4561
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Г. Ф. МОРОЗОВА»
МАТЕМАТИКА
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ
ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Методические указания для самостоятельной работы студентов
по специальности 15.05.01 – Проектирование технологических машин и комплексов,
специализация «Проектирование технологических машин лесного комплекса»
Воронеж 2017
2
УДК 517.9
Веневитина, С.С. Математика. Неопределенный и определенный интегралы. Функции двух переменных [Электронный ресурс] : методические указания для самостоятельной работы студентов по специальности 15.05.01 – Проектирование технологических машин и комплексов, специализация «Проектирование технологических машин лесного комплекса» / С.С. Веневитина, И.В. Сапронов, П.Н. Зюкин; М-во образования и науки РФ, ФГБОУ ВО «ВГЛТУ». – Воронеж, 2017. – 34 с.
Печатается по решению учебно-методического совета ФГБОУ ВО «ВГЛТУ» (протокол № 5 от 22.04.2016)
Рецензент д-р физ.-мат. наук, профессор Воронежского государственного университета С.П. Зубова
3
Методические указания содержат необходимый теоретический материал и решение практических примеров, которые помогут студентам выполнить самостоятельную работу, индивидуальные задания, а также расчетнографическую работу по разделам: неопределѐнный интеграл, определѐнный интеграл и его приложения, функции двух переменных.
Материалы данной учебно-методической разработки по содержанию, форме изложения и объѐму соответствуют задачам дисциплины и требованиям стандарта соответствующей специальности.
1. Интегральное исчисление Таблица основных неопределённых интегралов
1. |
x dx |
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x 1 |
C ( 1); |
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1 |
||||||||
2. |
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dx |
ln |
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x |
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C . |
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||||||||||||
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x |
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||
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ax |
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|||||
3. |
axdx |
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C . |
|||||||
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|||||||||
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ln a |
4.exdx ex C .
5.sin xdx cos x C .
6.cos xdx sin x C .
7. |
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dx |
tgx C . |
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cos2 x |
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8. |
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dx |
ctgx C . |
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|||||||||||||||||||
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sin2 x |
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dx |
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1 |
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x |
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||||||||
9. |
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arctg |
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C . |
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x2 |
a2 |
a |
a |
|||||||||||||||||||||||||||
10. |
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dx |
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1 |
ln |
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x a |
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C . |
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x2 |
a2 |
2a |
x a |
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11. |
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dx |
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arcsin |
x |
C . |
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a |
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a2 x2 |
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dx |
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|||||||||
12. |
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ln |
x |
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x2 a2 |
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x2 a2 |
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dx x C .
C .
4
Основные правила интегрирования
1.C f (x)dx C f (x)dx .
2.f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx .
3. |
Если f (x)dx F(x) C , то |
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f (kx b)dx |
1 |
F (kx b) C . |
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k |
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4. |
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f (x)dx |
ln |
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f (x) |
C . |
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f (x) |
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|||||
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5. |
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f (x)dx |
2 |
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f (x) C . |
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f (x) |
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6.Интегрирование по частям: udv uv vdu .
b
7.Формула Ньютона-Лейбница: f (x)dx F (x) ba F (b) F (a)
a
Самостоятельная работа по теме «Неопределённый интеграл»
Вариант 1 |
Вариант 2 |
Вариант 3 |
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1 x 2 |
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x |
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2 |
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(x2 x )2 |
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1. |
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x |
1. |
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dx |
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dx |
1. |
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dx |
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x |
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x |
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x |
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x |
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x |
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e |
x2 |
xdx |
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|
dx |
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||||||||||||
2. |
|
cos |
|
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|
x |
dx |
2. |
2. |
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cos |
2 |
x 1 tgx |
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x |
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x3 |
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1 |
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||||
3. |
|
3 x4 dx |
3. |
ln6 x |
dx |
3. |
|
2 |
x |
|
dx |
|
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|||||||||||||||||||||||||||
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x |
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|
x |
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4. |
x cos(2x)dx |
4. |
x arctgxdx |
4. |
x e xdx |
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
x2exdx |
5. |
ex sin xdx |
5. |
x2 cos(2x)dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
|
3x 1 |
6. |
|
|
2x 1 |
6. |
|
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|
x 1 |
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|||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
dx |
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 3x 1 |
3x2 4x 2 |
|
2x2 x 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||
7. |
|
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|
dx |
7. |
|
|
|
|
x 3 |
7. |
|
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|
|
2x 1 |
|||||||||||||||||||
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|
dx |
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3sin x 4cos x |
|
(x2 1)(x 1) |
|
(x 1)(x2 |
|
5) |
5
|
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Вариант 4 |
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Вариант 5 |
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Вариант 6 |
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|||||||
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cos(2x) |
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3x |
2 |
5x 4 |
|
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1 |
3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
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dx |
1. |
|
dx |
|
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|
x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos |
2 |
|
x |
sin |
2 |
|
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1. |
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|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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x |
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|
x |
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|
