4006
.pdf11
начальному условию
|
|
|
u x; 0 f x , |
( 0 x ) |
||||||||||
и граничным условиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
u 0; t 0 , |
u ; t 0 |
( 0 t T ). |
|||||||||
Значения a , , T и функция |
f x |
заданы в табл. 3. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
|
a |
|
|
|
T |
|
|
f x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
1 |
2 |
|
|
10 |
|
|
sin 2 x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
2 |
3 |
|
|
10 |
|
|
x(3 x) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
1 |
|
|
|
10 |
|
|
sin x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
12 |
|
2 |
|
|
|
10 |
|
sin 2x sin x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
1 |
1 |
|
|
10 |
|
|
x(1 x) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
2 |
4 |
|
|
10 |
|
|
sin x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
15 |
|
1 |
3 |
|
|
10 |
|
sin |
2 |
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
3. Решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей
3.1. Теоретическая часть
Рассмотрим первую смешанную задачу для уравнения теплопроводности:
найти непрерывную на прямоугольнике 0 x |
, 0 t T функцию u(x; t) , |
удовлетворяющую уравнению теплопроводности |
|
|
u |
a2 2u |
(a2 |
const 0) |
|
t |
x2 |
|
|
при 0 x |
, 0 t T , начальному условию |
|||
|
|
u x; 0 f x , |
0 x , |
|
и граничным условиям |
|
|
|
|
|
|
u 0; t t , |
0 t T |
|
|
|
u ; t t , |
0 t T |
(10)
(11)
(12)
(13)
где |
|
f x , t , t – заданные функции. |
|
|
|||||||||
|
|
|
Будем предполагать, что функции |
f x , |
t , t непрерывны на |
||||||||
соответствующих отрезках и |
f 0 0 , |
f 0 . Эти условия вытекают |
|||||||||||
из |
требования непрерывности функции u(x; t) |
на границе прямоугольника |
|||||||||||
0 x , 0 t T . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Пусть |
n |
и |
m |
– фиксированные |
натуральные числа. Обозначим |
|||||
h |
|
|
, |
T |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
n |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Числа |
h , |
|
называют шагами |
по |
осям |
Ox , Ot соответственно. В |
||||
прямоугольнике |
0 x |
, |
0 t T |
построим |
сетку, проведя прямые с |
||||||||
уравнениями x i h , t k |
( i 0,1, ..., n ; k 0,1, ..., m) (рис.1). |
|
|
13 |
|
|
t |
|
|
|
T |
|
|
|
|
(i, k+1) |
|
τ |
(i-1, k) |
(i, k) |
(i+1, k) |
|
|
|
O
|
x |
h |
|
Рис. 1.
Введем обозначения
|
|
|
|
|
|
xi |
i h , |
i 0,1, ..., n ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
tk k , |
k 0,1, ..., m; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
ui,k |
u xi , tk , |
i 0,1, ..., n ; |
k 0,1, ..., m. |
|
|||||||||||||||||
Будем интересоваться только значениями ui,k |
|
функции |
u(x; t) в узлах |
||||||||||||||||||||
xi ; tk сетки, i 0,1, ..., n ; k 0,1, ..., m. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Считая h и |
малыми и заменяя в уравнении (10) приближенно частные |
||||||||||||||||||||||
производные |
u |
и |
2u |
в |
каждом |
|
узле |
xi ; tk |
|
|
сетки |
(i 0,1, ..., n 1; |
|||||||||||
t |
x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
k 0,1, ..., m 1) конечными разностями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u(xi ; tk ) |
|
ui,k 1 ui,k |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2u(xi ; tk ) |
ui 1,k 2ui,k ui 1,k |
, |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ui,k 1 ui,k |
a2 |
ui 1,k 2ui,k ui 1,k |
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда получаем расчетную формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
u |
|
|
(1 |
2 a2 |
)u |
|
|
a2 |
(u |
|
|
u |
|
|
) . |
(14) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
i,k 1 |
|
|
h2 |
|
|
i,k |
|
h2 |
i 1,k |
|
i 1,k |
|
|
14
Для каждого узла xi ; tk сетки ( i 0,1, ..., n 1; k 0,1, ..., m 1) формула (14) соответствует набору узлов (шаблону), состоящему из четырех узлов, выделенных на рис. 1. С помощью этой формулы можно, зная значения
функции u(x; t) в узлах с ординатой tk |
(эти узлы образуют k -й слой сетки), |
|||||
вычислить значение функции u(x; t) в любом узле xi ; tk 1 |
сетки с ординатой |
|||||
tk 1 |
(узле k 1 –го слоя) при i 1, 2, ..., n 1. |
|
|
|
||
|
Начальное условие (11) позволяет найти значения функции u(x; t) |
во всех |
||||
узлах xi ; 0 ( i 0,1, ..., n ) сетки: |
|
|
|
|
||
|
|
ui,0 u xi ; 0 f xi , |
i 0,1, ..., n . |
|
|
|
По |
формуле |
(14) находим значения |
функции u(x; t) |
в узлах |
xi ; t1 , |
|
i 1, 2, ..., n 1 , |
сетки. Значения искомой функции в крайних узлах 0; t1 , ; t1 |
находим, пользуясь граничными условиями (12), (13). Переходя последовательно от одного слоя к другому, следующему выше, слою, определим значения искомого решения во всех узлах сетки.
