книги / Твердотельная фотоэлектроника. Физические основы
.pdf2.1 О КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ 91
При переходе атома из одного состояния в другое, например из состоя ния тп в состояние п, распределение заряда электрона в нем, по крайней мере за время волнового цуга, определяется стационарными волновыми функциями начального и конечного состояний электрона фт {т) и фп {г). Однако принцип Гейзенберга (2.1.15) допускает возможность определения энергии системы (а, следовательно, и состояния, в котором она находится) только с неопределен ностью во времени S t ^ h / |<gm - &п\. Поэтому нельзя предсказать изменение со временем волновой функции для отдельной квантовой системы. Удается рассчитать только временные зависимости волновой функции и вероятности квантового перехода, усредненные для большого числа систем, находящихся в одинаковых условиях (это и будет далее проиллюстрировано).
Однако для определения частоты излучения, возникающего при переходе электрона с уровня m непосредственно на уровень п, достаточно рассмотреть соответствующий дипольный момент
D mn (t) = qJФп (г, t) г фп (г, t) dV =
v |
|
|
|
= exp ^ (<gm - |
<Sn) t j q j v4 ( r ) r ^ (r) dV = |
|
|
|
—DmnCXp | |
((§m -<gn) ^ . |
(2.1.17) |
Величина Dmn называется |
матричным дипольным |
моментом |
перехода |
т -»■ п. Если Dmn ф 0, при таком переходе возникают осцилляции дипольного момента с собственной частотой колебаний, равной боровской частоте штп = = |(§m - <Sn|//i. Количественные соотношения при этом совпадают с формулами классической электродинамики для осциллирующего электрического диполя, если в качестве Do в формулу (2.1.16) подставить амплитуду колебаний D mn и учесть населенность энергетических уровней.
Совокупность матричных дипольных моментов D mn для всех переходов в квантовой системе принято записывать в виде двумерной матрицы, недиаго нальные элементы которой при т ф п соответствуют испусканию или погло щению излучения на частотах, определяемых правилом Бора.
Вынужденные переходы электронов между уровнями (определяющие по глощение или стимулированное излучение) вызываются, например, взаимодей ствием между электрическим полем электромагнитной волны и электрическим дипольным моментом атома. При этом энергия возмущения представляется в
виде |
|
1У = 9Е (М )г. |
(2.1.18) |
Здесь Е (г ,t) — вектор напряженности электрического поля электромагнитной волны. Длина волны оптического излучения обычно много больше размеров
92 ОПТИЧЕСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ Гл. 2
атома и так называемые матричные элементы возмущения для переходов т —у п выражаются соотношением
w mn = q j (r)E(r,t)ry>„(r) dV =
V
= E(0,t)qJ<p*m (r)r<pn (r)dV = E (0 ,i)D mn. (2.1.19)
v
Теперь может быть оценена вероятность квантовых переходов при воздей ствии на систему внешних электромагнитных полей.
Обычно возмущение, под воздействием которого происходит квантовый пе реход, мало по сравнению с внутренней энергией системы Wmn <С |<ВТО—£n| и поставленная задача решается с помощью теории возмущений.
При возникновении возмущения W в уравнении Шредингера (2.1.7) вместо £„ следует записать d>„ + W — к невозмущенному гамильтониану добавляется энергия взаимодействия с внешним полем. Волновая функция нового уравнения Шредингера ищется в виде ряда, составленного из невозмущенных стационар
ных волновых функций ipk{r,t): |
|
|
|
|
</>М = Е С* (О V* (г, О = £ |
Ск(0 4>k(г, t) exp |
|
. |
(2.1.20) |
к |
к |
4 |
' |
|
Очевидно, что квадраты модулей зависящих от времени коэффициентов \Ck{t)\2 равны вероятностям того, что в момент времени t система находится в
состоянии щ (г). |
При этом |
|Ст (0)|2 = 1 |Сп (0)|2 = 0, а условие нормировки |
коэффициентов |
\Ск (£)|2 |
= 1. |
Проведя обычные для теории возмущений преобразования и применив для нахождения зависящих от времени коэффициентов С'к (0 метод последователь ных приближений (с промежуточными выкладками читатель Может ознако миться в учебниках по квантовой электродинамике), получают следующее вы ражение для полной вероятности перехода за единицу времени из начального состояния т в конечное п через все доступные благодаря возмущению проме жуточные СОСТОЯНИЯ Пь П2'.
