книги / Теоретические основы автоматизированного управления.-1
.pdfm |
x |
(t) sin wt t2 1, K |
x |
(t ,t |
2 |
) D |
e (t1 t2 ) , |
D |
x |
const. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
||||
Задача |
3.4. Случайный процесс задан следующим выражением |
|||||||||||||||
Y (t) |
dX (t) |
. |
|
Корреляционная функция определена следующим образом |
||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kx ( ) |
Dxe |
(t t |
. Определить корреляционную функцию заданного слу- |
|||||||||||||
|
|
1 2 |
|
|||||||||||||
чайного процесса Y (t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Задача |
3.5. Случайный процесс задан следующим выражением |
|||||||||||||||
Y (t) a |
dX (t) |
. |
Корреляционная функция определена следующим образом |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kx ( ) Dxe . Определить корреляционную функцию заданного случайного процесса Y (t).
Задача |
3.6. Случайный процесс задан следующим выражением |
||
Y (t) a |
dX (t) |
b. Корреляционная функция определена следующим обра- |
|
dt |
|||
|
|
зом Kx ( ) Dxe . Определить корреляционную функцию заданного случайного процесса Y (t).
Задача 3.7. Определить корреляционную функцию производной случайного процесса X (t), если
Kx ( ) Dxe (1 ).
Задача 3.8. Дана корреляционная функция Kx ( ) стационарной случайной функции X (t) :
Kx ( ) 2xe 2 2 .
Найти корреляционную функцию и дисперсию функции Y (t) вида:
Y (t) b dXdt(t) ,b const.
Практическое занятие №4. Определение спектральной плотности по корреляционной функции
Теоретические сведения
Спектральная плотность и корреляционная функция связаны между собой следующими соотношениями:
* |
(w) |
1 |
|
Kx ( )e |
iw |
|
(4.1) |
Sx |
|
|
|
d |
|||
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
и
11
Kx ( ) Sx* (w)eiw dw |
(4.2) |
|
|
где Sx* (w) – двусторонняя спектральная плотность случайного процесса X (t) , Kx ( ) – корреляционная функция случайного процесса X (t) ,
t1 t2 .
Решение типовых задач
Задача 4.1. Корреляционная функция случайного процесса X (t) за-
дана в виде Kx ( ) Dxe |
|
|
|
|
, где |
|
|
|
|
, 0 |
. Определить спектральную |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плотность соответствующего случайного процесса.
Решение. Спектральная плотность определяется по формуле (4.1):
* |
(w) |
1 |
|
Kx ( )e |
iw |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
iw |
d . |
|
|
|
|
||||||||||||
Sx |
|
|
|
d |
|
|
Dxe |
|
|
|
e |
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Исходя из условий задачи представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов:
|
|
Sx* (w) Dx |
[ |
0 |
|
e iw d e iw d ]. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S* (w) |
Dx |
1 |
|
|
0 |
|
Dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dx |
|
||||||||
e iw |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e iw |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
( iw) |
|
|
|
|
|
2 |
|
( iw) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
( 2 w2 ) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
Задачи для самостоятельного решения |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 4.2. Корреляционная функция задана в виде |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
D |
x |
(1 |
|
|
|
|
|
), если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Kx ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Построить график Kx ( ) , определить спектральную плотность Sx* (w) . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 4.3. Корреляционная функция задана в виде |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Kx ( ) ae |
|
|
|
|
|
(1 |
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Определить спектральную плотность Sx* (w) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Задача 4.4. Корреляционная функция задана в виде |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
|
|
|
|
|
|
|
), если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
D |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 . |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Kx ( ) |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
если |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
Найти спектральную плотность Sx* (w) .
Задача 4.5. Корреляционная функция задана в виде
Kx ( ) Dxe cos w0 .
Определить спектральную плотность Sx* (w) .
Задача 4.6. Корреляционная функция задана в виде
Kx ( ) Dxe (1 ).
Определить спектральную плотность Sx* (w) .
Задача 4.7. Корреляционная функция задана в виде
1 (1/ 5) , если 5 Kx ( ) 0, если 5 .
