2014_ivleva

Mk порядка k не равен нулю, а все окаймляющие его миноры, т. е. миноры порядка k + 1, включающие в себя Mk, равны нулю, то не существует ненулевого минора порядка больше k. Поэтому мы начинаем поиск ненулевых миноров с самого младшего порядка первого. Дальше действуем следующим образом. Пусть мы нашли минор Mk порядка k, отличный от нуля. Рассмотрим лишь окаймляющие его миноры. Если все такие миноры равны нулю, то ранг матрицы равен k. Если нашелся минор Mk+1 порядка k+1, отличный от нуля, то ранг матрицы уже, по меньшей мере,

k + 1, и мы рассматриваем миноры, окаймляющие минор Mk+1, è ò. ä. Á. Метод элементарных преобразований

С помощью элементарных преобразований приводим матрицу A ê

левоступенчатому âèäó

0 0

a10 i1

1

B

a20 i2

C

0

0

B

.

..

C

B

.

C

B .

C

B

C

A

B

0

0

ari0

r

C

:

(2.2)

B

C

B

C

B

C

B

0

0

C

B

C

B

C

B

.

.

C

B .

C

B

C

B

C

B

0

0

C

@

A

Матрицу такого вида мы будем также называть просто ступенчатой. Формальное ее определение можно дать следующим образом. Обозначим

через i число начальных нулей слева в i-й строке матрицы (т.е. число нулей до первого ненулевого элемента, или длину строки, если она нулевая). Матрица называется левоступенчатой, если 1 6 2 6 : : : 6 m,

причем равенство i = i+1 возможно только лишь в том случае, когда i-ÿ è (i + 1)-ÿ строки обе нулевые.

Ранг такой матрицы10 равен числу ненулевых строк r. Поскольку элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы (см. задачу 6 на с. 44), ранг матрицы A тоже равен r.

	0	2	1	3	2	4	1
Пример 11. Найти ранг матрицы A =	B	4	2	5	1	7	C.
	B	2	1	1	8	2	C
	B						C
	@						A

10Неформально можно определить понятие левоступенчатой матрицы следующим образом: матрица называется (лево)ступенчатой, если ее элементы можно разделить лесенкой ломаной линией, изображенной в (2.2) обладающей следующими свойствами: 1) левее и ниже лесенки все элементы равны 0; 2) высота каждой ступеньки равна 1; 3) в начале каждой ступеньки стоит ненулевой элемент.

41

Решение

À. Метод окаймляющих миноров. Формально мы должны начать с первого порядка, но легко заметить, что минор второго порядка, образованный первой и второй строкой и вторым и третьим столбцом, не равен нулю:

M2	=		1		3		=		5 + 6 = 1 = 0:
				2	5				6

Теперь окаймляем этот минор. Поскольку он расположен во втором и третьем столбце и в первой и второй строке, для окаймления перебираем три оставшихся столбца и одну оставшуюся строку.

M	(1)	=		2	1		3		= 0, так как первый и второй столбцы пропорцио-
	3			4		2	5
нальны.				2	1		1
					3											1			3	2
M	(2)	=	1				2																= 0.
	3		2 5					1					2I =				0 1 5
					1			8					I				0		2	10
				1
				1	3		4									1		3		4
M	(3)															0 1 1						= 0.
	3	= 2 5 7									2I =
					1		2					I				0		2		2
				1

Так как все окаймляющие миноры третьего порядка равны 0 и существует ненулевой минор второго порядка, то rank A = 2.

Á. Метод элементарных преобразований.

0 2		1			3 2		4 1		2I		0 2 1				3	2		4 1
B	4	2			5	1	7	C	--I		B	0	0	1		5	1		C
B	2			1	1	8	2	C			B	0	0		2	10		2	C
B								C			B								C
@								A			@								A
	0		2	1		3	2		4		1
B			0		0	1		5	1		C
	B		0		0	0		0	0		C
	B										C
	@										A

-2II

Так как в полученном ступенчатом виде осталось ровно две ненулевые строки, то rank A = 2.

		2.3.	Задачи					,
1. Даны матрицы: A = a11 a12			a13		, B = b11		b12
0 c11	1	0 d11 d12		1		0 e11	e12		e13	1
C = B c21	C	; D = B d21 d22		C		; E = B e21 e22			e23	C	:
B c31	C	B d31 d32		C		B e31	e32		e33	C
B	C	B		C		B				C
@	A	@		A		@				A

42

Какие из них можно перемножать? Укажите размерности всех произведений.

