4718
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
||||
8 |
|
dx |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
||
|
|
2 x 1 |
2 9 2 4 6 4 2 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
x 1 |
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70 – 79. Построить фигуру, ограниченную заданными линиями, и вычислить еѐ площадь.
70. |
y |
x2 |
2x |
|
4, |
y |
x |
2. |
||
71. |
y |
x2 |
4x , |
y |
x |
4 . |
|
|||
72. |
y |
x2 |
2x |
3, |
y |
x |
1. |
|||
73. |
y |
6x |
x2 , |
y |
x . |
|
|
|||
74. |
y |
x2 |
3x |
1, |
y |
2x |
3. |
|||
75. |
y |
x2 |
2x , |
y |
|
1 |
x |
1. |
||
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
76. |
y |
x2 |
6x |
|
4, |
y |
2x 1. |
|||
77. |
y |
x2 |
6x , |
y |
|
x |
4 . |
|||
78. |
y |
x2 |
7x |
3, |
y |
x |
5. |
|||
79. |
y |
4x |
x2 , |
y |
2x |
8 . |
||||
7*. y x2 |
x 1, y x 2. |
Решение задачи 7*. Найдем абсциссы точек пересечения заданных линий. Для этого решим уравнение x2 x 1 x 2.
Получаем x1 1 и x2 3. Сделаем чертеж (см. рис. 7).
Рис. 7
22
|
Известно, что площадь фигуры, |
ограниченной линиями x |
a , x |
b (a b) , |
||||||||||||||||||||||||
y |
f1 (x) , |
y |
f2 (x) ( f1 (x) |
f2 (x) на отрезке [a,b]), вычисляется по формуле |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
( f2 (x) |
|
f1 (x)) dx . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
площадь заштрихованной |
фигуры, |
изображенной на |
рис. |
7, равна |
|||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S |
((x |
2) |
(x2 |
x |
1)) dx |
|
( |
|
x2 |
|
2x |
3) dx |
|
|
x2 |
3x |
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
( |
9 |
9 |
9) |
( |
1 |
|
1 |
3) |
|
9 |
( |
5 |
) |
32 |
10 |
2 |
(кв. ед.). |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
80 – 89. Найти точки экстремума функции z |
f (x, y) и вычислить значения |
|||||||||||||||||||||||||||
функции в этих точках. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
80. |
z |
x2 |
xy |
y2 |
3x |
6y |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
81. |
z |
2x2 |
xy |
|
y2 |
3x |
|
y |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
82. |
z |
2xy 3x2 |
y2 |
2x |
2y |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
83. |
z |
y2 |
4x2 |
2xy |
2x |
4y |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
84. |
z |
0,5x2 |
xy |
y2 |
x |
2y |
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
85. |
z |
8x2 |
xy |
|
2y2 |
16x |
y |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
86. |
z |
x2 |
xy |
y2 |
2x |
|
y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
87. |
z |
4xy 4x2 |
2y2 |
8x |
2y |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
88. |
z |
x2 |
y2 |
xy |
4x 5y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
89. |
z |
4 |
5x2 |
y2 |
4xy |
|
4x |
|
2y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8*. z |
2x2 |
xy 3y2 |
2x 11y 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Решение задачи 8*. Вычислим частные производные первого порядка |
|||||||||||||||||||||||||||
zx |
4x |
y |
2 , |
zy |
|
x |
6 y |
11 и приравняем их к нулю |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
y |
2 |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 6 y 11 0.
Решая полученную систему уравнений, находим x 1, y 2. Чтобы определить, действительно ли точка M ( 1; 2) является точкой экстремума, найдем частные производные второго порядка
|
|
zxx |
4, zxy |
1, zyy |
6 . |
|
|
|
Так |
как |
величина |
|
zxx (M ) zyy (M ) zxy (M ) 2 |
4 6 ( |
1)2 23 |
||
положительна в точке M ( 1; 2) , то эта точка является точкой экстремума. |
|
|||||||
Так как zxx (M ) |
4 положительна в точке |
M ( 1; 2) , |
то эта точка является |
|||||
точкой |
минимума. |
Найдем |
значение |
функции |
в |
этой |
точке |
|
zmin ( 1; 2) |
2 12 1 2 |
3 22 2 1 |
11 2 |
1 11. |
|
|
|
|
23
90 – 99. а) Пользуясь одним из признаков сходимости числовых рядов с положительными членами, установить, сходится или расходится данный ряд; б) установить, сходится или расходится знакочередующийся ряд, если
сходится, то выяснить, как он сходится: абсолютно или условно; в) найти область сходимости степенного ряда.