Предлагаемый алгоритм решения задачи применим, если шаги h и выбраны так, что выполняется неравенство
h2 . 2a2
При переходе к формуле (14) значения ui,k для i 1, 2, ..., n 1; k 1, 2, ..., m становятся приближенными значениями соответствующих искомых значений u(xi ; tk ) функции u(x; t) .
В случае, когда
h2 , 2a2
формула (14) имеет особенно удобный для вычислений вид
u |
|
1 |
(u |
u |
). |
(15) |
|
||||||
i,k 1 |
|
2 |
i 1,k |
i 1,k |
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула (15) соответствует набору узлов (шаблону), состоящему из трех узлов, выделенных на рис. 2.
15
t
|
(i, k+1) |
(i-1, k) |
(i+1, k) |
O |
x |
|
Рис.2.
3.2. Практическая часть Пример 3.1. Используя метод конечных разностей, составить
приближенное решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности
|
|
|
u |
2 |
2u |
, |
|
|
||||
|
|
|
t |
x2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
удовлетворяющее условиям |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
u x; 0 x |
|
|
|
x , |
0 x 1, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
u 0; t 0 , |
0 t 0,04 , |
|
|
||||||
|
|
|
u 1; t |
1 |
, |
0 t 0,04 . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение выполнить при h 0,2 с двумя десятичными знаками. |
|
|
||||||||||
|
Решение. Шаг по оси Ot выберем исходя из условия |
h2 |
, поэтому |
|||||||||
|
2a2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0, 2)2 |
0,01. |
При таком выборе |
|
расчеты будем вести по формуле (15). |
|||||||
|
||||||||||||
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построим прямоугольник, в котором разыскивается решение, покроем его
сеткой, проведя прямые с уравнениями x i h ( i 0,1, 2, 3, 4, 5 ) и |
t k |
( k 0,1, 2, 3, 4 ), и проведем нумерацию узлов сетки (рис. 3). |
|
16
t
0,04 |
(0,4) |
(1,4) |
(2,4) |
(3,4) |
(4,4) |
|
(5,4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,03 |
(0,3) |
(1,3) |
(2,3) |
(3,3) |
(4,3) |
|
(5,3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,02 |
(0,2) |
(1,2) |
(2,2) |
(3,2) |
(4,2) |
|
(5,2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,01 |
(0,1) |
(1,1) |
(2,1) |
(3,1) |
(4,1) |
|
(5,1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0,0) |
(1,0) |
(2,0) |
(3,0) |
(4,0) |
|
(5,0) |
O |
|
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1 |
x |
|
|
||||||
|
|
|
|
Рис. 3. |
|
|
В крайних левых и правых узлах сетки из граничных условий получаем
u0,0 u0,1 u0,2 u0,3 u0,4 0 ; u5,0 u5,1 u5,2 u5,3 u5,4 0,5 .
Из начального условия находим значения функции u(x; t) в узлах нулевого слоя:
u1,0 0,26, u2,0 0,44, u3,0 0,54, u4,0 0,56 .
В дальнейшем расчеты ведутся по формуле (15). Для узлов первого слоя: u1,1 0,22, u2,1 0,40, u3,1 0,50, u4,1 0,52 .
