4040
.pdfПример 4.1 Два автомата изготавливают одинаковые детали. Известно, что первый автомат производит 30% всей продукции. Вероятность изготовления детали, соответствующей стандарту, первым автоматом равна 0,99, вторым – 0,98. Все изготовленные за смену детали складываются вместе. Определите вероятность того, что взятая наудачу деталь не соответствует стандарту.
Решение. Пусть событие A - взятая наудачу деталь не соответствует стандарту.
Гипотезы:
H1 - взятая деталь изготовлена первым автоматом;
H2 - взятая деталь изготовлена вторым автоматом. События H1 , H2 - несовместны и образуют полную группу.
Вычислим вероятности гипотез.
P(H1 ) 10030 0,3; P(H2 ) 1 P(H1 ) 1 0,3 0,7.
Вычислим условные вероятности: |
|
|
|
|
|
PH1 (A) - вероятность |
изготовления |
детали |
не |
соответствующей |
стандарту |
автоматом; |
|
|
|
|
|
PH2 (A) - вероятность |
изготовления |
детали |
не |
соответствующей |
стандарту |
вторым автоматом. |
|
|
|
|
|
PH1 (A) 1 0,99 0,01; |
PH2 (A) 1 0,98 0,02. |
|
Вероятность события A находим по формуле полной вероятности:
P(A) P(H1 ) PH1 (A) P(H2 ) PH2 (A) 0,3 0,01 0,7 0,02 0,017.
5. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ
Пусть производится n независимых однотипных испытаний, в каждом из которых событие A может появиться с вероятностью p . Тогда вероятность
непоявления события A , т.е. P(A) , равна q 1 p .
Вероятность того, что событие A произойдет в этих n независимых испытаниях ровно k раз (безразлично в какой последовательности), можно вычислить по формуле Бернулли
Pn (k) Ckn pk qn k .
Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит:
а) менее k раз: Pn (0) Pn (1) Pn (k 1) ;
б) более k раз: Pn (k 1) Pn (k 2) Pn (n) ;
13
в) не менее k раз: Pn (k) Pn (k 1) Pn (n) ; г) не более k раз: Pn (0) Pn (1) Pn (k).
Пример 5.1. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 1/5. Вы купили 5 билетов. Найти вероятность того, что а) четыре билета выигрышные; б) хотя бы один билет выигрышный; в) более трех билетов выигрышные.
Решение. Пусть событие A - выигрыш по лотерейному билету. Число лотерейных билетов n 5 . P(A) - вероятность выигрыша по лотерейному
билету: p P(A) 15 . Тогда q 1 p 1 15 45 .
а) Вероятность того, что выигрышными будут четыре билета ( k 4 )
P (4) C4 |
|
1 4 |
|
4 1 |
|
1 |
|
4 |
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
0,0064 . |
||
|
|
|
|
|
||||||||||
5 |
5 |
|
5 |
|
5 |
|
625 |
|
5 |
|
625 |
|
б) Пусть событие В – хотя бы один из купленных билетов выигрышный. Рассмотрим событие B , противоположное событию В:
B - среди купленных билетов нет выигрышных.
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
4 |
5 |
1024 |
|
|
P ( B ) = P (0) C0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
0,32768 . |
||||
|
|
|
||||||||||
5 |
5 |
|
5 |
|
|
5 |
|
3125 |
|
Теперь вычислим вероятность искомого события:
P(B) 1 P(B) 1 0,32768 0,67232.
в) Вероятность того, что выигрышными будут более трех билетов (т.е. или четыре, или пять)
|
|
(5) C4 |
|
1 4 |
|
4 1 |
C5 |
|
1 5 |
|
4 |
0 |
||||
P (4) P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,00672 . |
|||
|
|
|
|
|||||||||||||
5 |
5 |
5 |
|
5 |
|
5 |
5 |
|
5 |
|
5 |
|
6. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Приведем некоторые примеры случайных величин.
