4574
.pdfРешение. |
Проведем исследование функции |
y |
5x2 |
|
по следующей схеме: |
||||||
x2 |
25 |
||||||||||
1. |
Область определения функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
В область определения исследуемой функции не входят лишь те значения x , |
|||||||||||
для |
которых |
x2 25 0 , |
то |
есть |
x 5 |
и |
x 5. |
Поэтому |
|||
D( y) ( ; 5) ( 5;5) (5; ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Вид функции.
Выясним, является ли функция четной или нечетной.
Если y( x) y(x) для любого x из области определения функции y f (x) , то
эта функция называется четной. График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Если y( x) y(x) для любого x из области определения функции y f (x) , то
эта функция называется нечетной. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Для нашей функции:
y(x) |
5x2 |
y( x) |
5( x)2 |
|
5x2 |
y(x) |
5x2 |
|||
|
, |
|
|
, |
|
. |
||||
x2 25 |
( x)2 25 |
x2 25 |
x2 25 |
|||||||
Видим, что y( x) y(x) для любого x из |
области определения функции. |
Поэтому функция четная, еѐ график симметричен относительно оси ординат.
3.Точки пересечения графика функции с осями координат.
Для нахождения точек пересечения графика с осью Ox решим систему уравнений
|
|
y 0, |
||||
|
|
|
|
5x2 |
||
|
|
|
|
|||
|
y |
|
|
|
. |
|
|
x |
2 |
|
|||
|
|
|
|
25 |
||
Отсюда получаем, что x 0 , |
y 0. Следовательно, точка (0;0) является точкой |
|||||
пересечения графика функции с осью Ox . |
|
|
|
|
|
|
Для нахождения точки пересечения |
графика функции с осью Oy решим |
|||||
систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0, |
||||
|
|
|
|
5x2 |
||
|
|
|
|
|||
|
y |
|
|
|
. |
|
|
x |
2 |
|
|||
|
|
|
|
25 |
Отсюда x 0 , y 0, поэтому точка (0;0) является точкой пересечения графика функции с осью Oy .
4. Исследование функции по первой производной (интервалы монотонности,
точки экстремума).
Найдем первую производную функции:
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
5x |
|
|
(5x |
(x |
25) 5x |
(x |
|
10x (x |
25) |
5x |
2x |
|
|||||||||||||||
|
|
) |
|
|
|
25) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||||
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
(x |
25) |
|
|
|
|
(x |
25) |
|
|
|
|||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
|
10x (x |
2 25 x2 ) |
|
|
|
250x |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
(x2 25)2 |
|
|
|
|
|
(x2 |
25)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y 0 при x 0 , |
|
|
y |
|
|
не существует при x 5 и |
x 5. |
Точки |
x1 5 , |
x2 0 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x3 5 разбивают область определения функции на четыре интервала |
( ; 5) , |
( 5;0) , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(0;5) , (5; ) . Определим знак производной |
y на каждом из них. |
Возьмем любое |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
число |
|
|
|
из |
|
|
|
интервала |
|
( ; 5) , |
|
|
например |
|
|
6 . |
Так |
|
как |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
250 ( 6) |
|
|
1500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y ( 6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12,4 0 , |
|
|
|
поэтому |
|
|
на всем интервале ( ; 5) |
|||||||||||||||||||||||||||
(36 25)2 |
121 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
производная y 0 |
|
и, |
следовательно, |
|
функция монотонно возрастает. Аналогично |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
определяем знак производной y |
на трех других интервалах: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
250 ( 1) |
|
|
250 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y ( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(1 25)2 |
576 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
250 2 |
|
|
|
|
|
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y (2) |
|
|
|
|
|
|
|
1,1 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
(4 25)2 |
441 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
250 7 |
|
|
|
|
|
1750 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
y (7) |
|
|
|
|
3,1 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
(49 25)2 |
576 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Результаты исследования занесем в таблицу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
|
|
|
|
|
( ; 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 5;0) |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
(0;5) |
|
|
|
(5; ) |
|
|
||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функция |
|
|
|
max |
|
|
|
функция |
|
|
|
функция |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
возрастает |
|
|
|
|
|
|
возрастает |
|
|
|
|
|
|
|
убывает |
|
|
убывает |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Итак, функция возрастает на каждом из интервалов ( ; 5) , ( 5;0) и убывает |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на интервалах (0;5) , (5; ) . В точке |
|
x 0 производная меняет знак с «+» на «−», |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
следовательно, x 0 − |
точка максимума функции. Значение функции в этой точке |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
равно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ymax(0) 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. Исследование функции по второй производной (выпуклость, вогнутость, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки перегиба графика). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Найдем вторую производную функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
250x |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
2 |
25) |
2 |
x ((x |
2 |
25) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
250 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
( y ) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
25) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
250 |
1 (x2 25)2 |
2x (x2 25) 2x |
250 |
(x2 25) (x2 |
25 4x2 ) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 |
25)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 25)4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
250 |
3x2 25 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 25)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 0 , если 3x2 |
25 0 . Это уравнение не имеет решения. |
|||||||||
y не существует при x 5 и x 5. |
|
|
|
|
||||||
Точки |
x1 5, |
x2 5 |
разбивают |
|
область определения функции на три |
|||||
интервала: ( ; 5) , ( 5;5) , (5; ) . |
Определим знак производной y на каждом из |
|||||||||
|
|
|
3 62 |
25 |
|
|
133 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
250 (62 25)2 |
250 |
|
|
|
274,8 0 , поэтому на всем интервале |
||||
них. Так как |
y ( 6) |
121 |
||||||||
( ; 5) производная |
y 0 и, |
следовательно, |
график функции является вогнутым на |
данном интервале. Аналогично определяем, что |
y 0 на интервале |
( 5;5) , поэтому |
|||||
график выпуклый на данном интервале. На интервале (5; ) |
y 0 , |
поэтому график |
|||||
вогнутый на этом интервале. Результаты исследования занесем в таблицу: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
( ; 5) |
( 5;5) |
|
(5; ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
+ |
− |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
y |
вогнутый |
выпуклый |
|
вогнутый |
|
|
|
график |
график |
|
график |
|
|
|
|
|
|
|
|
Точек перегиба на графике функции нет.
