ 1 |
+ 1 |
- 1 |
-1 |
- 1 |
57,2 |
|
3 |
+1 |
-1 |
- 1 |
+ 1 |
+ 1 |
- 1 |
48,1 |
|
4 |
+1 |
+ 1 |
-1 |
+ 1 |
-1 |
+ 1 |
46,0 |
|
5 |
+1 |
-1 |
+ 1 |
+ 1 |
-1 |
+ 1 |
64,8 |
|
6 |
+1 |
+ 1 |
-1 |
- 1 |
+ 1 |
4-1 |
45,3 |
|
7 |
+1 |
-1 |
+ 1 |
- 1 |
+ 1 |
4-1 |
54,8 |
|
8 |
+1 |
+ 1 |
4-1 |
+ 1 |
+ 1 |
-1 |
53,0 |
|
я, |
52,3 |
-1,755 |
5,050 |
0,575 |
-2,10 |
0,325 |
|
Для проверки адекватности полученной модели рассчитаем по формуле (5.90) сумму квадратов
Se = 51,2
с числом степеней свободы (р2 = N(v - 1) = 8 . По формуле (5.89) най дем сумму квадратов
SD=47,216
с числом степеней свободы <р, =N - £-1=8-5-! =2 . Отсюда следует
г _ ‘S'/J API _ 47,216/2 _ ^ 59 Р"<Р2 Sj<p2 51,2/8
Из таблицы распределения Фишера для сх = 0,05 находим
F |
—F о.п л* —4,46. |
|
л ф|,ф2;а |
2,8,0,05 |
9 |
Получим
Ч>1.Ч>2 < Fч>1.<!>:.
Следовательно, полученная модель процесса является адекватной. По формуле (5.93) рассчитаем
vcp2 2 - 8
и ст = 1,79. Для дисперсий оценок коэффициентов получаем
|
2 = ®1 |
= 322 = 0 4 £ - о 63. |
|
|
|
|||||
|
' |
N |
|
8 |
' |
|
|
|
|
|
Выполним проверку значимости коэффициентов |
а ,,/= 0,5. По фор |
|||||||||
муле (5.72) найдем величины ^ ,/ = 0,5. Имеем: |
|
|
|
|
||||||
о = 52Д = 83; |
9 |
|
^ |
= -2,78; |
tl= — |
|
=8; |
|||
Ф ЛС- 5 |
’ |
|
Л |
’ |
’ |
9 |
0,63 |
’ |
||
0,63 |
|
|
|
0,63 |
|
|
|
|
||
Йф = М0,635 = 0,91; |
/,; = |
—^ |
= -3,33; |
/* = ° |
^ |
= 0,51. |
||||
0,63 |
ф |
0,63 |
|
|
При а = 0,05, ср = ф2 = 8 по таблице распределения Стьюдента полу чим
(р;а/2 — ^8,0,025 = 2 ,3 1 .
Имеем следующие неравенства:
k > W »ПРИ i = 0,1,2,4; к < 7(га/2, при / = 3,5.
Эти неравенства показывают, что коэффициенты аъ и а5 незначимы, т.е. могут быть исключены из модели исследуемого объекта.
Окончательно получим
у’(дг) = 5 2 ,3 - 1,7 5 5 л:, + 5 ,0 5 х 2 - 2,1х4 .
6.5.Планы для моделей, содержащих линейные члены
ивзаимодействия различного порядка
6.5.1. Вид модели
При построении модели часто недостаточно принимать во внима ние только линейные эффекты факторов, ибо влияние на выходную величину могут оказывать также взаимодействия факторов. В этих случаях в модель необходимо вводить взаимодействия различных по рядков. Модель принимает вид
пп п
у(а, х) = aQ+ X а,х, + £ |
Z атх,хп + |
|
|
/=1 |
/=! |
1Ы-И |
(6.40) |
|
|
|
п п п
+ 1 |
I |
'L amix,xRxi+--- + an..,,xix2---x„ |
Ы |
й=/+1 |
/=К+! |