книги / Физика композитов.Термодинамические и диссипативные свойства
.pdfГЛАВА 5
КОМПОЗИТЫ КАК ФРАКТАЛЫ (произвольный тип основной матрицы и мелкодисперсной фазы)
Формальный подход, который развит в настоящей главе, осно вывается на представлении о композитах (надо, вообще говоря, под черкнуть, что под термином "композит" следует понимать весьма широ кий спектр сложных структур) как о фракталах в буквальном, а не в условном смысле этого слова. В самом деле, введя в рассмотрение некоторую абстрактную функцию ф(г), область характерных изменений которой 6г превышает средний размер неоднородности (например, раз мер частиц мелкодисперсной фазы (/?)), мы можем считать ее гладкой всюду, за исключением счетного множества точек с координатами г,-, где индекс / пробегает ряд целых значений от единицы до N, где N - количество таких неоднородностей. Формально это могло бы дать основание считать ф(г) некоторой функцией, описывающей именно фрактальные структуры и не имеющей непрерывных производных в точках локализации неоднородностей г = r-t. В этом смысле, естест венно, частицы дисперсной фазы представляют собой как бы "выко лотые" точки в объеме основной матрицы композита. В каком-то, пусть даже и далеком, смысле такие точки несколько напоминают известную задачу Эшелби о том, что при исследовании свойств структуры с одной "дыркой" эту дырку можно условно считать как бы обладающей нуле выми свойствами.
Близкий пример содержится в "Курсе дифференциального и интег рального исчисления" Г.М. Фихтенгольца, где рассмотрена класси ческая задача о непрерывной во всех точках функции ф(х), не имеющей тем не менее ни в одной точке производной. Надо сказать, что ис пользование подобных функций в рамках нашей проблемы описания термодинамически равновесных характеристик композитов требует пояснения. Дело в том, что для задач, которые рассматриваем мы, функция ф(х) не будет совпадать с нашей функцией ф*(х) по той простой причине, что ее смысл отличается от смысла функции ф(х). В самом деле, у-функция ф*(х) должна быть непрерывной во всех точках, за исключением точек локализации частиц примесной фазы. То есть ее
задание должно быть таким: функция ф*(х) = ФоС*) для всех х , кроме х = х где Х\ - средние, взятые по центрам тяжестей, координаты частиц примесной фазы и ф*(х) = ф] = const для всех х = х ,- . То же самое касается и производной от функции ф*(х).
Давайте рассмотрим некоторые конкретные формальные методы описания свойств таких неоднородных структур на вполне физических примерах, и начнем вот с чего.
231
5.1.ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О ФРАКТАЛАХ КАК О СТРУКТУРАХ
СНЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ
Этот подход в основном уже наметился в монографии [5.1], где речь шла о пористых веществах. В каком-то смысле композиты тоже близки к ним, но единственное отличие заключается в том, что свой ства частиц мелкодисперсной примесной фазы даже с большой натяж кой нельзя считать "нулевыми". Это, конечно, с одной стороны, услож няет нашу задачу, а с другой - вроде бы и облегчает. В самом деле, если говорить лишь о равновесных характеристиках подобных веществ, то такой важный в физическом отношении параметр, каковым является теплоемкость (см. раздел 5.5), можно попытаться описать, пользуясь свойствами римановой геометрии с некоторой метрикой g,y. А потому, считая (пока лишь чисто абстрактно; доказательство правильности этого предположения будет дано далее), что композит есть некоторый фрактал, размерность пространства которого из-за наличия инородных частиц дробная и равна
dF = d - z f, |
(5.1) |
где г/ для трехмерного пространства (d = 3) есть величина строго по ложительная, а в случае одномерного (d = 1) или двухмерного (d = 2) пространства - любого знака. Классические примеры этого для d = 1 - канторово множество "одной третьей", когда df = In 2/ln 3 = 0,631, Zf = 0,369, и ковер серпиньского (d = 2), когда df = In 8/ln 3 = 1,893, Zf= 0,107.
