книги / Сборник задач по аналитической геометрии.-1
.pdfтель, то величина определителя при этом ие изменится. Например>
<ii “Ь kb\ |
6. |
Cl |
dl |
bi |
Cl |
#2 + kb% |
&з |
Сз — |
«3 |
|
С» |
#3 -f- |
6» |
сз |
ЙЗ |
Ьз |
Сз |
Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алге* браического дополнения и минора. Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркиваиии строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.
Алгебраическое дополнение любого элемента определители равняетси минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых рас положен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число нечетное.
Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать
большой буквой |
того же наименования и тем же номером, что й |
||
буква, которой обозначен сам элемент. |
|
||
С в о й с т в о |
9. Определитель |
|
|
|
«1 |
Ьз |
Cl |
|
А = аг |
ь% |
Сз |
|
а3 |
bz |
с3 |
равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнении.
Иначе говоря, имеют место следующие равенства:
А = |
a i A i |
+ O2A2 4- азАз, |
Д == OjAi |
4- b,Bt 4- CiCj, |
|
Д = |
6jB i |
4”Ьг В г 4" &3B3, |
Д = 02 А 2 |
4 |
- b% Bi 4" C tC t, |
Д = |
С\С\ |
4"С2С2 4" С3С3, |
Д — O3A3 |
4 |
*ЬгВг 4“ С3С3. |
В задачах 1217—1222 требуется, не раскрывая опре делителей, доказать справедливость равенств.
1217. |
3 |
2 |
1 |
а |
2 |
7 |
|
|
- 2 |
3 |
2 |
= — 2 |
3 |
— 2 |
• |
|
4 |
5 |
3 |
А |
5 |
11 |
|
У к а з а н и е . |
Воспользоваться |
свойством 8. |
|||||
1218. |
1 |
- 2 |
3 |
|
1 |
0 |
0 |
|
— 2 |
1 - 5 |
= |
- 2 |
— 3 |
1 |
|
|
3 |
2 |
7 |
|
3 |
8 |
- 2 |
т
У к а з а н и е . Воспользоваться свойством 8.
1219. |
«1 |
|
*1 |
|
С\ |
|
а2 |
|
Ь2 |
|
С2 |
|
<*х + |
сш 2 |
bi + |
аЬ2 ct -}- ас2 |
|
У к а з а н и е . |
Воспользоваться |
свойствами |
|||
1220. |
Р&! + |
У'С] |
Ь\ |
Сх |
|
|
Р&2+ |
У°2 |
Ь2 |
Со = |
0. |
|
Р&з + |
Усз |
Ь3 |
с3 |
|
У к а з а н и е . Воспользоваться свойствами 7 и 6.
1221. |
sin2 а |
cos2 а |
cos 2а |
|
|
sin2 Э |
cos2p |
cos2f5 |
|
|
sin2 у |
cos2 у |
cos 2Y |
|
1 2 2 2 . |
0 |
—а |
- b |
|
|
а |
0 |
—с |
= 0. |
|
b |
с |
0 |
|
В задачах 1223—1227 требуется вычислить опре^ делители, пользуясь одним свойством 9.
1223. |
|
1 |
|
1 - |
1 |
1224./ |
1 |
17 |
--7 |
|
|
1 |
— 1 |
1 . |
^ |
- 1 |
13 |
1 |
|
|
- 1 |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
7 |
1 |
1225. |
2 |
|
0 |
г |
|
1226. |
1 |
2 |
4 |
|
1 |
|
3 |
16 |
|
|
—2 |
1 |
- 3 |
|
0 |
- 1 |
10 |
|
|
3 |
- 4 |
2 |
|
1227. |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
X |
|
У |
z |
• |
|
|
|
|
|
X2 |
|
У2 |
z2 |
|
|
|
|
|
№
1228, Определители, данные в задачах 1223—1227, пользуясь свойством 8, преобразовать так, чтобы в ка ком-либо столбце (или строке) определителя два элемента стали равными нулю, а затем вычислить каждый из йих, воспользовавшись свойством 9.
В задачах 1229—1232 требуется вычислить опре делители.