90. а) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 3 |
|
|
3 3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(n |
1) 3 |
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) |
1 1 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
( 1)n 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
19 |
|
|
|
n2 |
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
в) |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
91. а) |
|
|
2 |
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
б) |
1 1 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
( 1)n 1 |
1 |
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
2n |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
в) x |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
3 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
92. а) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 5 |
|
|
|
6 52 |
|
|
9 53 |
|
|
|
|
|
3n |
|
|
5n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
( 1)n 1 |
1 |
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 7 |
|||||||||||||||||||||
в) |
x x2 |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
93. а) |
|
3 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n |
1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
б) |
1 1 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
( 1)n 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
n2 n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
в) |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 2 |
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
94. а) |
|
|
2 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
1 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
б) 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
( |
1)n |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
в) |
2x |
|
|
|
x2 |
8 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
xn |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
95. а) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 5 |
|
|
|
4 52 |
|
|
5 53 |
|
|
|
|
|
|
(n |
|
|
|
|
2) 5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
б) |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
( 1)n 1 |
1 |
|
, |
|||||||
2 |
9 |
|
|
|
28 |
|
|
|
|
65 |
n3 |
1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
x3 |
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|||||||||
в) x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
3 2 |
|
|
3 |
n |
|
|
96.а)
б)
в)
97.а)
б)
в)
98.а)
б)
в)
99.а)
б)
в)
9*. а)
б)
в)
8 |
|
|
|
|
|
|
|
82 |
|
|
|
|
83 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8n |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
1)n 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
3n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3 1 |
|
|
|
|
3 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
2 |
|
|
|
|
3 |
n |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
3 |
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
1)n 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
3 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
( 1)n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
7 17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
2n2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3x |
|
|
32 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
33 x3 |
|
|
|
|
|
|
3n xn |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
52 |
|
|
|
|
2 53 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 54 |
|
|
|
|
|
|
n 5n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
1)n |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x |
|
|
22 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
2n xn |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
( |
1)n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
68 |
|
|
|
|
|
|
n (n2 1) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4x |
|
|
|
42 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
4n xn |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение задачи 9* а) Применим к данному ряду с положительными членами признак
Даламбера: если все члены числового ряда u1 u2 u3 un положительны
25
и существует предел lim |
|
un 1 |
|
|
, |
|
|
то при |
|
1 ряд |
сходится, при 1 ряд |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
un |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Выпишем n -й и (n 1) -й члены ряда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
un |
|
|
|
n2 |
|
, |
|
un 1 |
|
|
(n |
1)2 |
|
|
|
(n 1) |
2 |
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
2(n 1) 1 |
|
|
|
2n 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
n 1 |
|
|
|
|
(n 1)2 n2 |
|
|
|
|
(n 1)2 2n 1 |
|
|
(n 1)2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
n |
|
|
|
2n 2 |
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
2n 2 |
|
|
|
n2 |
|
|
2 n2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислим предел lim |
|
u |
n 1 |
|
lim |
(n |
|
1)2 |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
un |
|
|
|
|
|
2 n |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Так как |
1 |
|
1, то данный ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
б) Воспользуемся признаком Лейбница сходимости знакочередующегося |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ряда u |
u |
2 |
u |
u |
4 |
|
( |
|
1)n 1 |
u |
n |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если u1 |
u2 |
u3 |
un |
|
|
|
un 1 |
|
и lim un |
0 , то ряд сходится. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для данного в задаче ряда условия признака Лейбница выполнены:
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
10 |
|
30 |
|
68 |
n (n2 1) |
(n |
1) |
((n 1)2 |
1) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
и lim un |
|
lim |
1 |
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n (n |
2 |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Следовательно, знакочередующийся ряд сходится. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Теперь установим вид сходимости (абсолютная или условная) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
знакочередующегося ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Знакочередующийся ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ряд, составленный |
|
из |
абсолютных |
величин |
его |
членов, т.е. ряд вида |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u1 |
|
u2 |
u3 un |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
Сходящийся знакочередующийся ряд называется условно сходящимся, если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
По исследуемому знакочередующемуся ряду |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
( 1)n 1 |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
10 |
|
30 |
68 |
|
n (n2 |
1) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
составим ряд из абсолютных величин его членов |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
10 |
|
30 |
|
|
|
68 |
|
n (n2 |
1) |
|
|
Получим числовой ряд с положительными членами, к которому применим признак сравнения:
если есть два числовых ряда с положительными членами
u1 |
u2 |
u3 un |
, |
v1 |
v2 |
v3 vn |
|
26
и существует конечный и отличный от нуля предел lim |
un |
k (0 k |
), то оба |
|
vn |
||||
n |
|
|
||
|
|
|
ряда ведут себя одинаково (оба сходятся или оба расходятся).
