3322
.pdf21
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5.2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
yt |
yt−2 |
yt − y3 |
yt−2 − y4 |
(yt − y3 )× |
(y |
|
− y |
|
)2 |
(yt −2 − y4 ) |
2 |
|
|
×(yt−2 − y4 ) |
t |
3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
|
1 |
|
– |
|
– |
– |
– |
|
|
– |
|
|
– |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее |
|
|
|
– |
– |
– |
|
|
– |
|
|
– |
|
|
значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5.3 |
|||
|
|
|
|
|
Коэффициент автокорреляции уровней |
|
|
|||||||
|
Лаг |
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Содержание отчета
•Титульный лист, сделанный в стандартной форме.
•Расчёт, выполненный в соответствии с заданием к работе и вариантом исходных данных.
•Комментарии и пояснения к каждому выполненному пункту задания.
•Итоговый вывод об основных результатах, полученных в ходе выполнения работы.
Лабораторная работа № 6 Анализ аддитивных и мультипликативных моделей временных рядов
Цель работы: построить аддитивную и мультипликативную модель временного ряда и сделать прогноз его показателей.
Теоретические сведения |
|
Общий вид аддитивной модели временного ряда |
|
Y =T + S + E , |
(6.1) |
где T – трендовая составляющая, S – сезонная составляющая, E – случайная составляющая.
22 |
|
Общий вид мультипликативной модели |
|
Y =T S E . |
(6.2) |
Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.
Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T , S и E для каждого уровня ряда.
Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.
1.Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2.Расчет значений сезонной компоненты S .
3.Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (T + E ) в аддитивной или (T E ) в мультипликативной модели.
4.Аналитическое выравнивание уровней (T + E ) или (T E ) и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда.
5.Расчет полученных по модели значений (T + E ) или (T E ).
6.Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок E для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.
Задание к работе
1. Построить аддитивную модель временного ряда для исходных данных к работе (см. прил. 1).
1.1. Провести выравнивание исходных данных ряда методом скользящей средней. Расчет оформить в виде табл. 6.1.
1.1.1. Просуммировать уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени (столбец 3 табл. 6.1).
23
1.1.2.Разделив полученные суммы на 4, найти скользящие средние (ст. 4 табл. 6.1). Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.
1.1.3.Найти центрированные скользящие средние, приведя скользящие средние значения в соответствие с фактическими моментами времени. Для этого необходимо найти средние значения из двух последовательных скользящих средних (ст. 5 табл. 6.1).
1.1.4.Найти оценки сезонной компоненты (ст. 6 табл. 6.1) как разность между фактическими уровнями ряда (ст. 2 табл. 6.1) и центрированными скользящими средними (ст. 5 табл. 6.1).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Итого за |
Скользящая |
|
Центрированная |
|
|
Оценка сезонной |
|
|||||||||||
t |
y |
четыре |
средняя за |
|
|
|
|
|||||||||||||
четыре |
скользящая средняя |
|
|
|
компоненты |
|
||||||||||||||
|
|
квартала |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
квартала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
1 |
y1 |
– |
|
– |
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
4 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y2 |
∑yi |
∑yi |
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
||
|
|
i=1 |
4 |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
1 |
|
4 |
5 |
|
|||
3 |
y3 |
∑yi |
1 |
∑yi |
|
1 |
|
∑yi |
+ ∑yi |
|
y3 − |
|
|
|
|
∑yi + ∑yi |
||||
2 |
||||||||||||||||||||
4 |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
i=2 |
i=2 |
i=1 |
i=2 |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
i=2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
6 |
1 |
6 |
1 |
|
5 |
6 |
|
|
|
1 |
|
|
5 |
6 |
|
|||
4 |
y4 |
∑yi |
4 |
∑yi |
|
|
|
∑yi |
+ ∑yi |
|
y4 |
− |
|
|
|
∑yi +∑yi |
||||
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
i=3 |
i=3 |
i=2 |
i=3 |
|
|
|
|
i=2 |
i=3 |
|
||||||||
|
|
7 |
1 |
7 |
1 |
|
6 |
7 |
|
|
|
1 |
|
|
6 |
7 |
|
|||
5 |
y5 |
∑yi |
4 |
∑yi |
2 |
|
∑yi |
+ ∑yi |
|
y5 |
− |
|
|
|
∑yi +∑yi |
|||||
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
i=4 |
i=4 |
i=3 |
i=4 |
|
|
|
|
i=3 |
i=4 |
|
||||||||
… |
… |
… |
|
… |
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
1.2. Используя оценки сезонной компоненты (ст. 6 табл. 6.1) рассчитать значения сезонной компоненты S. Расчет оформить в виде табл. 6.2.
