3-й семестр / Семинары / 02
.pdfПрактическое занятие 2
Признаки сходимости знакопостоянных рядов. Признаки сравнения. Признак Даламбера.
Определение.
неотрицательны: an
Положительными называются ряды, все члены которых
0 .
Напомним виды рядов, сходимость которых была уже рассмотрена на лекции.
n 1
n 1
n 1
1 n
1 |
|
n |
|
|
q |
n |
|
-гармонический ряд – расходится
-ряд Дирихле – сходится при α >1;
расходится при α ≤ 1
- при |
q 1 |
бесконечно убывающая геометрическая прогрессия – |
|
сходится.
Первый признак сравнения. Пусть даны два положительных ряда:
an
n 1
bn
n 1
,
.
(1)
(2)
Если для всех номеров n (или для всех номеров n , бóльших некоторого номера N ) выполнено неравенство an bn , то из сходимости ряда (2) следует
сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда
(2).
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Задача 1. |
Исследовать на сходимость ряд |
|
|
|
|
|
|
|||||||
ln n |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Решение. |
Рассмотрим для |
сравнения гармонический |
ряд |
|
, |
|||||||||
n |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
который, как уже было доказано, |
расходится. Для всех n 2 |
справедливо |
||||||||||||
неравенство |
1 |
|
1 |
и, следовательно, данный ряд также расходится по |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
ln n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
первому признаку сравнения.
Задача 2. Исследовать на сходимость ряд
Сравним исходный ряд с рядом Дирихле
|
|
cos 3n |
|||
|
|
n |
3 |
|
|
n 1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. Для всех n |
|||
|
n |
3 |
|||
|
n 1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
cos 3n |
|
1 |
|
|
1 |
|
||||
выполняется неравенство |
|
. Так как |
|
сходится (ряд |
|||||||
|
|
||||||||||
n |
3 |
n |
3 |
n |
3 |
||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дирихле, α=3 >1), то исходный ряд сходится по первому признаку сравнения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
||
|
|
Задача 3. |
Исследовать на сходимость ряд |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n 3 |
n |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
2 |
|
n |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Для всех |
n выполняется неравенство |
n 3 |
n |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
сходится (бесконечно убывающая геометрическая |
|||||||||||||
|
3 |
|
||||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
исходный ряд сходится по первому признаку сравнения.
. Так как ряд
прогрессия), то
Второй признак сравнения (предельный).
положительных ряда:
|
|
|
|
|
|
an , |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
bn |
, ( bn |
0 |
, начиная с некоторого номера |
n 1 |
|
|
|
Пусть
n ).
даны два
(1)
(2)
Если существует конечный, отличный от нуля сходятся или оба расходятся.
lim |
a |
n |
|
||
|
|
|
n b |
n |
|
|
|
, то ряды (1) и (2) оба
Задача 4. Исследовать на сходимость ряд
|
|
Сравним исходный ряд с рядом Дирихле |
|
|
n 1 |
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
||
(2n 1) |
2 |
||
n 1 |
|
||
|
|
||
1 |
. |
Рассмотрим предел |
|
|
|||
n2 |
отношения общих членов этих рядов. |
lim |
(2n 1) |
|||||
|
1 |
||||||
n |
|
||||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Так как |
сходится (ряд Дирихле, |
α=2 |
|||||
2 |
|||||||
n 1 |
n |
|
|
|
|
сходится по предельному признаку сравнения.
2 |
|
5n |
2 |
|
|
5 |
0 |
lim |
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|||
n (2n 1) |
|
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
>1), |
то исходный ряд тоже |
Задача 5. Исследовать на сходимость ряд
|
|
|
|
|
2 |
||
|
n |
3 |
2 |
tg |
|||
|
|
||||||
|
3 |
7 |
|||||
n 1 |
|
|
|
5n |
|
||
|
|
|
|
|
|
Найдем ряд, с которым надо сравнивать исходный ряд.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
an |
n3 2 tg |
|
|
2 |
|
~ |
|
n3 2 |
2 |
|
|
2 n 2 |
||||||||||||
|
|
5n3 |
|
7 |
|
|
|
5n3 7 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n3 7 |
||||||||
Проверим, |
что |
|
|
|
ряд |
|
|
|
для |
|
|
сравнения |
||||||||||||||
|
2 |
n |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
n |
|
2 n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
5n |
|
|
7 |
|
3 |
3 |
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
|
|
|
1 |
|
|
|
5n |
3 |
7 |
|
|
5 |
|
Так как |
|||||||||||
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
3 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
1 |
|
bn |
|
|
|
|
|
||||
n |
3 / 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
подобран |
правильно. |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
сходится (ряд |
||||
n |
3 / 2 |
|||||
n 1 |
|
|
|
Дирихле, α=3/2 >1), то исходный ряд тоже сходится по предельному признаку сравнения.
Задача 6. Исследовать на сходимость ряд
Рассмотрим для сравнения гармонический
a |
|
arcsin |
2 |
3 |
~ |
( |
3 |
) |
2 |
~ |
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
n |
||||||
|
|
10n 2 |
|
10n 2 |
|
|
n |
b |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
arcsin |
2 |
|
||
|
|
|||
10n 2 |
||||
n 1 |
||||
|
|
1 |
|
|
ряд |
|
, так как |
||
n |
||||
|
n 1 |
|
||
|
|
|
|
( |
3 |
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
10n 2 |
|
9n |
|
9 |
0 |
||
|
|
|
|
|
||||
lim |
|
|
lim |
|
|
|||
|
1 |
|
|
10 |
|
|||
n |
|
|
n 10n 2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
Гармонический ряд
|
1 |
|
|
||
n |
||
n 1 |
||
|
расходится,
следовательно, исходный ряд тоже расходится по предельному признаку сравнения.