Рт/1 — |с .(0 Г |
= f ' M” |
—&п) |
(2.1.21) |
|
|
|
Соотношение (2.1.21) справедливо при достаточно больших временах по сравнению с периодом колебаний. Здесь <5 — дельта-функция Дирака, равная
нулю при всех энергиях, не равных Sm - |
&п (подробнее о 5-функПии — в гл. 4). |
|||
Матричный элемент перехода Мтп имеет вид |
||||
Мпп = W„ |
w mni Wnin |
|
|
w,mni Wninj Wn2„ |
>n. |
+ £ |
|
(2.1.22) |
|
ni |
|
(Sm Sni) (<£ni Sn3) |
||
|
Hjn2 |
|
2.2 О КВАНТОВОЙ ФИЗИКЕ 93
Первому слагаемому в (2.1.22) соответствует первое приближение теории воз мущений, второму — второе и т. д.
Соотношение (2.1.21) свидетельствует, что в любом приближении вероят ность перехода отлична от нуля только при выполнении закона сохранения энергии, когда энергия поглощенного или испускаемого фотона равна разности энергетических уровней квантовой системы |<8m -<Sn| в начальном и конечном состояниях.
Непосредственный переход между состояниями т и п возможен, если мат ричный элемент возмущения между этими состояниями Wmn не равен нулю. Тогда остальными членами в (2.1.22) можно пренебречь из-за их малости.
Некоторые из матричных элементов возмущения могут оказаться равными нулю — соответствующие переходы невозможны в дипольном приближении и называются запрещенными. Принадлежность перехода к разрешенным или запрещенным определяется «правилами отбора», которые диктуются главным образом симметрией волновых функций в начальном и конечном состояниях. Дипольный матричный элемент Dmn отличен от нуля только для уровней с различной четностью. Матричный элемент возмущения Wmn зависит также и от взаимной ориентации векторов D тп и Е.
Если Wmn = 0 и переход т —>• п запрещен в первом приближении теории возмущений, он может осуществиться через промежуточное состояние nj, если не равны нулю матричные элементы возмущения Wmni и Wnin. В промежуточ ном состоянии щ система может находиться лишь очень короткое время St, определяемое соотношением неопределенностей StS&~h, при этом закон со хранения энергии не соблюдается. Однако для перехода в целом соблюдение закона сохранения энергии по-прежнему необходимо. Состояния пх и переход в эти состояния называются виртуальными.
Вероятность перехода в третьем приближении теории возмущений (после довательно через два промежуточных состояния) оказывается меньше, чем во втором приближении.
В следующей главе уравнение Шредингера использовано для решения небольшого числа математически простых стационарных задач, дающих пред ставление об энергетических уровнях электронов в полупроводниковых кри сталлах и квантоворазмерных структурах. Для объяснения оптических свойств этих объектов привлекаются вероятности переходов и правила отбора, рассчи танные методами квантовой электродинамики.
94 |
ОПТИЧЕСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ |
Гл. 2 |
2.2. Волновые и корпускулярные свойства оптического излучения
В классической волновой оптике, базирующейся на системе феноменологи ческих уравнений Максвелла, оптическое излучение представляется в виде поперечных электромагнитных волн. Напряженности электрического Е и маг нитного Н полей в волне колеблются синхронно, направления векторов Е и Н взаимно перпендикулярны и перпендикулярны направлению распространения излучения (рис. 2.2.1). Переменное электрическое поле создает переменное маг нитное поле и наоборот. В результате этого и распространяется в пространстве
электромагнитная волна, причем на правление распространения энергии волны, вектор Пойнтинга, определяет ся векторным произведением
|
|
S = [Е х Н] |
|
|
(направление S находится по «правилу |
|
|
буравчика» при повороте его ручки от |
|
|
вектора Е к направлению вектора Н). |
Р и с . 2.2.1. Плоская линейно поляризован |
В вакууме электромагнитная вол |
|
ная электромагнитная волна |
на распространяется с наибольшей воз- |
|
можнои скоростью |
скоростью света с = 1/^/еоМо ~ 3 • Ю10 см/с (ро — маг- |
нитная проницаемость вакуума). При переходе из вакуума в другую среду частота v электромагнитной волны не меняется.
Интенсивность излучения, усредненная за время, много большее периода электромагнитного поля, составляет
/ = |S| = рс,
где р = еоЕ2/2 + роН2/2 — объемная плотность энергии электромагнитного излучения.
