книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях
..pdfФункции ¥ и ЗС являются решениями уравнений (III.51), величины £* определяются из выражений (Ш.90),
величины alk и ji4ft — из (11.50), оу — из(Ш.86) с учетом соотношений (III.44), (III.88) и (VIII. 16). Решение пред ставим в форме (V.25). Из выражений (V.37), (V.39), (V.40) и (V.25) следует, что при х2 = 0 и х2 = а выпол няются условия (VII. 14), а при х3 — 0 и х3 = b — усло вия (V III.15). Таким образом, можно считать, что при выборе решений в виде (V.25) при условии (VIII. 16) на тор цах пластины выполняются в интегральном смысле условия шарнирного опирания. Подставляя решение (V.25) в гра ничные условия (V III.17), после обычной процедуры полу чаем характеристические определители для изгибной формы потери устойчивости и для потери устойчивости с образова нием шейки. Элементы характеристического определителя для изгибной формы потери устойчивости и для потери ус тойчивости с образованием шейки имеют соответственно вид.
«п = («11 — «и) т - - Yi sh у,Л; а 12 (у2, У =
=fluV2+OiS(m -J-) —
— (« IT ) ИЧз + °ззХ — $ (2р12— Х3р13+ й12)]| х
Xshy.Ji; а 18==а12(у3, У ;
(VIII.18)
«21 = [v? + |
(т v ) |
] ChVi*'. «22(V2. У |
= |
|||
= — 2y j n y |
n j c |
h |
у2/i; |
cc23 = |
cc2S (%, £3); |
|
«si = m — |
|
VlA; |
а 82 (y2, у = |
|
||
= —(^3d + |
О («-£-) |
V2 ch yji; |
a33= |
a32 (Тз, £3); |
||
«yi = («и — |
|
|
Tl ch yji\ |
a 12 (y2. у = |
||
= «-£-{— auV2 + |
o12 |
-J-) — |
|
|
181
— (л -£-) fow + °ззЯ — й (2ри — XVi3 + «аз)]} X
X ch yji; а 18= ап (у3, у ;
(VIII. 19)
«21 = |
[т? + ( « -J-) ] sh yjh\ а 22(у2, |
у |
= |
||
= |
2yjn -jj- п sh yji, |
а&= GC22 |
(у3 >У , |
||
«81 = |
tn -J- п -J- sh ухЛ; |
а* (у2, у |
= |
|
|
= — (Ь%2 + 1) (n -J-) Yssh 72Л; |
«33в |
сь*(у3, У . |
Аналогичным образом можно получить характеристи ческие определители при другом представлении решений.
В случае неогуковского тела выражения (VIII. 18) и (VIII. 19) значительно упрощаются, так как имеют место соотношения (VI.53) — (VI.55), которые необходимо под ставить в (V III.18) и (V III.19).
§ 4. Прямоугольная пластина при двухосной равномерной нагрузке
Рассмотрим прямоугольную пластину |
(0 •< хг ■< а; |
О < ^ < Ь; —h < *3 < +Л), загруженную |
вдоль осей |
ох1 и олг2. В этом случае имеют место соотношения (VII.16). Считая поверхности х3 = ±Л незагруженными, из выраже ний (V.40) и (VI 1.16) получаем граничные условия при х3 = = ±Л, сформулированные для функций Y и X:
а8 |
-Y + Я3Д |
а8 |
\ |
а Х=^0; |
дх.дх* |
|
д4 |
) |
dxi |
|
|
— - J L - ¥ + (я3Д--- 1 = 0; |
|
|||||
а^ах3 |
|
^ ^ |
а*§ у а*2 |
(VIII.20) |
||
[ |
+ Я011 — 2Х3а13 -J- 2р12-f- а12— ^Vis)Д 4* |
|||||
|
||||||
а8 |
] |
a v Л |
|
|
||
+ ^13 |
|
|
||||
d x l |
J |
дхш % " °- |
|
|||
Решение выберем в |
виде (V.24). Величины |
£? опреде |
||||
ляются |
из |
выражений |
(II 1.90), величины aik и |
— из |
182
(11.50), |
a Oi/° — из |
(111.86) с учетом соотношений (III.44), |
|||
(Ш .88) |
и (VII.16). |
Из |
выражений |
(V.24), (V.37) — (V.39) |
|
видно, |
что при |
= |
0 и |
хх — а |
