Решения задач ЕГЭ
.pdfРешение
1. Напряжённость поля от заданного |
|
||||
заряда, расположенного в центре сфер: |
|
||||
E |
0 |
= k |
q |
= 62,5 В : |
|
R2 |
|
||||
|
|
м |
|
||
2. Поскольку заряд сфер сосредоточен |
|
||||
на их поверхности, то сферы, проводящие и |
|
||||
их можно рассматривать как соответст- |
|
||||
вующие точечные заряды, расположенные |
|
||||
в центре. |
|
|
|
|
|
3. У проводящей сферы напряжённость |
Рис. 260. Заряженные сферы |
||||
поля при r ≤ R равна нулю, поэтому внеш- |
|
няя сфера при дальнейшем рассмотрении может не учитываться.
4. В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей резуль-
тирующая напряжённость в точке А определится в виде: |
|
|
|
||||||||||||
E |
|
= E |
− E |
|
= k |
2q |
− k |
q |
= |
2E0 |
− |
E0 |
=10 |
В |
; |
|
|
(2,5R)2 |
(2,5R)2 |
6,25 |
6,25 |
м |
|||||||||
|
A |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
261. Проводящий шар радиусом r = 5 см с зарядом q = 4 нКл окружён сферической оболочкой из диэлектрика радиусом R = 10 см с диэлектрической проницаемостью вещества ε = 2. Найти напряжённости поля на внутренней (1) и внешней (2) поверхностей диэлектрика.
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|||
1. Напряжённость поля в точке 1, на поверх- |
|
||||||||||||||||
ности заряженной сферы (точка лежит в диэлек- |
|
||||||||||||||||
трической среде): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
E |
= |
k q |
= |
9 109 4 10−9 |
= 7,2 |
кВ |
; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ε |
r2 |
|
|
2 25 10−4 |
м |
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. Напряжённость поля в точке 2: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
E |
= |
k q |
|
|
= |
9 |
109 |
4 10−9 |
=1,8 |
кВ |
; |
Рис. 261. Диэлектрический |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ε R2 |
|
2 |
|
0,01 |
|
м |
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шаровой слой |
262. Конденсатор, заряженный до напряжения U1 = 200 В, соединяют разноимёнными обкладками с конденсатором такой же ёмкости, но заряженным до напряжения U2 = 400 В. Определить установившееся напряжение батареи.
Решение
U = U |
2 |
− U ; |
U |
0 |
= U |
= U2 − U1 =100 В; |
|
1 |
|
2 |
2 |
||
|
|
|
|
|
263. Конденсатор, электрическая ёмкость которого С1 = 5 мкФ, заряжен так, что разность потенциалов между его пластинами U1 = 80 В. Второй конденсатор, электрическая ёмкость которого С2 = 10 мкФ, имеет разность потенциалов между пластинами U2 = 50 В. Разноимённо заряженные пластины попарно соединяют. Чему станет равен модуль разности потенциалов?
101
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
1. |
Заряды конденсаторов до соединения: |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q1 = C1U1; Q2 = C2U2 ; |
|||
2. |
Заряд батареи после соединения клемм разноимёнными полюсами: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Q 0 = Q 1 − Q 2 = C U 1 − C 2 U 2 ; |
||||
3. |
Электрическая ёмкость параллельно соединённых конденсаторов: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C0 = C1 + C2 ; |
|
||
4. |
В соответствии с законом сохранения заряда: |
|||||||||||
|
C |
U |
0 |
= C |
U |
2 |
− C U ; |
U |
0 |
= C2U2 − C1U1 |
= 10 50 −5 80 6,67 B; |
|
|
0 |
|
2 |
|
1 |
1 |
|
C1 + C2 |
15 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
264. Между двумя параллельными, вертикально расположенными диэлектрическими пластинами создано однородное электрическое поле, напряжённостью Е = 2 105 В/м, направленное слева направо. Между пластинами помещён шарик на расстоянии d = 1,5 см от левой пластины и b = 2,5 см от правой пластины. Заряд шарика равен q = − 0,2 нКл, масса шарика m = 20 мг. Шарик освобождают, и он начинает двигаться. На сколько успеет сместиться шарик по вертикали до удара об одну из пластин?
