книги / Практические занятия по высшей математике. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

Зх— у — 5г — 8 = 0,

проходящего

через точку (1,

— 1, 2).

Л

х — 1

( / + 1

z — 2

.

О т в е т . _

= ^ - г = —

Задача 19, 7. Найти

точку

пересечения

прямой

х — 1

у +

1

г — 2

с плоскостью

а

— 1

+ 5

х + у ~ 2г — 4 =

0.

Р е ш е н и е . Представим

уравнение прямой в так называемом

параметрическом

виде.

Пусть

каждое

из

отношений,

входящих

в уравнение

прямой, равно t:

х — \ _ _ у + \

г — 2

.

3

— 1

5

V

1>'

или

х — 1 __ 4.

У+ 1

4. г —2_

,

откуда

3

’

— I —

5

~

1'

х =

3t-\-1 >у — — t — 1; z = 5 / + 2.

(Л)

Это и есть параметрические уравнения данной прямой. Так как координаты точки пересечения прямой и плоскости должны удов­ летворять уравнениям прямой и уравнению плоскости, то, под­ ставив значения х, у и г из (Л) в уравнение плоскости, будем иметь

З г+ 1 + (— t — 1) — 2 (5 /+ 2) — 4 = 0.

Из него следует,

что t = — 1. Это

значение t есть

значение па­

раметра в

точке пересечения

прямой и плоскости.

Подставим

это значение в уравнения прямой (Л) и получим: х =

— 2, у =

0;

z — — 3.

Итак, координаты точки пересечения данных

прямой

и

плоскости

будут

(—2, 0, 3).

З а д а ч а

19, 8 (для самостоятельного решения). Найти уравнения

перпендикуляра

к плоскости

х -f 3у — 4z — 13 = 0,

проходящего через точку (2,

— 1,

3), и

определить

координаты

основания

этого

перпендикуляра.

к плоскости

О т в е т .

Уравнения перпендикуляра

х — 2

у

\

z — 3

1

~

—з~ ~ “=Т *

2, — 1).

Координаты

основания

этого

перпендикуляра

(3,

Задача 19, 9 (для самостоятельного

решения).

Найти коорди­

наты

основания А

перпендикуляра к

плоскости

л;— 3y + 4z +

+ 5 =

0, проходящего

через

точку

(2,

1,

— 1).

От вет.

А (2,

1,

— 1)

точку

пересечения прямой

Задача

19,

10.

Найти

х — 1 _ у + 2 _ z — 1

и плоскости

~1Г~ ~

4

—

— 1

Зх — 4у — z + 5 = 0.

Р е ш е н и е .

Поступаем,

как

обычно:

уравнения прямой за­

пишем в параметрическом

виде

X— 1 _

U

У+ 2 _ 4а z 1 _ 4

5

“

4

~

— 1

~

Отсюда получаем

х = Ы + 1,

У= 4/ — 2, z = — t + 1.

Подставляя эти значения х, у и z в уравнение плоскости, будем иметь

3 (5 /+ 1)— 4(4/ — 2) — (— / + 1) + 5 = 0.

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получим

15/ — 16/ + / + 15 = 0,	что можно представить в виде
	0 • / + 15 = 0.
Конечного' значения	/, удовлетворяющего этому уравнению,

не существует. Значит, наша прямая не пересекает плоскости.

Легко	проверить, что прямая		параллельна		плоскости.	Действи­
тельно,	условие	(19, 2) параллельности		прямой и плоскости здесь
выполняется. У		нас А = 3;	В = — 4;	С =	— 1; т =	5; п = 4;

р = — 1 и Am + Вп + Ср = 3 * 5 + (— 4) • 4 + (— 1) • (— 1) = 0. Если бы это было замечено сразу, можно было бы не решать

задачу.