6.Точки разрыва функции и вертикальные асимптоты её графика.
Точки разрыва функции – это точки |
x1 5 |
и x2 5 , в которых функция не |
|||||||||||||||||
определена. Вычислим пределы функции в этих точках: |
|||||||||||||||||||
lim |
|
5x2 |
|
|
125 |
|
, lim |
|
5x2 |
|
125 |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x 5 x |
2 |
25 |
x 5 x |
2 |
25 |
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||
Поэтому |
прямые |
|
с уравнениями |
x 5 |
|
и |
x 5 являются вертикальными |
||||||||||||
асимптотами графика функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.Невертикальные асимптоты графика функции.
Невертикальной асимптотой будем называть асимптоту, не параллельную оси
Оу. Невертикальная асимптота графика функции y f (x) при |
x существует |
тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы |
|
lim f (x)
x x
Эта асимптота имеет уравнение
k, lim[ f (x) kx] b .
x
y kx b .
Вычислим пределы
|
f (x) |
lim |
5x |
2 |
|
|
lim |
5x |
|
lim |
|
5 |
|
|
0 |
0 k , |
|
|||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x |
x |
x x (x2 |
25) |
|
|
x x2 |
25 |
x 1 |
|
252 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
||||
lim[ f (x) kx] lim |
|
|
|
|
|
|
0 x |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
5 b . |
||||||||
|
|
2 |
25 |
|
2 |
25 |
|
|
|
252 |
1 |
|
||||||||||||||||||||
x |
|
|
x x |
|
|
|
|
x x |
|
|
x 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как оба предела k и b конечны, то график функции имеет невертикальную асимптоту при x . Еѐ уравнение y kx b , то есть y 5 .
8.Построение графика функции.
На основании результатов проведенного исследования строим график функции.
Рис. 1 Четность функции облегчает построение графика: строим часть графика
функции для значений x [0;5) (5; ) , а затем отображаем эту часть графика
симметрично относительно оси ординат и получаем весь график.
Для уточнения графика рассмотрим несколько дополнительных точек:
|
5 22 |
|
20 |
|
|
|
|
5 72 |
245 |
|
||||
y(2) |
|
|
|
|
|
|
0,9 |
, |
y(7) |
|
|
|
|
10,2 . |
|
22 |
25 |
|
21 |
|
|
|
72 25 |
24 |
|
|
9.Множество значений функции.
Вид графика (см. рис. 3.1) позволяет сделать вывод, что E( y) ( ;0] (5; ) .
3.2. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y f (x)
и на основании полученных результатов построить еѐ график.
1. |
y |
|
|
|
1 |
|
|
. |
2. |
y |
1 x3 |
. |
|
|||
x2 |
|
4x 3 |
|
x2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. |
y |
|
|
|
x3 |
|
. |
|
|
4. |
y |
|
x2 |
2x |
. |
|
|
2x2 |
|
|
|
x 1 |
|||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
5. |
y |
x2 |
x 4 |
. |
6. |
y |
|
x 2 |
. |
|
||||||||
|
2x |
|
|
x3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7. |
y |
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
8. |
y |
x3 |
4 |
. |
||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
3x2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9. |
y |
|
x2 |
|
. |
|
10. y |
|
x3 |
|
|
. |
||||||
x2 1 |
|
x2 1 |
4. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
4.1 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Задание 1. Изобразить область определения D(z) функции двух переменных
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
4 y2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Функция z |
|
4 y2 |
x определена во всех точках, координаты x и y |
которых |
|||||
удовлетворяют |
неравенству |
4 y2 x 0 |
или x 4 y2 . Уравнение |
x 4 y2 |
|||||
задаѐт параболу, а |
неравенству x 4 y2 |
удовлетворяют координаты точек |
|||||||
плоскости, расположенных левее этой параболы: |
|
Рис.2.