Определить спектральную плотность Sx* (w) .
Задача 4.8. Корреляционная функция задана в виде
Kx ( ) e .
Определить спектральную плотность Sx* (w) .
Задача 4.9. Корреляционная функция задана в виде
Kx ( ) 100 e 0,1 (1 0,1 ).
Определить спектральную плотность Sx* (w) .
Задача 4.10. Корреляционная функция задана в виде
Kx ( ) a2 e 2 .
Определить спектральную плотность Sx* (w) .
Практическое занятие №5. Определение дисперсии случайного процесса
на выходе динамической системы
Теоретические сведения
Рассмотрим схему на рис.5.1.
X (t) |
|
Y (t) |
W ( jw) |
||
Sx*(w) |
|
D y |
|
||
|
Рис. 5.1 |
13
Здесь W ( jw) – передаточная функция динамической системы; Sx* (w) –
спектральная плотность случайного процесса X (t) ; Dy – |
дисперсия слу- |
||||
чайного процесса Y (t) . |
|
||||
Дисперсия на выходе системы определяется по формуле: |
|||||
Dy S*y (w)dw , |
(5.1) |
||||
|
|
||||
где S*y (w) – спектральная плотность процесса Y (t) . S*y (w) |
определяется в |
||||
виде: |
|
||||
S*y (w) |
|
W ( jw) |
|
2 Sx* (w). |
(5.2) |
|
|
Чтобы вычислить интеграл (5.1), необходимо привести его к виду стандартного интеграла:
|
|
In |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Gn ( jw) |
|
|
dw, |
|
(5.3) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Hn |
( jw)Hn ( jw) |
|
||||||||||||||
где |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2n 4 |
|
|
|
|
||||
Gn ( jw) g0 ( jw) |
|
g1( jw) |
... gn 1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(5.4) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
H |
n |
( jw) h ( jw)n |
|
h ( jw)n 1 ... h |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
||
Интеграл In при n = 1,2,3 определяется соотношениями: |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 |
|
|
g0 |
|
; |
|
|
|
|
(5.5) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2h0h1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
h0 |
g |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
h |
1 |
|
|
|
|
(5.6) |
|
|
|
|
|
|
I2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
; |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2h0h1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
h g |
0 |
h g h0h1g2 |
|
|
||||||||||||
|
|
I3 |
|
|
|
2 |
|
|
0 |
1 |
|
h3 |
|
. |
|
(5.7) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2h0 |
(h0h3 h1h2 ) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Математическое ожидание случайного процесса Y (t) вычисляется через математическое ожидание случайного процесса X (t) и передаточную функцию W (0) :
my W (0) mx. |
(5.8) |
14
Решение типовых задач
Задача 5.1. Дано |
a2 |
|
|
W ( jw) jw; Sx* (w) |
. |
||
(w2 2 )2 |
|||
|
|
Определить дисперсию Dy случайного процесса на выходе динамической системы.
Решение. Имеем: |
|
W ( jw) 2 W ( jw) W ( jw). |
(5.9) |
Определим W ( jw). Получим:
W ( jw) jw.
Представим Sx* (w) в виде:
|
|
|
|
|
Sx* (w) a2 |
1 |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
( jw )2 |
( jw )2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Соотношение (5.1) с учетом (5.2), (5.9) примет вид: |
|
|
|
|
||||||||
Dy |
a2 |
2 |
|
jw ( jw) |
|
|
|
|
|
dw. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
2 ( jw) 2 ][( jw)2 |
2 |
( jw) 2 |
] |
|||||||
|
[( jw)2 |
|
Запишем полученное соотношение в виде:
Dy 2 a2 I2 ,
где
I |
|
|
1 |
|
|
g0 ( jw)2 g1 |
|
|
|
dw. |
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
( jw)2 h |
( jw) h |
][h ( jw)2 |
h |
( jw) h ] |
||||||
|
|
2 [h |
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
0 |
1 |
2 |
|
|
(5.10)
(5.11)
Соотношение (5.11) описывает стандартный интеграл порядка n 2. Общее выражение для стандартного интеграла имеет вид соотношение (5.3),
(5.4).