Кроме энергии, электромагнитная волна переносит импульс (количество движения), распределенный в пространстве с объемной плотностью:
р |
[Е х Н] |
S |
|
с2 |
“ с2 * |
Откуда |Р| = р/с.
Электромагнитная волна называется плоской, если векторы Е и Н зависят от времени и только одной декартовой координаты — все лучи параллельны этой координате. Для плоской волны £QE 2/2 = р.0Н 2/2 и / = £QE 2C.
Электромагнитную волну называют монохроматической, если векторы Е и Н электромагнитного поля совершают гармонические колебания. Длина волны
2.2 |
ВОЛНОВЫЕ И КОРПУСКУЛЯРНЫЕ СВОЙСТВА ОПТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ |
95 |
монохроматического излучения определяется очевидным соотношением
с2жс
иы
{и = 2жи — угловая частота) и представляет собой расстояние, на которое по верхности равной фазы, перемещающиеся в вакууме со скоростью света vф = с, смещаются за один период колебания
у1 _27г
ии
Вектор к = А;п = (27г/А)п {к = 2ж/\ — волновое число, п — единичный вектор в направлении распространении волны) называется волновым. С его ис пользованием вектор электрического поля плоской монохроматической волны, распространяющейся, например, в направлении оси можно представить в комплексной форме Е = E0e x p (j(u t - kz)). Здесь Е0 — амплитудное значение вектора Е, {ut - kz) — фаза волны.
Плоско- (или линейно) поляризованным называют излучение, у которого направление колебаний векторов Е и Н в любой точке пространства остаются неизменными во времени. В этом случае плоскостью поляризации называется плоскость, проходящая через вектор Е и направление распространения излу чения. У неполяризованного или естественного излучения векторы электриче ского и магнитного полей изменяют свое направление хаотически.
Любую реальную электромагнитную волну можно представить набором (су перпозицией) плоских монохроматических волн с разными частотами, амплиту дами и поляризацией. Для того, чтобы охарактеризовать распределение энергии реального излучения по частоте, используется функция спектральной плотно сти р{и), удовлетворяющая соотношению
ОО
Jp{u)du = р.
о
При распространении электромагнитного излучения в других средах вли яние свойств среды учитывается с помощью трех величин: ее относительной диэлектрической проницаемости ег, относительной магнитной проницаемости рг и удельной электропроводности а на частоте волны.
В квантовой физике элементарную частицу (квант) электромагнитного из лучения называют фотоном. Фотон является нейтральной частицей, не име ющей электрического заряда. Масса покоя фотона равна нулю, а скорость в вакууме равна скорости света. Энергия £ф0Т и импульс фотона РфОТ связаны с частотой v и волновым вектором к эквивалентной плоской монохроматической
96
волны соотношениями
ОПТИЧЕСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ |
Гл. 2 |
^ ф о т — h i s — h b j ,
his
Р Фот “ h\t — и*
с
Спин фотона равен единице. Следовательно он относится к Бозе-частицам, описываемым статистикой Бозе-Эйнштейна. Известно, что Бозе-частицы стре мятся занять квантовое состояние в неограниченном количестве — на них не действует запрет Паули, согласно которому энергетическое состояние могут занимать не более двух частиц с различными спинами.
Наконец, каждый фотон может быть охарактеризован некоторым состояни ем поляризации: линейно-поляризованное электромагнитное излучение пред ставляется совокупностью линейно-поляризованных в той же плоскости фото нов.
Каждое из состояний фотона связывается с волновой вероятностной функ цией де Бройля, параметры которой (частота, волновой вектор и поляризация) совпадают с соответствующими параметрами электромагнитной волны. Прин цип суперпозиции этих волновых функций позволяет объяснить такие явления как интерференция, дифракция, поляризация отдельных фотонов и примирить противоречия между корпускулярными и волновыми свойствами света.
Принципиально важным моментом квантовой теории электромагнитного по ля является то, что обмен энергией и импульсом между фотонной и атомной (электрон, атом, молекула и т. д.) си стемами происходит путем рождения одних и исчезновения других квантов света. Это отличает фотонный газ от газа, состоящего из неизменного чис
ла частиц.
Генерация электромагнитного из лучения осуществляется при осцил ляции объемной плотности электри ческого заряда (момента электри ческих диполей), сопровождающей спонтанные или индуцированные пе реходы квантовых систем из одного энергетического состояния в другое.