2. Вычислите:

à)	0 3		2 1 0 2			1 1		;
	@	5	4	A @	0	3	A

01

4

								B	5		C
								B			C
á) ( 2			3 1					B			C
							0 )		3		;
								B			C
								B			C
								B			C
								@ 8			A		1
	0 3 1							0	3		2	1
â)							2	1 1 1 2 ;
		0		1			3	B	2		3	0	C
	@							A B					C
								B					C
	0	2		3	1 0		1	@	1	T			A
								5
ã) B		3		4	C B		4	8	C		;
	B	4		3	C B		0	7	C
	B				C B				C
	@				A @				A

01

			1			1				4		0							1
ä)	B		4	3						4				4	12					;
												C		5			5		C
	B		2			5				3		C B		3
	B											C B			17				C
	B		5			7				5		C B							C
	B											C @							A
	B											C
	@											A						1
	0	3		4						5	1 0		3		29
å) B		2 4								1	C B		2 18					C ;
	B	3		5						1	C B		0			3		C
	B										C B							C
	@										A @							A				1
			1				5		3			0		2	3						5
æ)		0 2					3 1				1 B		1					4 2				C
		@									A B			3				1			1	C
												B										C
	0 3											@										A
ç)					9			4 1 0						3		5 1					1	2	1	;
	B		2		7 3					C B				8 10					C 0		2 6
	B		6		3 0					C B				12 4					C @				A
	B									C B									C
	@		1			2				A @ 2									A
	0									2		1
è)	B		2			1		2				C	;
	B		2			2				1		C
	B											C
	@											A

ê) f(A); ãäå f(x) = x	3	2x	2	+ 1; A =		02	1	01	:
						B0	2	0C
						B1 1 1C
						B		C
				0		@		A
						1
				a	b
3. Докажите, что матрица A = @ c					d A удовлетворяет уравнению

X2 (a + d)X + (ad bc)E = 0:

43

4. Каким свойствам должны удовлетворять матрицы A è B для того, чтобы были справедливы следующие равенства:

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2; (A + B)(A B) = A2 B2?

5. Докажите:

à) åñëè A2 = 0, òî (E + A)3 = E + 3A;

á) åñëè A2 = A, òî (E + A)3 = E + 7A.

6. Докажите, что ранг матрицы не изменится, если:

а) заменить строки столбцами (транспонировать матрицу); б) умножить элементы одной строки (столбца) на число, отличное от

нуля; в) переставить две строки (столбца);

г) к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на некоторое число.

7. Как может измениться ранг матрицы, если приписать к ней: а) один столбец; б) две строки?

8. С помощью элементарных преобразований приведите матрицу к ступенчатому виду. Укажите ранг матрицы:

	0 0		4	10	1	1		0	2		1	11		2 1
à)	B	4	8	18	7	C	; á)	B	1		0	4	2		C	;
	B	10	18	40	17	C		B	11		4	56		2	C
	B					C		B							C
	B					C		B							C
	B	1	7	17	3	C		B	2		1	5		10	C
	B					C		B							C
	@					A		@							A

01

	B	2	1	1	1		1	1		C			0 2 1 3								2 4 1
â)		1	3	1	1		2	1
		1	1	4	1		3	1			;	ã)	B		4		2 5				1 7 ;
	B									C					2		1	1			4	2		C
	B									C			B											C
	B	1	1	1	5		4	1		C			B											C
	B									C			@											A
	B									C
	@									A
	0 1		3			5	1 1						0 3 1						3	2			5 1
ä)	B	2	1	3				4	C ; å)				B	5 3					2	3			4		C	:
	B	5	1			1		7	C				B	1		3			5	0			7		C
	B								C				B												C
	B	7	7			9		1	C				B	7					1	4			1		C
	B								C				B			5									C
	B								C				B												C
	@								A				@												A

9. При каких значениях матрица имеет наименьший ранг:

	0	2	1	2		3 1			0	3	3	1	5 1
à)	B	3	1			0	C	; á)	B	4	0	3	2	C?
	B	1	3		2	6	C		B	1	2		3	C
	B						C		B					C
	@						A		@					A

44

2.4.Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Квадратная матрица A называется вырожденной (невырожденной), åñëè det A = 0 (det A 6= 0).

Теорема. Åñëè A невырожденная матрица, то существует матрица A 1 такая, что AA 1 = A 1A = E (E единичная матрица).

Матрица A 1 называется обратной к матрице A. Заметим, что выполняются следующие свойства:

1)(AB) 1 = B 1A 1;

2)(AT) 1 = (A 1)T;

3)( A) 1 = 1A 1.

Нахождение обратной матрицы

À. I способ11

а) Вычислим detA. Пусть detA = 6= 0 (иначе обратной матрицы не

существует).

~

б) Найдем

A = (Aij), ãäå Aij

алгебраические дополнения элементов

~

матрицы A. Таким образом, матрица A составлена из алгебраических

дополнений к соответствующим элементам матрицы A.

в) Найдем A = (A~)T. Матрица A называется присоединенной ìàò-

рицей для матрицы A.