Решение
Рис. 264. Вертикальное смещение в электрическом поле
1. Так как шарик заряжен отрицательно, то он под действием силы Кулона | FK |= qE будет двигаться в направлении противоположном направлению век-
тора напряжённости электрического поля E |
(рис. 264). До удара о левую пла- |
|||||
стину шарик пролетит расстояние d с ускорением: |
|
|||||
|
|
a = |
FK |
= qE |
; |
|
|
|
m |
|
|||
|
|
|
m |
|
|
|
2. Время полёта шарика до удара о пластину: |
|
|||||
d = |
aτ2 |
τ = |
2dm |
; |
||
2 |
; |
qE |
||||
|
|
|
|
|
3. По вертикали шарик будет двигаться с ускорением свободного падения g, поэтому его координата за время τ изменится на величину y:
y = |
gτ2 |
|
2dgm |
= |
dgm |
|
1,5 10−2 10 |
2 10−5 |
0,075м ≡ 7,5 см; |
|
2 |
2qE |
qE |
2 10−10 2 |
105 |
||||||
|
|
|
|
|
102
265. На сколько градусов нагреется вода, если через кипятильник пройдёт электрический заряд q = 100 Кл? Напряжение на нагревателе U = 210 В, масса воды m = 500 г, удельная теплоёмкость воды с = 4200 Дж/(кг К).
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
cm T = IU t = |
q U t = qU; |
|
T = |
qU |
= |
100 210 |
=10K; |
|
t |
|
|
cm |
|
4200 0,5 |
|
266.К однородному медному цилиндрическому проводнику длиной l = 10
мприложили разность потенциалов U = 1 В. Определить промежуток времени,
в течение которого температура проводника изменится на Т = 10 К. Изменения сопротивления проводника и рассеяние тепла при нагревании не учитывать. Плотность меди ρ1 = 8900 кг/м3, удельное электрическое сопротивление меди ρ2 = 1,7 10 − 8 Ом м, удельная теплоёмкость меди с = 380 Дж/(кг К).
Решение
1. Масса проводника:
m = ρ1ls ;
2. Сопротивление проводника:
R= ρs2l;
3.Сохранение энергии применительно к нагреванию проводника:
cm T = IUτ = |
U2 |
τ; cρ ls T = |
U2sτ |
; τ = |
cρ ρ |
l2 |
T |
; |
R |
ρ2l |
1 2 |
|
|
||||
|
1 |
|
U2 |
|
|
τ = 380 8,9 103 1,7 10−8 102 10 57,5c ; 1
267. При замыкании на сопротивление R = 5 Ом батарея даёт ток силой I1 = 1 А. Сила тока короткого замыкания I КЗ = 6 А. Какую наибольшую полезную мощность может дать батарея?
Решение
1. Наибольшее значение мощности (см. задачу 2.227) составит:
Na(max) = |
ε2R |
|
; |
R |
= r; |
|
Na(max) = |
ε2r |
= |
ε2 |
; |
||||
(R + r) |
2 |
4r |
2 |
4r |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Ток короткого замыкания: |
ε; |
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|||
|
IКЗ = |
|
r = |
; |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
IКЗ |
|
|
|
|
|
|
3. Максимальная полезная мощность: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Na(max) |
= |
|
I2 |
= 9 Вт; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
КЗ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
268. Два вертикально расположенных стержня, имеющие длину L = 1 м и диаметр d = 1 см сопротивление на единицу длины ρ = 1 10 − 5 Ом м, подсоединены через идеальный амперметр к источнику ЭДС ε = 1,5 В и внутренним сопротивлением r0 = 0,05 Ом. Скользящие контакты соединены с сопротивлением R = 0,1 Ом, которое в поле тяжести g начинает соскальзывать вдоль них из
103
верхней точки вниз без нарушения контакта, как показано на рисунке. В пренебрежении эффектами, связанными с магнитным полем, определить какое значение тока I покажет амперметр через время τ = 0,5 с после начала движения? Силу трения не учитывать.
