3492
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Е.А.Бондарь, Н.Х.Селиванова
Кривые и поверхности второго порядка
Учебно-методическое пособие по подготовке к практическим занятиям по дисциплине
«Математика» для обучающихся по направлению подготовки 21.03.03 Геодезия и дистанционное зондирование, профиль Инфраструктура пространственных данных
Нижний Новгород
2016
Министерство образования и науки Российской Федерации
0
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет»
Е.А.Бондарь, Н.Х.Селиванова
Кривые и поверхности второго порядка
Учебно-методическое пособие по подготовке к практическим занятиям по дисциплине
«Математика» для обучающихся по направлению подготовки 21.03.03 Геодезия и дистанционное зондирование, профиль Инфраструктура пространственных данных
Нижний Новгород ННГАСУ
2016
1
УДК 517.9
Бондарь Е.А. Кривые и поверхности второго порядка [Электронный ресурс]: учеб.-метод. пос. / Е.А.Бондарь, Н.Х.Селиванова; Нижегор. гос. архитектур.- строит. ун-т – Н.Новгород: ННГАСУ, 2016.- 43с; ил. 1 электрон. опт. диск (CD-RW)
В пособии приведены определения и классификация кривых и поверхностей второго порядка. Рассмотрены кривые в полярной системе координат и методы приведения уравнений кривых второго порядка к простейшему виду. Даны контрольные задания по теме «Кривые и поверхности второго порядка».
Предназначено обучающимся в ННГАСУ для подготовки к практическим занятиям по дисциплине «Математика» для обучающихся по направлению подготовки 21.03.03 Геодезия и дистанционное зондирование, профиль Инфраструктура пространственных данных.
© В Е.А.Бондарь, Н.Х.Селиванова, 2016 © ННГАСУ, 2016.
2
§ 1. Понятие кривой на плоскости
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxy . Кривой (или линией) на плоскости называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению F (x, y) = 0 , где F (x, y)– некоторая функция двух переменных. Для того, чтобы множество точек, координаты которых являются решениями уравнения F (x, y) = 0 , соответствовало наглядному представлению о кривой, на функцию F (x, y) накладывают соответствующие ограничения. Например, множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют линейному уравнению Ax + By + C = 0 , есть прямая.
Знание уравнения линии позволяет для любой точки определить, принадлежит ли она линии. Если координаты точки удовлетворяют уравнению линии, то точка принадлежит этой линии, если не удовлетворяют
– не принадлежит. |
M 1 (− 1,3) и M 2 (1,1) |
Пример. Определить, принадлежат ли точки |
|
линии, заданной уравнением y − x2 − x − 3 = 0 . |
|
Решение. При подстановке координат точек M 1 |
и M 2 в уравнение |
получим 3 -1 + 1 - 3 = 0 , 0 = 0 ; 1 -1 -1 - 3 = -4 , - 4 ¹ 0 . Следовательно, точка M 1 принадлежит, а точка M 2 – не принадлежит данной линии.
Важный класс линий составляют те, для которых функция F (x, y) есть многочлен от двух переменных. В этом случае линия называется алгебраической кривой, а степень многочлена – порядком кривой. Алгебраическая кривая первого порядка – это прямая линия. Алгебраические кривые второго порядка – это окружность, эллипс, гипербола и парабола – будут изучаться в дальнейшем.
Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 , |
(1) |
где хотя бы один из коэффициентов A, B,C не равен нулю.
§ 2. Окружность. Каноническое уравнение окружности
Окружностью называется множество, состоящее из всех точек плоскости (геометрическое место точек), находящихся на равном расстоянии R от фиксированной точки C . Число R называется радиусом окружности, а точка C – её центром.
Найдем уравнение окружности в заданной системе координат oxy . Пусть точка C совпадает с началом координат O(0,0), а M (x, y) – текущая точка окружности, т.е. точка, описывающая окружность.
3
y
M(x,y)
R
О
Рис. 1.
Из определения окружности следует, что точка M (x, y) тогда и только тогда принадлежит окружности, когда OM = R или x2 + y 2 = R , возводя
обе части этого равенства в квадрат, получим уравнение |
|
x2 + y 2 = R2 . |
(2) |
Это есть каноническое уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R .
Если центр окружности находится в точке C(x0 , y0 ), то уравнение такой окружности будет
(x − x |
0 |
)2 |
+ (y − y |
0 |
)2 |
= R2 . |
(3) |
|
|
|
|
|
|
Возводя двучлены, стоящие в левой части равенства (3), в квадрат, получим
x2 + y2 − 2x0 x − 2 y0 y + x02 + y02 − R2 = 0 .
