kozinova_at_osharina_nn_matematika_lineinaia_algebra_analiti

Пример 5. Составим уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и точку M 2, 5,1 .

Уравнение плоскости, проходящей через ось Oz , имеет вид ax by 0 . Так как точка M 2, 5,1 принадлежит плоскости, то 2a 5b 0 . Отсюда a 2,5b . Пусть b 2 , тогда a 5 и искомое уравнения имеет вид 5x 2 y 0 .

Угол между двумя плоскостями 1

и 2

определяется по формулам:

n 1 n

a a

2

b b c c

cos

2

1

1

2

1 2

,

a2

b2

c 2

a2 b2 c

2

n1

n2

1

1

1

2

2

2

a1,b1,c1 ,

a2 ,b2 ,c2 - нормальные векторы плоскостей.

где n1

n2

Необходимые и достаточные условия параллельности двух плоскостей

a1

b1

с1

a2

b2

с2

Необходимые и достаточные условия перпендикулярности двух

плоскостей

a1a2 b1b2 с1с2 0

Расстояние от точки M 0 x0 , y0 , z0 до плоскости ax by cz d 0 в

пространстве определяется по формуле

s ax0 by0 cz0 d a2 b2 c2

Пример 6. Найдем расстояние между двумя параллельными плоскостями

1 : 12x 4 y 6z 10 0 и 2 : 6x 2 y 3z 16 0 .

Найдем произвольную точку на плоскости 1. Пусть x 0 и

y 0 , тогда

z 5/ 3. Искомое

расстояние равно

расстоянию

от точки

М 0,0, 5/ 3 до

плоскости 2 : s

6 0 2 0 3 5/ 3 16

21

3.

62 22 3 2

49

Каждая

плоскость

разбивает пространство

на

два

множества,

называемые

полупространствами.

Если

плоскость

задана

уравнением

ax by cz d 0 , то точки

одного

полупространства

являются решением

неравенства

ax by cz d 0 , а точки другого полупространства решением

неравенства ax by cz d 0 .

81

5.3.Уравнение прямой линии в пространстве

Прямая

линия l

в

пространстве

задается

двумя

пересекающимися

плоскостями

1:

a1x b1y c1z d1 0 и

2 : a2 x b2 y c2 z d2

0 . Тогда

общее уравнение прямой в пространстве имеет вид

a x b y c z d 0

1

1

1

1

a2 x b2 y c2 z d 2 0

Уравнение прямой линии l , параллельной

вектору

q m, n, p

и

проходящей через точку

M

0

x

0

, y

0

, z

0

, имеет вид

x x0

y y0

z z0

и

m

n

p

называется каноническим, а вектор q m, n, p ‒ направляющим вектором.

Соответствующая система уравнений

x mt x0

y nt y0z pt z0

называется

параметрическим уравнением

прямой

в

пространстве, t

‒ параметром.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1 x1, y1, z1

и M

2

x

2

, y

2

, z

2

записывается в виде

x x1

y y1

z z1

x2 x1

y2 y1

z2 z1

2x y z 3 0

Пример 7. Дано общее уравнение прямой линии

x y 2z 9 0

Найдем каноническое уравнение и направляющий вектор этой прямой.

1 способ. Решая систему уравнений, которая задает данную прямую

линию, получим y 3 5x и z 6 3x . Отсюда	y 3						z 6			x .
		5					3
Каноническое уравнение прямой имеет вид			x			y 3				z 6	.
		1				5				3

Направляющий вектор прямой q 1, 5, 3 .

2 способ. Чтобы составить каноническое уравнение прямой, необходимо найти две любые точки, принадлежащие этой прямой. Например, точки пересечения этой прямой с плоскостями х 0 и z 0 . В этих случаях из общего уравнения прямой получаем две системы линейных алгебраических уравнений

82

y z 3 0

2x y 3 0

2z 9 0

и

y 9 0

.

y

x

M1 0,3,6 и M 2 2, 7,0 .

Их решения и определяют координаты двух точек

Тогда каноническое уравнение прямой имеет вид

x 0

y 3

z 6

или

x

y 3

z 6

.

2 0

7 3

0 6

1

5

3

Направляющий вектор прямой q 1, 5, 3 .