Решение
|
1. Запишем кинематические уравнения |
|
|
движения сопротивления, считая, что на |
|
|
него действует только сила тяжести и |
|
|
движение происходит |
по вертикальной |
|
оси с нулевой начальной скоростью |
|
|
y = gt2 |
, |
|
2 |
|
Рис. 268. Скольжение сопротивления |
и определим расстояние, которое пройдёт |
|
сопротивление за время τ |
l= 5 02,52 = 0,625м .
2.Определим электрическое сопротивление одного отрезка стержня длиной
l
r = ρ |
4l |
=1 10 |
−5 4 0,625 |
0,08Ом. |
|
πd2 |
|
3,14 10−4 |
|||
|
|
|
|
3. Электрическая схема установки, таким образом представит собой три последовательно включенных внешних сопротивления: R0 = R + 2r
и внутреннее сопротивление источника r0. Закон Ома для полной цепи в этом случае запишется так
I = |
ε |
= |
1,5 |
4,8 A . |
R + 3r + r |
0,1 + 0,16 + 0,05 |
|||
|
0 |
|
|
|
269. К источнику с ЭДС ε = 9 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом подключили параллельно резистор с сопротивлением R = 8 Ом и плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого d = 2 10 − 3 м. Какова напряжённость электрического поля между пластинами конденсатора?
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|||||
|
|
|
|
1. |
Сила тока, протекающего через рези- |
||||||||
|
|
стор: |
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
IR = |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R + r |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2. |
Падение напряжения на резисторе: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
UR = IR R = |
|
εR |
|
; |
|||
Рис. 269. Напряжённость |
|
|
|
|
|
R + r |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
электрического поля конденсатора |
|
|
3. |
Поскольку UR = UC : |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
E = UC = |
εR |
= |
|
9 8 |
= 4 103 В |
≡ |
4 |
кВ |
; |
|
|||
d(R + r) |
2 |
10−3 (8 +1) |
м |
|
|||||||||
d |
|
м |
|
|
|
|
|
270. Найти электрический заряд конденсатора с С = 1 мкФ, если внутреннее сопротивление источника тока r = 2 Ом, его ЭДС ε = 24 В, R = 10 Ом
104
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
||||
1. |
Сила тока, протекающего через рези- |
||||||||||
стор: |
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IR = |
|
|
; |
|
|
|
||
|
|
|
R + r |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
Падение напряжения на резисторе: |
||||||||||
|
|
UR |
= IR R = |
εR |
; |
|
|
||||
|
R + r |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
Поскольку UR = UC : |
|
|
Рис. 270. Заряд конденсатора |
|||||||
Q = UCC = |
εRC |
= 24 10 1 103 |
= 2 10−2 Кл; |
||||||||
R + r |
|||||||||||
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
271. Конденсатор ёмкостью С = 2 мкФ присоединён к источнику постоянного тока с ЭДС ε = 3,6 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом. Внешняя цепь состоит из резисторов R1 = 4 Ом, R2 = 7 Ом, и R3 = 3 Ом. Каков заряд левой обкладки конденсатора?
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. Для постоянного тока конденсатор пред- |
|
|
|
||||||||||||
ставляет собой разрыв цепи, поэтому сила тока |
|
|
|
||||||||||||
через резисторы R1 и R3, включенные последо- |
|
|
|
||||||||||||
вательно с источником тока, определится как: |
|
|
|
||||||||||||
I = |
|
|
ε |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
R1 + R3 + r |
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. Падение напряжения на резисторе R3: |
|
|
|
||||||||||||
U3 = |
|
|
εR3 |
|
= UC ; |
|
|
|
|
|
|||||
R1 + R3 + r |
|
|
Рис. 271. Заряд конденсатора |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. Заряд пластин конденсатора: |
|
|
|
|
|
||||||||||
q = UCC = |
|
|
εR |
C |
= |
3,6 3 2 10−6 |
= 2,7 10 |
− |
6 Кл; |
||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||
|
R1 |
+ R |
3 + r |
4 + 3 +1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
272. Проволочный виток, имеющий площадь s = 10 см2, разрезан в некоторой точке, и в разрыв включён конденсатор ёмкостью C = 10 мкФ. Конструкция помещена в магнитное поле, силовые линии которого перпендикулярны плоскости витка. Индукция магнитного поля равномерно убывает за t = 0,2 с на В = 0,01 Тл. Определить заряд на конденсаторе.
