4743
.pdf3
Теория рядов начала создаваться в 17 век, а точное обоснование носила в 19 веке. Эта теория дает возможность изучать функции достаточно широкого класса путем их представления в виде сумм определенного ряда элементарных функций. Разложение функций в ряды применяется в различных разделах математики: при приближенном вычислении значений функции, интегралов (в том чисел неберущихся), при решении дифференциальных уравнений и в других задачах. Замена исследуемой функции соответствующим рядом влечет необходимость исследования поведения этого ряда.
Поскольку имеется большое количество различных признаков, позволяющих исследовать поведение ряда, то возникает необходимость в классификации некоторых из этих признаков. Настоящая разработка поможет пользоваться ими на основании наглядных схем.
Числовой ряд, основные понятия.
Пусть каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число un. Элементом un будем называть пару, состоящую из числа n R.
Числовой последовательностью, или просто последовательностью, называется совокупность элементов un, n N. Элемент un называется n-м членом этой последовательности, а число n - его номером.
Очевидно, что последовательность является частным случаем функции. Именно, последовательность является функцией, определенной на множестве N и принимающей значения в множестве R.
Например, 1, 3, 5, 7,… - последовательность всех нечетных натуральных чисел, un = 2n – 1, n N.
Конечное число a называется пределом последовательности un, если для любого ε > 0 существует такой номер nε , что при всех n > nε , выполняется неравенство un − a <ε.
При этом пишут lim un = a, или un → a, при n→ ∞, и говорят, что un |
||||
|
n→∞ |
|
|
|
стремится к a, когда n стремится к бесконечности. |
|
|
||
Последовательность, у которой существует конечный предел, называется |
||||
сходящейся. |
|
(−1)n−1 |
|
|
Например, пределом последовательности un = |
является число |
|||
n |
||||
|
= 1 (почему?). |
|
||
a=0, поскольку n |
|
|
||
ε |
ε |
|
|
Не всякая последовательность имеет предел.
Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Например, un = n; un =(−1)n−1. Первая из последовательностей сходится к
+ ∞, а вторая не имеет предела.
4
Чтобы сформулировать достаточное условие сходимости последовательности, введем понятия монотонной, а также ограниченной последовательности.
Последовательность un называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M(m), что un ≤ M (un ≥ m) при всех n N.
Справедлива Теорема 1. Ограниченная сверху (снизу) неубывающая (невозрастающая)
последовательность un сходится.
Числовым рядом называется выражение вида
u1 + u2 +... + un +... . |
(1) |
Ряд |
(1) сокращенно записывается в форме |
|
|
∞ |
|
|
∑un. |
(1') |
|
n=1 |
|
|
Числа u1,u2 , ... , un , ... называются членами ряда, n-й член ряда
называется также общим членом ряда.
n-й частичной суммой ряда (1) называется число Sn, равное сумме первых его n членов
Sn = u1 + u2 +... + un .
Тем самым ряду (1) ставится в соответствие последовательность Sn такая,
что
S1 =u1, S2 = u1 + u2 , S3 = u1 + u2 + u3 , ... , Sn = u1 + u2 +... + un , ... .
Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность Sn имеет (конечный) предел S. В этом случае S называют суммой ряда и пишут, что
∞
∑un = S.
n=1
Ряд (1) называется расходящимся, если lim Sn не существует.
n→∞
Необходимый признак сходимости ряда.
Если ряд (1) сходится, то lim un =0.
n→∞
Равносильным утверждением является Достаточный признак расходимости ряда.
Если lim un ≠ 0, |
то ряд (1) расходится. |
n→∞ |
|
Алгоритм применения необходимого признака сходимости ряда
5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследуемый ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑un |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
записываем un |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вычисляем предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вычисляем предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim un = a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
a = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ≠ 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравниваем «a» и «0» |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Необходимый признак не дает |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд (1) расходится |
|||||||||||||
|
ответа на вопрос о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
сходимости или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
расходимости ряда (1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Рекомендация: ряд (1) нужно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
исследовать дополнительно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Пример: |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1000n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Здесь un |
= |
|
|
|
. Вычислим |
lim un : |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1000n +1 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|||||||||||
|
|
lim u |
|
= |
lim u |
|
|
|
|
n |
|
= lim |
|
1 |
|
|
= |
|
1 |
|
≠ 0. |
||||||
n |
n 1000n +1 |
|
|
|
1 |
1000 |
|||||||||||||||||||||
|
|
n→∞ |
|
n→∞ |
|
n→∞ |
1000 |
+ |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: ряд расходится.
