книги / Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости
.pdf- 61 -
то вариация упругой энергии запишется так;
Напряжения Pxv,p i l t , р ^ на боковой поверхности равны ну
ли. и, если здесь вариация функций напряжений будет обращаться в нуль', будем иметь
и, следовательно, поверхностный интеграл в левой части (3.81) на боковой поверхности обратится в нудь.
Рассмотрим основания бруса;' распределение напряжений оди наково во всех поперечных сечениях, в ток числе и на основаниях бруса. Значит, если мы варьируем напряжения (3.82), то будут варьироваться и условия на основаниях. Интеграл левой части - (3.81) будет здесь отличен от нуля и его следует подсчитать.
Из условий на поверхности на основаниях имеет
@XV ~ |
> |
Ppd ~ |
} |
P j y ~ О » |
|
||
Положим, что |
правое |
основание 2 = 0 закреплено в |
своей плос |
||||
кости; тогда, на |
нем u ^ i r - O |
й соответственный интеграл об |
|||||
ратится в |
нудь. Вычислим |
интеграл по левому основанию 2 = 0 7 |
|||||
где 8 - |
длина бруса. Поэтому, полагая в (Ъ,Ы )2 = 0 |
, уравнение |
|||||
Кастндьяно для поверхностных сил запишем так: |
|
||||||
|
J j ( t e |
|
V+fyjy Uf)ofs= |
|
|||
|
s |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
; |
(3.87) |
|
Рассмотрим |
первый из |
интегралов правой части: |
|
||||
|
|
|
( № |
) d x d t / |
- f d x f i / j - ' f d t f d t / . (3.88) |
У , У У
К ввутреввему ввтеграл} пршоав. „тегрировавве .по паств.
У/ |
У/ У, |
- 82 -
Поскольку по условию задачи вариация |
на контуре обращав*, |
ся в нуль, то в этой формуле первый член |
исчезает (рис. 3.3) е |
мы имеем |
|
<h
Подставив это в (3.88), найдем
(№)<**<&--ffe*'<&<&•
Если применим аналогичное пре образование ко второму члену правой части (3.87),то получим тот хе результат, поэтому (3.87 можно записать так:
|
|
|
|
|
ffOfPjnfV+tfbvV* |
ur)als-- |
||
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
/ f |
s |
|
|
|
|
|
|
|
G ~ O>7. ~ г~ “Риме* вид |
|||
|
|
|
|
|
2(Г+/и) |
|
|
|
8l& |
M |
^ H |
f f lI dxdy} |
=~2te<sf f р ^ |
|
* |
||
Здесь учтено, |
что при |
интегрировании по £ |
распределе |
|||||
ние напряжений не зависит от г |
. Разделим |
предыдущее уравне |
||||||
ние на |
~ |
, перенесем все члены в левую часть и |
вынесем знак |
|||||
вариации за общие |
скобки: |
|
|
|
|
|
||
• |
|
* lw h * G cf1 dxP |
|
|
<з-89> |
|||
Это равенство трёбует, |
чтобы функция |
^(х^сбответствув- |
щая действительному распределению напряжений при кручении, со ответствовала минимуму интеграла, стоящего в фигурных скобках.
- 83 -
Условие (3.89) равносильно дифференциальной? уравнение |
( |
|
Ч2<Р'(х,у)--2GГ , |
3.90) |
при условии на контуре Ф -'О , Это можно показать. Действитель но, выполнив варьирование в (3.89), получим
Применяя интегрирование по частям и взаимно меняя порядок варьирования и дифференцирования, будем иметь
Но в подстановке вне знака внутреннего интеграла значения |
х, |
и х2 относятся к точкам контура, в которых по условию |
о |
и поэтому |
|
ffi,
Аналогично получим
j / i
Подставим это выражение в (3.91) и вынесем за скобку сРф', будем иметь
Но вариация ^^произвольна, значит интеграл левой части этого равенства может обратиться в нуль только в том случае, если выражение в квадратных скобках равно нулю во всех точках области интегрирования, т.е. во всех точках поперечного сече ния. Значит, для всех точек сечения
это совпадает |
с уравнением (3.90), которое является условием |
|||
совместности |
деформация в вадаче о-кручения. |
Ревенее |
задач |
|
о кручения бруса со сложным |
поперечным сечением обычиш |
спосо |
||
бом интегрирования (3.90) о |
граничным условием |
Ф '- О |
удается |
найти в крайне редких случаях; между тем вариационное уравненш (3.89) дает возможность найти для случая односвязного сечения приближенное реиение с достаточной точностью.^
Действительно, пусть контур поперечного сечения выраяает-
ся уравнением |
|
? ( х , у ) - 0 ’ |
(3.92) |
- Поскольку оечение предполагается односвязным, то функция f~(x.y) не должна обращаться в нуль внутри сечения. Зададим функцию напряжений в виде
^ ' |
к у ) ' р ( х . у ) [ с ,/ ,( х у ) * С г/ г ( ^ ) * |
- С п /»<*4)]> (3-95) |
где |
- произвольные постоянные; |
(к у)- .произвольные |
функции.