1)Число очков, выпадающих на игральной кости. Эта величина может принимать одно из следующих значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
14
2)Число родившихся мальчиков среди ста новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2, …, 100.
3)Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (а, b).
Случайные величины в дальнейшем будем обозначать большими буквами X, Y, Z а их возможные значения – соответственно строчными буквами x, y, z. Например, X – число попаданий при трех выстрелах. Возможные значения этой случайной величины: x1 =0, x2 =1, x3 =2, x4=3.
Случайная величина называется дискретной, если еѐ возможные значения есть отдельные изолированные числа (т. е. между двумя соседними возможными значениями нет других значений). Дискретная случайная величина принимает эти значения с определенными вероятностями.
Из приведенных выше случайных величин дискретными являются случайные величины примеров 1, 2.
Бывают случайные величины, которые принимают значения из некоторого интервала.
К таким величинам относится случайная величина примера 3.
Чтобы охарактеризовать дискретную случайную величину X, следует указать еѐ возможные значения x1, x2, …, xn и вероятности событий, состоящих в том, что случайная величина X приняла значение xi:
pi = P( X = xi), (i =1, 2, …, n).
В результате испытания произойдет только одно из полной группы событий: X=x1, X=x2, …, X=xn. Поскольку сумма вероятностей полной группы попарно
n
несовместных событий равна 1, то pi 1.
i 1
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными еѐ значениями и их вероятностями.
Для дискретной случайной величины закон распределения удобно записывать в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения xi, а вторая – их вероятности pi:
X |
x1 |
x2 |
… |
xn |
P |
p1 |
p2 |
… |
pn |
Эта таблица называется рядом распределения.
Пусть x – некоторое действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что X примет значение меньше x, обозначим через F(x), т. е.
F(x) P(X x) .
Функция F(x) называется функцией распределения случайной величины X. Случайная величина называется непрерывной, если еѐ функция
распределения непрерывна и кусочно-дифференцируема.
15
Функция распределения обладает следующими свойствами:
1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0; 1]:
0 F(x) 1.
2. Функция распределения есть неубывающая функция:
F(x2) F(x1), если x2 >x1.
3. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:
P (a < X < b) = F (b) – F (a).
4.Справедливы следующие предельные соотношения:
lim F(x) 0 , |
lim F(x) 1 . |
x |
x |
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют первую производную от функции распределения:
f(x) = F (x) .
Зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределения F(x) по формуле
x
F(x) f (t)dt .
Свойства плотности распределения:
1. Плотность распределения неотрицательна, т. е. f(x) 0.
2.Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от – ∞ до
∞равен единице:
f (x)dx 1 .
3. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), определяется равенством
b
P (a < X < b) = f (x)dx .
a
Для решения многих практических задач совсем необязательно знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а достаточно указать отдельные числовые параметры, которые позволяют отразить существенные особенности случайной величины.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех еѐ возможных значений на соответствующие им
вероятности: |
M(X) =x1 p1+x2 p2+…+xn pn. |
|
|
Математическое |
ожидание |
непрерывной |
случайной величины, |
возможные значения |
которой |
принадлежат всей |
оси Ox, определяется |
равенством |
|
|
|
|
|
16 |
|
M(X) = xf (x)dx .
Математическое ожидание обладает следующими свойствами:
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
M (С) = С.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
M (CX) = CM(X).
3. Математическое ожидание суммы (разности) двух случайных величин равно сумме (разности) математических ожиданий этих величин:
M(X Y) = M(X) M (Y).
4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
M (X∙Y) = M(X) ∙ M(Y).
Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от еѐ математического ожидания:
D(X) =M(X– M(X))2.
Дисперсию удобно вычислять по формуле
D(X) =M(X2) – (M(X))2.