He сильно ошибемся, если скажем, что практически всегда для не которой гладкой пространственной области, заданной в декартовых ко ординатах х, у, z, можно ввести на поверхности z(х, у) криволинейную метрику. Это метрическое многообразие представляет собой простей ший пример неевклидова двухмерного пространства в том смысле, что для такой поверхности нельзя ввести скалярное произведение векторов. Действительно, по определению евклидова пространства если заданы векторы а и b в некотором базисе, то для двухмерного случая ab = = aj>x + aybyy где аху и Ьху - координаты векторов в данном базисе. На поверхности z(х, у) метрика задается матрицей второго ранга #ар(дг, у), и ее компоненты есть
gхх = 1 + (dz / дх)2, gyy = 1 + (dz / dy)2, gjy = gyx = (dz / dx)(dz / dy). (5.2)
На этой поверхности построить скалярное произведение векторов нель зя. Можно ввести только инвариантное произведение ко- и контравариантных компонент. Действительно, операция параллельного пере носа вектора здесь отсутствует. Если, скажем, взять вектор нормали N(x) к этой поверхности, то в любой точке, близкой к данной, на правление N(x + 6х) будет отличаться от N(x), и, таким образом, при параллельном переносе вектора N в любую близкую точку (из окрест ности данной) N не будет уже вектором нормали (исключение пред
232
ставляет здесь разве что только плоскость). Непосредственно связан ный с этим подходом математический аппарат представляется в содер жании следующих двух разделов.
5.2.ЭЛЕМЕНТ ДЛИНЫ И МЕТРИКА
Вработе [5.2] описана теплопроводность фрактальных структур с помощью операции так называемого дробного дифференцирования. Позднее этот подход несколько расширился и подобные системы рас сматривались хотя и с формальной математической точки зрения, но под несколько иным углом, о котором мы чуть выше упомянули, а именно в рамках римановой геометрии.
Заметим, что последний подход оказался довольно плодотворным в плане формального языка описания сложных квази-^-мерных систем.
Пример его применения будет рассмотрен в этом же разделе, но не много ниже.
Надо сказать, что общей чертой во всех подобных задачах явля ется как бы "дырявость" пространства (плоскости, прямой), и фор мально такие пространственные структуры с некоторой натяжкой мож но отождествить с пористыми в буквальном (а не абстрактном!) смысле веществами. Тут, безусловно, требуется строгое обоснование, на ко тором мы сейчас подробно остановимся. Рассмотрим для начала самый простой случай одномерного пространства (dF = 1). В чисто геометри ческом аспекте длина одномерной линии пусть будет I = L. При усло вии, что нить пористая, можно считать, что / < L (полная длина будет короче, чем L). Если прямая имеет несколько ответвлений (типа водо проводных труб), то длина такой структуры будет уже I > L (полная длина больше длины прямой). Математически это довольно легко учитывается с помощью введения метрического тензора, зависящего
лишь от одной координаты. Пусть это |
будет х. Тогда g u = g(x) и |
квадрат элементарной длины можно записать в виде |
|
dP- = g(x)dx2 + dy2 + dz2. |
(5.3) |
Для вполне конкретной зависимости компоненты тензора g(x) мы можем вычислить длину такой "прямой". В самом деле, если у - z - const, то
L |
(5.4) |
‘ = 1 [g(x)\'n dx. |
|
О |
|
Пусть |
(5.5) |
g{x) = (xJL)~z, |
|
здесь е может быть любого знака, |
aL - некоторыйгеометрический |
размер. |
|
Интеграл (5.4) в этом случае легко вычисляется, и мы видим, что
"длина" |
|
/ = Ц{ 1 - е/2). |
(5.6) |
Если Е > 0, то / < L и мы имеем аналог пористой нити, если же е < О,
233
то / > L и в нашем распоряжении имеется плоская и очень "ободранная елка".