Решение
| q |= εiC = |
B sC = |
10−2 |
10−3 10−5 |
= 5 10−10 Кл; |
|
t |
0,2 |
|
|
105
5. Колебания и волны
273. Первый математический маятник совершает колебания с частотой ν = 6 Гц. Длина нити второго маятника больше длины первого в ζ =3,24 раза. Чему равен период колебаний второго маятника?
Решение
1. |
Длина первого маятника: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
T |
= 1 = |
2π |
l1 |
; |
|
1 |
= |
|
l1 |
; |
l |
|
= |
|
g |
; |
||||
|
|
4π2ν2 |
g |
|
|
4π2ν2 |
|||||||||||||||
|
1 |
|
ν |
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
2. |
Период колебаний второго маятника: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
T |
|
= 2π |
ζl1 |
= 2π |
3,24 |
|
= |
|
|
3,24 |
|
= 0,3с; |
|
|||||||
|
|
4π2ν2 |
|
|
ν |
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
274. Тело массой m = 0,3 кг подвешено к двум параллельным пружинам с коэффициентами жёсткости k1 = 500 Н/м и k2 = 250 Н/м. Определить период собственных колебаний системы.
Решение
1. Пружины соединены параллельно, их деформация одинакова: x1 = x2 = x .
2. Сила, действующая на тело со стороны пружин, определится в виде суммы:
F = F1 + F2 , или k0 x = k1 x + k2 x; k0 = k1 + k2 ; 3. Период колебаний системы:
T = 2π |
m |
= 2π |
m |
= 6,28 |
0,3 |
= 0,1256c; |
|
k1 + k2 |
750 |
||||
|
k0 |
|
|
275. Пружинный маятник жёсткостью k = 2 103 Н/м совершает гармонические колебания. Масса груза m = 5 10 − 2 кг. Максимальная скорость груза vm = 20 м/с. Определить амплитуду колебаний маятника.
Решение
1. Закон сохранения энергии для гармонически колеблющегося тела:
mv2 |
kA2 |
; |
A = v |
|
m |
= 20 |
5 10−2 |
= 0,1м; |
m = |
2 |
m |
k |
2 103 |
||||
2 |
|
|
|
|
276. Задан график изменения кинетической энергии в функции времени колеблющегося гармонически тела. Чему равна полная механическая энергия в момент времени, соответствующий точке А графика?
106
Решение
1.Получим дифференциальное уравнение колебаний маятника на основе анализа движения с энергетических позиций. Это удобно сделать на примере частицы известной массы, находящейся в потенциальной яме.
2.Наглядной моделью такой системы может служить металлический шарик внутри криволинейной поверхности (рис.275.2). При смещении массы из состояния равновесия из положения 1 в положение 2 система приобретает запас потенциальной энергии. Если шарик считать материальной точкой, а положение статического равновесия 1 совместить с минимальным значением потенциальной энергии, то
Π2 = mgh .
3.Если далее шарик отпустить без
начальной скорости, то он начнёт двигаться в сторону минимизации потенциальной энергии, причём по мере опускания шарика относительно нулевого уровня потенциальной энергии, будет происходить её трансформация в кинетическую энергию.
Рис. 276.1. Энергия колебаний
Рис. 276.2. Потенциальная энергия
4.В точке 1 потенциальная энергия станет равной нулю, шарик будет обладать только кинетической энергией, которая затем снова начнёт преобразовываться в потенциальную энергию.
5.В точке 3 энергия шарика снова станет только потенциальной. Если пренебречь потерями на сопротивление и трение, то шарик будет бесконечно долго перемещаться внутри потенциальной ямы, совершая гармонические собственные незатухающие колебания.
