4078
.pdf
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
5 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|||
6 7 |
|
3 2 2 |
6 7 3 1 2 |
6 |
|
6 42 |
|
|
|
32 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
16 |
|
|
|||||||||||||||||||||
Пример 2. Воспользуемся методом интегрирования по частям для |
||||||||||||||||||||||||||||||||
вычисления определѐнного интеграла: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
udv uv |
|
ba vdu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 x cos 2x dx = |
|
|
u x |
dv cos 2xdx |
|
= |
|
x |
sin 2x |
|
4 |
|
1 |
|
|
4 sin 2xdx |
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
0 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||
|
|
|
|
du dx |
v |
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
= |
|
sin |
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
cos 2x |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
1 2 . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
8 |
4 |
|
4 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
3 x dx |
|
|||||
|
|
|
Пример 3. |
|
ln |
= |
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
sin |
|
1 |
cos |
|
1 |
cos 0 |
|
||||
8 |
2 |
4 |
2 |
4 |
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замена переменной : |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dx |
|
1 |
t4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
ln x t, |
|
dt |
= t3dt |
|
|
|
||
|
|
4 |
|
|
|||||
|
|
|
x |
0 |
|
0 |
|||
|
t(1) 0, |
t(e) 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 40 14 .
Пример 4. Воспользуемся правилом интегрирования ( ) и табличным интегралом 4):
12 |
x |
|
x |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
||||||
e4 |
|
dx = 3 e4 |
|
|
|
3 e44 e43 3 e0 e1 3 1 e 3 e 1 . |
||
3 |
3 |
|||||||
9 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 5. |
Построить фигуру, ограниченную заданными линиями |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
y x2 3x 5 и |
y x 2 , |
и вычислить еѐ площадь.
Решение. Найдѐм абсциссы точек пересечения графиков заданных функций. Для этого объединим уравнения в систему
y x2 3x 5,y x 2.
Решим полученную систему уравнений, приравняв их правые части x2 3x 5 x 2
x2 2x 3 0
x1 3; |
x2 1. |
Для построения графиков заданных функций в системе координат xOy уточним ординаты точек их пересечения:
y1 3 2 5, |
A 3; 5 ; |
y2 1 2 1, |
B 1; 1 . |
Площадь, |
ограниченная |
графиками функций |
y f (x) |
|
и y g(x) , |
||||||||||||||||||||
удовлетворяющих условию f (x) g(x) , вычисляется по формуле |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S g(x) f (x) dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В нашем случае |
g(x) x 2, |
f (x) x2 3x 5, следовательно, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
S |
x 2 x2 3x 5 dx |
x2 2x 3 dx |
|
x |
|
x2 |
3x |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
( 3)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
( 3)2 3 ( 3) |
|
|
|
2 |
9 9 |
9 10 |
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
Пример 6. Вычислить объѐм тела, получающегося при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых заданы.
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
1, |
x 4. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
Решение. Каноническим |
|
уравнением |
гиперболы является уравнение |
||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||
|
x |
|
y |
1, следовательно, |
|
x |
|
y |
1 |
есть уравнение |
гиперболы с |
|||||
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|||||||||||
|
a |
|
b |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
||||
полуосями a 2 и |
b 3. Изобразим на |
чертеже фигуру, |
ограниченную |
|||||||||||||
заданными линиями, |
учитывая, |
|
что x 4 – это уравнение вертикальной |
прямой.
Объѐм тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры,
ограниченной |
линиями |
|
|
|
y f (x), |
y 0, |
x a, |
x b |
(a b) , |
||||||||||||||||||||
вычисляется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VOx f 2 (x) dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В нашем |
случае |
|
|
|
y2 |
|
x2 |
1, |
|
, |
y2 |
9 |
x2 9, |
|
a 2, |
|
b 4, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
9 |
|
|
2 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
x3 |
|
|
4 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
VOx |
2 |
|
|
|
x |
|
9 |
dx |
|
|
|
|
|
|
9x |
|
|
|
|
4 |
|
9 4 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 3 |
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
23 9 2 |
|
12 12 24 . |
|
||||
4 |
|
|
|
2.5.Индивидуальные задания
Задача № 1. Вычислить указанные определѐнные интегралы.
Вариант 1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
2. |
|
sin3 x cos x dx ; |
|
|
|
|
3. |
x ln x dx ; |
4. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 x |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
7 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1. |
|
3x 7 dx ; |
|
|
|
|
2. |
; |
|
|
dx ; |
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
4 x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
2. |
|
ex sin(ex ) dx ; |
3. |
|
|
ln x dx ; |
4. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Вариант 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 sin 4x dx . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e3x2 2 dx ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
4x 3 dx ; 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
3. |
4. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(arcsin x)3 |
1 x2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Вариант 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
; 2. |
x3 ln x dx ; |
|
|
3. x2 |
|
|
x3 3 dx ; |
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3x 2 |
|
|
|
|
|
cos |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Вариант 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5x 5)sin 3x dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
dx ; 2. |
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 x2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
2 ; |
|
2. (x 5) ln 5x dx ; |
|
|
|
|
3. x2 |
e1 x3 dx ; |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dx 2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. 3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 9x |
|
|
|
|
|
Вариант 8.
