Вопросы к экзамену 1 с 2015
.docВопросы к экзамену по математическому анализу
Специальность УЭЛ, I курс, I семестр
Раздел 1. Элементы теории пределов.
-
Основные элементарные функции (область определения, область значения функции, график, свойства).
-
Функция: определение, области определения и значения, способы задания, монотонность, четность, нечетность, периодичность, ограниченность, наибольшее и наименьшее значение.
-
Предел функции. Свойства. Односторонние пределы.
-
Первый и второй замечательные пределы.
-
Непрерывность функции, точки разрыва
Раздел 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
-
Понятие производной первого порядка. Свойства.
-
Таблица производных.
-
Дифференциал функции и его приложение.
-
Производные высших порядков
-
Теорема Ферма
-
Теорема Ролля
-
Теоремы Лагранжа, Коши
-
Правило Лопиталя
-
Исследование на экстремум
-
Исследование на выпуклость
-
Асимптоты
Раздел 3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
-
Понятие функции нескольких переменных. Частные производные первого порядка
-
Частные производные высших порядков
-
Исследование на экстремум
Раздел 4. Интегральное исчисление.
-
Понятие неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Свойства.
-
Основные методы интегрирования (простейшее интегрирование, подведение под знак дифференциала, интегрирование по частям)
-
Интегрирование простейших правильных дробей
-
Интегрирование дробно-рациональной функции
-
Интегрирование тригонометрических функций
-
Интегрирование иррациональных функций
-
Понятие определенного интеграла. Свойства. Методы вычисления.
-
Несобственные интегралы
Список задач: Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.
Раздел 1 :№№ 4 (уметь читать график), 9, 14, 15, 47, 50, 53, 54, 62, 221, 223, 268-279, 281-287, 314-317, 319-325, 330, 332, 351-353, 355-362, 368-374
Раздел 2 :№№ 466-469, 471-477, 534, 535, 585, 589, 611, 617, 620, 621, 626, 889 (1-5, 11,12,14, 15,19), 899, 900, 902, 1006 – 1013, 1185, 1187, 1188, 1287, 1289, 1290, 1371, 1377,
Раздел 3: №№ 3036, 3037, 3041, 3047, 3101-3104, 3181, 3259, 3271-3273 (исследовать на экстремум),
Раздел 4: №№ 1676, 1678, 1679, 1685, 1686, 1689-1693, 1710-1726, 1791-1803(нечетные), 1832-1839, 2012. 2013, 2231-2233, 2259, 2260, 2262, 2263
МИНИМУМ на оценку «3» (примерный список задач)
-
Знать графики основных элементарных функций, таблицы производных и интегралов
-
Достроить график используя свойство 1) четности, 2) нечетности, 3) периодичности с периодом 5
Для каждой из полученных функций указать область определения, область значения, промежутки монотонности (возрастание, убывание, постоянство)
3. Построить эскиз графика y = f(x). Указать
а) область определения функции, б) область значения функции,
в) найти y, если х=-3; -1; 2
г) найти х по графику функции, если y=-1; 0; 1
в) промежутки монотонности (возрастание, убывание, постоянство), г) точки разрыва.
Найти пределы (левый и правый) функции в точках разрыва, используя график функции.
-
Прочитайте график функции:
-
Области определения и значения функции.
-
Промежутки знакопостоянства функции.
-
Точки разрыва функции и односторонние пределы в этих точках.
-
Монотонность функции.
-
Наибольшее и наименьшее значения функции (если существуют).
5. Вычислить пределы
а) б) в) д)
6. Выяснит поведение функции y(x) = (-1/3) x3 + 0.5x2 + 2x -1 в точках х = -5,7; 0; 2,3.
-
Найти точки экстремума функции.
-
Найти точки перегиба функции.
-
Найти промежутки монотонности функции.
-
Найти промежутки выпуклости функции.
-
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [ -3, 1]
7. Вычислить производную функции
(x2 + xlnx) = (cos) =
8. Найти интегралы
1. 2. ; 3.; 4.
9. Вычислить и изобразить на координатной плоскости
-
Вычислить
-
Найти частные производные первого порядка для следующих функций: а) z = x2 – 5y; б) z = xy2; в) z = cos(2x+y).
-
Найти точки экстремума функции z = x2 + 2y2 – xy +1