Для узлов второго слоя:
u1,2 0,20, u2,2 0,36, u3,2 0,46, u4,2 0,50 .
Для узлов третьего слоя:
u1,3 0,18, u2,3 0,33, u3,3 0,43, u4,3 0,48 .
Для узлов четвертого слоя:
u1,4 0,17, u2,4 0,31, u3,4 0,41, u4,4 0,47 .
Полученные значения представим в табл. 4.
17
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
0,04 |
0 |
0,17 |
0,31 |
0,41 |
0,47 |
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0,03 |
0 |
0,18 |
0,33 |
0,43 |
0,48 |
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0,02 |
0 |
0,20 |
0,36 |
0,46 |
0,50 |
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0,01 |
0 |
0,22 |
0,40 |
0,50 |
0,52 |
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
0,26 |
0,44 |
0,54 |
0,56 |
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tk |
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
|
1 |
|
|
|
xi |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
|
|
i |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3. Индивидуальные задания
Используя метод конечных разностей, составьте приближенное решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности
|
|
|
|
|
|
u |
a2 |
2u |
, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
t |
x2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
удовлетворяющее условиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
u x; 0 f x , |
|
0 x , |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
u 0; t t , |
|
|
0 t T , |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
u |
; t t , |
|
|
0 t T . |
|
|
|
|||||||
Значения a2 , |
, T и функции |
f x , t , t заданы в табл. 5. |
|
|
|
|||||||||||||
Решение выполнить с шагом h по оси Ox , |
равным 0,2, и |
с четырьмя |
||||||||||||||||
десятичными знаками. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант |
|
a2 |
|
T |
|
|
|
|
f x |
|
t |
|
t |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
1 |
1 |
0,12 |
|
|
|
x2 x |
|
0 |
|
20t |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
1 |
1 |
0,12 |
|
|
|
1 x2 |
|
1 |
|
100t2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20t 1 |
|
|
|
3 |
|
1 |
1 |
0,12 |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
|
1 |
1 |
0,12 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
0 |
|
1 10t2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
|
1 |
1 |
0,12 |
|
|
|
|
|
2x |
|
t |
|
2 t |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6 |
|
2 |
1 |
0,06 |
|
|
x |
|
x 1 |
|
0 |
|
3t 2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7 |
|
2 |
1 |
0,06 |
|
|
|
2 x2 |
|
2 t |
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
Продолжение таблицы 5
8 |
2 |
1 |
0,06 |
x |
|
3x 1 |
0 |
2 t |
|
|
|||||||
9 |
2 |
1 |
0,06 |
|
|
x2 |
2t |
1 |
10 |
1 |
1,2 |
0,1 |
|
|
2 |
2 t |
2 10t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
1 |
1,2 |
0,1 |
|
|
1 |
1 |
1 10t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
1 |
1,2 |
0,1 |
|
|
2x |
t |
2,4 4t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
1 |
1,2 |
0,1 |
|
|
x2 |
0 |
1,44 8t |
14 |
2 |
1,2 |
0,05 |
|
|
0 |
t |
20t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
2 |
1,2 |
0,05 |
|
2x 1 |
3t |
3,4 50t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике методом конечных разностей
4.1. Теоретическая часть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пусть ABCD – прямоугольник с вершинами A 0; 0 , |
B 0; b , C a; b , |
||||||||||||||||
D a; 0 , где |
a 0, |
b 0 . |
Задача |
|
Дирихле |
для |
уравнения |
Лапласа в |
|||||||||
прямоугольнике ABCD ставится следующим образом. |
|
|
|
||||||||||||||
Требуется |
найти |
непрерывную |
на прямоугольнике |
ABCD функцию |
|||||||||||||
u x; y (x [0, a], y [0, b]) , |
удовлетворяющую внутри этого прямоугольника |
||||||||||||||||
уравнению Лапласа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u |
|
2u |
0 |
|
|
|
(16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и принимающую на границе прямоугольника заданные значения, то есть |
|||||||||||||||||
|
|
u |
|
|
AB u(0; y) f1( y), |
y [0, b], |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
u |
|
|
BC u(x; b) f2 (x), |
x [0, a], |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