Функция ф ' при этом удовлетворяет граничному условию задачи, так как обращается в нуль на контуре сечения. Вариа
цию ее мы |
осуществим, варьируя коэффициенты Q . При этом |
вариация |
d P на' контуре также обращается в нуль. Подставив это |
значение |
Ф' в уравнение (3.89) и выполнив интегирирование, |
найдем, что интеграл левой части его выразится в виде квадра тичной функции, *.е. многочлена второй степени относительно постоянных С'с :
Ф (Cff ^ 2 Г 'Ф> С п )~ А н С, ^^22С г * • '•
Jafer +/>аг сг + Л -- (3,94
Для приближенного решения задачи следует найти минимум этой функции,.т.е. приравнять нулю, частные производные ее по
При втом получим алгебраическую систему ли
нейных |
уравнений для нахождения Сс- и функция |
'согласно |
(3.95) |
будет определена. |
|
Л.С.Лейбенэон, пользуясь этим методом, дал решение ряда задач о кручении стержней с различными поперечными сечениями.
Отметим, что основные формулы Сен-Венана можно получить
-85 -
ииз вариационного уравнения Лагранжа*- В этом случав возможные упругие Неренете нжл обуславливаются исключительно вариацией $& (*/{/} Функции .кручения Сер.-Венана, которая совериенно про извольна н не подчинена никаким условиям* Напряжения сдвига выражаются черас эту функцию:
Прачек o < f(X ,y ) совершенно произвольна внутри контура по перечного сечении и па самом контуре. Учитывая значения переме щений, имеем
б и --О ? (5у = 0., |
3 и г -€&</>. |
Выполняя соответствующе преобразования вариационного'уравнения Лагранжа, получают основные формулы Сен-Венана:
р•*(/> 0 -еу+тг =о. |
(з.%) |
Необходимо заметить, что приближенное рощенже, основанное на применений вариационного уравнения Лагранжа, будет давать верхнюю оценку для величины крутящего момента.
§3.9. Приложение вариационного уравнения Лагранжа
>СжКаотндьяио) к проблема Сен-Венана об изгибе консольного бруса
Возможные упругие перемещения обусдавливаются здесь исключительно вариациями функции кручения у я функции изгиба ус , которые произвольны и на подчинены никаким условиям. Поэтому из <3.49) имеем
du-- О, <dir=o, Jw - tSg>--6 dd> (3.97)
причем вариации */*^ и djC совершенно произвольны как внутри кон тура поперечного оечения, так к на саном контура. Ооскоиьщу по верхность призматического бруса свободна от вненних поверхност ных сил, то при вычислении элементарной работы внешни оил мы
- 86 -
правтаем во вникание только вневние поверхностные силы, прило женные к обоим концевым сечениям бруса (объемных с м нет). На свободном -конце бруса действуют только касательные напряхения
• К0*°Рыв эквивалентны силе Р , параллельной оси <^r =0» условия на поверх
\> ~ cx j > |
Ру у - |
t y j > |
Р*у - |
& • |
(3.98) |
|
Следовательно, элементарная работа внешних поверхностных |
||||||
сил, действующих на свободном конце бруса, |
|
|||||
-dl, =pXi, du / /Оу/ dv + |
|
= О- |
(3 |
|||
На заделанном конце бруса |
г-О , |
|
^ |
' |
||
поэтому |
|
^ . |
|
|
р £ х |
|
Pxv S C XSf Г |
Руу/= ^уы' f Pf >/ ~ |
' |
(3.I0C) |
|||
|
. |
|
|
|
J |
|
Согласно (3.97) л (3.98) элементарная работа поверхност |
||||||
ных смл на заделанном |
конце |
бруса'. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.IQI) |
Е с л и вмрахенив .потенциальной |
энергии деформации для изгиба |
|||||
коноольного бруса с м о й Р |
, прмохевной |
к центру |
тягости его |
|||
свободного конца; |
|
|
|
|
|
|
w=M |
|
- ev |
' |
^ |
|
подставим аначееля напряжений иэ (3.21), то получим.