выполняются условия |
(VII.20), а при х2 = |
0 и х2 = |
Ь — условия (VII.21). Таким |
образом, при выбранном решении на торцах пластины вы полняются в интегральном смысле условия шарнирного опирания. Подставляя решение в виде (V.24) при условии (VII.16) в граничные условия (VIII.20), в результате обыч ных преобразований получаем характеристические урав нения для изгибной формы потери устойчивости и для по тери устойчивости с образованием шейки. Для изгибной формы потери устойчивости и для потери устойчивости с образованием шейки элементы характеристического опре делителя можно представить соответственно в форме
вие »7 |
'chтЕГ'Л; |
а12(Eg) = |
|
|
|||||
= т |
|
m |
l + 1) |
ch у К ? ) |
|
а 13 = |
«12 (&,); |
||
«ai ——т -~ y£i 1chyh^ |
|
а22(£2) = |
(VIIL21) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= « - f (*3Й + О т ^ с Ь у Л Й -1; |
а й ш а а (?з); |
||||||||
«31 = |
0 ; |
«32 (£*) = (P is — |
й |
(^ 6«зз + |
t o n — |
||||
— 2Л3а13 -f- 2pi2 -f- о12 |
Л.^хз)] |
|
sh yhtg |
; |
|||||
«зз = |
« |
(£з)» |
|
|
|
|
|
|
|
«и = |
л -J- т£Г' sh yZr'h; |
al2 (Q |
= |
|
|
||||
= m |
|
|
+ 1)i*& 2Sh yh& 1; |
|
«13 S. а12 (У; |
||||
«21= —m -J-V5”1shуЛСГ1; |
«22 (£г) = |
(VIII.22) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= П ~ (к3й |
+ 1) v*5"2S h y h & 1; |
«23«■ « 22(£з); |
|||||||
«31 — 0; |
«32 (£2) — [Pl3--- £2 (^*«33 + |
^«11 |
|
— 2A3a13 + 2pu + аИ— XVM)J y tT 3 ch yh£Tl;
«33 = «32 (£з)-
183
Аналогичным образом можно найти характеристиче ские определители и при другом представлении решений.
Полученные характеристические определители |
можно |
|
существенно упростить. После преобразований для |
изгиб- |
|
ной формы потери устойчивости выводим |
|
|
det| cc,J = т8£Г2£Г2£Г1сЬуЛГ' {(Л3б + 1) [р13- Й |
х |
|
X (Лвада + Лом — 2Л3а13 + 2р12 -f а12— ЛК)1 X |
||
X S ’' ch yh& 1sh у A S -1 - ( Л 3Й + l)Ip13- £ |
(Л К + |
|
+ Лам — 2Л8й13 + 2pls + а12 — Л К )] S"‘ ch yAS"1 |
x |
|
X shyAS"1} = 0. |
(VI11.23) |
Для потери устойчивости с образованием шейки в выра жении (VII 1.23) необходимо поменять местами ch и sh. Уравнение (VI 11.23) и подобное ему для потери устойчи вости с образованием шейки дают следующие уравнения:
Y tr3C T V ch yh£Г‘ = 0; y ^ l W sh уЛ£Г‘ = 0. (VI 11.24)
Кроме того, для изгибной формы потери устойчивости и для потери устойчивости с образованием шейки получаем соответственно уравнения
(Л3С1 + 0 1р13 — й (Л К + Лом — 2 Л К + 2ри + Оц—
- Л:Ю 1 Е» ch y h & sh уА£Г' - (V g -f 1)К - |
Й X |
|
X (Л К + Лам — 2Я К + 2ри -f аи + Л3р13)| х |
||
X S c h yh& 1shy/iS-' - 0; |
|
(VIII.25) |
(Л3й + 1) [PM — б ( Л К + Лам — 2Л3а13 + |
2Щ, + |
а,2 — |
— Л К )] С, sh yh& ' ch yAS*' — (k%l -f 1Ж |
— й (Л К + |
+ Лам ^— 2 Л К + 2pls + а12 — Л Ю ) S sh yh&'ch yhfr' = 0.
(VIII.26)
Как и в§ 4 гл. V II,можно показать, что корни уравне ний (VI 11.24) не имеют физического смысла применительно к прямоугольной пластине. Таким образом, только урав нения (VII 1.25) и (VI 11.26) соответствуют изгибной форме
потери устойчивости и потере устойчивости с образованием шейки.