Ряды с положительными членами.
Рассмотрим ряд, у которого все члены положительны
|
6 |
∞ |
|
∑un , un > 0. |
(2) |
n =1
Последовательность Sn частичных сумм этого ряда является возрастающей, так как при всех n = 2, 3, …
Sn = Sn−1 + un,
причем un > 0. Тогда либо последовательность Sn является неограниченной и,
значит, lim Sn = +∞, |
либо она ограничена сверху и, значит, согласно теореме |
n→∞ |
|
1 имеет конечный предел.
Отсюда и из определений сходимости и расходимости ряда вытекает следующее утверждение:
∞ |
∞ |
Теорема 2. Если все члены ряда ∑un положительны, то либо |
∑un = +∞ |
n=1 |
n=1 |
и ряд расходится, либо последовательность Sn частичных сумм ограничена и ряд сходится.
Замечание. Теорема 2 справедлива и для рядов с неотрицательными членами.
Достаточные признаки сходимости и расходимости ряда с положительными членами.
Даже при условии, что для ряда (2) выполнен необходимый признак сходимости, нельзя решить вопрос о его сходимости или расходимости без дополнительного исследования.
∞ |
1 |
|
|
Пример: ∑ |
|
, 0 |
<α < +∞. |
|
|||
n=1nα |
|
|
Этот ряд называется рядом Дирихле или обобщенным гармоническим рядом. Известно, что при α ≤1 он расходится, а при α >1 − сходится. В то же время при всех при α > 0 имеем
lim un = lim |
1 |
|
=0. |
|
|
||||
n→∞ n→∞ nα |
|
|||
Следовательно, |
необходимый признак сходимости этого ряда выполнен |
|||
как при 0 <α ≤1, так |
и при α >1, |
однако в первом случае ряд расходится, а во |
втором – сходится.
Вывод: необходимый признак сходимости ряда не является достаточным признаком сходимости этого ряда.
Таким образом, для исследования сходимости или расходимости ряда (2) наряду с упомянутым необходимым признаком сходимости (или, что то же, достаточным признаком расходимости) нам требуются и другие, достаточные признаки сходимости или расходимости этого ряда. Из множества таких признаков мы изучим три признака сравнения, признаки Даламбера и Коши, а также интегральный признак Коши.
|
|
|
|
7 |
|
|
|
Признаки сравнения. |
|
|
|
||||
Рассмотрим два ряда |
|
|
|
||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∑un , |
un > 0, |
n ≥ n0, |
|
|
(3) |
||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∑υn , |
υn > 0, |
n ≥ n0, |
|
|
(4) |
||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
где n0 – некоторое фиксированное число из N. |
|
|
|||||
1. Если |
un ≤υn |
при всех n ≥ n0 , то |
из |
сходимости |
ряда (4) следует |
||
сходимость ряда (3). |
|
|
|
|
|||
Замечание. При тех же предложениях из расходимости ряда (4), вообще |
|||||||
говоря, не следует расходимость ряда (3). |
|
|
|
||||
2. Если |
un ≥υn |
при всех n ≥ n0 , то из расходимости ряда (4) следует |
|||||
расходимость ряда (3). |
|
|
|
||||
Замечание. При тех же предположениях из сходимости ряда (4), вообще |
|||||||
говоря, не следует сходимость ряда (3). |
|
|
|
||||
3. Если |
lim |
un |
= A, где 0< A < + |
∞, |
то ряды (3), |
(4) сходятся или |
|
|
|||||||
|
|
n→∞υn |
|
|
|
|
расходятся одновременно.
Как применять признаки сравнения.