6.Применительно к массе, скреплённой с горизонтальной пружиной, изменение потенциальной энергии определится уравнением:
П = kx22 ,
величина х в конкретном случае зависит от положения массы, которая будет совершать движение в пределах потенциальной ямы. Потенциальную яму любой формы можно представить в виде функции смещения, аппроксимируя её степенным рядом:
П(x)= ax2 + bx3 + cx +K,
При малых отклонениях х2 >>х3 >>х4, с учётом этого П(x) ax2 .
7. В рассматриваемом случае, при растяжении и сжатии пружины, её по-
тенциальная энергия будет равна: |
|
|
|
|
||
П(x)= |
kx2 |
, или ax2 |
= |
kx2 |
, |
a = k . |
|
|
|||||
2 |
|
2 |
|
2 |
107
8. Проекция действующей силы для консервативных механических систем связана с потенциальной энергией известным соотношением:
Fx = − ∂П∂x(x) = −2ax = −kx ;
9. Уравнение совпадает со значением возвращающей силы. Перепишем уравнение следующим образом:
&& |
|
&& |
2 |
Fx = −kx , mx |
+ kx = 0 , mx |
+ ω mx = 0, |
|
или окончательно |
x + ω x = 0 . |
|
|
|
&& |
2 |
|
10. Рассмотрим далее энергетические особенности гармонических незатухающих собственных колебаний.
Отметим, что упругая сила и сила тяжести относятся к консервативным силам, работа которых не зависит от вида траектории, а определяется только положением начальной и конечной точки, т.е. для массы, соединённой с горизонтальной пружиной можно записать
∫Fупрdl = 0 .
L
11. Полная энергия колеблющейся массы должна оставаться постоянной, т.е. справедлив закон сохранения энергии. В процессе колебаний происходит преобразование потенциальной энергии в кинетическую энергию. На дне потенциальной ямы масса обладает только кинетической энергией, которая имеет максимальной значение. В крайних положениях массы энергия имеет потенциальный характер
|
|
2 |
|
|
& |
2 |
|
mx |
2 |
ω |
2 |
|
|
E2,3 = Пmax |
= kx |
0 |
, |
E1 = Kmax |
= |
mx |
0 |
= |
0 |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
12. Установим закон изменения кинетической и потенциальной энергии в случае гармонического колебания, для этого запишем уравнения кинетической и потенциальной энергии:
|
2 |
|
&2 |
2 |
2 |
|
K(t)= mv |
= |
mx |
= mx0ω |
sin2 (ωt + ϕ0 ), |
||
|
||||||
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
П(t)= kx2 |
= kx02 cos2 |
(ωt + ϕ0 ), |
|
|||
|
2 |
|
2 |
|
k на mω2 , и складывая |
|
13. Заменяя в уравнении потенциальной энергии |
||||||
уравнения, получим: |
|
|
|
|
|
|
E = K + |
П = kx02 |
= mx02ω2 , E = |
E . |
|||
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
14ю Периодичность изменения энергии установим, переписав уравнения кинетической и потенциальной энергии в соответствии с тригонометрическими
правилами: |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
K(t)= Kmax sin |
2 |
− |
|
, |
|||
|
(ωt + ϕ0 )= Kmax |
2 |
2 |
cos 2(ωt + ϕ0 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
1 |
+ |
1 |
|
, |
|
П(t)= Пmax cos |
(ωt + ϕ0 )= Пmax |
2 |
2 |
cos 2(ωt + ϕ0 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
очевидно, что кинетическая и потенциальная энергии изменяются с частотой 2ω, в два раза превышающей частоту колебаний. В моменты амплитудного значения смещения кинетическая энергия обращается в нуль, а полная энергия колебаний равна наибольшему значению потенциальной энергии (рис. 276.3)
108
E = Пmax = |
kA2 |
. |
|
2 |
|||
|
|
15. При прохождении системой положения равновесия при х = 0, полная энергия является кинетической
= = mA2ω2
E Kmax 2 .
16.Разумеется, что в отсутствие сопротивления значение максимальной кинетической энергии совпадает со значением максимальной потенциальной энергии колебательной системы.