Мы видим, что уравнение окружности есть алгебраическое уравнение второй степени, и, сравнивая с уравнением (1), получаем, что уравнение (1) есть окружность, если B = 0 и A = C . Обратное тоже верно.
Пример. Показать, что уравнение x2 + y2 − 8x + 2 y + 8 = 0 задает окружность. Найти ее центр и радиус.
Решение. Т.к. B = 0 , A = C = 1 – это окружность. Выделим полные квадраты
x2 − 8x + 16 − 16 + y2 + 2 y + 1 − 1 + 8 = 0
(x − 4)2 − 16 + (y + 1)2 − 1 + 8 = 0
(x − 4)2 + (y + 1)2 = 9.
Получили уравнение окружности с центром в т.C(4,−1) и радиусом R = 3 .
4
§ 3. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса
Эллипсом называется множество, состоящее из точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек F1 и F2 , называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
Пусть 2c – расстояние между фокусами, 2a – постоянная сумма расстояний. В силу определения a > c > 0 . Точка М – произвольная точка эллипса, тогда
F1 M |
|
+ |
F2 M |
|
= 2a . |
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
Векторы F1 M и F2 M , а так же их модули называют фокальными радиусами.
y
|
|
M(x,y) |
|
F1 |
|
F2 |
|
-с |
0 |
с |
x |
Рис. 2.
Выведем уравнение эллипса в специально выбранной системе координат, где ось абсцисс проходит через точки F1 и F2 , начало координат
делит отрезок F1 F2 |
пополам, и система координат oxy – правая. |
|||||||||||
В выбранной системе координат уравнение (4) имеет вид |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
= 2a . |
|
|
|
|
(x + c)2 |
+ y 2 |
(x − c)2 + y 2 |
(5) |
|||||||
Это и есть уравнение эллипса. Приведем его к более простому виду |
||||||||||||
путем возведения в квадрат и введения новой величины |
|
|||||||||||
|
|
b2 = a2 − c2 > 0 , |
(6) |
|||||||||
а именно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
+ |
y 2 |
= 1. |
(7) |
||||
|
|
|
a 2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|||
Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллипса. |
||||||||||||
|
|
Основные характеристики эллипса: |
|
|||||||||
1. Оси ox и oy – |
оси симметрии, |
начало координат – |
центр симметрии |
эллипса.
2.Эллипс целиком расположен внутри прямоугольника: x ≤ a , y ≤ b .
3.Точки A1 (− a,0), A2 (a,0), B1 (0,−b), B2 (0,b) – вершины эллипса.
5
4. |
a – |
большая |
|
полуось, b – |
малая |
полуось |
(a > b) и |
c = |
|
b2 − a2 |
– |
|||||||||||
|
полуфокусное расстояние. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5. |
Эксцентриситет |
|
эллипса |
– |
это |
ε = |
c |
< 1. |
|
Отношение |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
b |
= |
|
a2 − c2 |
|
|
= |
|
|
. Отсюда видно, что чем ближе ε |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 − ε 2 |
к единице, тем |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
меньше |
b |
, т.е. эллипс более вытянут. Если эксцентриситет близок к нулю, |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
эллипс по форме близок к окружности. Случай, когда ε = 0 , |
т.е. a = b – |
есть окружность.
6.Директрисы эллипса: x = ± εa .
7.Фокальные радиусы т. M (x, y) эллипса:
F1M = a + εx |
|
|
|
F2 M = a − εx . |
|
|
|
|
y |
|
|
x = − a |
|
|
x = a |
ε |
|
|
ε |
|
B2(0,b) |
|
|
|
|
M(x,y) |
|
A1(-a,0) |
|
|
A2(a,0) |
F1(-c,0) |
0 |
F2(c,0) |
x |
|
B1(0,-b) |
|
|
Рис. 3.