По исследуемому ряду (3) нужно выбрать самим ряд (4) с известным поведением (ряд (4) называется эталонным). В качестве эталонного ряда чаще всего используют один из двух рядов:
а) ряд Дирихле (обобщенный гармонический ряд); б) ряд геометрической прогрессии
∞
∑aqn −1, a ≠ 0,
n =1
который сходится при q <1 и расходится при q ≥1. Алгоритм применения 1-го признака сравнения
∞ |
|
|
|
Исследуемый ряд ∑un |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Выполнен ли |
|
нет |
исследуемый ряд |
необходимый признак |
|
|
расходимости |
сходимости |
|
|
|
да |
|
|
8
Выполнено ли неравенство |
нет |
см. исследование |
un > 0 при всех n ≥ n0 , |
сходимости |
|
n0 N |
|
знакопеременных рядов |
|
|
да
∞
Выбор эталонного ряда ∑υn , υn > 0, n ≥ n0 (4)
n =1
осуществляется согласно двум критериям: а) известно поведение ряда (4);
б) справедливо неравенство un ≤ υn ,n ≥ n0
эталонный ряд (4) сходится
исследуемый ряд (3) сходится
Пример: ∑∞ 1
n =1n2 + 7
эталонный ряд (4)
признак не дает ответа о сходимости или расходимости исследуемого ряда
рекомендация: нужно выбрать либо другой эталонный ряд, либо применить другой признак
Решение: |
1 |
1 |
, тогда un ≤ υn , n N. |
||
Здесь un = |
|
. Возьмем υn = |
|
||
n2 + 7 |
n2 |
||||
∞ |
|
|
|
|
|
Ряд ∑υn |
является рядом Дирихле при α = 2 >1, а значит, сходится. Из 1- |
n =1
го признака сравнения следует, что исследуемый ряд также сходится. Ответ: ряд сходится.
Алгоритм применения 2-го признака сравнения
|
9 |
|
∞ |
|
|
Исследуемый ряд ∑u n |
|
|
n=1 |
|
|
Выполнен ли необходимый |
нет |
исследуемый ряд расходится |
признак сходимости |
|
|
да |
|
|
Выполнено ли неравенство |
|
|
un > 0 при всех n ≥ n0 , n0 N |
|
|
да |
|
|
∞ |
|
|
Выбор эталонного ряда ∑υn ,υn >0, n ≥ n0 |
(4) |
n=1
осуществляется согласно двум критериям: а) известно поведение ряда (4);
б) справедливо неравенство un ≥υn , n ≥ n0
эталонный ряд (4) расходится |
эталонный ряд (4) сходится |
исследуемый ряд (3) расходится |
признак не дает ответа на вопрос о |
|
сходимости или расходимости |
|
исследуемого ряда. |
Рекомендация: нужно выбрать либо другой эталонный ряд, либо применить другой признак
|
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример: |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n =1n − ln n |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
Решение: |
Здесь un = |
|
. Возьмем |
υn = |
, тогда un ≥ υn , |
||||||||||||
n − ln n |
n |
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
∞ 1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
поскольку |
|
|
|
≥ |
|
, n N. |
Ряд |
∑ |
υn = ∑ |
|
называется гармоническим |
||||||
|
n −ln n |
|
|
n |
|
|
|
|
n=1 |
n=1 n |
|
|
|
рядом, он является рядом Дирихле с α =1, а значит, расходится. Вследствие 2-го признака сравнения исследуемый ряд также расходится.
10
Ответ: ряд расходится.
Алгоритм применения 3-го признака сравнения.