- 87 -
Здесь интегралы распределены на все п оп ертое сечение бруса, Вычиодиы
& - Ш ' » )*.$ )$ * «Н §'Н *-
Используя соотношение |
|
д у , |
/ дУ г |
д х |
д у =2 ('Уи)* |
подучим |
|
j £ t | ^ y ^ & t e f y + m y ^ S j d s - f j f r y + s f / f f j x f a d ! / -
Далее вычисляем
Затем, интегрируя по чаотям, находим
~ |
m x] < iF d s ./f j ^ ~ +ey,+m 9bj<f?ats - |
• |
(3.103) |
-.88 -
. Вариационное уравнение Лагранжа
jff(x Su + i/Sv <■Zdurjfclxdyah i//( Р ,Л ' *
+РуУУ1г*Pjvdur)alxcly -du0(a. v,u r)-0
дает здесь
&W- Зи0(и,!/,Id/)= • ( З Л 0 4 )
Внесем (3.102) в (3.IQ4)j. подучим
p-3e
4 (У у и )£ 7-г<?1 .. f * * ’, Щ .(J.I05)
Теперь, пддставав в эго.уравнение вариации интегралов, будв» иметь '
веу+ 'mxjSyofs. -j/jfv *ydydxafyjУ
' |
^ * " • * > ) & * 3 .- |
- / / Г/j+ 20'ty')*]:djrdxa(c/ у _
i-e V / ' ” V x ) f W s - J f T ^ d j r a f ^
s
'{ f ^ Y d x d y .z ^ y /f x J ^ y J =
=i r / f f c f y d / J x d x d y . |
(3.106) |
- 89 •
Поскольку <^V и S j соверионно црощзводьвы BBjxpi 1 на контуре поперечного сечения, to из (3.105) следует
.7V - 'О, |
|
= 0 , |
|
|
|
з у |
у(3.107) |
d c / |
|
— |
|
t -€</■/■ т |
х -O f - ~ |
+ e y i+ m (f)z =0- |
|
d v |
|
а У |
|
Уравнения (3.107) |
- |
известные, уравнения, решающие проблещу |
о кручении призматического бруоя. Вариационное уравнение Лагран жа для изгиба призматического консольного бруса имеет ви^
<$J2 ^ - 4 ( f +jv )J J x S jc d x d c /• |
(3.108) |
|
Заметны, что |
никаких ограничений на JC(x,y)не накладывает |
|
ся, а статические |
граничные условия (3*107).. . явдяютоя след |
ствием вариационного уравнения и удовлетворяются автоматически
с тем бодьннм |
приближением, чем с больней точностью мы находим |
приближение |
для функции изгиба j ' h y ) . |
Этим методом можно решить "задачу об изгибе консоли с ли |
|
нией действия |
силы Р параллельно осиу. Задача оголится к отыс |
канию второй функцжи изгшба jcf (х,у) , введенсой Сен-Веванои и удовлетворяющей уравнению Лапласа.
Для приближенного реиения задачи, об изгибе можно применить также варкацконное уравнение Кастждьяно. В атом случае варируютоа вапрякевжя
<?<$Х = <&у - 4 s s ° ’ (3.109)
b < ie>’ a -iv
где F'(Ку ) - функция жапряхевай С.П.Тиможенко.
Вариацжш d f(x ,y ) выбярфг так, чтобы боковая поверхность бруоа, свободжая от поверлоствнх гневное o il , оставалась овободщой ж вря варжацжж напряхеиного, ооотоянжя. Пожученное урав нение нагиба совпадает с уравнением изгиба фвмоиеико.
-9 0 -
§5.IQ. Центр ивгмба тонкого ацияпипннот
пр о Фждя
Пусть мы имеем симметрнчнн! профиль, ось симметрии которого
принята за'ось Оу(рис. 3.4). |
Кривая oi р о 2 |
дана уравнением |
а кривая 0 ,р ,0 2 |
- уравнением |
* = -& г ( у ) . |
Следовательно, |
|
|
*г '/,( а ) шв, (у ) |
(5 .Ш ) |
£>сть уравнение контура поперечного сечения бруса. Согласно фор- •муле С.П.Тимошенко для функции напряжений имеем на контуре сеч1*
НВЯ |
j/r- |
|
I Й fa |
= О ' , |
|
и поэтому F |
постоянна на |
всем |
контуре. Примем контурное условие |
||
Рис. ЪЛ |
F zO . |
(З .Ш ) |
Удовлетворим уравнению (3.II2) в первом приближении, приняв
' |
Г =1)[х2-в?(у)]> |
(3.II3) |
где D параметр, подлежащий определению на вариационного урав- ■енш С.П.Тимоненко для изгиба консольного бруса
■<fJ6 -2fJ/}SFdxdi/=-0, |
< з .т ) |
где |
|
* а-? [(? х ) |
<ЗЛ15) |
dJe = 2/ f f 6 F d s - i f f г ‘f J F d x d y , (3*П6)