ã) A 1 =

1

A .

detA

Таким образом, обратная матрица вычисляется по следующей фор-

ìóëå:

0A11 .

A1n1T

1

1

A

=

B .

..

.

C :

A

j

BA

n1

A

C

j B

nnC

@

A

Пример 12. Найти A 1

01

1 2 3

BC

A = B	0	1	2	C	:
B				C
@	2	4	5	A

Решение

11Этот способ не имеет своего общеупотребительного названия, хотя его иногда называют методом алгебраических дополнений. Этот метод вытекает из доказательства упомянутой выше теоремы об обратной матрице.

45

à) detA =						1	2		3			= 17:
					0		1	2
						2	4		5
á)	A11	=											13 =			2; A21 =				22; A22 = 1; A23 = 8;
				3; A12 = 4; A
																					1
									= 1: A~ =						0			3 4 2
A31 = 7; A32 = 2; A33															B			22 1 8			C.
															B			7 2		1	C
															B						C
		0		3			22				7		1		@						A
â) A = B													C.
						4		1			2
		B				2		8			1		C
		B											C
		@				0							A	1
				1		3			22				7	C.
ã) A 1 = 17 B							4			1 2
						B								C
						B								C
						@							1	A
						2				8

Á. II способ метод элементарных преобразований

Построим матрицу (AjE) размерности n 2n и с помощью элементарных преобразований строк (см. с. 40) приведем ее к виду (EjB): (AjE) (EjB). При этом B = A 1. Если матрица (AjE) никакими преобразованиями не приводится к нужному виду, это означает, что jAj = 0 è A 1 не существует.

Пример 13. Найти обратную матрицы с помощью элементарных преобразований:

		0 1 2 3											1 0 0 1 0 1 2 3																						1 0 0 1
			0 1 2										0 1 0												0 1				2					0 1 0
		B																	C B																					C
			2 4 5										0 0 1												0 8									2 0 1
		B																	C B											1										C
		B																	C					B																C
		@																	A					@																A
0		1 0 7										1 2 0									1			0		1 0 7							1					2		0			1
		0 1 2											1 0													0 1 2								0				1		0
											0																																C
B																					C			B
		0 0				17					2						8 1									0 0 1								2 8						1			C
B																					C B																						C
B																					C			B									17 17 17										C
@																					A @																						C
																																											A
																								1
	1		0 0						3				22					7																		3		22		7
									17				17					17
0	0 1 0						4						1					2						C			1	=	1				0							2			1	:
																								C ; A										4				1
																								C
B	0 0 1						17						17					17						C					17				B			2 8				1			C
B									2				8					1						C									B										C
B																								C									B										C
@																								C									@										A
							17										17							C
													17											C
																								A

46

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Пусть дана квадратная система линейных уравнений:

8

a11x1 + + a1nxn = b1;

>

a21x1 + + a2nxn =

b2;

>

>

>

>

>

<

=

bn:

> an1x1 + + annxn

>

>

>

>

>

:

0 a11 : : : a1n 1

0 x1

1

0 b1

1

Обозначим: A =

B

C ; X = B

.

C

; B =

B .

C

: Тогда

B an1

: : : ann

C

B x

n

C

B b

n

C

B

C

B

C

B

C

@

A

@

A

@

A

систему можно записать в матричном виде 12 : AX = B. Åñëè det A 6= 0, то система является определенной и существует A 1. Умножим слева эту систему на A 1:

A 1AX = A 1B;

EX = A 1B;

X = A 1B:

Заметим, что метод обратной матрицы, как и метод Крамера, можно применять только к квадратным определенным системам.

Пример 14. Решить систему линейных уравнений с помощью обрат-

ной матрицы:	8		x1 + 2x2 3x3	= 2;
	>		x2 + 2x3	= 3;
	>
	>
	<
	>	2x1 + 4x2 + 5x3		= 11:
	>

>

:

01

1 2 3

BC

A = B	0	1	2	C	;
B				C
@	2	4	5	A

0

A 1 = 1 B

B

B

17 @

3		22	7	1
4		1	2	C	;
	2	8	1	C
				C
				A

Решение

1

0 3

22 7

1 0 2 1

1

0 6 66 + 77 1

X =

B

4

1

2

C B

3

C

=

B

8 + 3 + 22

C

=

17

17

B

2

8

1

C B

11

C

B

4 + 24 11

C

B

C B

C

B

C

@

A @

A

@

A

12Теперь-то уже понятно происхождение такой записи. Если формально умножить A на X, получим вектор-столбец, элементы которого совпадают с левыми

частями системы уравнений, так что матричная запись полностью эквивалентна записи в виде уравнений.