Угол

между

двумя

прямыми линиями

l1

и l2 c направляющими

векторами q 1

m1, n1, p1 и q 2

m2 , n2 , p2 определяется по формуле

cos

q 1 q2

m1 m2 n1 n2 p1 p2

m2

n2

p 2

m2 n2

p 2

q

q

2

1

1

1

2

2

2

1

Необходимые и достаточные условия параллельности двух прямых

m1

n1

p1

m2

n2

p2

Необходимые и достаточные условия перпендикулярности двух прямых m1m2 n1n2 p1 p2 0

Пример 8. Найдем угол между прямой линией l :																			x 1		y		z 5	и
														1				0		1		0
прямой l2 , проходящей через начало координат и точку M 5, 3,1 .
Запишем уравнение прямой l2 , проходящей через две точки ‒ начало
координат O 0,0,0 и точку M 5, 3,1 :
	x		y				z	.
			3
5					1
Направляющие векторы прямых линий l1 и l2 равны q 1																		0,1,0 и				q 2 5, 3,1
. Следовательно
cos						0 5				1	( 3) 0	1		3
								1			25 9 1			35

	Таким образом, острый угол между двумя прямыми равен arccos		3		.
		35

83

Угол между

прямой l :

x x0

y y0

z z0

и

плоскостью

m

n

p

:

ax by cz d 0 определяется формулой

sin

q

n

a m b n c

p

,

m2 n2 p2 a2

b2 c2

q

n

a,b,c

m, n, p

где

q

- направляющий вектор прямой l ,

n

- нормальный

вектор плоскости .

Условие параллельности прямой и плоскости

q n 0 или am bn cp 0

Условие перпендикулярности прямой и плоскости

a

b

c

n q или

m

n

p

Пример 9. Составим уравнение плоскости, проходящей через прямую l1 :

x 1

y 1

z 3

и

точку

M 2,1, 1 . Найдем

угол между

полученной

2

1

2

плоскостью и прямой l2 :

x

y 1

z

.

Точка M 2,1, 1

2

2

2

. Уравнение плоскости

лежит на искомой плоскости

имеет

вид

a(x 2) b( y 1) c(z 1) 0 . Найдем

координаты

нормального

вектора плоскости

n a,b,c . Точка А 1, 1,3 лежит на прямой l1 , а значит и

на плоскости .

Подставляя точку A в уравнение плоскости

, получим

уравнение 3a 2b 4c 0 . Так как прямая линия l1 лежит в плоскости , то

направляющий		вектор			q 1 2,1,2		перпендикулярен		вектору		n .
			0 , т.е. 2a b 2c 0 . Решим алгебраическую систему
Следовательно,		q 1 n
линейных уравнений
3a 2b 4c 0				.
	b	2c 0
2a
Получим	a 8c и				b 14c .	Пусть	c 1, тогда	a 8 ,		b 14	и
	8,14,1 .
n a,b,c				Искомое		уравнение плоскости				имеет	вид
						84

8x 14 y z 3 0 .											Найдем								синус							угла						между плоскостью :
8x 14 y z 3 0 с нормальным вектором																													n a,b,c 8,14,1 и прямой l2
	x		y 1		z																						m										2, 2,2
:								с направляющим вектором q																								, n		, p
																										2					2		2			2
	2 2 2
																													8 2 14 2 1 2
			sin							a m2 b n2 c p2																																7
							2			2	2				2		b			2	c		2							4 4 4								64 196 1				87
								m2		n2	p2 a
Искомый угол равен arcsin																7			.
															87

5.4.Прямая и гиперплоскость в n - мерном точечном пространстве. Полупространства в n - мерном точечном пространстве

Произвольный упорядоченный набор из n чисел называется n - мерной точкой, а сами числа координатами этой точки. Обозначение точки с координатами - M x1, x2 ,...,xn .

Совокупность всех n – мерных точек называется n - мерным точечным пространством. Точка O 0,0,...,0 называется началом координат. Множество точек пространства, у которых все координаты, кроме i - той, равны нулю, называется координатной осью Oxi . Совокупность всех точек пространства, у которых i - тая координата равна нулю, называется координатной

гиперплоскостью xi . В n - мерном точечном пространстве имеется n координатных гиперплоскостей x1, x2 ,...,xn .

Уравнение прямой линии

l , проходящей через точку M

0

x0

, x0

,...,x0

и

параллельной вектору Q m1, m2 ,...,mn , имеет вид:

1

2

n

x1 x10

x2 x20

...

xn xn0

m1

m2

mn

и называется каноническим уравнением прямой в n - мерном точечном
пространстве.			Вектор Q m1, m2 ,...,mn	называется направляющим
вектором прямой l . Соответствующая система уравнений
x		m t x0
1		1	1
x		m t x0
	2	2	2
.........
		m t x0
x	n
		n	n

называется параметрическим уравнением прямой в n - мерном точечном пространстве.