1229. |
0 |
а |
b |
1230. |
0 |
sin a |
ctga |
|
|
а |
0 |
а |
sin а |
0 |
sin а . |
||
|
Ь |
а |
0 |
ctga |
sin а |
0 |
||
1231. |
X |
У |
г |
1232. а |
Ь |
с |
|
|
|
X2 |
У2 |
Z2 |
с |
а |
Ь |
|
|
|
X3 |
уг |
Z3 |
Ь |
с |
а |
|
|
1233. |
Доказать справедливость |
равенств: |
|
|||||
1) 1 |
sin а |
sin2 a |
|
|
|
|
||
1 |
sin р |
sin2 p |
= |
|
|
|
||
1 |
sin у |
sin2 у |
|
|
|
|
||
|
|
= |
(sin a — sin Р) (sin Р — sin у) (sin у — sin a); |
|||||
2) |
1 |
1 |
1 |
sin (a — ft) sin (ft — y) sin (y — a) |
||||
tg a |
tgp |
tgy |
||||||
|
cos2 a cos2 P cos2 у |
|||||||
|
|
|
|
|
tg2a tg2p tg2 у
1234. Решить уравнения:
1) 1 |
|
3 |
x |
2) |
4 |
|
5 |
- 1 |
= 0; |
2 |
- 1 |
|
5 |
|
CO |
|
|
2 |
- |
1 |
x + |
10 |
1 |
1 3
1
1235. |
Решить |
неравенства: |
|
|
|
|
||
1) |
3 - 2 |
1 |
2) |
2 x + |
2 —1 |
|||
|
1 |
x |
—2 |
< 1 ; |
1 |
1 |
|
- 2 |
- 1 |
2 |
- 1 |
|
5 |
—3 |
x |
7 Д. В. Клстеник |
193 |
§ 5. Решение и исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными
Рассмотрим |
систему |
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
п-.х + |
Ь , у |
4 |
с,г = |
А|. |
|
|
|
|
|
|
|
вцХ 4 |
ЬгУ4 |
с2г = |
Aj. |
|
|
(I) |
||
|
|
|
Оз* 4 |
4(/ 4 с ,г |
Л3 |
|
|
|
|||
с неизвестными |
х, у, г |
(коэффициенты а,, Ь и . |
Гя |
II свободный |
|||||||
члены А|. А;. A3 предположим данными). |
|
|
|
|
|||||||
Введем обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
«1 |
/>, |
fi |
|
А] |
4 |
с, |
|
4 |
А| |
О |
|
а.г |
Ьг |
г_, |
|
4 |
4 |
с2 |
= |
(1? |
fi. |
с2 |
|
4 |
Ь3 |
с* |
|
■4 |
4 |
с:, |
|
4 |
hi |
Cl |
|
|
|
|
|
а I |
|
4 |
Л| |
|
|
|
|
|
|
|
|
«2 |
|
Ьц |
h-. |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
Ьз |
Аз |
|
|
|
|
Определитель Л, составленный из коэфф.’щнентов при неизвест
ных системы (I), называется |
определителем данной системы. |
|
Полезно знчатить, что |
определители А*, Ау, |
получаются |
m определителя А при помощи замены соответственно его первого, второго и, наконец, третьего столбца — столоном свободных членов данной системы.
Если А Ф 0, то система (П имеет едниетвепиое решение; они
определяется формулами
х |
|
|
\ г |
|
|
1 Г ' |
|
|
|
|
|
Предположим теперь, |
что |
определитель системы равен нулю: |
|
Л = •>. Если в случае |
Л --= 0 |
хотя бы один из определителей АЛ-, Ау. |
|
Аз отличен от нуля, то система |
(1) совсем не имеет решений. |
||
В случае, когда |
Л — 0 и одновременно Л* ■= О, S y = 0, Аг = 0. |
система ( 1) также может совсем не иметь решений; но ес.ш система (1) при этих условиях имеет хотя бы одно решение, то она
имеет бесконечно много различных решений. Однородной системой трех уравнений первой степени с тремя неизвестным» называется система вида:
|
а\Х 4- b\tj + |
с ,г = |
О, |
|
|
|
|
а 2х 4 Ь2у |
4 |
c sz = |
0, |
|
(2) |
|
1«з.т 4 Ь-Лу 4 |
с3г = |
О, |
|
|
|
т. е. система уравнений, свободные члены которых равны нулю. |
||||||
Очевидно, |
что такая система всегда имеет |
решение: х — |
0 , у ~ 0 , |
|||
2 = 0; оно |
называется пулевым. |
Если |
А ф |
0, то эго |
решение |
является единственным. Если же А = 0, то однородная система (2) имеет бесконечно много непутевых решений.'