Задача 19, И (для самостоятельного решения). Найти точку пересечения прямой

	Х	У— 1 __ Z +		2
и плоскости	2	— \ ~ ~ 1
	х + y — z + 5 =			0.
От в ет . Прямая	параллельна		плоскости.		усвойте по учеб­
Перед тем как решать следующую задачу,
нику условия, при которых прямая					лежит в
плоскости Ах + By +	Cz + D = 0.		Эти	условия	имеют вид
	j A CL +	Bb +	Сс +	D = 0,	(19, 5)
	\ Am +	Bn +	Ср =	0.	(19, 6)

Задача		19, 12. Проверить,			что	прямая
			i -_2 =		. ^	= £ + l			(Л)
лежит в плоскости
			х + у — 2 — 6 = 0.						(В)
Р е ш е н и е .			Здесь а =г=2,	6= 3,		с =	— 1;
			яг = 2, я = 1, р = 3;
			Л = 1, 5 = 1 , С = — 1, D = — 6.
Проверьте,		что	условия (19,5)		и (19,6)		здесь выполнены,		а это
значит, что прямая (А) лежит в плоскости (В).									точку
Задача		19, 13 (для самостоятельного					решения). Найти
пересечения прямой
			х — 2 _		у	2 -{- i
			3 "		5 -	9
и плоскости			2х — Зу + z — 3 = 0.
Ответ . Прямая лежит в плоскости.							плоскости,	проходящей
Задача		19, 14. Составить		уравнение
через прямую			Зх-\- у — 42-f- 5 = 01
			х ~ У + 2г — 1 = 0J
и точку Л1 (1, — 1, 2).									через
Р е ш е н и е .			Уравнение пучка плоскостей, проходящих
данную прямую, на основании					(19, 4) может быть записано так:
		Зх -|- у — 4z -f- 5 -f- X(х — у -(- 2z — 1) == 0.
Из этого	пучка		плоскостей нам требуется выбрать ту, которая
проходит	через		точку М (1, — 1, 2).
Если плоскость проходит через точку, то координаты этой
точки должны удовлетворять				уравнению			плоскости.	Подставляя
в уравнение		(А)	координаты	точки		М,	получим уравнение для
определения		X:	5Х — 1 = 0;	X= 4-. Подставляя это значение Xв
уравнение	(Л),		получим		о
			8* + 2у — 9г +			12 = 0.
Задача	19, 15 (для самостоятельного решения). Составить урав­
нение плоскости, проходящей через точку							М (2, — 1, 0) и прямую
			х — у	3z — 1 = 0 )
			2х + У — 2 + 2 = 0/*

О т в ет . х — Ъ у+ П г — 9 = 0 .

X— 1 у — 3 2

~Т~ ~~ ~Т~ ~~ 1Г *

О тв е т . 2х + у — z — 5 = 0.

Задача 19, 17. Найти уравнение плоскости, проходящей через

прямую	Зх — у + г — 5 = 01
	х + 2у— z + 2 = 0)				И )
параллельно прямой	х — 1	у + 2	г —1
					(В)
	—1	2	2 *
Р е ш е н и е . Уравнение		пучка	плоскостей,	проходящих	через
прямую (Л), имеет	вид
Зх — у z — 5 + X(х + 2у — z + 2) = 0,
или иначе
(3 + Х)* +	(2Х— \ ) у + (1 — X)z — 5 +			2Х = 0.	(С)

Из этого пучка плоскостей должна быть отобрана плоскость, па­ раллельная прямой (В), и потому должно выполняться условие (19,2) параллельности прямой и плоскости. На основании урав­ нения (С) Л = 3 + Х, £ = 2Х— 1, С = 1— X, а из уравнения (В) следует, что т = — 1, п = 2, р = 2. Тогда условие параллельности прямой и плоскости запишется в виде

или		(3 +	X) ( - 1) + (2Х - 1) • 2 + (1 -	X) • 2 = 0,
		— 3 — Х+ 4Х — 2 + 2 — 2Х = 0;		X= 3.
Подставляя			это значение X в (С), получаем
			6х + 5у — 2г + 1 = 0.
	Задача 19, 18. Найти уравнение плоскости, проходящей через
прямую
перпендикулярно плоскости
			Зх — у + 2 z — 2 = 0.	( В )
	Р е ш е н и е .		Уравнения прямой запишем в виде
*— 1 _ у + 2			х — 2у — 5 = 0
2	1	,
			или после упрощений
X —	1 __ Z		х — z — 1= 0

2 “ 2

Уравнение пучка плоскостей, проходящие через эту прямую,

имеет вид

х — 2у — 5 + X(х — 2— 1) = О,

или

(1 + Х)х— 2у —Xz— 5 — Х=0 .