85

Уравнение

гиперплоскости

,

перпендикулярной

вектору

N

a , a

2

,...,a

n

и проходящей через точку M

0

x0 , x0 ,...,x0 , имеет вид

1

x

... a

x

n

a x

x0 a

2

x0

n

x0 01

2

1

1

1

2

2

n

n

Уравнение

a1x1 a2 x2

... an xn b 0

называется общим уравнением

гиперплоскости

в n - мерном точечном пространстве. Вектор

N

a1, a2 ,...,an

называется нормальным вектором гиперплоскости. Если

b 0 , то гиперплоскость проходит через начало координат O 0,0,...,0 .

Расстояние

от

точки

M

0

x0

, x0 ,...,x0

до гиперплоскости :

1

2

n

a1x1 a2 x2

... an xn b 0

в

n - мерном

точечном пространстве

определяется по формуле

a x0

a

2

x0

... a

n

x0

b

s

1 1

2

n

a2

a

2 ... a2

1

2

n

Каждая гиперплоскость разбивает n - мерное точечное пространство на два множества, называемые полупространствами. Если гиперплоскость

задана уравнением a1x1 a2 x2			... an xn b 0 , то координаты точки одного
полупространства		являются		решением	неравенства
a1x1 a2 x2	... an xn b 0 , а координаты точки другого полупространства ‒
решением	неравенства		с	противоположным	знаком
a1x1 a2 x2	... an xn b 0 .

5.5.Кривые второго порядка

Уравнение	второго	порядка		относительно		двух		переменных
Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0			называется		общим	уравнением кривых
второго порядка.	При	разных значениях			постоянных		коэффициентов
A, B,C, D, E, F уравнение		описывает		четыре	вида	линий	на	плоскости:
окружность, эллипс, гиперболу и параболу.
Окружность	‒ это		множество точек линии				на	плоскости,

равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности.

Нормальное уравнение окружности имеет вид

x x0 2 y y0 2 R2 ,

где x0 , y0 ‒ координаты центра окружности, R – радиус окружности.

После раскрытия скобок уравнения, получается общее уравнение окружности x2 y 2 Dx Ey F 0, где D 2x0 , E 2 y0 , F x02 y02 R2

86

Пример 10. Найдем расстояние между центрами двух окружностей

x2 y2 6x 8y 16 0 и x2 y2 10x 4 y 13 0 .
Выделим		полные	квадраты		в	уравнениях	окружностей
x2 6x 9 y2 8y 16 9 0 и				x2 10x 25 y2 4 y 4 25 4 13 0 .
Отсюда	получаем		x 3 2	y 4 2	9	и x 5 2 y 2 2 16 .
Следовательно,		координаты центров окружностей равны O1 3,4 и O2 5, 2 .
Расстояние		между	центрами			окружностей	равно

s 5 3 2 2 4 2 64 36 10 .

Эллипс – это множество точек линии на плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина

постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.

Точки

F1 c,0 и

F2 c,0

y

называются

фокусами

эллипса,

расстояние между ними равно F1F2 2c

b

M

.

M x, y – произвольная

r2

Пусть

r

1

x

точка эллипса. Расстояния от точки M

a

F2

0

F1

a

до фокусов

эллипса F1M

и

F2M

b

называются

фокальными

радиусами

точки и обозначаются r1 и r2 .

Сумма

фокальных

радиусов ‒

величина

постоянная r1 r2 2a .

Рис. 1

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

x2

y2

1,

b2

a2

где b

a 2 c2 , если a b и фокусы находятся на оси Ox . Параметры а и b

называются

полуосями

эллипса.

Отношение

с

1 называется

а

эксцентриситетом эллипса. Фокальные радиусы определяются формулами r1 a x, r2 a x .

Пример 11. Запишем каноническое уравнение симметричного относительно осей координат эллипса, если его малая полуось равна 5, а

эксцентриситет -		12	.
	13
				с			a2 b2				a2 25			12
Эксцентриситет эллипса равен																.
				а			a				a			13
	87

и F2 c,0

Следовательно, a2 169 . Каноническое		уравнение эллипса, симметричного
относительно осей координат, имеет вид		x2		y2	1 или		x2		y2	1.
						132
169			25					52

Гипербола – это множество точек линии на плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Точки F1 c,0

называются

фокусами

гиперболы,

y

расстояние между ними F1F2 2c .

Пусть

M x, y

–

произвольная

r2

M

точка гиперболы.

Расстояния от точки

r1

x

M до фокусов

гиперболы

F1

и F2

0

F2

F1

называются фокальными радиусами и

обозначаются r1 и r2 .

Модуль

разности

расстояний

фокальных

радиусов

‒

величина

постоянная

r2 r1

2a .

Рис. 2

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

x2

y2

1,

a2

b2

где b c2

а2 .

Параметры

a и

b называются

соответственно

действительной

и

мнимой

полуосями

гиперболы.