Идеальным фотонным (кванто вым) приемником можно назвать та кой фотоэлектрический приемник из
лучения, который на каждый падающий на него квант реагирует прохождением в электрической цепи одного электрона и не имеет собственных темнового тока и шумов. Спектральная характеристика квантового выхода такого приемника
2.3 ИЗЛУЧЕНИЕ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА 97
представлена на рис. 2.2.2 (кривая /). Длинноволновая граница спектраль ной чувствительности ограничивается энергией активации, например, шири ной запрещенной зоны полупроводника &g = hu = h c /\m. Откуда Am = hc/£s или Атомкм = l,24/(<Sg3B)
Токовая чувствительность идеального фотонного приемника (с квантовым выходом равным единице и без усиления) на любой длине волны при А < Ато равна
Siгид
Спектральная зависимость токовой чувствительности идеального квантового фотоприемника также приведены на рис. 2.2.2 — кривая 2.
Идеальные тепловые фотоприемники, преобразующие в выходные ток или напряжение мощность падающего на них излучения, обладают не зависящей от длины волны чувствительностью.
2.3. Излучение абсолютно черного тела
Фундаментальным понятием при рассмотрении источников оптического излу чения является понятие об абсолютно черном теле. Абсолютно черным телом называется тело, поглощающее падающее на него излучение полностью, неза висимо от длины волны, направления распространения, поляризации и прочих характеристик излучения.
Еще в середине XIX века немецкий физик Густав Кирхгоф, исходя из прин ципа термодинамического равновесия («в системе тел, имеющих одинаковую температуру, взаимное излучение не нарушает равновесия»), пришел к выво ду, что отношение излучательной способности (энергетической яркости) тела к его поглощательной способности не зависит от природы тела и, следователь но, одинаково для всех тел. Это отношение является универсальной функцией температуры Т и длины волны А и равно излучательной способности тела, поглощающего весь падающий на него поток излучения.
Возможность получения излучения, равновесного с телом, находящимся при некоторой температуре, а также теоретической оценки мощности этого излучения выделяет абсолютно черное тело среди других тепловых источни ков. Очевидно, что температурное излучение любого тела при любых Г и А не может превышать излучения абсолютно черного тела. В частности, даже поглощающее излучение тело (например, металл) с зеркальной (хорошо отра жающей) поверхностью само практически не испускает тепловое излучение и как бы является антиподом абсолютно черного тела.
Моделью абсолютно черного тела является полость с непрозрачной оболоч кой и небольшим отверстием. Такая полость ведет себя как абсолютно черное тело, так как проникающие в полость извне лучи полностью поглощаются в ней после одноили многократного попадания на внутренние стенки, не зависимо от материала стенок полости и их обработки.
4 -7 4 7
98 |
ОПТИЧЕСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ |
Гл. 2 |
Вспомним зрачок глаза, имеющий черный цвет. Внутренняя поверхность глазного яблока включает слой пигментного эпителия, поглощающего свет.
Если внутренние стенки непрозрачной полости поддерживаются при опре деленной температуре, то электромагнитное излучение в полости, создаваемое тепловым движением электрических зарядов в материале ее стенок, является термодинамически равновесным в системе тело-поле. Через небольшое отвер стие часть равновесного теплового излучения выпускается наружу. Независи мость параметров излучения абсолютно черного тела от любых факторов, кро ме температуры полости, делают его эталонным температурным излучателем. Если в конструкции абсолютно черного тела полость погружена в расплавлен ный металл, она поддерживается при температуре точки затвердевания этого металла, обычно известной с точностью до долей градуса.
2.3.1. Плотность равновесного теплового излучения. Распределение мощности равновесного температурного излучения по спектру оказалось воз можным теоретически рассчитать в результате драматического преодоления «ультрафиолетовой катастрофы» в классической физике XIX века и создания
на основе гипотезы Планка об испускании и поглощении электромагнитного излучения квантами (фотонами) квантовой механики.