x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|||||
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|
x |
2 |
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|
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|
ctg |
7 x |
1 |
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|
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|
|
cos x |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||
2. |
|
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|
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dx |
2. |
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|
|
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|
|
dx |
2. |
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|
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|
|
|
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|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 x |
|
|
|
|
4 |
sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
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|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
x |
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|
sin x |
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sin x |
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3. |
e |
cos x |
sin xdx |
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|
tg |
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|
x |
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3. |
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4. |
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5. |
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5. |
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5. |
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6. |
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x 3 |
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6. |
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3x 1 |
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dx |
6. |
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2x 3 |
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dx |
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3x2 x 1 |
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4x2 x 2 |
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3x2 x 1 |
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7. |
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dx |
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7. |
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2x 1 |
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dx |
7. |
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x 1 |
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dx |
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x 1 2 x 2 |
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Вариант 7 |
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Вариант 8 |
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Вариант 9 |
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1. |
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2. |
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5 |
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3. |
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xdx |
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3. |
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3. |
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x 2dx |
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x4 1 |
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1 x3 |
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x6 1 |
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4. |
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4. |
e 2 x cos x dx |
4. |
x2 sin 3x dx |
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5. |
sin 3x cos 5x dx |
5. |
arctgxdx |
|
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5. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
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|
2x 1 |
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dx |
6. |
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x 6 |
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dx |
6. |
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2 x |
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dx |
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4x2 x 3 |
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2x2 7x 1 |
2x2 x 1 |
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7. |
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dx |
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|
7. |
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2 sin x |
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7. |
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x 1 |
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dx |
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dx |
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x x2 |
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x 2 |
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2 cos x |
x2 |
3 x 5 |
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6 |
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Вариант 10 |
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Вариант |
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|||||||||||||||||
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dx |
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1. |
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x5 x |
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x 2 |
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||||||
cos 2x sin |
2 |
x |
|
|
|
x |
|
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|
dx |
|
|||||||||||||||||
|
|
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2. |
x3 5 x4 1dx |
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2. |
x 3 5 x2 dx |
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|||||||||||||||||||
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|
arctg 2 x |
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||
3. |
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|
ln x |
dx |
|
|
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|
3. |
|
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|
dx |
|
|
|
|
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|
||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
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|||||||||||||
|
|
|
|
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|||||||||||||
4. |
x2 ln xdx |
|
|
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|
4. |
xsin 5x dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5. |
e x cos 2xdx |
|
|
|
5. |
ln 2x dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
6. |
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
6. |
|
|
|
5x 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
||||||||||||||||||||||
|
3x2 x 3 |
|
3x2 3x 10 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
7. |
|
|
7x 15 |
|
|
|
dx |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 2x2 3x |
|
|||||||||||||||||||
4sin x 5cos x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
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|
Решение варианта . |
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|
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||||||||||||||||||||||
|
1. Вычислить интеграл |
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x5 x |
x 2 |
dx . |
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|
x |
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|
|
Преобразуем подынтегральную функцию:
|
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|
x5 x |
x 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
x4 |
x2 |
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
||
|
|
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|
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|
1 |
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|
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|
|||
|
x5 |
x x 2 |
|
|
2 |
|
x4dx |
||||||||||
|
|
|
|
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|
||||||||||||
Тогда |
|
|
|
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|
dx = x4 x2 |
|
|
dx = |
||||||||
|
x |
x |
|||||||||||||||
|
|
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|
1dx
x2 dx 2 x =
|
|
|
3 |
|
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|
|
|||
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
|
|
|
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|
2ln |
x |
C . |
5 |
3 |
|
|
|||||||
|
|
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|
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|
|
2 |
|
|
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|
|||
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|
|||
|
При вычислении использовали свойства неопределѐнного интеграла: |
|||||||||
|
а) |
|
f1(x) f2 (x) dx f1(x)dx f2 (x)dx , |
|||||||
|
б) |
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|
|
Cf (x)dx C f (x)dx , |
и табличные интегралы 1) и 2).