194
В задачах 1236 —1243 требуется установить, что системы уравнений имеют единственное решение, н найти его.
1236. |
х + у — 2 — 36, |
|
1237. | |
х -f- 2у + |
г = |
4, |
||
|
х -f- z |
у = 13, |
|
| |
З а |
5// + Зг |
1, |
|
|
// 4- 2 — X — 7. |
|
' 2х -{- 7у — z = 8. |
|||||
1238. |
2х — 4у + 9г —28, |
1239. |
( 2 х + у = |
5, |
|
|||
|
7а + 3# — 6г = |
— 1, |
|
| |
х -f- 3z = |
16, |
|
|
|
7х + |
9# — 9г = |
5. |
|
15у — |
10. |
|
1240. |
1л: + у + |
г = 36, |
1241.( |
7 х + |
2у + 3 г = |
15, |
|||||
|
I |
2л' — Зт — |
1 /, |
|
I 5а |
3у |
2z — 15, |
||||
|
I |
6 а — 5г — 7. |
|
|
i 10а — 11;/ + 5г = |
36. |
|||||
1242. |
/А + |
;/ + |
2 = а, 1243. |
f.v — </+ |
г = а, |
|
|||||
|
Х х — у + г — Ъ, |
|
|
j -V+ У — 2 = Ь, |
|
||||||
|
I х -f- у — г — с. |
|
|
I y + z — x — c. |
|
||||||
1244. |
Найти |
все решениясистемы |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
j |
х + 2у — 4г = |
1, |
|
|
|
|
||
|
|
|
I |
2а + |
г/— 52 = |
— 1, |
|
|
|
||
|
|
|
' |
х — |
у — |
2 = |
—2. |
|
|
|
|
1245. |
Найти |
все решения системы |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2х — |
у + |
2 = |
—2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
х + 2у + |
32 = |
— 1, |
|
|
|
||
|
|
|
|
х — Зу — 2г = 3. |
|
|
|
|
|||
1246. Найти |
все решения системы |
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 За — |
# + 22 = 5, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
I |
2а — |
у — г = |
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4а — 2у — 2г = |
—3. |
|
|
|
||||
1247. |
|
Определить, |
при каких |
значениях |
а |
и b си |
|||||
стема уравнений |
За — 2у + |
z ~ b , |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
5а — 8# + |
9г = |
3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
; 2А" + |
у + |
CLZ— |
— |
1 |
|
|
|
7* |
195 |
1)имеет единственное решение;
2)не имеет решений;
3)имеет бесконечно много решений.
1248. Доказать, что если система уравнений
alx + bly = cl,
а2х + Ь2у — с2,
а:1х 4- Ьлу = с3
совместна, то
а . ь, СI
а2 ^2 С2
«з ^3 Сз
1249. Найти все решения системы
( 2х + у — z = 0,
I х + 2у + z = 0,
I 2д: — у + Зг = 0.
1250. Найти все решения системы
X — у — 2 = 0,
Iх + 4у + 2 г — 0, Зх "I- 7у -|- 32 = 0.
1251. Определить, при каком значении а система однородных уравнений
Зх— 2у-[- 2 = 0, их — 14у + 15г = 0,
х + 2у — 32 = 0
имеет ненулевое решение.
§ 6. Определители четвертого порядка
Все свойства определителей, перечисленные в § 4, относятся к определителям любого порядка. В настоящем параграфе следует применить эта свойства для вычисления определителей четвертого порядка.
196
В задачах 12521260 требуется вычислить опре делители четвертого порядка.
