УЧЕБНИК РЭМ5

184

Некоторые важные соотношения векторного анализа

a = axi + ay j + azk

(ab) = axbx + ayby + azbz скалярное произведение векторов

[ab]=		i	j	k
		ax	ay	az			векторное произведение веторов
		bx	by	bz
	ax		ay	az
abc =	bx		by	bz			смешанное произведение векторов
	cx		cy	cz

U (r) - скалярное поле векторного аргумента

V(r) - векторное поле векторного аргумента

gradU (r)= i ∂U∂x(r) + j ∂U∂y(r) +κ∂U∂z(r)

divV (r)= ∂∂Vxx + ∂∂Vyy + ∂∂Vzz

= i

∂

+ j

∂

+k

∂

оператор Гамильтона

∂x

∂y

∂z

=

∂2

+

∂2

+

∂2

оператор Лапласа

∂x2

∂y2

∂z2

U (r)= gradU (r)

( V (r))= divV (r)

×V (r)= rotV (r)

185

		i		j		k
rotV(r)=		∂		∂		∂
		∂x		∂y		∂z
	Vx		Vy		Vz

div (rotV (r))≡ 0

rot (gradU (r))≡ 0

U (r,t )= Aei(ωt−kr)

U (r,t )= −k2U (r,t )

∂2U (r,t ) = −ω2U (r,t )

∂t2

Волны

ψ (x,t )= f1 (x −ut )+ f2 (x −ut ) общее выражение волнового возмущения

ψ (x, y, z,t )=ψ (r,t )					= Aeik(r−ut) плоская волна
ψ (r)−	1		∂2ψ	(r)	= 0 волновое уравнение
	2		∂t	2
	u

ϕ (r,t )= Ar eik(r−ut) сферическая волна

I(r,t )=ψ (r,t ) ψ (r,t )

186

Формулы ЭЙЛЕРА

±ix

e

= cos x ±isin x

sin x =

eix

−e−ix

2i

Формулы Эйлера

ix

−ix

cos x

= e

+ e

2

2sin

2

α

=1−cosα

2

2cos2 α

=1+ cosα

2

(1+α)2

≈1+ 2α если α 1

1

=1−nα

(1+α)n

a1,..a2

= a1 q1,..a3

= a1 q2 ,...

a

= a

qn−1

n

1

если..q ≤1..q − знаменатель..прогресии геометрическая прогрессия

Sn

= a1 + a2 + a3 +... + an =

a1 (1

− qn )

1

− q

ВАЖНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ФУРЬЕ-АНАЛИЗА

Дельта функция (функция Дирака)

(

)

0 если x ≠ a

+∞

(

(

)

+∞

δ

x − a

=

∫

δ

x dx =1

δ

x

=

∫

e2πixydy

)

∞ если x = a

−∞

−∞

Функция Хевисайда (единична ступенчатая функция)

	0	x < a	d	σ (x − a)=δ (x − a)
	σ (x − a)=
		x ≥ a	dx
	1

187

∫eaxdx =

1 eax

a

+∞

f (x) g (x)= ∫ f (X ) g (X − x)dX

−∞

f (x) δ (x)= f (x)

f (x) δ (x − a)= f (x − a)

f (x)

+∞

F{f (x)}= F (u)=

∫ f (x) e2πiuxdx

−∞

f (x)= F−1 F{f (x)} = +∞∫ F (u) e−2πiuxdx

−∞

f (−x)

F (−u)

f (x)

F (−u)

f (ax)

1

a F (u / a)

f (x)+ g (x)

F (u)+G (u)

f (x) g (x)

F{f (x)} F{g (x)}

f (x − a)

e2πiau F (u)

( 2

iu)

F (u)

d

(x)

− π

f

dx

d n

(−2πiu)n F (u)

f (x)

dxn

δ (x)

1

δ (x − a)

e2πiau

e−a2x2

π

e

−

π2u2

2

a

a

f (x)