6
«Вырождения» эллипса: |
||||||
1. |
x2 |
+ |
y 2 |
= 0 – |
задает точку O(0,0); |
|
a 2 |
b2 |
|||||
|
|
|
|
|||
2. |
x2 |
+ |
y 2 |
= −1 – |
мнимый эллипс. |
|
a 2 |
b2 |
|||||
|
|
|
|
Пример. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего
через точки M 1 ( |
|
|
|
|
) и M 2 (1, 2 |
|
). Построить кривую. |
|
|
|
|||||||||||||
2, 2 |
2 |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||
Решение. |
Каноническое |
|
уравнение |
эллипса имеет вид |
x2 |
+ |
y 2 |
= 1. |
|||||||||||||||
|
a 2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
||
Если точки M 1 |
и M 2 |
лежат на эллипсе, |
то их координаты удовлетворяют |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
+ |
8 |
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
b |
2 |
|
. Решая эту систему, относительно a2 и |
||||||||||
уравнению кривой, т.е. a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
b2 , найдем b2 = 16, a2 = 4 . Уравнение эллипса |
x2 |
+ |
y 2 |
|
= 1. Т.к. a = 2 < b = 4 , |
||||
|
|
||||||||
4 |
16 |
|
|
|
|
|
|
||
|
и c = |
|
|
= 2 |
|
. Итак, |
|||
то фокусы этого эллипса находятся на оси oy |
16 − 4 |
3 |
F1 (0,−23) и F2 (0, 23).
y
4
23 F2
-2 |
0 |
2 |
x |
− 23 F1
-4
Рис. 4.
7
§ 4. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы
Гиперболой называется множество, состоящее из всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух фиксированных точек F1 и F2 , называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами, и отличная от нуля.
Пусть 2c – расстояние между фокусами F1 и F2 , 2a – постоянная
абсолютная величина разности расстояний. В силу определения |
c > a > 0 . |
|||||||||||||
Пусть M – произвольная точка гиперболы, тогда |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
F1M |
|
− |
|
F2 M |
|
|
|
= 2a . |
(8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторы F1 M и F2 M , а так же их модули называют фокальными радиусами гиперболы. Выведем уравнение гиперболы в специально выбранной системе координат.
y
M(x,y)
F1(-c,0) 0 |
F2(с,0) |
x |
Рис. 5.
Пусть точка M (x, y) – произвольная точка гиперболы, тогда для нее выполняется равенство (8).
|
− |
|
|
= 2a . |
|
(x + c)2 + y 2 |
(x − c)2 + y 2 |
|
(9) |
Это и есть уравнение гиперболы в выбранной системе координат. Преобразуем (9) к более простому виду, дважды возведя в квадрат и упрощая, получим
x2 |
− |
y 2 |
= 1. |
|
a 2 |
c2 − a 2 |
|||
|
|
Введем новую величину b2 = c2 − a2 > 0 , тогда
x2 |
− |
y 2 |
= 1. |
(10) |
|
a 2 |
b2 |
||||
|
|
|
Уравнение (10) называется каноническим уравнением гиперболы.
8
Основные характеристики гиперболы:
1.Оси ox и oy – оси симметрии гиперболы, начало координат – центр симметрии гиперболы.
2.Область расположения гиперболы x ³ a , с осью oy гипербола не пересекается. Точки A1 (− a,0), A2 (a,0) называются вершинами гиперболы. Действительной осью называется ось, пересекающаяся с кривой (в уравнении (10) ось ox ), а мнимой – ось, не пересекающаяся с кривой ( oy ).
3.а – действительная полуось, b – мнимая полуось, c = a 2 + b2 – полу фокусное расстояние.
|
Эксцентриситет гиперболы - это ε = |
c |
> 1, |
b |
= |
|
c2 − a2 |
= |
|
. |
||
4. |
|
ε 2 −1 |
||||||||||
|
|
|
a |
|||||||||
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
|||
5. |
Асимптоты гиперболы: y = ± |
b |
x . Асимптоты являются диагоналями |
|||||||||
|
||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
прямоугольника со сторонами x = ±a, y = ±b . |
Этот прямоугольник |
||||||||||
|
называют основным прямоугольником гиперболы. Вся кривая |
|||||||||||
|
расположена вне прямоугольника, и только вершины A1 , A2 |
лежат на |
||||||||||
|
сторонах x = ± a . |
|
|
|
|
|
|
|
6.Директрисы гиперболы: x = ± εa .
7.Фокальные радиусы т. M (x, y) гиперболы:
F1 M = ε x + a u F2 M = ε x − a .
y
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M(x,y) |
|
F1(-c,0) -a |
0 |
a |
F2(c,0) |
x |
||
|
|
-b |
|
|
|
|
x = − |
a |
|
x = |
a |
|
|
ε |
|
|
|
|||
|
ε |
|
|
Рис. 6.
9