|
1252, |
|
-3 |
0 |
0 |
0 |
1253. |
|
|
|
2 |
2 |
0 |
0 |
* |
|
-\ |
|
1 |
3 |
- 1 |
0 |
|
|
|
1 |
5 |
3 |
5 |
|
|
|
1254.^ |
2 |
|
1 |
1 |
0 |
( 1255. |
|
|
0 |
|
1 |
2 |
- 1 |
к |
|
|
3 |
|
-1 |
2 |
3 |
|
|
|
3 |
|
1 |
6 |
1 |
|
( |
1256. |
|
8 |
7 |
2 |
0 |
1257. |
V |
|
|
8 |
2 |
7 |
10 |
|
|
|
|
* |
||||
|
|
|
4 |
4 |
4 |
5 |
|
|
|
|
0 |
4 |
- 3 |
2 |
|
|
1258. |
а |
Ь |
с |
d |
|
1259. |
|
|
b |
а |
d |
с |
* |
|
|
|
с |
d |
а |
b |
|
|
|
|
d |
с |
b |
а |
|
|
|
1260. |
0 |
— а |
— Ь |
— d |
||
|
|
а |
|
0 |
— с |
— е |
2 |
|
-1 |
3 |
4 |
0 |
|
1 |
5 |
— 3 |
0 |
|
0 |
5 |
- 3 |
0 |
|
0 |
0 |
9 |
2 |
3 |
—3 |
4 |
|
2 |
! |
- 1 |
2 |
|
6 |
2 |
|
1 |
0 |
2 |
3 |
|
0 |
' — 5 |
0 |
b |
с |
d |
|
Ъ |
0 |
d |
с |
|
с |
d |
0 |
ь |
|
d |
с |
b |
0 |
|
а |
Ь |
с |
d |
|
d |
а |
b |
с |
• |
с |
d |
а |
b |
|
b |
с |
d |
а |
|
Ь |
с |
0 |
0 |
|
|
|
d |
е |
0 |
0 |
|
|
|
1261. Доказать, что если система уравнений |
||||||
|
А\Х -|- В\У |
|
C\Z -(- D \ = |
0, |
||
|
А 2х + В 2у + C 2z |
+ D 2 = 0, |
||||
|
А 3х + В 3у |
+ |
C 3z |
+ Aj = |
0, |
|
совместна, то |
А4х -j- В 4у + C 4z |
-f-£>4 = 0 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
л, |
В , |
С, |
0 . |
|
|
|
а 2 |
в 2 |
с 2 D 2 |
|
||
|
А3 |
В3 |
Сз |
D3 |
|
|
|
а 4 |
В4 |
|
D 4 |
|
197
ОТВЕТЫ |
И У К А З А Н И Я К ЗАДАЧАМ |
|
||
|
|
|
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ |
|
1. См. рис. 54. |
|
2. |
У к а з а н и е . Уравнение \х\ — 2 |
экви |
валентно двум уравнениям: х — —2 и .« = 2; соответственно |
имеем |
|||
две точки: А, ( —2) |
и |
Л2 |
(2) (рис. 55). Уравнение | х ~ 1) = 8 |
эквп- |
/
2
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 54. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
валентно |
двум |
уравнениям: jc — 1 = |
—3 и х — 1 == 3, откуда |
нахо |
|||||||||||||||
дим |
х — —2 и JC = 4 и соответствующие |
нм точки В] и В. (рис. 55). |
|||||||||||||||||
В остальных |
случаях |
решения |
аналогичны. |
3. |
Точки расположены: |
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1) справа от точки |
(2); 2) слева |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
от точки Л42 (3); включая точку АТ/, |
|||||||||||
|
1— ч |
|
|
|
|
|
|
3) справа от точки Л13 (12); 4) с.к- |
|||||||||||
А. |
0 |
|
П2 |
р2 |
|
_ |
ва от |
точки |
Л/4 |
|
|
включая |
|||||||
к—о-------- 4 ----- о • |
1 ■ - О |
..........| w |
O |
. - ч |
! |
|
|||||||||||||
В, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ 2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
точку |
А/,; 5) |
справа |
от |
точки |
||||||||
|
|
Рис. |
55. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
Л15 ( у ) ; |
0) внутри отрезка, |
огра- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
нпчсшюго точками Л1в(0 11 |
3/2 (3); |
7) |
внутри |
отрезка, |