Задача 7. Исследовать на сходимость ряд
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
1/ |
n 2 |
1) |
5 |
|
(e |
|
|
||
n 1 |
|
|
|
|
|
Найдем ряд, с которым надо сравнивать исходный ряд.
a |
|
n |
2 |
1/ |
n 2 |
n |
|
(e |
|
||
|
|
|
|
|
1) |
5 |
|
~ |
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
( |
n |
2) |
5 |
|
|
~
|
1 |
|
b |
|
1/ |
2 |
|
n |
n |
||
|
|
|
Проверим, |
|
|
|
что |
|
|
ряд |
для |
сравнения |
|||||||||||
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
|
n n |
|
|
|
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 . |
Поскольку ряд |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n |
|
|
|
|
|
n |
(n 2) |
5 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
n1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
подобран правильно.
|
|
1 |
|
|
|
|
расходится (ряд |
||
n |
1 |
/ 2 |
||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Дирихле, α=1/2 < 1), то исходный ряд тоже расходится по предельному признаку сравнения.
3.2. Признак Даламбера
Если
|
|
|
|
Теорема. Пусть дан положительный ряд |
an |
и существует |
|
|
|
n 1 |
|
D 1, то ряд сходится, если |
D 1 , то ряд расходится. |
lim |
a |
n 1 |
|
|
|||
a |
|
||
n |
n |
||
|
|
|
D
.
Заметим, что если
D
1
, то признак ответа не дает.
|
3n 5 |
|
|
|
||
Задача 8. Исследовать на сходимость ряд |
|
|
|
. |
|
|
7 |
n |
|
|
|||
n 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Выпишем n+1 – й член ряда. an+1 = |
|
3(n 1) 5 |
|
3n 8 |
||
|
|
7n 1 |
7n 7 |
|||
|
|
|
|
Вычислим предел отношения последующего члена ряда к предыдущему
|
3n 8 |
||
|
7 |
n |
7 |
|
|
|
|
lim |
|
|
5 |
n 3n |
|||
|
|
7 |
n |
|
|
|
|
3n 8 |
|
1 |
|
|
1 |
lim |
7 |
|
7 |
|||
n |
3n 5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1
,
т.е. ряд сходится по признаку Даламбера.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)! |
|
||
Задача 9. Исследовать на сходимость ряд |
|
|
. |
|||||||||||||||
|
5 |
n |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислим предел |
отношения |
последующего |
|
|||||||||||||||
предыдущему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 2)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5 |
n 1 |
|
(n 1)! (n 2) |
|
5 |
n |
|
|
|
|
|
n |
|||||
lim |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||
n |
(n 1)! |
n |
|
(n 1)! |
|
|
5 |
5 |
|
|
n |
5 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
члена ряда к
2 |
|
|
Следовательно, ряд расходится по признаку Даламбера.
Задача 10. Исследовать на сходимость ряд
n 1
((n)!) |
2 |
|
|
(2n 1)! |
.
Вычислим предел отношения последующего члена ряда к предыдущему
|
|
|
|
((n 1)!) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(2(n 1) 1)! |
|
|
((n 1)!) |
2 |
(2n 1)! |
|
|||
|
|
lim |
lim |
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
n |
((n)!) |
|
n |
|
((n)!) |
(2n 3)! |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(2n 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
(n 1)2 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n (2n 2)(2n 3) |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.
Задача 11. Исследовать на сходимость ряд
|
(n 3)! |
|
|
||
(2n)!! |
||
n 1 |
||
|
Напомним, что (2n)!! – произведение четных чисел от 2-х до 2n, (2n+1)!! – произведение нечетных чисел до 2n+1.
Предел отношения последующего члена ряда к предыдущему
|
(n 4)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
(2(n 1))!! |
lim |
|
(n 4)! (2n)!! |
|
lim |
n 4 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
n |
(n 3)! |
n |
|
(n 3)! (2n 2)!! |
|
n |
2n 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(2n)!! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
||
|
Задача 12. Исследовать на сходимость ряд |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
n |
n! |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Вычислим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
an 1 |
lim |
|
(n 1) |
n 1 |
|
2 |
n |
n! |
lim |
|
(n 1) |
n |
|
n! |
|
1 |
|
n 1 |
n |
||||||||
lim |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n |
an |
n |
|
2 |
(n 1)! |
|
n |
|
n |
|
2n! |
|
|
n |
n |
|
2 |
n |
|
n |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,
и, согласно признаку Даламбера, данный ряд расходится.
Домашнее задание.
Типовой расчет (3 семестр ИИТ) на сайте кафедры. Задача 1.3. стр.10
№№1-16
Задача 1.4. стр.11
№№1-16
.
1 |
|
|
|
1 |
n |
1 |
|
|
lim |
|
|
e 1 |
|||||
2 |
1 |
|
2 |
|||||
n |
|
|
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|