1.2.1.Найти средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты Si .
1.2.2.Найти корректирующий коэффициент k , используя следующее вы-
ражение
24
k = 1 |
4 |
|
|
|
||
∑ |
|
|
(6.3) |
|||
Si . |
||||||
4 |
|
i=1 |
|
|||
1.2.3. Рассчитать скорректированные значения сезонной компоненты Si , |
||||||
используя выражение |
|
|
|
|
|
|
Si = |
|
|
(6.4) |
|||
Si − k . |
1.2.4. В моделях с сезонной компонентой предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю. Поэтому, необходимо проверить равенство нулю суммы значений сезонной компоненты Si , и прокомментировать полученный результат.
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.2 |
|
|
|
|
|
|
|
№ квартала, i |
|
Показатели |
Год |
|
|
|
|
|||
|
I |
II |
III |
IV |
||||
|
|
|
|
|
||||
Оценка сезонной |
2006 |
|
|
|
|
|
||
2007 |
|
|
|
|
|
|||
компоненты |
2008 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2009 |
|
|
|
|
|
Всего за i-й квар- |
|
|
|
|
|
|
||
тал |
|
|
|
|
|
|
||
Средняя оценка |
|
|
|
|
|
|
||
сезонной компо- |
|
|
|
|
|
|
||
ненты для i -го |
|
|
|
|
|
|
||
квартала, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Si |
|
|
|
|
|
|
Скорректированная сезонная компо-
нента, Si
1.3.Исключить влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда (ст. 1, 2, 3 и 4 табл. 6.3). Полученные значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только трендовую T и случайную компоненту S ( y − Si =T + E ).
1.4.Определить трендовую компоненту T данной модели (ст. 5 табл. 6.3). Уравнение линии тренда имеет вид
T (t) = a +b t , |
(6.5) |
где t – номер квартала.
25
Модель (6.5) фактически представляет собой линейное уравнение парной регрессии. Для нахождения параметры a и b данной модели используется МНК (см. лабораторную работу № 1). Для удобства необходимо составить табл. 6.4.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
y |
|
Si |
|
y − Si |
|
|
T |
|
|
T+S |
|
|
|
E=y-(T+S) |
|
|
|
E2 |
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
5 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
8 |
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
… |
|
… |
|
… |
|
… |
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
… |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
№ |
|
|
|
|
t |
|
|
|
y − Si |
|
t (y − Si ) |
|
|
t 2 |
|
|
(y − Si )2 |
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Согласно МНК параметры a и b могут быть найдены из выражений |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t (y − Si ) |
(y − Si ) t |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a =(y − Si )−b t , |
b = |
, |
|
|
(6.6) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 ∑ti , |
(y − Si )= |
1 |
∑(y − Si )i , |
t (y − Si )= |
|
∑(y − Si )i ti , t |
2 |
|
= 1 ∑ti 2 . |
|||||||||||||||||||||
|
где t |
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n i=1 |
|
|
|
n i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n i=1 |
|
|
|
|
|
|
n i=1 |
Подставляя в полученное уравнение значения t =1,2...16 , найти уровни T для каждого момента времени t, (ст. 5 табл. 6.3).
1.5.Найти значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого необходимо прибавить к уровням трендовой компоненты T значения сезонной компоненты S для каждого квартала (ст. 6 табл. 6.3).
1.6.На одних координатных осях построить графики зависимости фактических значений уровней временного ряда y (ст. 2 табл. 6.3) и теоретических T+S (ст. 6 табл. 6.3) от соответствующих кварталов t (ст. 1 табл. 6.3).