Плотность равновесного теплового излучения рассчитывается исходя из представления о системе осцилляторов с квантованными уровнями энергии — стоячих электромагнитных волн с частотами находящихся в термодина мическом равновесии со стенками замкнутой полости. Фотоны как частицы со спином, равным атомной единице (h/(2n)) момента импульса, подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна, когда, как упоминалось в разделе 2.2, любое со стояние системы может быть занято любым числом частиц. При этом каждый осциллятор может иметь энергию, равную целому числу п квантов (нулевыми колебаниями с энергией hi//2 пренебрежено). Вероятность занятости каждого уровня рп пропорциональна фактору Больцмана exp{-n h u / (кТ))'-
где А — коэффициент пропорциональности, определяемый из условия, что сум ма вероятностей занятости всех уровней равна единице:
^2exp[-nhv/(kT)]’
П
Тогда среднее число фотонов с энергией hv
(2 .3 .1 )
П
2.3 |
ИЗЛУЧЕНИЕ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА |
99 |
В последнем уравнении через х обозначена величина exp [-h v/(kT )\. |
Оче |
|
видно, что |
при любом значении hv/(kT) значение х < 1. Тогда сумма |
ряда |
£ ]xn = (1 - |
г)-1 . Продифференцировав это выражение, получим |
|
П |
|
|
Умножив левую и правую часть последнего соотношения на х, получим
|
Х > " = (1 - |
г ) ‘ |
(2.3.2) |
|
|
|
|||
И, наконец, среднее число фотонов на уровне с энергией hv |
||||
х/(1 — х)2 |
X |
1 |
_ |
1 |
1/(1 — х) |
1 — х |
1/х — 1 |
exp[/u//(/tT)] — 1 |
Остается вычислить, сколько состояний в интервале частот от v до v + dv имеется в единичном объеме электромагнитного поля. При квантовом подходе каждому энергетическому состоянию приписывается объем в шестимерном фа зовом пространстве, равный h3 Это является следствием соотношения неопре деленностей Гейзенберга, устанавливающего, что для каждого из трех про странственных направлений ДхДрх ~ h.
Так как направления импульсов фотонов распределены изотропно, то по верхностью равных импульсов является сфера с радиусом р, а объем шарового слоя толщиной dp составляет 4тгp2dp. Очевидно, что число ячеек с объемом h3 в шаровом слое 4жp2dp/h3 Заменив импульс по формуле р = hv/c, получим для числа ячеек величину 4тгv2dp/с3 Постоянная Планка h сократилась. Это озна чает, что формулу для числа состояний возможно получить и в классической физике, что и было сделано в свое время Рэлеем.
Так как каждое состояние характеризуется не только энергией и импульсом, но и поляризацией вправо или влево по кругу, то полное число состояний в объеме 1 см3 и в интервале частот от v до v + dv найдем, умножив полученное выражение на 2:
и2 S(v)dv = 87Г — dv.
cJ
Умножив спектральную плотность состояний на среднюю энергию состоя ний Tihv, получим энергию электромагнитного поля в единице объема в интер вале частот dv:
(v,T)dv = 8тгhvJ |
1 |
■dv. |
с3 |
exp(hv/(kT)) — 1 |
Это выражение известно как формула Планка для излучения абсолютно черного тела.
4*
100 |
ОПТИЧЕСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ |
Гл. 2 |
Абсолютно черное тело по определению является идеальным диффузным (ламбертовским) излучателем: энергетическая яркость его отверстия не зави сит от угла а между нормалью к отверстию и направлением распространения излучения. Следовательно, в элементарный телесный угол dQ из отверстия площадью 1 см2 испускается поток энергии излучения (рис. 2.3.1)
dQ,
dM (v,T) dv = c&(v,T) d v — cos a.
4?r
Здесь 4л- — полный телесный угол; площадь единичной излучающей площадки, наблюдаемой под углом а, составляет cosa. А спектральная плотность мощно сти излучения в полусферу (спектральная энергетическая светимость абсолют но черного тела)
2тг |
w/2 |
|
|
М2ж(и, Т) dv = -^-S(v, Т) dv i f |
cos adQ, = |
|
|
ip=Q ar=0 |
|
|
|
|
2тг |
W/2 |
|
= j-& (v,T)dv j |
dip j |
sin a:cos a; = ^S(v,T)dv. |
Обратим внимание на то, что мощность диффузного излучателя,
излучаемая в пределах конуса с углом а ^ а тах составляет |
|
||
|
м аш.х {v,T) = M2v {v,T) sin2 |
||
|
так как |
|
|
|
С*max |
|
_ |
|
/ cos a sin a da = |
sin omax |
|
|
|
||
|
Множитель |
перед |
интегралом |
|
cS (v,T) / (47г) = |
В (v ,T ) представляет |
|
|
собой спектральную энергетическую |
||
Р и с . 2.3.1. Схема излучения элементарной |
яркость абсолютно черного тела — |
||
площадки dA в полусферу |
мощность, излучаемую |
в направле |
нии под углом а к единичной площадке в телесный угол, равный 1 стерадиану. Очевидно, что для диффузных излучателей
B (v,T ) = - M 2ir(v,T).