Отношение

с

1

а

называется эксцентриситетом гиперболы. Фокальные радиусы определяются

формулами

r

х а

,

r

х а

.

Прямые

y

b

x ‒

называются

1

2

a

асимптотами гиперболы.

Гиперболы

x2

y 2

1 и

y2

x2

1 называются сопряженными.

a 2

b2

b2

a2

Пример 12. Запишем каноническое уравнение симметричной

относительно

оси

координат

Oy

гиперболы с

асимптотами

y 0.75x ,

проходящей через точку M 6,1.5 . Найдем расстояния между ее вершинами и

	фокусами.
	Уравнение асимптот гиперболы				y (a / b)x 0.75x . Тогда b 0.75a и
	уравнение гиперболы имеет вид	x2			42 y2	1. Точка	M 6,1.5 принадлежит
		a2			32 a2
				88

62

4

гиперболе.

Следовательно,

1. Получаем

а 4

2 , b 3

2 . Тогда

a2

a2

искомое уравнение гиперболы принимает вид

x2

y2

1. Расстояния между

32

18

вершинами

и

фокусами

соответственно

равны

s1 2a

и

s2 2c .

a2 b2

s 8

10

c

32 18 5

2 . Следовательно,

2

и s

2

2 .

1

Парабола - это множество точек линии на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

	Точка		F p / 2,0		называется				y
фокусом		параболы.		Величину		p			d M
называют параметром параболы.
	Пусть	M x, y		–	произвольная			0		r
точка	параболы. Расстояние от точки										x
								p		F
M	до	фокуса		F ,	называемое
								2
фокальным радиусом, обозначим r .
	Прямая		линия		x p / 2
называется директрисой. Расстояние от
директрисы до точки M равно d , а от
директрисы до фокуса F -					p .					Рис. 3
	Каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Ox
и с вершиной в начале координат, имеет вид y2 2 p x .										Фокальный радиус
равен r x p / 2 .
	Парабола х2 2 p у симметрична относительно оси Oy , лежит в верхней
полуплоскости,			имеет фокус F 0, p / 2 и директрису							y p / 2 . Фокальный

радиус равен r y p / 2 .

Пример 13. Составим уравнения параболы и ее директрисы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси координат Oy , если она

проходит через точку M 6,3 .

Точка M 6,3 принадлежит параболе х2 2 p у . Отсюда 6 2 6 р , р 6 . Следовательно, каноническое уравнение параболы с вершиной в начале

координат и симметричной относительно оси Oy имеет вид х2 12 у , а уравнение директрисы y 3 .

89

5.6.Поверхности второго порядка

Уравнение	второго порядка относительно	трех переменных
Ax2 By2 Cz2	Dxy Eyz Fxz Gx Hy Mz N 0	называется общим

уравнением поверхностей второго порядка. При разных значениях постоянных коэффициентов A, B,C, D, E, F,G, H, M , N уравнение описывает четыре вида поверхностей в пространстве: сферу, эллипсоид, гиперболоид и параболоид.

Сфера - это множество точек в пространстве, равноудаленных от данной точки, называемой центром сферы. Сфера – замкнутая центральная поверхность второго порядка.

Нормальное уравнение сферы имеет вид

x x

2 y y

2

z z

0

2 R2 ,

0

0

где x0 , y0 , z0 ‒ координаты центра сферы, R – радиус сферы.

После раскрытия скобок, получается общее уравнение сферы

x2 y2 z2 Gx Hy Mz N 0 ,

где G 2x , H 2 y

0

, M 2z

0

,

N x2

y

2 z2

R2 .

0

0

0

Пример 14. Составим уравнение сферы с центром в точке O 2, 3,1 и

проходящей через точку M 8, 5, 2 .

Точка

M 8, 5, 2 принадлежит

сфере

x 2 2

y 3 2 z 1 2 R2 .

Отсюда 8 2 2 5 3 2

2 1 2

R2,

R2 49 .

Нормальное уравнение

сферы имеет вид x 2 2 y 3 2 z 1 2 49 .

Пример 15. Составим уравнение сферы с центром в точке O 5, 2,4 и

радиусом,

равным

3.

Найдем

координаты

центра и радиус сферы

2x2 2 y2 2z2 12x 8y 28z 38 0.

Подставим координаты центра сферы и значение радиуса в нормальное уравнение x 5 2 y 2 2 z 4 2 9 .

Сократив общий множитель и сгруппировав члены, содержащие переменные x, y и z , дополним каждую группу до полного квадрата суммы

или разности

x2 6x 9 9 у2 4 y 4 4 z2 14z 49 49 19 0,

x 3 2 y 2 2 z 7 2 81.

Откуда получаем координаты центра сферы O 3,2, 7 и радиус R 9 .

90