3-й семестр / Лекции / 12 - презентация
.pdfЛекция 12 |
|
|
|
|
|
|
3.2. Теорема Коши. Интегральная формула Коши |
|
– |
||||
Теор.2 (теорема |
Коши для |
односвязной |
области) Если |
|||
|
|
|
|
( |
) |
|
аналитическая |
функция |
в односвязной области |
и |
|
– |
|
замкнутый контур, принадлежащий области , то интеграл не |
||||||
зависит |
от |
пути |
интегрирования |
|
|
и |
( ) = 0.
Напоминание: область называется односвязной, если любую замкнутую кривую, принадлежащую области, можно стянуть в точку, не выходя за пределы области.
Доказательство.
( ) = + – аналитична, следовательно, выполняются
условия Коши-Римана: = , = − .
( + ) ( + ) =
|
= |
|
− + |
+ = |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
применим Формулу Грина: |
|
|||||
{ |
+ = |
( |
|
− |
|
) } = |
|
|
|
|
= (− − ) + ( − ) = 0.
Определение 2. Линия называется связной, если из любой ее точки можно пройти по этой линии в любую другую ее точку.
Определение 3. Порядком связности ограниченной области называется число связных частей, на которое разбивается ее граница.
Например, круг | | ≤ 1 – односвязная область, а кольцо 1 ≤ | | ≤ 2
– двусвязная область.
Теорема 3 (теорема Коши для многосвязной области).
Если функция ( ) аналитична в замкнутой области , ограни-
ченной кривыми 0, 1, . . . , , то
( ) = 0, = 0 + 1 + + при условии, что обход всех контуров совершается так, что область остается с одной стороны (слева).
Следствие. Если все контуры проходить в одной направлении (например, против часовой стрелки), то
∫ 0 ( ) = ∫ 1 ( ) +. . . + ∫ ( ) ,
т.е. интеграл по внешнему контуру 0 равен сумме интегралов по внутренним контурам.
Теорема 4 (интегральная формула Коши)
Если – односвязная или многосвязная область, ограниченная
контуром , и ( ) – однозначная и аналитическая в функция, тогда для любой точки справедлива формула
( ) = ∫ ( ) .
−
Теорема 5. Если функция ( ) аналитична в области и
непрерывна в , то во всех внутренних точках области у функции ( ) существуют производные любого порядка, причем
справедлива формула ( )( ) = ! ∫ (− ( )) + ,
где , а – граница области .
Этой формулой можно пользоваться для вычисления некоторых интегралов.
Примеры.
Пример 1. Вычислить интеграл ∫ 2 , если
−4
1): | − 1| = 12,
2): | − 1| = 2,
3): | − 1| = 4.
Решение:
1) : | − 1| = 12. В замкнутой области, ограниченной окружностью | − 1| = 12, подынтегральная функция аналитическая, т. к. точки, в
которых знаменатель обращается в нуль 1 = 0 , 2 = 4 не входят в область. Тогда по теореме Коши
∫ = 0.
| −1|=12 2 − 4
|
2) |
: |
| |
− 1 = 2. Внутри |
области, ограниченной окружностью |
||||||||||
|
|
|
|
| |
|
|
|
точка 1 = 0, |
в которой знаменатель |
||||||
| |
− 1 = 2, |
находится одна |
|||||||||||||
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обращается в ноль. Перепишем интеграл в виде |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
= ∫ |
|
− 4 |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
− 4 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
| −1|=2 |
| −1|=2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция ( ) = является аналитической в данной области.
−4
Применяя интегральную формулу Коши ( 0 = 0) ( 0) =
1 ∫ ( ) , получим
2 − 0
|
|
|
|
1 |
|
|||
∫ |
|
= 2 ( |
|
) | =0 = 2 (− |
|
) = − |
|
. |
2 − 4 |
− 4 |
4 |
2 |
|||||
| −1|=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
: |
| |
− 1 |
| |
= 4. В области, ограниченной окружностью |
|
| |
− 1 |
| |
= |
4, имеем две точки 1 = 0, 2 = 4 в которых знаменатель |
|||
|
|
|
|
|
|
подынтегральной функции обращается в нуль. Применить сразу интегральную формулу Коши нельзя. Решить задачу можно двумя способами.
1
1 способ. Разложим дробь 2−4 на простейшие, получим
1 |
|
|
|
|
||
|
= |
|
|
+ |
|
. |
2 − 4 |
− 4 |
|
Найдем и любым способом (например, методом неопределенных коэффициентов). = 14, = − 14, т.е.
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|||
|
= |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
. |
2 − 4 |
4 |
− 4 |
4 |
|
Подставляя в интеграл, получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∫ |
|
|
|
|
= |
∫ |
|
|
|
− |
∫ |
|
= |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
| −1|=4 ( − 4) |
|
|
|
|
4 |
| −1|=4 − 4 |
|
|
|
4 |
|
| −1|=4 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
( |
) |
|
|
|
1 |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
2 ( 4 |
) |
|
|
|
( 4 |
) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|||||||||||||||||||
= |
|
2 |
|
|
| =4 |
− |
|
|
|
2 |
|
| =0 |
= |
|
|
|
|
|
− 1 = |
|
|
|
|
|
. |
||||||
4 |
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 способ. Построим окружности 1 и 2 |
с центром в точках 1 = 0 и |
|||||
2 = 4 настолько малых радиусов, чтобы |
окружности 1 |
и 2 |
не |
|||
пересекались и целиком лежали в круге |
| |
− 1 ≤ 4. В трехсвязной |
||||
|
|
|
| |
1, |
2 |
|
области, ограниченной окружностями |
| |
− 1 = 4, |
||||
|
|
|
| |
|
|
подынтегральная функция аналитична. Тогда по теореме 3 Коши для многосвязной области (см. рис.)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫ |
|
|
= ∫ |
|
|
+ ∫ |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
( − 4) |
( − 4) |
( − 4) |
|||||||||||
| −1|=4 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
К каждому интегралу в правой части применим интегральную формулу Коши. Получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫ |
|
= 2 ( |
|
|
|
) |
| |
|
+ 2 ( |
|
) | |
|
= |
|||||||||||
( − 4) |
− 4 |
=0 |
|
=4 |
||||||||||||||||||||
| −1|=4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
4 |
) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
||||||||
|
= 2 (− |
|
) + 2 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Получен тот же результат, что и первым способом.