17.Средние значения кинетической
энергии |
< K > и |
потенциальной |
<Π >равны половине полной энергии
<K >=< Π >= E2 = kA4 2 .
18.Возвращаясь к рис. 276.1 отменим, что на основании приведенных выше сведений:
Πmax = Κmax =160Дж;
ΚA =120Дж; ΠA = 40Дж;
ΕA = ΚA + ΠA =160Дж;
277.Приведена зависимость возвращающей силы установившихся колебаний маятника (резонансная кривая). Определить отношение амплитуды установившихся колебаний маятника на резонансной частоте к амплитуде колебаний на частоте
ν= 0,5 Гц.
Решение
1.На практике часто требуется колебания поддерживать, что возможно при сообщении колебательной системе энергии от внешнего источника. Такие колебания классифицируются как вынужденные колебания.
2.Рассмотрим колебательную систему в виде массы, соединённой с вертикально расположенной пружиной (рис. 277.2). Помимо силы сопротивления к массе приложена внешняя периодическая сила F(t). Уравнение движения в этом случае запишется следующим образом: ).m&x&+ rx& + kx = F(t
3. Рассмотрим случай, когда внешняя
Рис. 276.3. Зависимость смещения и энергии от времени
Рис. 277.1. Резонансная кривая
Рис. 277.2. Вынужденные колебания
109
возбуждающая сила изменяется по гармоническому закону с частотой Ω, например, по закону косинуса:
F = F0 cosΩt .
4. Уравнение движения в этом случае перепишется в виде: m&x&+ rx& + kx = F0 cosΩt .
5. Введём следующие обозначения:
ω0 = |
k |
, |
β = |
r |
. |
f0 = |
F0 |
|
, |
|
|
m |
|||||||
|
m |
|
2m |
|
|
||||
что позволяет уравнение движения переписать в виде |
|
||||||||
&& |
& |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x + 2βx |
+ ω0 x = f0 cosΩt . |
|
5. Неоднородное дифференциальное уравнение имеет решение в виде суммы общего решения одноимённого однородного уравнения х1 и частного решения х2 неоднородного уравнения, причём:
|
|
|
|
x1 = e |
−βt |
|
t β2 −ω02 |
+ C2e |
−t β2 −ω02 |
, |
|||||
|
|
|
|
C1e |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
= x0 cos(Ωt −ϕ), |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||||
x = x |
1 |
+ x |
2 |
= e−βt C et |
β2 −ω02 + C |
e−t β2 −ω02 |
|
+ x |
0 |
cos(Ωt −ϕ). |
|||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Первый член уравнения x(t) характеризует свободные затухающие колебания. Постоянные интегрирования С1 и С2, как обычно, определяются путём подстановки начальных условий х(0) и x&(0) , имеющих место при t = 0. Второй
член этого уравнения описывает стационарные вынужденные колебания, происходящие с частотой вынуждающей внешней силы Ω с амплитудой, определяемой уравнением:
x0 = |
|
F0 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
f0 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
k |
|
|
|
|
2 |
ω |
2 |
−Ω |
2 |
2 |
|
|
|
2 |
β |
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Ω |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Ω |
r2 + |
|
|
|
−Ωm |
|
|
( |
|
0 |
|
|
) |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Сдвиг фазы колебаний относительно внешней силы равен: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
ϕ = arctg |
|
|
|
r |
|
= arctg |
2Ωβ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
k |
−Ωm |
ω2 −Ω2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Для случая малого затуха- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния, т.е. при β→0 уравнение х0 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
возможно упростить: |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 = |
|
|
f0 |
|
|
|
= |
f0 |
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω02 −Ω2 |
|
Ω |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Очевидно, что при ω0 = Ω, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A→∞, но этот случай довольно |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
далёк от реальности, затухание |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при колебаниях всегда имеет ме- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сто быть. Вместе с тем уравне- |
||||||||||||||||
Рис. 277.3. Частотные характеристики |
|
|
ние x0 =f(Ω) позволяет устано- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
вить |
|
|
некоторые |
характерные |
110