Формально эти два случая соответствуют действительности. Итак, неевклидовость пространства может привести к квазиструктурам, на зываемым фракталами. Размерности этих структур можно варьировать введением диагональных компонент метрического тензора. Например, для квазидвухмерной структуры вместо интервала (5.3) следует запи сать
dP = g\\{x)dx2 + g2i(y)dy2 + dz2. |
(5.7) |
В приведенном соотношении можно положить |
£ц(дг) —(х / L)_E|, |
£22(У) —(у/ L)~Zl, где показатели е12 произвольные.
Поскольку последующее изложение будет опираться на некоторые термины из римановой геометрии, введем в обиход необходимые для понимания дальнейшего соответствующие специфические названия, придерживаясь при этом в основном традиционного языка из класси ческого учебника по теоретической физике Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица [5.3].
В кривом пространстве обычный дифференциал вектора не явля ется вектором. Векторной характеристикой служит так называемый ковариантный дифференциал. При этом инвариантная запись квадрата элемента длины должна быть представлена в соответствии с формулой dP = gjfdx'dxк = gikdxjdxk, где gik- ковариантный метрический тензор, а gV - контравариантный, индекс / и к пробегают значения 1, 2, 3. Для метрики (5.3) имеем очевидно, что £П = #(*), dx = dx', dy = dx2, dz = dx3 Аналогично и для ковариантных компонент. Напомним, что поднятие и опускание индекса осуществляется с помощью метрического тензора. Пример: В, = gnBk или В' = gikBk. Уравнение линии, имеющей наи меньшую длину, описывается так называемым геодезическим уравне нием, которое получается путем варьирования следующего интеграла:
' = |
(5.8) |
Такой метод носит название метода наименьшего действия. Простые операции над выражением (5.8) приведут нас к соотношению
Ы= J [d V /<й2 + r b (dxl ldl)(dxs ldD1&x"dxmg^ , |
|
где символ Крисгоффеля есть |
|
Г« = 0,5£*m(d£mt /dxl + dgml /дхк - d g u /dxm). |
(5.9) |
Приравнивая 5/ к нулю, находим искомое уравнение геодезической |
|
d u i / d l + r u u ku , = 0, |
(5.10) |
где и* = d x 'td l.
В одномерном случае уравнение (5.10) с учетом (5.9) и метрики (5.5)
234
преобразуется к виду |
|
|
(1/2g) (dg/dх) (и2 - |
1/g) = 0, |
(5.11) |
где и = dx/dl при у = z = const м = 1/Vg, и уравнение (5.11) удовлет воряется автоматически независимо от вида функции g(х).
Попробуем теперь рассмотреть на конкретном примере, каким образом с помощью неевклидовой геометрии можно описать свойства фракталов. В качестве примера выберем магнитный квазиодномерный фрактал и попробуем строго математически обосновать поведение его отдельных физических параметров.
Квазиодномерные магнитные фракталы
При теоретическом изучении магнитных структур приходится иметь дело, как правило, с двумя наиболее типичными представителями этого класса веществ, а именно с ферромагнетиками и антиферромагнети ками. Каждый из этих типов диэлектриков обладает своей собственной симметрией, и точный расчет спектров квазичастиц в этих типах струк тур требует ее строго учета. Самый простой класс кристаллических структур характеризуется кубической сингонией (симметрией), и при решении множества задач магнетизма, дабы получить чисто оценочные (качественные) характеристики, этого оказывается вполне достаточно. Мы не будем нарушать данное правило, тем более что в нашу задачу и не входит анализ возможных проявлений изменения свойств магнетика при переходе от одной симметрии к другой. Определенности ради гово рить будем только о легкоосном ферромагнетике с кубической атомной решеткой.
Традиционный язык описания магнитных свойств таких структур - язык спиновых волн, впервые введенный в терминологию Блохом в его классической работе [1.19] для описания температурного поведения намагниченности ферромагнетиков в области низких температур.
В более поздних работах других авторов этот метод совер шенствовался и применялся к разнообразным задачам из области маг нетизма (см. ссылки на оригинальные работы в главах 1-4).