26
1.7. Оценить и прокомментировать качество построенной модели на основе коэффициента детерминации
|
|
|
|
|
R2 =1 − |
σ |
ост |
2 |
, |
(6.7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
σ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
16 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|||
где σост2 = |
1 |
∑E2 |
, σy = |
1 |
∑( yi − y)2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
16 i=1 |
|
16 i=1 |
|
|
|
|
|
|
|||
1.8. Сделать прогноз на следующие два квартала (t =17; 18) по построен- |
|||||||||||
ной аддитивной модели. Прогнозное значение F уровня временного ряда в ад- |
|||||||||||
дитивной модели есть сумма трендовой T и сезонной компонент S |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
F =T + S . |
|
|
|
(6.8) |
1.8.1. Определить трендовые компоненты T (17) и T (18) на основе модели
(6.5).
1.8.2.Выбрать для из табл. 6.3 значения сезонных компонент для соответствующих кварталов.
1.8.3.Согласно выражению (6.8) найти прогнозные значения уровней временного ряда F(17) , F(18) .
2.Построить мультипликативную модель временного ряда для исходных данных к работе (см. прил. 1).
2.1.Провести выравнивание исходных данных ряда методом скользящей
средней.
2.1.1.Просуммировать уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени (столбец 3 табл. 6.5).
2.1.2.Разделив полученные суммы на 4, найти скользящие средние (ст. 4
табл. 6.5).
2.1.3.Найти центрированные скользящие средние. Для этого необходимо найти средние значения из двух последовательных скользящих средних (ст. 5
табл. 6.5).
2.1.4.Найти оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда (ст. 2 табл. 6.5) на центрированные скользящие средние
(ст. 5 табл. 6.5).
2.2.Используя оценки сезонной компоненты (ст. 6 табл. 6.5) рассчитать значения сезонной компоненты S. Расчет оформить в виде табл. 6.6.
27
2.2.1. Найти средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты Si .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Итого за |
Скользящая |
|
Центрированная |
|
|
|
|
|
Оценка сезонной |
||||||||||||
t |
y |
четыре |
средняя за |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
четыре |
скользящая средняя |
|
|
|
|
|
|
компоненты |
|
|
|
||||||||||||
|
|
квартала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
квартала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
1 |
y1 |
– |
|
– |
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
y2 |
∑yi |
∑yi |
|
|
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
||
|
|
i=1 |
4 |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
5 |
1 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
y3 |
∑yi |
∑yi |
|
∑yi |
+ ∑yi |
|
|
1 |
|
|
4 |
5 |
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
i=2 |
4 |
i=2 |
2 |
i=1 |
i=2 |
|
2 |
|
|
∑yi |
+ ∑yi |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
i=2 |
|
|||||||||
|
|
6 |
1 |
6 |
1 |
|
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y4 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4 |
y4 |
∑yi |
∑yi |
|
∑yi |
+ ∑yi |
|
1 |
|
5 |
6 |
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
i=3 |
4 |
i=3 |
2 |
i=2 |
i=3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑yi |
+∑yi |
||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=2 |
i=3 |
|
||||||||||
|
|
7 |
1 |
7 |
1 |
|
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y5 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5 |
y5 |
∑yi |
∑yi |
|
∑yi |
+ ∑yi |
|
1 |
|
6 |
7 |
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
i=4 |
4 |
i=4 |
2 |
i=3 |
i=4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑yi |
+∑yi |
||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=3 |
i=4 |
|
||||||||||
… |
… |
… |
|
… |
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
2.2.2. Найти корректирующий коэффициент k , используя следующее выражение
k = |
4 |
. |
(6.9) |
||
|
|||||
|
4 |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
Si |
|
i=1
2.2.3.Рассчитать скорректированные значения сезонной компоненты Si ,
используя выражение
Si = |
|
|
(6.10) |
Si k . |
2.2.4. В мультипликативных, как и в аддитивных моделях с сезонной компонентой предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В данном случае число периодов одного цикла равно четыре. По-
28
этому, необходимо проверить равенство четырем суммы значений сезонной компоненты Si , и прокомментировать полученный результат.