(С)

Из этого пучка плоскостей отберем ту плоскость, которая перпендикулярна плоскости (В). Условие перпендикулярности двух плоскостей имеет вид (17, 21). В нашем случае

А%= 3; Bi = —: 1; Cj — 2;

= 1 + Х; Вй = — 2; С, = — X,

а потому указанное условие примет вид

		3 (1 +	X) + (—		1) (— 2) +			2 (— X) = 0.
Раскрывая	скобки,		получаем
			З+ЗХ + 2 — 2Х = 0
(и)					Х= — 5.
Подставляя		это значение X в (С),					получаем		уравнение	искомой
плоскости	в	виде	4	x + t y — 5z = 0.
Задача	19,..19у'(для самостоятельного решения). Найти урав­
нение плоскости, проходящей через прямую
			Зх 4* 2у			Зг — 5 = 0,
параллельно		прямой	х +	У +		2— 4 = 0
			х — у + 2г + 1 = 0\
			2x + t/ — 3 z + 2 = 0 / -
О т в ет .		7х — 4у	7г +	49 =		0.
Задача	19, 20 (для самостоятельного решения). Найти									уравне­
ние плоскости, проходящей через прямую
			х — 2 у А- Зг — 1 = 01
			х —	у +		2+	5 =	0/
перпендикулярно плоскостй					2х + 2 у — г + 5 =				0.
О тв ет . 4х — Зу + 2z +				26 = 0.
Задача 19, 21. Найти уравнение плоскости, проходящей через
две параллельные прямые:
			х — 1		у — 3		г
			2		3 ~ ~ Т '
			х + Ч		у +	1	г — 1
			2	~	3	~	4	'

	Р е ш е н и е .	Уравнения первой прямой запишем в виде
		х — 1	__ у — Зч
		2	~~	3
		X —	1	2	9
		2		4	(
	или после упрощений
		( Зх — 2у + 3 = О,
		\ 2х — 2— 2 - 0.
	Уравнение	пучка плоскостей,		проходящих через эту		прямую,
	запишется так:	Зх — 2у -}" 3 -f- X(2х — 12— 2) = 0,
	или
		(3 + 2Х) х — 2у — Х2+			3 — 2Х= 0.	(Л)

Из этого пучка выделим ту плоскость, которая проходит че­ рез вторую прямую. Вторая прямая, как видно из ее уравнения, проходит через точку М (— 2, — 1, 1), а потому и плоскость, про­ ходящая через вторую прямую, должна содержать эту точку. Подставляя в (Л) координаты точки М (— 2, — 1, 1) вместо теку­ щих координат, получим для определения X уравнение

(3 2Х) (— 2) — 2 • (— 1) — Ь 1 + 3 — 2Х = 0; Х= — 1 .

Подставляя это значение X в уравнение (Л), получим

19х — 14*/ + г + 23 = 0.

Задача 19, 22 (для самостоятельного решения). Найти уравне­ ние плоскости, проходящей через две параллельные прямые:

х + 2	у — 1		z
4	— 1		3 ’
х — 1	*/	z +	1
4	— 1	~	3 ’

Ответ . 4 х + 13у — z — 5 = 0.

ДВАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ

С о д е р ж а н и е : Поверхности второгЪ порядка.

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

Это практическое занятие является последним по курсу ана­ литической геометрии. Оно посвящается поверхностям второго порядка.

Поверхностью называется геометрическое место точек, коорди­ наты которых удовлетворяют уравнению вида F (х, у, г) = 0.

Если это

уравнение можно разрешить относительно г, то

полу­

чим

уравнение поверхности в виде z =

/(x,

у),

Уравнение

поверх­

ности

может

и

не содержать всех

трех

переменных: х,

у

и z.

1. Сфера. Сферой называется геометрическое место точек

пространства,

равноудаленных

от одной и

той же точки,

назы­

ваемой центром

сферы.

а)

Уравнение сферы имеет вид

( * - а ) 2+ (y~ - b f + ( z - c )2 = R2,

(20,1)

где

а,

b

и

с — координаты

центра

сферы,

a

R — ее

радиус.

б)

Уравнение сферы с центром в начале координат

х2+ f

+ г2= R2.

(20, 2)

Задача 20, 1. Составить уравнение сферы радиуса

R = 5 с

центром в начале координат.

уравнение сферы

(20,2) R =

5,

по­

Р е ш е н и е .

Подставляя в

лучим

х2 + у2 + г2 — 25.