Главной физической характеристикой магнитных веществ в теории спиновых волн является их спектр - дисперсия магнонов. Чтобы выяс нить, в каких качественных и количественных изменениях свойств квазиодномерных систем он участвует и проявляется, следует записать гамильтониан магнитной структуры в рамках метрики (5.5). Для квазиодномерного случая в континуальном приближении с использованием коиконтравариантных компонент имеем
L |
____ |
(5.12) |
Н = 0,5 аJ |
(5М, / 5х*)(5М' / 8хк )Jg(x)dx + Н0. |
|
о |
|
|
где а - обменная константа, Л/, - ковариантная составляющая вектора намагниченности,
Я0 = -] MH-JgWdx. |
(5.13) |
О |
|
235
а операция ковариантного дифференцирования определяется по извест ному правилу:
16М, / Ьхк = dMi / дхк + ГЦМп,
(5.14)
1Ш ' / &с* = дМ' / дх* + |
л |
Для метрики, заданной интервалом (5.5), отличные от нуля символы
Кристоффеля есть только Г£, такие, что
Г* =(1/2 g)(dg/dx). |
(5.15) |
С помощью выражений (5.14) и (5.15) гамильтониан (5.12) можно запи сать следующим образом:
L
Я = Я0 + 0,5осJ (х /L)~e,2{[дМх/ дх+ (е / х)Мх]2 +
о |
|
+ (х / L f [(дму /дх)2 + {dMz / дх)2]}dx. |
(5.16) |
Для выяснения того, как изменится спектр магнонов в квазиодномерных структурах, воспользуемся уравнениями движения для плотности намагниченности в форме уравнений Ландау-Лифшица:
dM / df = уе[М х Нэф], |
(5.17) |
где уе - гиромагнитное отношение, а эффективное поле, действующее на данную локальную область пространства, определяется следующей функциональной производной от гамильтониана (5.16):
Нэф= -5Я /6М . |
(5.18) |
С помощью явного вида (5.16) находим
Ялф ,2 / г / „ чЕ /2 / ж ж , J 2
=(X£1(Llx)E,z(Mx/ x z)-a(dfdx)[(L/x)t,2dMx /dx] +
+az(\ + 0,5e)(Mxlx)(L/x)£n,
(5.19)
H ^ = - a ( d /d x ) [( x lL ) t n (dMy /dx)],
Ягэф = - a (d/dx)[(xf L)tl2(dMz /dx)\-H0.
Уравнение (5.17), записанное в компонентах, можно представить таким образом:
дМхШ = - у е(МуН0 + Я^фА#0),
(5.20)
дМу/дг = у,(М0Ялф + Я0Л*х),
где MQ - спонтанная намагниченность. Исключая из первого уравнения Му, что достигается его дифференцированием по времени и подста новкой в него нижнего уравнения системы (5.20), найдем
d2Mx /dt2 = -Я Я л ф - (Я 0Ш 0)ЯМ„ |
(5.21) |
где дифференциальный оператор в пространстве дробной размерности
236
есть |
|
D = у 2еМ0[Н0 - (хМ0(д/ дх)(х/L f l2( d l дх)]. |
(5.22) |
Бели искать решение уравнения (5.21) в виде плоской волны |
|
Мх - Мх0 exp[ikx - Ш ], |
(5.23) |
то при е = 0 получим "обычный" спектр поперечных спиновых волн |
|
®о = Уе(н о + аЛ*о*2)> |
(5.24) |
где к - волновой вектор магнона. Найти решение уравнения (5.21) в общем виде не представляется возможным, поэтому попробуем просто оценить, к каким качественно новым особенностям может привести учет дробности пространства. С этой целью будем полагать, что е 1. Уравнение (5.21) тогда существенно упростится, и в линейном по е приближении найдем
д2Мх / dt2 = осу2еМ0(Н0 - осМ0д2/ дх2)д2Мх / дх2 -
- у 2еН0(Н0 -осМ0д2/дх2)Мх - осеу2еМ0(Н0 -осМ0д2/дх2)(Мх / х 2).