При использовании признака сравнения исследуемый ряд часто сравнивают
с рядом |
1 |
|
(обобщенный гармонический ряд), который сходится при |
1 и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n 1 n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
расходится при |
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Первым рядом является ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
10 |
30 |
|
|
68 |
|
n (n2 |
1) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
а в качестве второго ряда выберем ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
27 |
64 |
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
который является обобщенным гармоническим рядом с |
|
|
|
3 1 (это сходящийся |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ряд). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как un |
|
|
|
1 |
|
|
|
, |
vn |
1 |
|
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n (n2 |
1) |
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
u |
n |
|
lim |
|
|
|
n3 |
|
|
|
lim |
|
|
n2 |
|
|
|
lim |
|
|
1 |
|
|
1 . |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
vn |
n (n |
2 |
1) |
|
n |
2 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Получили, что k |
|
1(0 k |
|
|
|
|
). Тогда по признаку сравнения оба ряда ведут себя |
одинаково. Отсюда следует, что ряд, составленный из абсолютных величин, сходится.
Итак, исходный знакочередующийся ряд по признаку Лейбница сходится, как и ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Следовательно,
исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
в) |
Степенной ряд |
a |
|
a x |
|
|
a |
x2 |
a |
|
|
|
|
xn |
|
абсолютно сходится |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
при |
|
x |
|
R , где R |
|
lim |
|
|
an |
|
|
, и расходится при |
|
x |
|
R , |
если последний предел |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
an 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
существует и является положительным числом |
|
(в этом случае R называют |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
радиусом сходимости степенного ряда, а интервал ( R; R) – интервалом |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сходимости этого ряда). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
По условию задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
4n |
a |
|
|
|
4n 1 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
n |
n 1 |
|
|
3 |
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
R lim |
a |
n |
|
|
|
lim |
4n 3 n 1 |
lim |
1 n 1 1 |
lim 3 1 |
1 1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 n 4n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
an 1 |
|
|
n |
n |
4 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
4 n |
n 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Следовательно, данный степенной ряд абсолютно сходится при |
|
x |
|
|
1 |
(то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
; |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
есть при |
x |
|
; |
) |
|
и расходится при |
x |
|
|
а интервал |
|
является |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
интервалом сходимости этого ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
При x |
|
1 |
|
|
получаем знакочередующийся ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
( |
|
1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
3 |
|
3 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Для этого ряда проверим выполнение двух условий признака Лейбница. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Сравним |
u |
n |
|
и |
u |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
. |
Так как 3 |
|
n 3 n |
1 при всех n |
|
N , то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 n |
|
3 |
|
|
n |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
1 |
|
|
. Следовательно, |
первое условие признака Лейбница выполнено, т.е. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 n |
|
|
3 n |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Так |
как |
|
|
|
|
lim un |
|
lim |
|
|
1 |
|
|
|
0 , |
|
|
то |
второе |
условие |
|
признака |
Лейбница |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выполнено, т.е. общий член знакочередующегося ряда по абсолютной величине стремится к нулю.
По признаку Лейбница знакочередующийся ряд сходится.
При |
x |
1 |
данный степенной |
ряд |
превращается в |
числовой ряд |
с |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
положительными членами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
3 2 |
|
|
3 3 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||
который |
является обобщенным |
гармоническим рядом |
с |
1 |
1 |
и, |
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
следовательно, расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким |
образом, промежуток |
|
|
|
|
1 |
; |
1 |
|
|
является областью |
сходимости |
||||||||||||||
|
|
|
4 |
4 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
исходного степенного ряда.