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7 |
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||||||
2. |
|
Вычислить интеграл |
x 3 5 x2 dx . |
|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Делаем замену |
|
|
|
5 x2 t , |
тогда |
2xdx dt и |
xdx |
1 |
dt . Следовательно, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 x2 t |
|
|
|
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|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
3 5 x2 4 |
|
||||||||||||||||||||||
|
x 3 5 x2 dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
t |
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
= |
|
|
t 3 dt |
3 |
C = |
C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
4 |
8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx 2 dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||
3. |
|
Вычислить интеграл |
|
arctg 2 x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Делаем замену |
|
|
|
arctgx t , |
тогда |
|
|
|
|
dx |
dt . |
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
arctg 2 x |
|
= t2dt |
t3 |
|
|
|
|
arctg3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
|
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|
dx |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 x2 |
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
Вычислить интеграл |
xsin 5x dx . |
|
|
|
|
|
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|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Воспользуемся формулой интегрирования по частям: |
|
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|
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|
|
|
udv uv vdu . |
|
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|
||||||||||||||||||||||
x sin(5x)dx |
|
|
u x |
dv sin(5x)dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
cos(5x)dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
du dx |
v |
1 |
|
|
|
x cos(5x) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos(5x) |
5 |
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
1 |
x cos(5x) |
|
|
|
1 |
sin(5x) C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5 |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
5.Вычислить интеграл ln 2x dx .
ln 2x dx = |
|
u ln(2x) |
dv dx |
|
xln(2x) x |
1 |
dx xln(2x) x C . |
||||
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
du |
|
dx |
v x |
|
|
|
x |
||
|
x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
5x 3 |
|
|
||
6. Вычислить интеграл |
|
|
|
dx . |
|
|
|||||
3x2 |
|
3x 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2x 1 |
11 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
5x 3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x2 3x 10 |
3 |
x2 x |
10 |
|
3 |
|
|
|
x2 x |
10 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 11 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
2 |
|
x2 x |
10 |
|
3 |
2 |
|
|
|
1 2 |
|
|
37 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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x |
1 |
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|||||
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5 |
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ln |
x2 x |
10 |
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11 |
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1 |
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arctg |
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2 |
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C = |
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6 |
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3 |
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|
6 |
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37 |
|
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37 |
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12 |
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|
12 |
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||||||||
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1) |
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5 |
ln |
x2 |
x |
10 |
|
|
11 |
|
3 |
|
arctg |
|
3(2 |
x |
C. |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
3 |
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|
|
|
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|
3 |
37 |
|
|
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|
|
|
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|
|
37 |
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|
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|
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(x) |
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Воспользовались правилом |
|
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|
(x) dx |
ln |
(x) |
C и табличным |
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|
интегралом 9). |
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|||||||||||||||||||||||||||
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|
7. |
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|
Вычислить интеграл |
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7x 15 |
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|
dx . |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
x3 2x2 |
3x |
|
|
|
|
|
|
а) Знаменатель подынтегральной функции разложим на множители: x3 2x2 3x x x2 2x 3 x x 3 x 1 .
б) подынтегральную функцию представим в виде суммы простейших дробей:
|
|
7x 15 |
|
|
A |
|
B |
|
|
|
C |
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
x3 2x2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3x |
|
x |
|
3 |
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
7x 15 |
|
A |
|
x 3 |
|
x 1 Bx |
|
x 1 Cx |
|
x 3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||
|
x3 2x2 3x |
|
|
|
|
|
|
|
x x 3 x 1 |
|
|
|
Следовательно,
7x 15 A x 3 x 1 Bx x 1 Cx x 3 .
Определим постоянные А, В и С.