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.6 |
|
|
|
|
|
|
|
№ квартала, i |
|
Показатели |
Год |
|
|
|
|
|||
|
I |
II |
III |
IV |
||||
|
|
|
|
|
||||
Оценка сезонной |
2006 |
|
|
|
|
|
||
2007 |
|
|
|
|
|
|||
компоненты |
2008 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2009 |
|
|
|
|
|
Всего за i-й квар- |
|
|
|
|
|
|
||
тал |
|
|
|
|
|
|
||
Средняя оценка |
|
|
|
|
|
|
||
сезонной компо- |
|
|
|
|
|
|
||
ненты для i -го |
|
|
|
|
|
|
||
квартала, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Si |
|
|
|
|
|
|
Скорректированная сезонная компо-
нента, Si
2.3. Исключить влияние сезонной компоненты, деля ее значение из каждого уровня исходного временного ряда (ст. 1, 2, 3 и 4 табл. 6.7). Полученные значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только трен-
довую T и случайную компоненту S ( y =T E ).
Si
Таблица 6.7
t |
y |
Si |
|
y |
|
T |
T S |
E = |
|
|
y |
|
|
Si |
|
|
|
|
|||||||
T |
S |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
5 |
6 |
|
7 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
… |
… |
|
… |
|
… |
… |
… |
|
|
2.4. Определить трендовую компоненту T данной модели (ст. 5 табл. 6.7). Уравнение линии тренда имеет вид
29
T (t) = a +b t , |
(6.11) |
где t – номер квартала.
Модель (6.5) фактически представляет собой линейное уравнение парной регрессии. Для нахождения параметры a и b данной модели используется МНК (см. лабораторную работу № 1). Для удобства необходимо составить табл. 6.8.
Таблица 6.8
|
t |
|
y |
|
t |
|
y |
|
|
|
|
y |
2 |
№ |
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Si |
|
|
|
Si |
|
|
|
Si |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно МНК, параметры a и b могут быть найдены из выражений
где t = 1 ∑n ti , n i=1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
y |
− |
y |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Si |
Si |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−b t , b = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Si |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 −t 2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
|
|
1 |
n |
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
1 |
n |
|
y |
|
|
|
||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
ti |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
, t |
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|||||||||||||||
|
Si |
|
n i=1 |
|
Si i |
|
|
|
|
Si |
|
n i=1 |
Si i |
|
|
|
,
,
Подставляя в полученное уравнение значения t = для каждого момента времени t, (ст. 5 табл. 6.7).
(6.12)
t 2 = 1 ∑n ti 2 . n i=1
1,2...16 , найти уровни T
2.5.Найти значения уровней ряда, умножив уровни трендовой компоненты T на соответствующие сезонной компоненты S для каждого квартала (ст. 6
табл. 6.7).
2.6.На одних координатных осях построить графики зависимости фактических значений уровней временного ряда y (ст. 2 табл. 6.7) и теоретических T S (ст. 6 табл. 6.7) от соответствующих кварталов t (ст. 1 табл. 6.1).
2.7.Оценить и прокомментировать качество построенной модели на основе коэффициента детерминации
30
где σост2 = 1 ∑16 ( yi −Ti Si )2 , σy
16 i=1
|
|
R2 |
=1 − |
σ |
ост |
2 |
, |
(6.13) |
||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
σ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
1 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
∑( yi − y)2 . |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
16 i=1 |
|
|
|
|
|
|
2.8. Сделать прогноз на следующие два квартала (t =17; 18) по построенной аддитивной модели. Прогнозное значение F уровня временного ряда в мультипликативной модели есть произведение трендовой T и сезонной компонент S
F =T S . |
(6.14) |
2.8.1. Определить трендовые компоненты T (17) и T (18) на основе модели
(6.11).
2.8.2.Выбрать для из табл. 6.7 значения сезонных компонент для соответствующих кварталов.
2.8.3.Согласно выражению (6.14) найти прогнозные значения уровней временного ряда F(17) , F(18) .
Содержание отчета
•Титульный лист, сделанный в стандартной форме.
•Расчёт, выполненный в соответствии с заданием к работе и вариантом исходных данных.
•Комментарии и пояснения к каждому выполненному пункту задания.
•Итоговый вывод об основных результатах, полученных в ходе выполнения работы.