Область определения D(z) функции z 4 y2 x изображена на рис.4.
Задание 2. Найти частные производные функции двух переменных 2-го порядка.
а) При нахождении частной производной |
z |
переменная y рассматривается |
|
x |
|
как постоянная: |
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
9x8 y2 4 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При нахождении частной производной |
|
z |
переменная |
|
|
x рассматривается как |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
постоянная: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2x9 y 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдѐм частные производные второго порядка: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
9x |
8 |
|
|
2 |
4 |
|
7 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
72x |
|
y |
|
, |
|||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 z |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
9x |
8 |
y |
2 |
4 18x |
8 |
y |
, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
y x |
|
|
|
y |
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
2x9 y 2 2x9 , |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
y |
2 |
|
y |
y |
y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 z |
|
|
z |
|
|
2x9 y 2 18x8 y . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||||
x y |
|
x |
y |
|
x |
|
б) найдѐм частные производные первого порядка:
|
|
|
|
|
z |
|
2x ln y , |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
x2 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Найдѐм частные производные второго порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 z |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
2x ln y |
2ln y , |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
2x ln y |
2x |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
y x |
|
|
|
|
|
y |
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 z |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
2x |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||||||
|
|
x y |
|
|
|
|
|
y |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 z |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
y |
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Задание 3. Исследовать на экстремум функцию |
|
z 4x2 |
4xy 2y2 8x 2y 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вычислим частные производные первого порядка |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z 8x 4 y 8, |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
4x 4 y 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и приравняем их к нулю:
8x 4 y 8 04x 4 y 2 0.
18
Решая систему уравнений, находим стационарную точку |
x |
3 |
, |
y 1. Чтобы |
||||||
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
определить, действительно ли точка |
|
|
|
; 1 |
является точкой экстремума, найдѐм |
|||||
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
частные производные второго порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 z |
|
|
8x 4 y 8 8, |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 z |
|
|
|
|
4x 4 y 2 4 , |
|
|
|
|
||||||
|
|
y2 |
|
y |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 z |
|
|
|
|
4x 4 y 2 4 . |
|
|
|
|||||||
|
|
x y |
|
x |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 z |
2 z |
|
|
|
2 z 2 |
|
|
3 |
|
|
||||||
Так как величина |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
в точке |
|
|
|
; 1 |
положительна: |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
x y |
|
|
2 |
|
|
8 4 ( 4)2 16 ,
то эта точка является точкой экстремума.
|
|
2 z |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
точка |
||||
Так как |
x |
2 |
положительна в точке |
|
|
; 1 |
, то точка |
|
|
; 1 |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
минимума. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдѐм |
|
|
|
|
|
|
|
значение |
|
|
|
|
функции |
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
этой |
|||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 2 |
|
|
3 |
1 2 |
1 |
2 |
|
|
3 |
2 1 1 4 |
|||||||||
точке: zmin |
z |
|
|
; |
1 |
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ |
||||||||||||||
Задание |
1. Изобразить |
область определения |
D(z) функции двух переменных |
||||||||||||||||||||
z f (x; y) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
z |
|
x y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1.1. |
|
1.6. |
z ln |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.2. |
z ln(xy) . |
|
|
|
1.7. |
z |
4 x2 |
y2 |
9 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
z |
|
9 x2 y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1.3. |
|
1.8. |
sin y . |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
y2 |
25 . |
|||||||
1.4. |
z |
|
x 3y2 . |
1.9. |
|
x2 |
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.5. |
z |
|
|
. |
|
1.10. |
z 4 x |
|
|
y2 |
1 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x y |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 2. Найти частные производные функции двух переменных 2-го порядка.