(5.25)
Последнее слагаемое в правой части приведенного уравнения - малая величина. Этим обстоятельством мы чуть ниже и воспользуемся. Но предварительно разложим функцию Мх(х, t) в интеграл Фурье по координате:
Мх (х, t) = J \ikeiks~i<atdk / 2л. |
(5.26) |
Тогда уравнение (5.25) в терминах |1* можно переписать следующим образом:
(ш2 -<о5)ц4 = а ^ 1 м а1Н0Ф['-<хМ0(6Фк - 4кФ'к - k ^ 'k% |
(5.27) |
где новая функция Ф* удовлетворяет уравнению |
|
Ф(*4)=Щ . |
(5.28) |
Чтобы выявить поправку в спектре спиновых волн, обязанную дробной размерности, будем искать решение уравнения (5.27) методом последовательных приближений. Положим с этой целью, что со = C0Q+
+ 8со, a ji*0) = 1. Тогда
Фк = к 4 /24
и, следовательно,
5со = (О£у2еМ0 / 4со0)(Я0 + 11осМ0к2/ 6)к2 |
(5.29) |
237
Значит, спектр спиновых волн в квазиодномерном приближении есть
со = со* = у е[Н0 +аМ0к2(1+ е/Л)] + е 0(к*). |
(5.30) |
Полученная зависимость позволяет сразу же сделать два качественных вывода.
а. В пористой магнитной среде (£ < 0) средняя намагниченность ферромагнетика ведет себя как
= М0 - ц, J dk(nk) = М0 - 0[(Т/ йау,Л/0(1 -1е I / 4))1/2],
о
(5.31)
где равновесная бозевская функция распределения магнонов по им пульсам есть
(5.32)
кexp{ftcot / квТ } - \
б.В "елочной" структуре (£ > 0)
M f \ T ) = М0 - О [ ( 7 7 Й о у еМ 0 ( 1 + £ / 4 ) ) 1 / 2 ] . |
(5.33) |
Итак, выявляется любопытная картина. При £ < 0 зависимость
Мха) проходит выше, чем у одномерного образца, взятого условно за
эталон. А при £ > 0 М^б\ наоборот, будет проходить ниже, чем для Mz,
т.е. под ней. Кроме этого, надо обратить внимание на тот факт, что и температура фазового перехода Тс становится функцией от £, и при
этом еще существует такое строгое неравенство: Гс(б) < Тс < Гс(а).
С физической точки зрения последнее вполне понятно. В самом деле, обменное взаимодействие в идеально упорядоченной системе яв ляется универсальной величиной. При добавлении в основную матрицу структуры дефектов обменный интеграл "ломается" и становится функцией концентрации добавок. Та же самая ситуация прослеживается и в квазиодномерных структурах (независимо от знака е!), так как при £ < 0 роль дефектов играет пористость, а при £ > 1 - разветвленность, причем в среднем по образцу обменные энергии Jex(е < 0)и Jex(£ > 0) не равны Уе х (Е = 0). Итак, в d-мерных системах обменный интеграл имеет нелокальный характер и можно говорить только о некоторой средней (по структуре) температуре Кюри. Сам же фазовый переход имеет "плавающий" характер, и в каждой данной однородной области вещества устанавливается свой дальний локальный порядок.