∞
исследуемый ряд ∑u n
n=1
выполнен ли необходимый |
|
|
|
|
нет |
исследуемый ряд |
|||||||||||||
признак сходимости |
|
|
|
|
|
|
расходится |
|
|||||||||||
|
|
да |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выполнено ли неравенство |
|
|
|
|
нет |
см. исследование сходимости |
|||||||||||||
u n > 0 при всех n ≥ n0 , n0 N |
|
|
|
знакопеременных рядов |
|||||||||||||||
|
|
да |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выбор эталонного ряда ∑υn , υn > 0, n ≥ n0 |
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
осуществляется согласно двум критериям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
а) известно поведение ряда (4); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) существует предел lim |
un |
|
= A > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
υn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
n →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
эталонный ряд (4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
эталонный ряд (4) |
|
|||||||||
сходится |
|
|
|
|
|
|
|
|
расходится |
|
|
|
|||||||
ряд (3) сходится |
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд (3) расходится |
|
|||||||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример: ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 + 5n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n =1 4n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение: Здесь un = |
|
|
|
|
|
. Возьмем υ |
|
= |
1 |
|
|
= |
1 |
, |
|||||
4n3 |
|
|
n |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
+5n +2 |
|
|
|
|
|
n3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
u |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
n3 |
||||
A = lim |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
4n3 |
|
|
|
|
|
|
4n |
3 5n |
+ 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
n→∞ υn |
n→∞ |
+ 5n + 2 |
n→∞ |
|
|
|
n→∞ n3 |
+ 5n + 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = |
1 |
> 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
4 |
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∞ |
n2 |
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ряд ∑υn |
|
является рядом Дирихле при α = |
>1, |
а значит, сходится. Из 3- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
го признака сравнения следует, что данный ряд также сходится. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример: ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=1 n2 +3n +5 |
n + 2 |
|
|
|
. Возьмем υn = 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Решение: Здесь un |
= |
|
|
|
|
|
, |
тогда |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + 3n + 5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
un |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + 2)n |
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A = lim |
|
= lim |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
n |
=1 |
> 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n→∞ |
υn n→∞ n2 + 3n + |
5 |
|
n→∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
n |
+ |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞
Ряд ∑υn является гармоническим и расходится. Из 3-го признака сравнения
n=1
следует, что данный ряд также расходится. Ответ: ряд расходится.
Признак Даламбера.
∞ |
|
un+1 |
|
|
Если для ряда ∑un , |
un >0 существует предел lim |
= l, то при |
||
|
||||
n=1 |
n→∞ un |
l < 1 данный ряд сходится, а при l >1 – расходится.
Замечание. Если l =1, то признак Даламбера не дает ответа о сходимости или расходимости данного ряда.
Алгоритм применения признака Даламбера
∞
Исследуемый ряд ∑un
n=1
выполнен ли необходимый |
нет |
исследуемый ряд расходится |
признак сходимости |
|
|
да |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
выполнено ли неравенство |
нет см. исследование сходимости |
||||
u n > 0 при всех n ≥ n0 , n0 N |
знакопеременных рядов |
||||
да |
|
|
|
|
|
записываем un ,u n+1 |
|
|
|
|
|
вычисляем l = lim |
un +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
n→∞ |
un |
|
|
||
l < 1 |
|
сравниваем l c 1 |
l > 1 |
||
|
|
|
|
l = 1 |
|
ряд (3) сходится |
признак не дает ответа |
ряд (3) расходится |
|||
|
|
на вопрос о сходимости |
|
||
|
|
или расходимости ряда |
|
Рекомендация: нужно применить другие признаки (например, какой-либо из признаков сравнения)
|
|
|
|
|
∞ |
|
9 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Пример: ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(n + 2)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Решение: Здесь |
un = |
|
9n |
|
|
, тогда |
un+1 = |
|
9n+1 |
|
, откуда |
|
||||||||||||||
|
|
|
(n + |
2)! |
(n + 3)! |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
u |
n+1 |
= |
9n+1 |
(n + |
2)! |
= |
9 |
|
. Вычислим l: |
l = lim |
u |
n+1 |
= lim |
|
9 |
|
= 0. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
un |
|
(n |
+ 3)! 9n |
|
|
|
|
|
n +3 |
|
|
|
|
n→∞ |
un |
|
|
n→∞ n + 3 |
|
|||||||||
Согласно признаку Даламбера ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
Ответ: ряд сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
ПРИЗНАК КОШИ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= l, то при l < 1 |
||||||
|
|
|
Если для ряда ∑un , un >0 существует предел lim n u n |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
данный ряд сходится, а при l >1 – расходится.
Замечание: Если l = 1, то признак Коши не дает ответа о сходимости или расходимости данного ряда.
Алгоритм применения признака Коши.