|
0 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
; 2. |
( x 2) e3x dx ; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
|||||||||||
|
1 6x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Вариант 9. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
1 |
|
|
x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x4 e4 5 x |
5 |
|
|
||||||||
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
1. |
1 |
|
|
|
|
dx ; 2. |
1 |
|
dx ; 3. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Вариант 10. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
cos x |
|||||||
|
|
|
|
4 5x dx ; |
2. |
|||||||||||||
1. |
|
|
|
|
dx ; |
|||||||||||||
|
|
sin3 |
x |
|||||||||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
x |
|||||
3. sin2 x cos x dx ; |
|
|
|
e |
|
1 dx . |
|||||
4. |
3 |
||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
dx |
||||
(9x 5) cos 2x dx ; |
4. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
. |
|||||||
cos2 3x |
|||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|||
3. x e x dx ; |
4. |
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
||||||||||
0 |
|
0 |
|
|
x2 1 |
Задача № 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в декартовых прямоугольных координатах. Сделать чертеж.
Вариант 1. |
y x2 |
x 1; |
y x 2. |
|
Вариант 2. |
y x2 6x 4; |
|
y 2x 1. |
|
Вариант 3. |
y x2 3x 1; |
|
y 2x 3. |
|
Вариант 4. |
y x2 4x 9; |
|
y x 3. |
|
Вариант 5. |
y x2 4x 5; |
|
y 3x 1. |
|
Вариант 6. |
y x2 2x 9; |
|
y 4x 1. |
|
Вариант 7. |
y x2 |
7x 3; |
|
y x 5. |
Вариант 8. |
y x2 |
5x 17; |
y 2x 5. |
|
Вариант 9. |
y x2 |
11x 9; |
|
y 4x 3. |
Вариант 10. |
y x2 2x 3; |
y x 1. |
Задача № 3. Вычислить объѐм тела, получающегося при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых заданы.
Вариант 1. y sin x, |
y 0, |
x 0, |
x . |
Вариант 2. xy 4, |
y 0, |
x 1, |
x 4. |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант 3. |
x |
|
y |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант 4. |
y 2 |
1 |
x2 , |
y 0. |
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 5. |
y tgx, |
|
y 0, |
x |
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
Вариант 6. |
y |
8 |
, |
|
|
y 0, |
x 2, |
x 8. |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вариант 7. |
y cos x, |
y 0, |
x |
|
, |
x . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
Вариант 8. |
y |
|
1 |
x2 1, |
y 0, |
x 0, |
x 3. |
|||||||||
|
6 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вариант 9. |
y ctgx, |
y 0, |
x |
, |
x . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
Вариант 10. |
y 4x x2 , |
y 0, |
x 0, |
x 3. |
2.4. Вопросы для самоконтроля и проверки
1.Что такое интегральная сумма и в чем заключается ее геометрический
смысл?
2.Сформулируйте определение определенного интеграла.
3.Какие функции являются интегрируемыми?
4.Чему равен определенный интеграл с одинаковыми верхним и нижним пределами интегрирования?
5.Как изменится значение определенного интеграла, если поменять местами верхний и нижний пределы интегрирования?
6.Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.
7.Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
8.Как с помощью определенного интеграла вычислить площадь криволинейной трапеции?
9.Как найти объем тела вращения?
Библиографический список
Основная литература
1. Шипачев, В.С. Высшая математика. Полный курс [Электронный ресурс] : учеб. акад. для бакалавров : рек. УМО высш. образования в качестве учеб. для студентов высш. учеб. заведений, обучающихся по всем направлениям и специальностям / В.С. Шипачев ; под ред. А.Н. Тихонова; Моск. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова. – 4-е изд., испр. и доп. – М. : Юрайт, 2014. – 607 с. – ЭБС «Юрайт»
Дополнительная литература
1.Сборник задач по высшей математике [Текст]: учеб. пособие для бакалавров : рек. М-вом образования и наук РФ в качестве учеб. пособия для студентов вузов, обучающихся по направлениям и специальностям в обл. техники и технологии : в 2 ч. Ч. 1 / В.Н. Земсков, В.В. Лесин, А.С. Поспелов, А.А. Прокофьев, Т.В. Соколова; под ред. А.С. Поспелова. – М. : Юрайт, 2014. – 605 с. – Электронная версия в ЭБС «Юрайт»
2.Сборник задач по высшей математике[Текст]: учеб. пособие для бакалавров : рек. М-вом образования и наук РФ в качестве учеб. пособия для студентов вузов, обучающихся по направлениям и специальностям в обл. техники и технологии : в 2 ч. Ч. 2 / В.Н. Земсков, В.В. Лесин, А.С. Поспелов, А.А. Прокофьев, Т.В. Соколова; под ред. А.С. Поспелова. – М. : Юрайт, 2014. – 611 с. – Электронная версия в ЭБС «Юрайт»