Сопоставляя (5.10) и (5.11), получим:
h0 1; h1 2 ; h2 |
2 ; |
(5.12) |
g0 1; g1 0. |
. |
|
|
|
Подставим (5.12) в (5.6). Имеем:
I2 41 .
Окончательно получим:
15
|
Dy 2 a2 I2 a2 . |
|
||
|
|
|
2 |
|
Задача 5.2. Линейная система описывается уравнением вида: |
|
|||
m Y (t) m |
Y (t) n X |
(t) n X (t). |
(5.13) |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
Случайная функция X (t) , действующая на входе системы, имеет спектральную плотность вида:
Sx* (w) |
Dx |
|
1 |
. |
|
w2 2 |
|||||
|
|
|
|
Определить дисперсию случайного процесса на выходе системы. Решение. Перейдем от уравнения (5.13) к передаточной функции
динамической системы. Введем оператор дифференцирования P dtd . Перепишем (5.13) в виде:
Из (5.14) имеем: |
(m1P m0 )Y (t) (n1P n0 )X (t) . |
|
|
|
(5.14) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Y (t) |
|
|
n1P n0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
W (P) |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
X (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m P m |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
откуда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 ( jw) n0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
W ( jw) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
( jw) m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определим W ( jw). Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
W ( jw) |
|
n1 ( jw) n0 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
( jw) m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Представим Sx* (w) в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Sx* (w) Dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
( jw )[( jw) ] |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Соотношение (5.1) с учетом (5.2), (5.9) примет вид: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2Dx |
n1 ( jw) n0 |
|
n1 ( jw) n0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
dw |
|||||||||||
D |
|
|
m |
( jw) m |
m |
( jw) m |
|
( jw ) |
|
[( jw) ] |
||||||||||||||||
|
y |
|
2 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2Dx |
|
[n1 ( jw) n0 ][n1 ( jw) n0 ] |
|
|
|
dw. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 [m1 ( jw) m0 ]( jw )[m1 ( jw) m0 ]( jw )
16
или
Dy |
2Dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.15) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
( jw) |
2 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
n0 |
|
|
|
|
dw. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m |
|
m |
)( jw) m |
][m |
( jw)2 (m |
m |
)( jw) m |
] |
|||||
[m ( jw)2 |
0 |
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
Запишем полученное соотношение в виде:
Dy 2Dx I2 ,
где
I |
|
|
1 |
|
g |
0 |
( jw)2 g |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dw. |
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
h |
( jw) h |
|
][h ( jw)2 h |
( jw) h |
] |
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 [h ( jw)2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
Сопоставляя (5.16) и (5.15), получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
h |
m ; h |
|
|
m |
m |
; h |
|
m |
; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
g |
0 |
n2 |
; g |
|
n2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставим (5.17) в (5.6). Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
I2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2m1 |
(m0 m1 ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Окончательное выражение для дисперсии Dy |
примет вид: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
m1 |
|
n2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Dy 2Dx I2 |
Dx |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
m1(m0 m1 ) |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.16)
(5.17)
Задачи для самостоятельного решения
Задача 5.3. На вход апериодического звена, описываемого уравнени-
ем:
T0Y (t) Y (t) k X (t),
поступает стационарный сигнал X (t) со спектральной плотностью:
Sx* (w) |
Dx |
|
1 |
. |
|
(w2 2 )2 |
|||||
|
|
|
|
Найти дисперсию случайного процесса на выходе апериодического звена. Задача 5.4. Линейная система описывается уравнением вида
T2Y (t) T1Y (t) T0Y (t) m1 X (t) m0 X (t).
17
Случайная функция X (t) , действующая на входе системы, имеет спектральную плотность
Sx* (w) C.
Найти дисперсию сигнала на выходе системы.