ограни |
||||||||||||||
ченного |
точками |
Л17( —2) |
и |
Мл (3), |
включая |
точки |
|
Л/7 |
и |
ЛС; |
|||||||||
8) внутри отрезка, ограниченного точками /1(1) и В (-2); |
|
9) |
вне |
||||||||||||||||
отрезка, ограниченного точками Р (—I) |
и |
Q (2); |
10) |
ане |
отрезка, |
||||||||||||||
ограниченного |
точками /1(1) |
и |
В (2); |
II) внутри отрезка, |
ограничен |
||||||||||||||
ного |
точками |
|
Р ( — 1) |
и |
<3 (2); |
12) внутри |
отрезка, ограниченного |
108
точками |
М (3) |
и |
N{5), |
включая |
точки |
М |
и |
N; |
13) |
пне утрсжз. |
||||||||||||||
ограниченного |
точкачп |
Л1 (3) |
и ;V (5); |
14) |
|
пне |
отрезка, |
ограничен |
||||||||||||||||
ного точками |
Р |( —1) и Qj (3,1; |
15) |
внутри |
|
отрезка, |
шраннчонного |
||||||||||||||||||
точками |
Pi I —4i |
и |
(2,(3), |
включая |
точки |
|
Pj |
и |
Qi. |
|
4. |
1) |
. IЛ -- к, |
|||||||||||
I ЛВ | = |
8; |
2i |
Л В « = -3 . |
|Л В | = |
3; |
3) ЛВ = |
|
4, |
\ АВ 1= |
4; |
4» .Ш = 2, |
|||||||||||||
I ЛВ ! = |
2; |
Г» |
ЛВ |
|
- 2, |
( ЛВ | = |
2; 6) ЛВ = |
|
2, |
| АП ! = |
2. |
3. 11 |
- 2 ; |
|||||||||||
2) 5; |
3) |
I; |
4i |
—8; |
5) —2 н 2: |
6) —1 и 5; |
7) |
—О и |
4; |
8 i |
—7 и |
—3. |
||||||||||||
В. 1) Внутри отрезка, ограниченного точками Л ( —I) |
и В{\у, 2) вне |
|||||||||||||||||||||||
отрезка, ограниченного точками |
Л ( —2) н В (2); |
3) |
внутри |
отрезка, |
||||||||||||||||||||
ограниченного |
точками |
А (—2) |
и |
В (2), |
включая |
|
точки |
Л |
и В; |
|||||||||||||||
4) вне |
отрезка, |
ограниченного |
точками Л (—3) и |
В (3), |
включая |
|||||||||||||||||||
точки |
Л и |
В; |
5) |
внутри |
отрезка, |
ограниченного |
точками Л ( — 11 |
|||||||||||||||||
и В (5); |
6) |
внутри |
отрезка, |
ограниченного |
|
точками |
А (4) |
и Bffi), |
||||||||||||||||
включая |
точки |
А и В; 7) вне отрезка, ограниченного гонками Л (— 1) |
||||||||||||||||||||||
и В(3), |
включая |
точки |
Л |
и |
В; |
|
8) вне |
|
отрезка, |
ограниченного |
||||||||||||||
точками |
Л (2) |
н |
В (4), |
включая |
точки |
А н |
В; |
9) |
внутри |
отрезка, |
||||||||||||||
ограниченного точками А ( —4) |
и |
В (2); |
10) |
вне |
отрезка, |
ограни |
||||||||||||||||||
ченного |
точками |
А ( —3) н |
В( —1); |
II) |
внутри |
отрезка, |
ограни |
|||||||||||||||||
ченного |
точками Л (—6) и |
|
В (—1), включая точки Л н В: |
|||||||||||||||||||||
!2) вне |
отрезка, ограниченного |
точками |
Л (~ 3 ) |
и |
|
В (Г), |
включая |
точки А н В. |
7- I) |
2) |
- |
3 ’ |
3» 2; 4) |
о) |
|
ВС |
’ |
вл ~ з |
|
|
II ГЦ^. |
II I |
II |
8. А, - ^ = 3 - |
|
— - 1 |
; А, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ВЛ _ |
3 |
А« — |
СА |
|
1 |
з • |
II |
ЛС |
4 : |
|
ЛВ |
|
|
|
10. |
А' ■ |
А| + >-Х; |
|
|
X = |
А , 4- А , |
1 2 . |
1 ) |
||||
3) |
-2; |
|
1 -Ь А |