Если речь идет о квазидвухмерной системе, то при размерности фрактала dF = 2 - £ интервал (5.5) должен быть несколько моди фицирован. В этом случае имеем
dl2 = g\\(x)dx2 + g22 (y)dy2 + dz2 |
(5.34) |
Отличных от нуля символов Кристоффеля здесь два: Г^. и Г^у. При
238
gw(x) = (x/L) El/2 и g22(y) = (y/L) 6212 уравнение на Mx{My) по ана логии с уравнением (5.25) будет иметь вполне похожий вид, но в правой части появится еще одно слагаемое, пропорциональное е2 и являю щееся функцией от координаты у. Двухмерное преобразование Фурье даст в ^-представлений уравнение на вектор-функцию д* ={р.х, р.^}. Положив ее в первом приближении равной константе, найдем спектр в виде со* = у е[Н0 + аМ0к2(1+ (г] + е2)/4)]. В квазитрехмерном случае
аналогично найдем, что со* = у е[Н0 +аМ0к2(1+ (ех+ £2 + е3)/4)]. В со ответствии с такими законами дисперсии средняя намагниченность в
пространстве размерности dF = 2 - г |
будет |
|
Ш г =* |
________ квТ |
(5.35) |
|
/гауеМ0[1 + (е, + е2)/4] |
|
а в пространстве с dF = 3 - е в отличие от закона Блоха найдем |
||
|
I'l |
3 /2 |
дм, |
квТ |
(5.36) |
|
ПауеМ0(1+ (г1+е2 + е3)/4) |
Таким образом, в зависимости от знаков £j, £2, £3 в квазитрехмерном случае наблюдается тенденция дМ. либо к спаданию в отличие от "обычного" закона "трех вторых", либо к возрастанию.
В рассмотренной модели средняя намагниченность фрактала имеет тот же качественный температурный характер, что и рассчитанная по модели Блоха. Отличие будет проявляться лишь в количественном отношении.
5.3.ОПЕРАЦИИ ДРОБНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
ИИНТЕГРИРОВАНИЯ
Задача описания физических свойств композитов с точки зрения чисто абстрактного математического аппарата носит скорее формаль ный характер и претендует лишь на корректность окончательных фор мул (причем, естественно, речь будет идти только о равновесных физи ческих параметрах вещества). Для структур с дробной размерностью довольно проблематично применение обычных операций дифференци рования и интегрирования и требуется их существенная модификация. Эта процедура может быть осуществлена с помощью формального разложения функции в интеграл Фурье. Единственное требование здесь заключается только в том, чтобы обратное преобразование Фурье
характеризовалось сходящимся интегралом I/( JC)exp(-ikx)dx <М,
где М - конечное число). Это условие, несомненно, довольно сущест венно ограничивает набор функций, для которых подобное рассмотре ние справедливо. Именно для данного класса функций введем оператор
239
дробного дифференцирования согласно формуле |
|
A f ( x )= ] (ik)'*efteil:xdk/2%. |
(5.37) |
При 8 = 0 имеем А = д/дх (пока убираем нижний индекс |
у 8; далее |
мы о нем вспомним).
Сразу же обратим внимание на то, что оператор А является ли нейным в обычном математическом понимании этого термина (выпол нены оба необходимых для этого условия).
Вычислим далее его действие на функцию е^х. В самом деле,
Ле'5* = J (ik)Ut fkeibxdk / 2я.
Так как согласно обратному преобразованию Фурье fk = J e~lkcet4Xdx =
= 2пЪ{к - q), то, значит, |
|
Аещх = J (ik)]+Eb(k - q)dk = (iq)]+Eeiqx |
(5.38) |
Рассмотрим теперь, как действует оператор А2 на функции. Имеем |
|
ее |
ее |
A2f(x) = A(Af(x)) = A J (ik)x+EfkeikxdkI2n= |
J (ik)'+EfkAeikxdk/2n. |
—oo |
—eo |
Согласно (5.38) получаем |
|
A2f(x) = е ^ ] k2{l+E)fkeikxdk/ 2n. |
(5.39) |
Итак, можно сказать, что действие дробного дифференцирования определено и дается формулами (5.37)-(5.39). Попробуем теперь с помощью полученных формул описать действие операции дробного интегрирования. В самом деле, если задано выражение
Af(x) = } (ik)'*cfkeikxdk/2K.
то вычисление отсюда функции f{x) позволит дать определение опе рации дробного интегрирования.
Предположим, что в результате обратной операции мы восста новили функциюfix). А именно получим, что
/(*)= J ] Q(x-y)(ik)'*‘fkeik>dydkl2K,
где Qiх - у ) - некоторое ядро, вид которого нам предстоит выяснить.
240