Задача 5.5. Дано: |
|
k |
|
|
|
|
(w) Dx |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
W (S) |
|
|
|
|
; Sx* |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
TS |
1 |
(w2 2 )2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Определить дисперсию Dy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 5.6. Дано: |
|
T1S 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Dx |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
W (S) |
; S* (w) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||
|
(w2 2 )2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
T S 1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Определить дисперсию Dy . |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 5.7. Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5S 1 |
|
|
|
jw 1 |
|
|
|
||||||||||||||
W (S) |
|
|
|
|
|
|
;S* (w) |
|
|
||||||||||||||||||
|
0,25S 2 S |
1 |
jw 2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Определить дисперсию Dy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Практическое занятие №6. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Формирующие фильтры |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Теоретические сведения |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Спектральная плотность на входе Sx* ( ) |
|
и на выходе |
S*y ( ) дина- |
||||||||||||||||||||||||
мической системы связана соотношением: |
|
|
2 S*( ), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
S*( ) |
|
(j ) |
|
|
|
|
|
|
|
(6.1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ( j ) – частотная характеристика динамической системы. |
|
||||||||||||||||||||||||||
Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (j ) ( j ). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
(j ) |
|
|
|
|
|
|
|
(6.2) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Подставим (6.2) в (6.1). Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
S*( ) (j ) ( j ) S*( ). |
|
|
|
|
|
|
(6.3) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если представить S*y ( ) в виде (6.3), то |
|
( j ) есть частотная характери- |
стика формирующего фильтра. Передаточную функцию формирующего фильтра получим следующим образом:
(S) ( j ) |
|
|
|
y(S) |
. |
(6.4) |
|
|
|||||
|
|
|
||||
|
|
j S |
|
x(S) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
18
Введем в рассмотрение оператор дифференцирования p dtd . Из (6.4) имеем:
( p) (S) |
|
S p |
|
Y (t) |
. |
(6.5) |
|
||||||
|
|
|||||
|
|
x(t) |
||||
|
|
|
|
|
Соотношение (6.5) используется для определения дифференциального
уравнения формирующего фильтра. Формирующий фильтр предназначен
для формирования случайного процесса с заданными вероятностными характеристиками.
Решение типовых задач
Задача 6.1. Дано:
* |
( ) |
Dy |
|
|
1 |
. |
|
Sy |
|
|
|
|
|||
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
Определить:
1)( j ) ?
2)Sx* ( ) ?
3)Уравнение формирующего фильтра.
Решение. Представим S*y ( ) в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
S*y |
( ) |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Dy |
. |
|
|
||||||
|
j |
j |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Сопоставляя (6.6) и (6.3), получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dy |
|
||||||
( j ) |
1 |
|
; |
( j ) |
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
Sx*( ) |
. |
|||||||||
j |
j |
|
|||||||||||||||||||||
Из (6.4) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
(S) |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Из (6.5) получим: |
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
y(t) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
( p) |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) |
|
|
|
|
|
Из (6.7) получим уравнение формирующего фильтра:
( p ) y(t) x(t)
или
(6.6)
(6.7)
19
dydt(t) y(t) x(t).
Задача 6.2. Дано:
S*y ( ) |
2Dy 3 |
|
|
1 |
. |
|
|
( 2 |
2 )2 |
||||
|
|
|
Определить:
1)( j ) ?
2)Sx*( ) ?
3)Уравнение формирующего фильтра.
Решение. Представим |
S*( ) в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S*y ( ) |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2Dy 3 |
|||||||
( j )2 |
( j )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Сопоставляя (6.8) и (6.3), получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Dy |
3 |
|
|||||
( j ) |
|
|
1 |
|
|
|
|
* |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
; |
Sx ( |
|
|
. |
|||||||||||
|
( j )2 2 j 2 |
) |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Из (6.4) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(S) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из (6.5) получим: |
S 2 2 S 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
y(t) |
|
|
|
|
|
||||||
( p) |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
p2 2 p 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x(t) |
|
|
|
|
Из (6.9) определим уравнение формирующего фильтра:
( p2 2 p 2 ) y(t) x(t)
или
.. .
y(t) 2 y 2 y(t) x(t).
Задачи для самостоятельного решения
Задача 6.3. Дано:
S*( ) D |
1 3 2 / 2 |
. |
|
|
|||
y |
y 2 (1 2 / 2)2 |
|
20