Задача 20, 2. Составить уравнение сферы радиуса

R =

3 с

центром в точке

С(— 1, 2, — 3).

а = — 1,

b = 2, с = — З и

р е ш е н и е . Подставляя в

(20, 1)

R = 3,

будем

иметь

( * + 1 )2+ (</ - 2)2+ ( г + 3)’ =

9,

или

х2 + у2 + г2+ 2х — 4у + 6г + 5 = 0.

Задача

20, 3

(для самостоятельного решения). Написать

урав­

нение

сферы

радиуса R — 8

с центром в

точке С (1,

1,

— 1).

О т в е т . x2 -\-y2 -\-z2 — 2х — 2y-j-2z— 61 = 0.

Задача 20, 4 (для самостоятельного решения). Составить урав­ нение сферы радиуса R = 6 с центром в точке С (— 1, — 2, — 4).

О т в е т , х2- + у2 + z2+ 2х -f 4у + 8z — 15 = 0.

Задача 20,'5. Определить координаты центра сферы и ее радиус

х2 + У2 + 22 — 6л: - f 8 у + Ю г + 2 5 = 0.

р е ш е н и е . Представим это уравнение в виде (20, 1), для чего 1) объединим в группы члены, содержащие одноименные ко­

ординаты; 2) выделим в этих группах полные квадраты (мы так же по­

ступали и при определении координат центра окружности и ее радиуса). Поступая, как указано, получим

х2 — 6х + у2 + 8у + z2 + Юг 25 = 0.

Выделяя полные квадраты в подчеркнутых группах, получим (х — З)2— 9 + (i/ + 4)2— 16 + ( г + 5)2— 25 + 2 5 = 0,

а упрощая, будем иметь ( х - 3 )2+ (У + 4)2+ (г + 5)2— 25 = 0

и окончательно

(х — З)2+ («/ + 4)2+ (г + 5)2= 25.

Сравнивая с	(20,1), имеем
	а = + 3, Ь =	— 4;	с = — 5; R 2 = 25.
Итак, центр	сферы — точка	С (3,	— 4, — 5), R = 5.
Задача 20, 6, Определить координаты центра и радиус сферы
	4х2-J- 4у2 + 4z2— 4х + 12г/ — 16г -f-1 = 0 .
Р е ш е н и е . Для приведения			этого уравнения к виду (20,1)

разделим обе части данного уравнения на коэффициент при х2 и получим

х2+ у2 + г2 — х + Зу — 4z + j = 0.

Будем следовать плану, намеченному в предыдущей задаче. Объединяя в группы члены, содержащие одноименные координа­ ты, и выделяя в каждой такой группе полный квадрат, получим

М ) ‘- т + (* + ! ) ‘- Т + с - 2» ' - * +т = о-

Отсюда уже получаем уравнение сферы в виде

Центр сферы С имеет координаты	— у , 2j, а ее радиус
R = 2 •	решения). Определить ко­
Задача 20, 7 (для самостоятельного
ординаты центра и радиус сферы

х2+ у2 + г2 + х — у + z = 0.

От вет,. С ( - 1 . 1 .

Задача 20, 8 (для самостоятельного решения). Найти радиус и координаты центра сферы

х2 + у2 + z2 — 4х — 5 = 0.

От в е т . С (2, 0, 0); R = 3.

Задача 20, 9 (длнесамостоятельного реш ения). Определить ко­

ординаты центра и радиус сферы

			х 2 +	У2 + г2 + 2ах +	2by +	2cz + d =	0.
О т в е т .		С ( — а, — 6, — с)\ R			= ] /а 2+ Ьг +		с1 — d\
При	этом		предполагаем, что		а2 +	Ъ2 + с2 — d > 0.		Если	бы
оказалось,		что а2+ Ь2 + с2 — d <			0 , то сфера называлась бы
мнимой;	при		а2 +	Ь2 + с2 — d = 0	сфера	имела бы радиус R = 0 .
Задача		20, 10.		Сфера проходит	через	точку А (— 2,		3, 5),	а ее

центр находится в начале координат. Составить уравнение сферы.

Р е ш е н и е . Р адиус сферы легко определить, как				расстояние
от центра	сферы (начала		координат) до точки А на	сфере. По
формуле	для	определения	расстояния м еж ду двумя	точками в
пространстве		получаем

R= ]/38.