28
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
|
|
|
|
|
Контрольная работа |
|
|
|
|
|
||||
100 – 109. Найти матрицу D |
k M |
N F , если известны матрицы M , N , F |
||||||||||||
и число k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
4 |
|
1 |
1 |
2 |
|
1 |
0 |
1 |
|
|
100. |
M |
2 |
2 |
3 , |
N |
0 |
1 |
2 , |
F |
2 |
1 |
2 , |
k |
2 . |
|
|
1 |
1 |
2 |
|
5 |
3 |
1 |
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
7 |
1 |
3 |
|
4 |
1 |
2 |
|
1 |
0 |
3 |
|
|
101. |
M |
5 |
1 |
2 , |
N |
2 |
0 |
2 , |
F |
1 |
2 |
4 , |
k |
2 . |
|
|
0 |
1 |
4 |
|
3 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
1 |
3 |
0 |
|
3 |
1 |
0 |
|
|
102. |
M |
3 |
1 |
2 , |
N |
2 |
2 |
4 , |
F |
2 |
1 |
3 , |
k |
3 . |
|
|
3 |
3 |
2 |
|
3 |
1 |
1 |
|
5 |
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
0 |
2 |
|
4 |
0 |
2 |
|
1 |
1 |
2 |
|
|
103. |
M |
3 |
1 |
2 , |
N |
1 |
1 |
3 , |
F |
0 |
1 |
2 , |
k |
3. |
|
|
5 |
4 |
1 |
|
5 |
1 |
2 |
|
5 |
5 |
0 |
|
|
|
|
1 |
5 |
4 |
|
5 |
1 |
2 |
|
1 |
0 |
4 |
|
|
104. |
M |
2 |
2 |
4 , |
N |
0 |
3 |
1 , |
F |
2 |
2 |
3 , |
k |
4 . |
|
|
1 |
1 |
2 |
|
2 |
3 |
1 |
|
3 |
7 |
2 |
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
3 |
1 |
4 |
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
105. |
M 3 |
5 |
2 , |
N |
3 |
2 |
0 , |
F |
4 |
0 |
2 , |
k |
4 . |
|
|
5 |
3 |
1 |
|
1 |
1 |
2 |
|
2 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
4 |
|
3 |
1 |
2 |
|
3 |
5 |
4 |
|
|
106. |
M |
2 |
3 |
1 , |
N |
0 |
6 |
2 , |
F |
2 |
0 |
3 , |
k |
5 . |
|
|
1 |
1 |
5 |
|
2 |
3 |
0 |
|
1 |
1 |
4 |
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
2 |
|
1 |
1 |
3 |
|
|
107. |
M |
0 |
1 |
2 , |
N |
1 |
2 |
3 , |
F |
5 |
0 |
2 , |
k |
5. |
|
|
1 |
3 |
3 |
|
1 |
1 |
2 |
|
5 |
3 |
1 |
|
|
|
|
3 |
3 |
4 |
|
1 |
1 |
1 |
|
4 |
0 |
1 |
|
|
108. |
M |
2 |
4 |
3 , |
N |
0 |
1 |
2 , |
F |
2 |
3 |
3 , |
k |
1. |
|
|
1 |
3 |
0 |
|
5 |
3 |
4 |
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
2 |
0 |
4 |
|
2 |
1 |
2 |
|
|
109. |
M |
0 |
2 |
1 , |
N |
3 |
1 |
3 , |
F |
1 |
0 |
4 , |
k |
6 . |
|
|
5 |
3 |
1 |
|
4 |
1 |
5 |
|
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
4 |
1 |
0 |
2 |
3 |
0 |
3 |
|
10*. M |
1 |
2 |
2 , N |
2 |
1 |
7 , F |
1 |
2 |
3 |
, k 3. |
|
1 |
1 |
2 |
5 |
3 |
1 |
1 |
2 |
1 |
|
Решение задачи 10*. Для нахождения матрицы D |
|
3 M |
N F вычислим |
|||||||
отдельно матрицы |
3 M и N F , а затем найдем их сумму. |
|
|
Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.