=

0

x

< a / 2

sin (πau)

x

≥ a / 2

πu

1

+(N −1)/ 2

sin (π Nau)

f (x)=

∑

δ (x − na)

sin(πau)

−(N −1)/ 2

Дифракция на щели

0		x		< a / 2
f (x)=		x		≥ a / 2
1

∫eaxdx = 1a eax

188

	F (u)= +∞∫	f (x) e2πiuxdx = +a∫/ 2 e2πiuxdx =	sin(πau)
			πu
	−∞	−a / 2

0

x

< a /

2

f (x)=

x

≥ a /

2

f (x)=σ (x

− a / 2)−σ (x + a / 2)

1

g (x)=

d

f

(x)=δ (x − a / 2)−δ (x + a / 2)

dx

G(u)= e−2πi

a

−e2πi

a

2u

2u = −2isin(2πua)

d

F (u)=

2isin(πau)

sin(πau)

G(u)= F

f (x)

= −2πiu F (u)

=

2πiu

πu

dx

Дифракционная решетка

+(N −1)/ 2

f (x)= ∑

δ

(x − na)

−(N −1)/ 2

F (u)=

+(N −1)/ 2

N

∑ e2πiuna = e−πiua(N −1) ∑e2πiuan

=

−(N −1)/ 2

0

= e

−πiua(N −1)

e2πiuaN −1

=

e−πiuaN

e2πiuaN −1

=

e2πiua −1

e−πiua

e2πiua −1

= eπiuaN

−e−πiuaN

= sin(πauN )

eπiua

−e−πiua

sin(πau)

189

Некоторые часто встречающиеся мировые константы

e=4,80294 10-10 CGCE	Заряд электрона
e/m=1,75888 107 CGCM г-1	Отношение заряда электрона к
	массе
e/m=5,273 1017 CGCE	Отношение заряда электрона к
	массе
me=9,1083 10-28 г	Масса электрона
h=6,6254 10-27 эрг сек	Постоянная Планка
NA=6,0247 1023 моль-1	Число Авагадро
Размеры	атомов (см)
Порядок величины диаметра	10-8
атома
Радиус атома водорода	0.53 10-8
Радиус атома гелия	1.05 10-8
Радиус атома урана	1.5 10-8
Порядок величины диаметра	10-24
атомного ядра
Порядок величины объема	10-39-10-36
атома (см3)
Порядок величины расстояния	10-8
между атомами твердого
вещества
Масса атомов (10-27 кг)
Водород	1.67
Гелий	6.64
Углерод	19.9
Азот	23.2
Натрий	38.1
Алюминий	44.8
Фосфор	51.4
Железо	92.8
Медь	105
Серебро	179
Олово	197
Золото	327
Уран	395

1Å=10-10м=10-7мм=10-4мкм 1мкм=10-4см=10-3мм=104Å

					190
	Множительный префикс
	к наименованию единиц измерения
				Приставка
Множитель	Приставка		Множитель
	Наименование	Обозначение		Наименование	Обозначение
		русское,			русское,
		международное			международное
1018	экса	Э, E	10-1	деци	д, d
1015	пета	П, P	10-2	санти	с, с
1012	тетра	Т, T	10-3	милли	м, m
109	гига	Г, G	10-6	Микро	мк, μ
106	мега	М, M	10-9	Нано	н, n
103	кило	к, k	10-12	Пико	п, p
102	гекто	Г, h	10-15	фемто	ф, f
10	дека	да, da	10-18	атто	а, a

Длина волны электронов ускоренных до энергии E(kV) без учета релятивистких поправок

λ =	h	=	h
	mv		2meE
			h						12,26								°
λ =								=								A
				eE
									E 1+0,9788		10	−6	E
	2meE 1+								(					)
				2mc		2
										E(kV)	λe (Å)
										1	0,3876
										10	0,1220
										100	0,037
										400	0,016

191

ПРИЛОЖЕНИЕ

СТЕРЕОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

192

193