|
|
|
|
|
> |
13 |
||
|
41 |
—2; |
|
5) |
— • |
13. |
" 1 Г ; 2) |
|||||
4) |
7; |
5) |
3; |
0) |
о. |
14. |
I) |
41 ( - 11 ); |
4 |
: |
||
|
|
|
||||||||||
2 ) |
:V(I3). |
15. (5) |
и |
(12), 16. Л (7) |
и |
|
|
|
||||
В (-4 1 ). |
17. |
См, |
рис. 56. 18. |
Л г (2; 0), |
|
|
|
|||||
В,-(3; |
0), |
С , ( - 5 ; |
0), |
D r ( - 3; |
0), |
|
|
|
||||
B, |
(—5; 0). |
19. |
Лу (0; |
2), |
Ву {0; |
1), |
|
|
|
10
Г
2 ) 2;
31 IT5
C,, (0; |
2), |
Оу(0;1), |
Ёу (0; |
-2). |
XZ |
т |
||
20. 1) (2; |
- 3); |
2) ( - 3; |
- 2); |
|||||
3) ( - 1 ; |
1); |
4) ( - 3 ; 5); |
5) ( - 4 ; |
- |
6); |
|
|
|
6 ) (а; -Ь). |
21. |
1) ( 1; 2 ); 2) ( - 3; |
- |
1 ); |
|
|
||
3) (2; - 2 ); |
4) |
(2; 5); |
5) ( - 3 ; |
-5 ); |
|
|
||
6) ( - о; |
Ь). |
|
22. |
I) ( -3 ; |
-3 ); |
|
|
?! ,(Г 21 |
4)\ |
3)(2: |
|
4и ~ 5; 3>: |
|
|
|
С * - |
|
|
|
|||||||
Ь). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
б) |
(5; 4); |
6) ( - |
а; - |
23. |
1) (3;2); |
|
|
|
Рнс. |
56. |
|
|
||||||
2) ( - 2 ; 5); 3) (4; - 3 ). |
24. |
1)(—5; |
-3 ); |
|
|
|
|
|
||||||||||
2) |
(—3; 4); 3) (2; —7). |
25. |
1) |
В первой |
|
3 ) |
в |
первой |
и |
третьей; |
||||||||
и |
третьей; 2) |
во |
второй |
и |
четвертой; |
|||||||||||||
4) |
во |
второй |
|
и |
четвертой; |
5) |
в первой, |
второй |
н |
четвертой; |
||||||||
о) во второй, третьей н четвертой; 7) |
в первой, третьей и |
четвертой; |
||||||||||||||||
8) |
в |
первой, |
второй |
и |
третьей. |
26. |
См. |
рис. |
57. |
27. |
[з; |
— |
||||||
И ) - |
( * ! ) • |
|
|
|
|
& п - |
» ( 1 - т 4 |
|
( * - ? ) • |
199
( “' 4 |
«)• (4; - 4 |
л)- |
(3:л - |
2)- 2э- Ф |
|
|
4 п) |
п D(5; |
- |
f |
H |
||||||||||||||||
30. |
(l; |
- |
f |
)• |
31. |
л |
( з |
; - | - ) . |
в ( ? . { л |
) , |
С . 1; 0), D (о; - J ), |
||||||||||||||||
Е (3; 2 - |
я). |
F (2: я |
- |
I). |
32. |
Л/, (3; |
0), |
ЛЬ (l; |
у ) , |
Л/3 ^2; |
- |
у ) , |
|||||||||||||||
л ,4 ( 5; |
~~ш ) ’ |
|
л,5,3;п)> |
л,3( 1: |
4 |
4 |
|
|
|
33- |
( 6: |
т |
)- |
||||||||||||||
34. d = |
V р, + |
р2,-2 р ,р 2 cos (02- 0 ,) . |
35. d=7. |
36. 9 (1 7 -4 |
I Т |
) кв. ед. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37. |
2(13+6 V I ) кв. ед. |
38. 28 | /‘з |
кв. ед. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39. S = |
~ |
р,р2 fsin (О,— О-)]. |
49. |
5 кв. ед. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41. |
3(4 |
V I - |
1) кв. ед. |
42. Л1. (0; |
б), |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛЬ (5; 0), |
ЛЬ { V l ; Iг'2), ЛЬ (5; - 5 |
У з ), |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л16 (—4; |
4 V D . |
|
|
|
Л16(б V 3; |
- |
6). |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43. |
.И, |
(б; |
-* ), |
|
ЛЬ (3; я), |
ЛЬ (г : у ) , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л1, |
( 2; - |