184
§ 5. Круговая пластина при осесимметричной нагрузке
Исследуем задачи для круговой пластины (—h < х3 ■<
<; +Л; 0 < V + л| -< R), загруженной осесимметричной нагрузкой в плоскости х&х* В sfoM случае имеют место соотношения (VI 1.16). Считая граничные поверхнйсти не загруженными, из выражений (V.36) и (VI 1.16) получаем граничные условия при х3 = ±Л, сформулированные для! функций V и 5С:
1eft
гдгдхз
|
д“ |
|
|
|
X = |
0; |
|
дгдх3 |
|
|
|||
|
|
|
|
(VIII.27), |
||
|
д“ |
|
|
|
|
|
Ilia |
Н- (oii'X + |
Х6азз — 2№а13+ а12+ |
2ри — |
|||
’* д4 |
|
|
|
|
|
|
— XVis)A |
дх. ■X = 0. |
|
||||
Функции |
|
У и X являются решениями уравнения; |
||||
(III.51), |
величины |
$ — определяются |
из выражений |
|||
(III.90), |
а1к |
и |
— из (11.50), ог’° — из (111.86) с учетом |
выражений (III.44), (II 1.88) и (VII. 16). Для осесимметрич ной формы потери устойчивости решение при указанных обозначениях выберем в виде (VI 1.29). В этом случае гра ничные условия (VI 11.27) при х3 = ± к принимают следую щий вид:
|
к * - ) - |
X = 0; |
|
(VIII.28) |
|
|
|
|
1Чз |
-J- Я,6Озз 2Х3а 13 -j- а 1г -}- 2 р 14 ^ V u ) A J X |
Выбрав решение в форме (VII.29), из выражений (V.32) и (V.33) выводим, что при г — R выполняются в интеграль ном смысле условия (VII.31). Следовательно, при г = R выполняются в интегральном смысле условия жесткого
185
защемления. Подставляя решение в форме (VI 1.29) в гра ничные условия (VI 11.28), получаем характеристические уравнения, имеющие для изгибной формы потери устойчи вости вид (VIII.25), если в последнем заменить у на V.JR. Для потери устойчивости с образованием шейки характе ристическое уравнение имеет вид (VI 11.26), если в послед нем заменить у на v.klR.
Характеристические уравнения (VII 1.25) и (VIII.26) зна чительно упрощаются для неогуковского тела. В этом слу чае из выражений (III.88) и
(VI. 13) находим
|
а п |
= о2а = — 2 р °Х 2; |
|
||
|
а33 = — 2р ° Х ~ 4; |
|
|||
|
л12■ |
° 1 3 = |
° 8 3 — |
(VIII.29) |
|
|
Ни = ~ р°№; |
|
|||
|
Hi3s |
Нгз = — р°Х~К |
|
||
|
|
Из соотношений |
(VII. 16) и |
||
|
(VI. 14) выводим |
|
|||
|
2С10 = — |
2р°; он = ои = |
|||
|
|
|
= р°(Х— Я.-2). (VIII.30) |
||
Рис. |
10 |
Подставляя (VI 1.16), (VI 11.29) |
|||
после ряда |
и |
(VII1.30) |
в формулы (II 1.90), |
||
преобразований |
получаем |
выражения |
(VI.54). В дальнейшем для круглой и прямоугольной пла стин введем соответственно обозначения » = ^ / | и ш =
= |
yh. Подставляя выражения (VIII.29), (VIII.30) H (VI.54) |
в |
уравнения (VI 11.25) и (VI 11.26), выводим характеристи |
ческие уравнения для пластин из материала с потенциалом типа Трелоара. Для изгибной формы потери устойчивости и для потери устойчивости с образованием шейки характе ристическое уравнение можно представить соответственно в форме
(Я,®+ I)2 sMir3<o chen — 4Xf sh о ch Xf3® = 0; (VIII.31)
(Я,®-f l)2 ch Я.Г3® sh со — 4Я.? ch со sh XT3<*>= 0, (VIII.32) __i_
где \ — удлинение вдоль ox^, \ = X 2.
18$
Если рассмотреть уравнения (VIII.31) и (VIII.32) для сколь угодно толстой пластины, т. е. устремив ы -> оо, получим одно уравнение
л4 + 2х2 — 4 х + 1 = 0 ; Я,? = *. |
(VIII.33) |
|
Решение уравнения (VI 11.33) |
имеет вид Xi « |
0,66. За |
метим, что (VI 11.33) совпадает с |
уравнением для поверх |
ностной неустойчивости полупространства при равномер ном сжатии.
На рис. 10 показана зависимость Хкр от со, причем кри вая 1 соответствует изгибной форме потери устойчивости (VIII.32), а кривая 2 — потере устойчивости с образова нием шейки (VIII.33) [2, 96].