Подставляя это значение R в уравнение (20, 1), будем иметь ис­

комое уравнение сферы

х2 + У2 + г2 = 38.

Задача 20, 11 (для		самостоятельного	реш ения). Сфера имеет
центр	в точке С (5, 7,	— 1) и проходит	через начало координат.
Найти	ее уравнение.

О т в е т , х2 + у2 + z2— Юх — 14у -j- 2 z = 0.

2. Цилиндрические поверхности. Ц илиндрической поверх­

ностью, или цилиндром, называется поверхность, описанная бесконечной прямой (образую щ ей), которая движ ется, оставаясь все время параллельной данной прямой и пересек ая данную кри­ вую (направляющую).

Мы будем рассматривать только такие цилиндрические по­

верхности, у	которых образую щ ие параллельны			одной из коорди­
натных осей, а направляющей является плоская				кривая,	лежащ ая
в одной из координатных плоскостей.
Уравнения	таких	цилиндрических	поверхностей		содерж ат
только две переменные		величины. В них	будет	отсутствовать пе­

ременная, одноименная с той координатной осью, которой парал­

лельны		образую щ ие		цилиндрической					поверхности.
Так,		всякое уравнение				вида
				F (х,		у) = 0		или	у = f (лг),		(20,3)
содержащ ее только две					переменные х н у ,					определяет	цилиндри-
ческую		поверхность,		у	которой			образую щ ие параллельны коор­
динатной оси			Ог, а направляющ ая леж ит в плоскости хОу, причем
ее	уравнение		есть	одно		из	уравнений			(2 0 ,3 ). В сякое уравне­
ние	вида
				z =	f(x)		или F (х, г) = 0,				(20, 4)

содержащее только две переменные х и г и не содержащее переменной у , определяет цилиндрическую поверхность, у которой

образующие параллельны оси Оу, а направляющей			является ли­
ния, лежащая в плоскости xOz и имеющая своим			уравнением
одно из уравнений (20, 4).		вида
Точно так же всякое	уравнение		(20, 5)
F (у,	г) = 0 или	г = f (у),
содержащее только две	переменные у и z и не содержащее пере-

менной х, определяет цилиндрическую поверхность, у которой образующие параллельны оси Ох, а на­ правляющей служит линия, лежащая в плоскости yOz и имеющая своим урав­ нением одно из уравнений (20, 5).

Задача 20, 12. Какую поверхность определяет уравнение

х2 + у2 = г2?

Ре ш е н и е . Данное уравнение содер-

^жит только две переменные х и у и

определяет в пространстве на основании уравнений (20,3) цилиндрическую по­ верхность, у которой образующие па­ раллельны оси Ог, а направляющей служит окружность х2 + у2 = г2, лежа­

Фиг. 20,1.	щая	в плоскости	хОу.
Приводим более подробные		разъяснения	полученного заклю­

чения. В плоскости хОу данное уравнение определяет окружность радиуса г с центром в начале координат. Пусть эта окружность является направляющей цилиндра, а его образующие параллель­

ны оси Oz. Возьмем			на цилиндре	(фиг. 20, 1) любую точку А с
координатами	х,	*/,	z — А (х, у,	z)	и	спроектируем	ее	на	пло­
скость хОу.	Ее	проекция— точка		В	с	координатами	х,	у	и О

находится на окружности, которая служит направляющей, а по­ тому координаты х и у точки В удовлетворяют уравнению окруж­

ности

х2+ у2 = г2.

Но

так

как

абсцисса

и ордината точки

А (х, у,

z) на цилиндрической поверхности такие же,

как абсцисса

и ордината

точки

В (х,

у,

0)

на

окружности,

то,

учитывая,

что

уравнение

окружности

х2+ у2 = г2 не

содержит

переменной

г,

можно

сказать, что этому уравнению удовлетворяют и координа­

ты любой точки А (х, у,

г),

лежащей

на

цилиндре.

определяет в

Таким

образом,

данное

уравнение

х2 + у2 = г2

пространстве прямой круговой

цилиндр,

у которого

образующие

параллельны оси Ог, а направляющей служит эта окружность,

лежащая	в плоскости хОу.
Задача	20, 13. Какую поверхность определяет уразнение
	х1	+ у1	= р
	сг	^ Ьг	А‘