1 |
л ), |
|
« 3 ( 2; - |
у ) . |
44 |
1)3; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
- 3 ; |
|
3) 6; |
|
4) |
5; |
|
5) '- 5 ; |
|
6 ) 2. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47. |
I) А = |
1, К — 3; 2) Х = - 4 , |
У = |
- |
2; |
|||||||||||
|
|
Рис. |
|
57. |
|
|
|
|
|
3) Х = |, Ь = - 7 ; |
|
4) А = 5, У = 3. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
48. ( 3 |
; |
4 |
9 . |
|
( - 3 ; |
2). 52. |
1)А = |
- |
6, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1' = 6 J '3 ; |
|
2) X = 3 У з, |
|
У = — 3; |
|||||||||||
3) |
А’ ==\ |
2 , |
У- |
|
V I . |
53. |
1) |
5; 2 ) 13; 3) |
10. 54. |
1) |
(1 = 2, |
0 = |
у ; |
||||||||||||||
2) </ =-О, |
0 =-- — j - ’ |
0) |
^ = |
|
1, G = |
—■л . 55. |
Г) |
= |
V 2 , |
0 = |
— -г я; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2) (1 = |
5. |
О= |
arclg - i - |
я; 3) d |
= 13, 0 = л - a r c t g - у ; |
4) d = |
>Л234, |
||||||||||||||||||||
6 «= — arctg5. |
|
|
56. |
1) 3; |
|
2) |
-3 . |
|
|
57. |
Г) |
(—9; 3);_2) (-9 , |
-7 ). |
||||||||||||||
58. |
Г) |
(-13: |
-12); |
2) |
(1; |
-12). |
59. |
- 2 . |
|
6:). |
3 * |
|
-4-. |
|
61. 4. |
||||||||||||
62. |
1) |
-3 ; |
2) |
5. |
|
63. |
1) |
3; |
2) |
10; |
_3) |
5; |
4) |
1 3; |
5) 2 КТ; |
|
6) |
13. |
|||||||||
64 |
137 кв. ед. |
65. |
|
34 кв. ед. |
66. |
8 + 3 |
кв. ед. |
67. |
13,15. |
68. 150 кв. ед. |
|||||||||||||||||
69. |
1 | |
7. |
73 |
Ь ЛЬЛЬ ЛЬ —тупой. |
75. |
|
ВАС = |
43s, |
|
АВС = |
45°, |
||||||||||||||||
+. .4СВ = |
90°. 76.60°. Указание . Вычислить длины сторон треуголь |
||||||||||||||||||||||||||
ника, а штем применить теорему косинусов. |
77. Л1,(6;0) и ,И2(—2; 0). |
||||||||||||||||||||||||||
78. |
Л4, (0; 28) |
и |
ЛЬ (0 ;-2 ). |
79. Я, (1; 0) |
и |
Я3 (6; 0). |
80. |
С, (2; 2), |
|||||||||||||||||||
Я, = 2; С2 (10; 10), |
/+ = 10 . |
|
81. С, (-3 ; |
-5 ), |
С2 (5; -5 ). |
82. |
ЛЬ(3; 0). |
||||||||||||||||||||
83. |
6(0; 4) |
п D (—1; -3 ). |
|
84. Условию |
задачи удовлетворяют два |
||||||||||||||||||||||
квадрата, |
симметрично |
расположенных |
относительно стороны А В . |
||||||||||||||||||||||||
Вершины одного квадрата суть точки |
Сt (—5; 0), |
|
(—2; —4), |
||||||||||||||||||||||||
вершины |
другого — С2 (3; 6), |
0 2(6;2). |
|
|
85. |
С (3; —2), |
|
R = 1 0 . |
|||||||||||||||||||
86. |
(1; |
—2). |
87. |
Q (4; 6). |
88. Середины |
сторон А В , |
В С , |
А С |
соот |
||||||||||||||||||
ветственно суть (2; -4 ), ( - 1; 1), (-2; 2). 89. |
1) А/ ( 1; 3); 2) N (4; -3 ). |
||||||||||||||||||||||||||
90. |
(I; |
-3 ), |
(3. I) |
|
и |
(-5 ; |
7). |
91. 0 ( - 3 ; 1). |
92. (5; -3 ), (1; -5 ). |
||||||||||||||||||
93. |
/>,(2;1), |
/ ) ,( —2; 9), |
D3 (6; —3). |
Указание . |
Четвертая |
вер |
шима параллелограмма может быть противоположной любой из дан-
200