u |
|
|
CD u(a; y) f3 ( y), |
y [0, b], |
|
(17) |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
u |
|
AD u(x; 0) f4 (x), |
x [0, a], |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
где f1( y) , f2 (x) , f3 ( y) , |
f4 (x) – заданные функции. |
|
|
|
|||||||||||||
Будем предполагать, что функции f1( y) , f2 (x) , |
f3 ( y) , |
f4 (x) непрерывны |
|||||||||||||||
на соответствующих отрезках и f1 0 f4 0 , |
f1 b f2 0 , |
f2 a f3 b , |
19
f3 0 f4 a . Эти условия вытекают из требования непрерывности функции
u x; y на границе прямоугольника ABCD . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Пусть n |
и |
m – фиксированные натуральные числа. Обозначим h |
a |
, |
|||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
b |
. Числа |
h , |
|
|
называют |
|
шагами по |
осям Ox , Oy |
|
соответственно. В |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямоугольнике |
ABCD |
построим |
сетку, |
проведя |
прямые |
с уравнениями |
|||||||||||||||||||||
x i h , y j ( i 0,1, ..., n ; j 0,1, ..., m ) (рис. 4). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(i, j+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
(i-1, j) |
|
|
|
(i, j) |
|
(i+1, j) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(i, j-1) |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Введем обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
i h , |
|
i 0,1, ..., n ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y j j , |
|
j 0,1, ..., m ; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
ui, j u xi ; y j , |
|
i 0,1, ..., n ; |
j 0,1, ..., m . |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Будем интересоваться только значениями ui, j |
функции |
u x; y в узлах |
|||||||||||||||||||||||
xi ; y j сетки, |
i 0,1, ..., n ; j 0,1, ..., m . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Считая h и |
малыми и заменяя в уравнении (16) приближенно частные |
||||||||||||||||||||||||
производные 2u |
и |
2u |
в каждом внутреннем узле x ; y |
j |
сетки конечными |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
разностями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u(x ; y |
) |
|
u |
2u |
u |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
j |
|
|
i1, j |
|
i, j |
i1, j |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
20
2u(x ; y |
|
) |
|
u |
2u |
u |
|
i |
j |
|
|
i, j 1 |
i, j |
i, j 1 |
, |
y2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
получаем
|
|
ui1, j 2ui, j ui1, j |
|
ui, j1 2ui, j ui, j1 |
0 |
(18) |
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
h2 |
|
|
|
||
для i 1, 2, ..., n 1; |
j 1, 2, ..., m 1. |
|
|
|
|
||
Подставляя координаты каждого граничного узла в условия (17), |
|||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u0, j f1( y j ), |
|
j 0,1, ..., m, |
|
|
|
|
|
ui,m f2 (xi ), |
i 1, 2, ..., n 1, |
|
|
||
|
|
un, j f3 ( y j ), |
|
j 0,1, ..., m, |
|
(19) |
|
|
|
ui,0 f4 (xi ), |
i 1, 2, ..., n 1. |
|
|
||
Система линейных алгебраических уравнений (18), (19) называется |
|||||||
разностной схемой для задачи (16), (17). При переходе к |
системе уравнений |
(18), (19) значения ui, j для внутренних узлов сетки становятся приближенными.
Для определения величин ui, j |
требуется решить систему уравнений (18), (19). |
|||||||||
В случае, когда шаги h и |
по осям Ox и Oy равны ( h ), уравнения |
|||||||||
(18) имеют наиболее простой вид |
|
|
|
|
|
|
|
|||
u |
|
1 |
(u |
|
u |
u |
u |
) |
(20) |
|
|
|
|||||||||
i, j |
|
4 |
|
i1, j |
i, j1 |
i1, j |
i, j1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для i 1, 2, ..., n 1; j 1, 2, ..., m 1.
Каждое из уравнений (20) ((18) при h ) соответствует набору узлов (шаблону), состоящему из пяти узлов, выделенных на рис. 4 с помощью «креста».
Равенства (19) определяют значения ui, j в граничных узлах, поэтому неизвестными являются лишь значения ui, j , i 1, 2, ..., n 1; j 1, 2, ..., m 1, во
внутренних узлах. Эти значения составляют решение системы уравнений (20) ((18) при h ).
Будем предполагать далее, что h . Система уравнений (20) решается приближенно итерационным методом Зейделя, который состоит в построении последовательности итераций вида