2.1. а) |
z 5x3 y2 |
7xy |
y4 x5 ; |
б) z ln x2 y3 . |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
19 |
2.2. |
а) |
z 3x4 y2 |
2xy |
|
|
y3 x3 ; |
б) |
z arcsin 3x2 y4 . |
||||||||||||||
5 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.3. |
а) |
z 5x2 y y3 |
|
x |
|
xy4 ; |
б) |
z arctg |
|
x |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2.4. |
а) |
z 4xy3 |
|
x y5 |
2y x4 ; |
б) |
z sin 2x 3y . |
|
|
|||||||||||||
|
|
z 4x3 3x2 y y3 7 ; |
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||
2.5. |
а) |
б) |
z cos |
|
ey . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
||||
2.6. |
а) |
z 3xy5 2y4 x5 78 ; |
б) |
z e3x2 y3 . |
|
|
||||||||||||||||
2.7. |
а) |
z 3x3 y2 |
|
2xy |
|
|
y5 |
x4 ; |
б) |
z ln x3 |
y2 . |
|
|
|||||||||
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2.8. |
а) |
z 2x2 y4 |
5xy |
|
|
y2 |
x3 ; |
б) |
z arccos 4x3 y4 . |
|||||||||||||
3 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
z sin3 3x 2 y . |
||||||||||||||
2.9. |
а) |
z 3x3 y x5 |
|
|
y y6 x ; |
б) |
||||||||||||||||
|
|
z 4x2 2xy2 |
y3 8; |
|
z arcsin e2 x |
|
. |
|||||||||||||||
2.10. |
а) |
б) |
5y |
Задание 3. Исследовать на экстремум функцию z f (x; y) .
3.1.z y2 4x 4 4xy 5x2 2y .
3.2.z 6x 2xy 1 x2 y2 10y .
3.3.z 5xy 5 3x2 y 3y2 x .
3.4.z x y2 2 xy x2 y .
3.5.z 3xy 4y x2 y2 x 1.
3.6.z 9y 3xy 6x 3y2 x2 4 .
3.7.z 4x 3y2 5 7 y 3x2 5xy .
3.8.z 6x 2xy 5 x2 y2 10y .
3.9.z 10y 8 x2 xy x 2y2 .
3.10.z 4x 1 x2 3xy 4y2 6y .
5.НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
|
|
|
|
|
5.1 |
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 1. Вычислить интеграл |
x5 x |
|
x 2 |
dx . |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
Преобразуем подынтегральную функцию: |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 x x 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
x4 |
x 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x x 2 |
|
|
|
|
|
|
x4 x |
|
|
|
|
2 |
dx = |
|
|
4dx |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
dx = |
2 |
x |
x |
2 |
dx 2 |
== |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ln |
x |
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Пример 2. |
Вычислить интеграл |
|
|
x 3 5 x2 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Делаем замену |
|
5 x2 |
t , |
тогда |
|
|
2xdx dt |
|
и xdx |
1 |
dt . Следовательно, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 x2 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dt |
1 |
|
3 |
|
|
C = |
3 |
3 |
5 x2 4 C . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x 3 |
|
5 x2 dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx 2 dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 3. |
Вычислить интеграл |
|
|
|
arctg2 x |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Делаем замену |
|
arctgx t , |
тогда |
|
|
|
|
dx |
dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
arctg 2 x |
|
|
= t2dt |
t3 |
|
|
|
|
|
arctg3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 4. |
Вычислить интеграл |
|
|
xsin |
5x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспользуемся формулой интегрирования по частям:
udv uv vdu .
x sin(5x)dx |
|
u x |
dv sin(5x)dx |
|
|
1 |
x cos(5x) |
|||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
du dx |
v |
|
|
cos(5x) |
|
|
5 |
||||
|
|
|
5 |
|||||||||||||
|
1 |
cos(5x)dx |
1 |
x cos(5x) |
|
1 |
sin(5x) C . |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
5 |
5 |
25 |
|
|
|
|
||||||||||
Пример 5. |
Вычислить интеграл |
ln 2x dx . |
21
ln 2x dx = |
|
u ln(2x) |
|
|
dv dx |
|
xln(2x) x |
1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
v x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xln(2x) x C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Пример 6. |
Вычислить интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3x2 3x 10 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2x 1 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
5x 3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5x 3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3x2 3x 10 |
3 |
x2 x |
10 |
3 |
|
|
x2 x |
10 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 5 |
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
1 11 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
x2 x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
2 |
|
x2 x |
10 |
|
|
3 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
37 |
|
6 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
11 |
|
1 |
|
|
arctg |
|
2 |
|
|
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
37 |
|
37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
При решении мы воспользовались правилом |
|
( x) dx ln |
|
(x) |
|
C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7x 15
Пример 7. Вычислить интеграл x3 2x2 3xdx .
а) Знаменатель подынтегральной функции разложим на множители: x3 2x2 3x x x2 2x 3 x x 1 x 3 .
б) подынтегральную функцию представим в виде суммы простейших дробей:
7x 15 |
|
A |
|
B |
|
C |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x3 2x2 3x |
x |
|
x 3 |
x 1 |
|||||||
|
|
|
|
Тогда
7x 15 |
|
|
x 3 |
|
|
Bx |
|
|
Cx |
|
x 3 |
|
|
|
|
|
A |
|
|
x 1 |
|
x 1 |
|
|
, |
||||
x3 2x2 3x |
|
|
|
|
x x 3 x 1 |
|
|
|
|
Следовательно,
7x 15 A x 3 x 1 Bx x 1 Cx x 3 .
22