§ 6. Сплошной цилиндр при осевой нагрузке (стержневая форма потери устойчивости)
Исследуем устойчивость стержня кругового поперечного
сечения (0 < х3 < /; 0 С г < |
R) при |
действии нагрузки |
вдоль оси охъ. В атом случае |
имеют |
место соотношения |
(VI.45). Приняв цилиндрическую поверхность незагружен ной, получим граничные условия при г = R в виде (VI.50), сформулированные для функций Т иХ, которые являются
решениями уравнений (III.51). Величины £? определяются
из выражений (III.90), |
alk и |
|
— из |
(11.50), о*° — из |
|||
(III.86) с учетом соотношений |
(III.44), |
(III.88) |
и |
(VI.45). |
|||
Решение выберем в форме (V.15), |
положив в |
нем |
А ^, = |
||||
а 0 и я |
= I, а также выделив в |
А "х множитель у. Такое |
|||||
решение |
соответствует |
потере |
устойчивости в |
плоскости |
ххох,. Представляя это решение в граничные условия (VI.50), после ряда преобразований находим элементы ха рактеристического определителя в следующем виде:
а п = |
2Х-3- 1 ^ - к - ^ Л (^ 1 ); |
«*(£*) - |
|
|||
|
|
|
His |
|
|
|
- - 2 X |
- 3- ^ _ x - ,t2/2( ^ 2) + |
|
|
|||
+ [й |
+ |
— |
033 |
) h |
«13 = а и ( « ; |
|
«а. = |
|
|
(xQ; |
ам (Ь) = (Й + W T 3) х |
(VHI.34) |
187
X 12(хС 2) ''Ь |
X |
1 ( Й + X 3) Л (и Сг)» «23 = « 2 2 (Сз)* |
||
«31 — 2£iX |
/2 (x£i) |
5i/j (х£2); |
|
|
®л (У = — 25JX |
/8 (иУ ; |
|
||
« 3 3 — « 3 2 ( ^ 2)» |
и = |
я —J - . |
|
|
Из выражений (V.32) и (V. 15) получаем, |
что при х3 — |
|||
*= 0 и х3 = |
/ выполняются условия (VI 1.35). |
Таким обра |
зом, при выбранном решении на торцах цилиндра в инте
|
|
|
|
|
|
гральном смысле |
выполняются |
|||||
|
|
|
|
|
|
условия |
шарнирного опирания. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Для |
неогуковского тела фор |
||||
|
|
|
|
|
|
мулы для элементов характеристи |
||||||
|
|
|
|
|
|
ческого |
определителя значитель |
|||||
|
|
|
|
|
|
но упрощаются. Учитывая форму |
||||||
|
|
|
|
|
|
лы (VI.53), (VI.54) и (VIII.34), |
||||||
|
|
|
|
|
|
выводим |
|
|
|
|||
®ц — 2х |
7j (и); |
а12 — |
■2х |
/2 (и) -f-2/j (и); |
|
|||||||
а 1з = |
— 2уГ 1К~ з / 2 (*Х |
2 ) + |
(X- 3 + |
1) х |
|
|
||||||
|
_з_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X / х(хХ |
2 ); |
а21 = |
Х- ^ -1^ (и); |
|
|
|
||||||
«22 = |
(1 + |
*“ 3) /2 (и) + х“ ‘ (1 + |
X-3) /х (к); |
|
(VIII.35) |
|||||||
ам = |
__9_ |
- __3_ |
|
|
|
|
|
_ 3 _ |
|
|
||
2Х |
2 /2(хХ |
2 ) + |
2и_ |Х_3/1(хХ 2 ); |
|
|
|||||||
«ai= |
2х |
/2 (х) — /| (х); |
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|||
«52 == — 2х—1/2(х); |
а33 = — 2х-1Х |
|
||||||||||
2 /2(хХ |
2 ). |
|
||||||||||
На рис. 11 |
[9] приведена зависимость Хкр от х для нео |
|||||||||||
гуковского тела. При х |
|
1 получаем в нулевом |
прибли |
|||||||||
жении уравнение |
(VI.58). |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
§ 7. Полый цилиндр |
|
|
||||||
|
при осевой нагрузке (осесимметричная задача) |
|||||||||||
Рассмотрим |
полый цилиндр (0 < |
х3 <. /; R — h < г < |
||||||||||
■< R + Л), загруженный |
вдоль |
оси |
oxv В |
этом |
случае |
|||||||
имеют место соотношения |
(VI.45). |