47

1 0 17 1

0 1 1

8x1 = 1

=

17

=

1

:

>x

2

= 1

>

17

>

B

C

B

C

<

B

17

C

B

1

C

x3

= 1:

B

C

B

C

@

A

@

A

>

>

>

>

:

Пример 15. Решить матричное уравнение

0 2		5	7	1	0 3		4	5	1		0	1	2	0 1
B	6 3		4	C X B		2	3	1	C	=	B	1	3	2	C	:
B	5	2	3	C	B	3	5	1	C		B	1	0	1	C
B				C	B				C		B				C
@		A			@		A				@				A

Решение. Введем обозначения:

	0 2		5	7	1		0 3		4	5	1		0	1	2	0 1
A =	B	6 3		4	C	; B =	B	2 3		1	C	; C =	B	1	3	2	C	:
	B	5	2	3	C		B	3	5	1	C		B	1	0	1	C
	B				C		B				C		B				C
	@		A				@		A				@				A

Тогда уравнение примет вид: AXB = C.

Для того чтобы из этого уравнения найти матрицу X, нужно обе части уравнения слева умножить на матрицу A 1, а справа на матрицу B 1:

A 1AXBB 1 = A 1CB 1:

Поскольку A 1A = E, BB 1 = E, EX = X, XE = X, получаем X = = A 1CB 1.

Находим A			1	=	0		1 1				1 1				1	0 8 29 11 1
					B	38			41 34				C; B			= B 5					18			7	C,
					B		27		29		24		C			B		1					3	1	C
после чего					B								C			B									C
					@		X:						A			@									A
	вычисляем
	0			1 1				1 1 0				1	2 0 1 0 8 29 11 1
X =	B	38 41 34								C B		1	3 2			C B	5 18 7								C	=
	B		27			29		24		C B		1		0 1		C B		1				3		1	C
	B									C B						C B									C
	@									A @						A @									A
							0			32	116					45	1
						=	B	1243			4511			1752			C	:
							B										C
							@	879						1239			A
							B				3190						C

48

2.4.Задачи

1.Найдите матрицу, обратную данной:

	0	1	2	1				cos		sin		1			0	2		4				5	1
à)		3	4		;	á)	0 sin		cos				;	â)	B	3		3				1	C	;
	@			A			@					A			B	3			5			1	C
															B								C
															@								A
		0 1			2	2 1			0 0		1	3 1				0 1		1			1 1
	ã)	B	2		1	2	C	; ä)	B	2	3 5		C	; å)		B	1	2		3		C	:
		B	2		2	1	C		B	3	5 7		C			B	1	3		6		C
		B					C		B				C			B						C
		@					A		@				A			@						A

2. Решите матричные уравнения, если X матрица соответствующей

размерности:

0 1 0 1

à)

1

2

3

5

@ 3

4 A X = @ 5 9 A ;

0 1

0 1

2 3 1

0 1 3

á)

B

3

2 4

C X = B

10

2

7

C ;

B

2

1

0

C

B

10

7

8

C

B

C

B

C

@

A

@

A

â)

0 3

1 1 X 0 5 6 1

= 0 14 16 1 ;

@ 5

2 A @ 7 8 A @

9 10 A

0

5

3

1 1 0 8 3 0 1

ã) X B

1 3 2

C

= B 5 9 0

C ;

B

5

2

1

C

B

2

15

0

C

B

C

B

C

@

A

@

A

0 2 3 1 1 0 9 7 6 1 0 2 0 2 1

ä)

B

4 5 2

C X B

1 1 2

C

=

B

18 12 9

C

:

B

5

7 3

C B

1 1 1

C B

23 13 11

C

B

C

B

C

B

C

@

A

@

A

@

A

3. Решите системы линейных уравнений с помощью обратной матри-

öû:

8

2x1 3x2

3x3

=

7;

à)

> x1

x2

=

12;

>

>

<

>

2x2 4x3

=

14;

>

> x

1

3x

2

= 11;

á)

:

8

<

3x1 + x2 = 3;

=

17;

:

3x1

4x2 + 5x3

â)

8

2x1

3x2 + x3

= 7;

>

>

>

<

>

3x1 5x2 x3

= 6;

>

>

x

1

+ 3x

2

x

3

+ 3x

4

= 0;

:

8

x2

= 6;

>

2x1

3x3

ã)

>

>

>

>

2x2 + 5x3

x4

= 8;

>

<

x3

0:

>

3x1 + x2

3x4

=

>

>

>

>

>

:

49

4.Докажите, что если (E + A) 1 = E + B, òî A + B + AB = 0.

5.Докажите, что если A2 = 0, òî (E + A) 1 = E A.

6.Докажите, что если A целочисленная квадратная матрица и detA = 1, òî A 1 тоже целочисленная квадратная матрица.

7. Проверьте справедливость равенства

0 17	6 1	=	0 2	3 1 0 2	0 1 0 7 3		1
@ 35	12 A		@ 5	7 A @ 0	3 A @	5 2 A

и с его помощью вычислите	0	17	6	15.
	@	35	12	A