|
0 |
3 |
4 |
3 0 |
3 3 |
3 ( 4) |
0 |
9 |
12 |
3 M 3 |
1 |
2 |
2 |
3 ( 1) |
3 2 |
3 2 |
3 |
6 |
6 . |
|
1 |
1 |
2 |
3 1 |
3 1 |
3 2 |
3 |
3 |
6 |
|
Произведением матрицы |
A размерности m |
p и матрицы B размерности |
|||||||
p n |
называется матрица |
C |
размерности m n, |
каждый элемент которой cij |
||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
определяется |
формулой: |
|
cij |
|
aikbkj , i |
1,...,m, |
j |
1,...,n. Таким образом, |
||
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
элемент cij |
представляет |
собой |
сумму |
произведений |
элементов i –й строки |
|||||
матрицы A на соответствующие элементы |
j –го столбца матрицы B . |
|||||||||
|
1 |
0 |
2 |
3 |
|
0 |
3 |
|
|
|
N F |
2 |
1 |
7 |
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
5 |
3 |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
1 3 0 1 2 1 |
|
1 0 0 ( 2) 2 2 |
1 3 0 3 2 ( 1) |
||||||||||||
2 3 ( 1) 1 7 1 |
2 0 ( 1) ( 2) 7 2 2 3 ( 1) 3 7 ( 1) |
||||||||||||||
|
5 3 3 1 1 1 |
|
5 0 3 ( 2) 1 2 |
5 3 3 3 1 ( 1) |
|||||||||||
3 |
0 |
2 |
|
0 |
0 |
4 |
3 |
0 |
|
2 |
|
5 |
4 |
1 |
|
6 |
1 |
7 |
|
0 |
2 |
14 |
6 |
3 |
|
7 |
|
12 |
16 |
4 . |
|
15 |
|
3 |
1 |
0 |
6 |
2 |
15 |
9 |
1 |
|
11 |
4 |
7 |
|
|
Суммой матриц A и B одинаковой размерности m |
n называется матрица |
||||||||||||||
C той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц |
|||||||||||||||
A и B , стоящих на тех же местах: cij |
aij |
bij , i |
1,...,m, j |
1,...,n. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
9 |
12 |
|
|
5 |
4 |
|
1 |
|
D 3 M N F |
|
3 |
6 |
6 |
|
|
12 |
16 |
|
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
6 |
|
|
11 |
4 |
|
7 |
|
0 |
|
5 |
|
|
9 |
4 |
12 |
1 |
|
5 |
5 |
13 |
|
||
3 |
12 |
|
6 |
16 |
6 |
( |
|
4) |
|
15 |
10 |
10 . |
|
||
3 |
( |
11) |
3 |
( |
4) |
6 |
( |
|
7) |
|
14 |
7 |
13 |
|
30
110 – 119. Вычислить определители: а) второго порядка;
б) третьего порядка (двумя способами: по правилу Саррюса и разложением по элементам строки или столбца).
110. а)
1
4
111. а)
2
1
112. а)
5
3
113. а)
5
7
114. а)
2
6
115. а)
2
4
116. а)
5
2
117. а)
8
4
118. а)
6
3
119. а)
5
2
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
, |
б) |
3 |
4 |
2 |
. |
|||||
7 |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
|
|
4 |
2 |
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|||||||||||||
, |
б) |
|
3 |
1 |
5 |
. |
||||||||
4 |
|
|
|
|
2 |
3 |
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
, |
б) |
3 |
4 |
2 |
. |
|||||||
3 |
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
, |
б) |
4 |
3 |
2 |
. |
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
3 |
2 |
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
, |
б) |
1 |
2 |
3 |
. |
||||||||
1 |
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
, |
б) |
2 |
1 |
3 |
. |
|||||||
3 |
|
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8 |
|
|
|
|
2 |
2 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
, |
б) |
1 |
1 |
2 |
. |
|||||||
3 |
|
|
|
3 |
2 |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
|
|
3 |
2 |
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
, |
б) |
|
3 |
2 |
2 |
. |
||||||||
2 |
|
|
|
|
1 |
3 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
, |
б) |
|
3 |
1 |
2 |
. |
|||||||
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6 |
|
|
|
|
3 |
2 |
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
, |
б) |
1 |
3 |
2 |
. |
|||||||
3 |
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|