Ограничимся |
исследо- |
188
ванием осесимметричной формы потери устойчивости. При нимая цилиндрические поверхности незагруженными, по лучаем при г = R ± Л граничные условия в виде (VI.50), которые для осесимметричной задачи можно представить о форме
(—£г + 4- -аг) + W - «•■и»)Д+
+ ( * - 'л . + с З ) ^ г ] - ! Г х = о;
(VIII.36)
Величины Z,t, а1к, р,* и о*/ определяются так же, как и в предыдущем параграфе. Решение выберем в виде (VII.38). Подставляя решение (VII.38) в граничные условия (VIII.36), после ряда преобразований выводим формулы
для элементов |
характеристического |
определителя: |
||||||
« 1,(Л . Л У |
= |
- 2Л -3- ^ ( и + |
е) - 1 Ь М Ь О * + |
|
||||
+ в)1 |
+ (й |
+ |
|
‘^ |
g“ ) 1 1С,(Х + |
в)]; |
|
|
“ |
«IX ( |
К » К , У > |
|
|
|
|
||
«13 = |
«IX (Л> Л У » |
«14S « ll( |
K V K t £3)1 • |
(VIII.37) |
||||
«31 (Л. Л У |
= |
(Й + |
У - " 3) / [(х + |
в) У ; |
|
|||
«32 s |
«31 ( |
^1> К • У i |
|
|
|
|
||
«33 s |
«31 (Л» |
|
£з)| |
«84S |
«3l( |
^ 1> |
Ез)| |
|
|
R |
|
|
h |
|
|
|
|
и = тл — ; |
£ = тп — . |
|
|
|
Для получения элементов второй и четвертой строк не обходимо в элементах соответственно первой и третьей строк изменить знак перед е на противоположный. Для других представлений решений результаты можно получить в ана логичной форме. Для неогуковского тела выражения (VI11.37) существенно упрощаются. В этом случае нужно в формулы (VIII.37) подставить соотношения (VI.53) —
189
(VI.55). После ряда преобразований находим выражения] для элементов характеристического определителя неогу-ч ковского тела:
|
«ц — — 2 (* + |
е Г 'Л (* + е) + 21 (и + |
е); |
|
|
|||||
|
«и = 2(и + |
е)~‘ Ki (и + |
в) + |
2/С (х + |
в); |
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
а 1з = |
2 (х + е) |
А, |
2 /х [(х + |
е)Л, |
2] + |
(1+Л. |
3) X |
|||
|
|
|
|
|
|
|
_ з_ |
|
|
|
|
|
|
Х /[(х + |
е)Х |
Ч; |
|
|
|||
|
|
|
«и = 2 (х + |
е)_ |*ГТ Ki [(х + |
||||||
|
|
|
+ е)Й.~^]+(1+Х-3)х |
|
||||||
|
|
|
х/С[(х + е)Я“ |
]: |
|
|
||||
|
|
|
®3i = |
(1 "Ь |
3)^i (х + |
е); |
|
|||
|
|
|
а 82 = |
— (1 + |
^ |
3) /Ci (И + |
е)5 |
|||
|
|
|
|
__э_ |
_ |
|
|
|
||
|
|
|
«33 = |
2*. |
^ [ ( х + |
в)*. |
2 ]; |
|||
|
Рис. 12 |
|
|
|
|
|
__9_ |
|
|
|
|
|
«34 = — 2Я 2 |
X |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Х/С,[(к + |
е)Л_ т 1. |
|
Для получения элементов второй и четвертой строк не обходимо в элементах соответственно первой и третьей строк заменить знак перед в на противоположный. Для случая потери устойчивости сколь угодно толстого цилиндра полу
чаем уравнение (VI.58). Таким |
образом, |
для трех |
задач |
||
(поверхностная неустойчивость |
цилиндрической полости |
||||
при |
осесимметричных деформациях |
в случае |
х |
1 |
|
(см. |
§ 8 гл. VI), поверхностная |
неустойчивость цилиндра |
при осесимметричной форме потери устойчивости (см. § 9 гл. VI) и устойчивость при осесимметричной форме по
тери устойчивости полого сколь угодно толстого цилиндра |
||
(см. § 7 гл. VIII)) неогуковского тела получаем одно и то |
||
же значение *-Кр « 0,44. |
ш. |
|
На рис. 12 [311 приведена зависимость Кр от |
||
дляне- |
1 9 0