Если |
x 0 , |
то |
15 3A и |
A 5 ; |
если |
x 3 , |
то |
36 12B |
и B 3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
||
|
|
если x 1, |
то |
8 4C |
и C 2 . |
||||||||||||
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
7x 15 |
dx = |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x3 2x2 3x |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
dx |
|
|
dx |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5 |
|
3 |
|
2 |
|
|
5ln |
x |
3ln |
x 3 |
2ln |
x 1 |
C . |
||||
x |
x 3 |
x 1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Индивидуальные задания по теме «Неопределённый интеграл»
Вариант 1
1. |
|
2x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21. |
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 2x 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
sin 2x cos4 x dx |
12. |
(x 5) e x dx |
22. |
|
sin3 x cos3 x dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
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|
dx |
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. |
|
|
|
|
ln 2x dx |
|
|
|
|
|
13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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||||||||||||||||||||
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
4sin x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
arctgx 3 |
|
|
|
|
|
|
|
14. |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 3x 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
x2 |
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (x2 2x 1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25. |
|
|
|
|
|
|
x3 1 |
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cos2 x tg 4 x |
|
|
|
|
|
|
|
2x2 6x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
e |
x |
sin(e |
x |
) dx |
|
sin |
4 |
|
x sin |
5 |
|
|
|
|
x |
2 |
sin |
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
26. |
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
6 |
|
|
|
|
8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. |
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
27. |
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x4 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2x x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x (arccos x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 x 2 |
||||||||||||||||||||||||||
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x 1 x 3 x 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
19. |
|
|
|
x3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29. |
|
tg3 x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
x sin 2x dx |
|
|
|
|
|
20. |
sin2 x cos x dx |
30. |
|
4 sin3x 2 dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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Вариант 2 |
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dx |
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2 |
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sin x dx |
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1. |
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11. |
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ln x |
dx |
|
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21. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x 1)2 (x2 |
1) |
|
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1 3cos2 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x3 2x2 4 |
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3x 4 |
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||||||||||||||||||||||||
2. |
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dx |
12. |
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|
dx |
22. |
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|
x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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3x2 5x 6 |
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|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x3 (x 2)2 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x |
10
|
|
|
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|
|
x3 1 |
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|
13. |
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|
sin x |
|
|
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23. |
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|
dx |
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
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dx |
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dx |
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cos11 x |
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sin4 x |
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4x3 x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
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x5 x4 8 |
dx |
14. |
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|
x dx |
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24. |
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1 cos x |
dx |
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2x2 4x 1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x3 |
4x |
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1 cos x |
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5. |
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|
dx |
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15. |
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|
7x 3 |
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dx |
25. |
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|
|
dx |
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|||||||||||||
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|
x |
|
|
2 ln x |
|
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4x2 2x 5 |
|
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|
1 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
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|
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|
dx |
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16. |
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|
dx |
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26. |
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|
sin3 x |
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dx |
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(1 x2 ) arctg4 x |
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|
2 4x x2 |
|
|
cos4 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
|
|
e 2 x2 1 x dx |
17. |
sin |
3 |
|
x cos |
|
4 |
|
x dx |
27. |
tg5 x dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
2 |
|
|
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|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|||||||||||||
|
|
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|
3x |
2 |
dx |
|
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|
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|
|
dx |
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28. |
sin ln x dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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8. |
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|
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|
|
18. |
|
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|
2sin x 5cos x |
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|
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|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
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|
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|
|
|||||||||||
9. |
|
|
ex sin 2x dx |
19. |
x 3x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29. |
ecos x sin x dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
arctg( |
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sin2 x cos4 x dx |
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
x |
) dx |
20. |
30. |
|
|
|
|
|
|
e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||
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|
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|
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|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|||
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|
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|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 3 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1. |
|
cos3 x sin 2x dx |
11. |
arccos x dx |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin4 x cos x dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22. |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
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dx |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x ln x |
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cos4 x |
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|
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1 sin2 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
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|
dx |
|
|
|
|
|
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|
13. |
|
x2 dx |
|
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23. |
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|
|
|
dx |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
sin2 |
x ctgx |
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|
sin3 x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x6 4 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
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|
|
dx |
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|
8x4 |
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24. |
|
1 sin x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
14. |
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|
dx |
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|
dx |
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|
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1 sin x |
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arcsin3 x |
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1 x2 |
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1 x |
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5. |
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x4 dx |
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15. |
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3x 2 |
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dx |
25. |
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dx |
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3sin 2x |
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x2 x 2 |
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4x2 4x 16 |
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6. |
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32x dx |
16. |
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2x 3 |
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dx |
26. |
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cos x |
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dx |
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(2x 1)(4x2 |
16x 5) |
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esin x |
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x2 3x 4 |
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x 2 2 |
dx |
17. |
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|
dx |
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27. |
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dx |
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7. |
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2sin x 3cos x |
3 4cos x |
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|
x |
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|
x |
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1 |
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8. |
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dx |
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18. |
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dx |
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28. |
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dx |
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x4 x2 |
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cos4 x |
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1 |
4 |
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3 |
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x |
x |
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|
dx |
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2 |
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|
3 |
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1 |
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x 1 |
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9. |
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19. |
cos |
|
x cos |
|
x dx |
29. |
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|
|
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
1 x3 |
|
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3 |
4 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
3 |
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x 1 |
||||||||||||||||||||||||||
10. |
|
x arctgx dx |
20. |
(3 x) e x dx |
30. |
ctg6 x dx |