Если X является дискретной случайной величиной, то
n |
|
D(X) = (xi |
M(X))2 pi |
i 1 |
|
n |
|
или D(X) = xi2pi (M(X))2 . |
|
i 1 |
|
Для непрерывной случайной величины |
|
|
|
D(X) = (x M(X))2 f (x)dx или D(X) = x2f (x)dx (M(X))2 . |
|
|
|
Дисперсия обладает следующими свойствами: 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
D(С) =0.
2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
D(CX) =C2D(X).
3.Дисперсия суммы или разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
D(X ± Y) = D(X) + D(Y).
Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии: (X) D(X) .
17
7. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Пример 7.1. Независимые испытания производятся до тех пор, пока не появится событие А. Вероятность появления события А в каждом испытании 0,7. Максимальное число испытаний – 3. Составить ряд распределения числа произведенных испытаний. Найти числовые характеристики этой случайной величины. Какова вероятность, что произойдет не более двух испытаний?
Решение. Случайная величина X – число произведенных испытаний – может принимать следующие значения: x1=1, x2=2, x3=3.
Случайная величина X примет значение x1=1, когда событие А произойдет в первом испытании.
P(X=1) =P (A) =0,7.
Случайная величина X примет значение x2=2, если событие А не произойдет в первом испытании, но произойдет во втором.
P(X=2) =P ( A A) = 0,3 0,7 =0,21.
Случайная величина X примет значение x3=3, если событие А не появиться ни при первом, ни при втором испытании. Так как число испытаний не более трех, то не важно произойдет событие А в третьем испытании или нет.
P(X=3) =P ( A A ) = 0,3 0,3 0,09 .
Составим ряд распределения случайной величины X.
X |
1 |
2 |
3 |
P |
0,7 |
0,21 |
0,09 |
n
Проверим тождество pi 1. Действительно, 0,7+0,21+0,09=1.
i 1
Найдем числовые характеристики случайной величины X.
M(X) =1 0,7 2 0,21 3 0,09 1,39 .
Для вычисления дисперсии применим формулу
D(X) =M(X2) – (M(X))2.
Составим ряд распределения случайной величины X2:
X2 |
1 |
4 |
9 |
P |
0,7 |
0,21 |
0,09 |
Найдем математическое ожидание случайной величины X2:
M(X2) =1 0,7 4 0,21 9 0,09 2,35 .
D(X) 2,35 (1,39)2 2,35 1,9321 0,4179 .
(X) D(X) 0,4179 0,646 .
Пусть событие В – произойдет не более двух испытаний, т. е. произойдет или одно, или два испытания.
P(B)=P(X=1)+P(X=2)=0,7+0,21=0,91.
18
8. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Пример 8.1. Случайна величина Х задана функцией распределения
0 |
|
при |
x 0, |
||
|
1 |
x 2 |
|
|
|
F(x) |
|
при 0 x 2, |
|||
4 |
|||||
|
|
|
x 2. |
||
1 |
|
при |
Найти:
1)вероятность P(1 X 2) ;
2)плотность вероятности f(x);
3)математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).
Решение.
1) Воспользуемся формулой P (a < X < b) = F (b) – F (a). По условию a=1, b=2. Следовательно, искомая вероятность
P(1 X 2) F(2) F(1) 14 22 14 12 34 .
2) Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
при |
|
x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
при |
|
|
0 x 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
f(x) = F (x) = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4) Вычислим числовые характеристики случайной величины Х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Математическое ожидание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
x |
3 |
|
2 |
|
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
M(X) = xf (x)dx = x 0dx x |
|
xdx x 0dx |
|
x2 dx |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
6 |
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Дисперсия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
D(X)= x |
f (x)dx (M(X)) |
|
= x |
|
|
|
0dx x |
|
|
|
|
|
xdx |
x |
|
0dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
16 |
|
|
x |
4 |
|
|
2 |
|
16 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x3 dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
9 |
|
8 |
|
|
0 |
|
|
9 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону, если еѐ плотность распределения вероятностей задается функцией
f (x) |
|
1 |
|
(x a)2 / 2 2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 e |
||||||
|
|
|
|
|
||||
где a M(X) – математическое |
|
ожидание, D(X) – среднее |
квадратическое отклонение.
График функции f (x) называют нормальной кривой или кривой Гаусса.
Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу ( , ) , равна
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P( X ) Ф |
|
Ф |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
Ф(x) |
|
|
e |
|
|
dt |
– функция Лапласа. |
|
Ф(x) |
– |
функция нечетная, т. е. |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф( x) Ф(x).
f(x)
1
2
a |
x |
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормально распределенной случайной величины Х от своего математического ожидания будет меньше положительного числа 0, равна
20
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
P( |
X a |
|
) 2Ф |
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 9.1. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины Х равно М(Х)=8 и дисперсия D(X)=9. Написать плотность вероятности Х. Найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (1, 6).
Решение. Так как случайная величина Х имеет нормальное распределение, то еѐ плотность имеет вид:
f (x) |
|
1 |
|
(x a)2 / 2 2 |
, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 e |
||||
|
|
|
где a M(X)=8, D(X) = 9 3 .
Тогда
f (x) 3 12 e (x 8)2 / 18 .
Вычислим вероятность того, что случайная величина Х будет принимать значения из интервала (1, 6):
|
6 8 |
|
1 8 |
|
|
2 |
|
|
7 |
|
||||
P(1 X 6) Ô |
|
|
Ô |
|
|
Ô |
|
|
|
Ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
7 |
|
2 |
|
|
|
Ô |
|
|
Ô |
|
|
Ô(2,33) Ô(0,67) 0,4901 0,2486 0,2415 . |
|
|
|||||
|
3 |
|
3 |
|
|
10. ВЫБОРОЧНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ
Пусть х1, у1 , х2 , у2 , õ3 , ó3 , … , õï , óï выборка объема n для двух случайных величин Х и Y.
Выборочным коэффициентом корреляции называется величина
|
|
rxy |
xy |
|
|
, |
|
|
â X |
â Y |
|||
|
|
|
|
|||
|
1 |
n |
|
|
|
|
где xy |
|
xi yi xâ yâ – выборочный корреляционный момент, |
||||
|
n i 1
â X и â Y – выборочные средние квадратические отклонения случайных величин X и Y соответственно.
21
Коэффициент корреляции представляет собой меру линейной зависимости случайными величинами X и Y .
Свойства коэффициента корреляции
1. Коэффициент корреляции rxy является безразмерной величиной и его
значение не зависит от единиц измерения случайных величин Х и Y.
2. Абсолютная величина коэффициента корреляции rxy не превышает единицы: -1 ≤ rxy ≤ 1 .
3. Если 0< rxy <1 , то случайные величины Х и Y положительно
коррелируемы, то есть с ростом одной величины вторая в среднем также растет (прямая корреляционная зависимость).
4. Если -1< rxy <0, то случайные величины Х и Y отрицательно
коррелируемы, то есть с ростом одной величины вторая в среднем убывает (обратная корреляционная зависимость).
5.Если rxy =0, то случайные величины Х и Y являются
некоррелированными.
6. Если rxy = ±1 , то между случайными величинами Х и Y имеется точная линейная зависимость.
Качественная оценка корреляционной связи между случайными величинами может быть выявлена на основе шкалы Чеддока (табл. 10.1).
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 10.1 |
|
|
|
|
|
|
||
Значение |
|
|
|
|
|
||
|
rxy |
|
0,1 – 0,3 |
0,3 – 0,5 |
0,5 – 0,7 |
0,7 – 0,9 |
0,9 – 0,99 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теснота связи |
слабая |
умеренная |
заметная |
высокая |
очень высокая |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Практическая значимость коэффициента корреляции определяется его величиной, возведенной в квадрат, получившая название коэффициента детерминации.
22