4799
.pdf21
Вариант 8.
0 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e3x dx ; |
3. sin2 x cos x dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
|
|
; 2. |
( x |
2) |
4. |
|
|
|
|
|
e 3 |
dx . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
6x |
5 |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Вариант 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
5 x5 dx ; 3. |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
dx |
|
||||||||||
1. |
|
|
|
dx ; |
2. x4 |
|
e4 |
(9x |
5) cos 2x dx ; |
4. |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
cos2 |
3x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Вариант 10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
x e x dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
1. |
4 |
|
|
5x dx ; |
2. |
3. |
4. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin3 x |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
x2 |
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 3 x4 dx ; |
|
x2exdx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1. |
|
5x 4dx ; |
2. |
3. |
4. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 12.
4
1.
3
|
dx |
|
e |
|
1 |
|
1 |
4 |
|
|
; 2. |
ln6 x |
dx ; |
3. x arctgxdx ; 4. |
sin 2x . |
||
|
|
|
|
|||||
3x |
7 |
1 |
|
x |
0 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
Вариант 13.
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 e4 x dx . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
dx ; |
|
|
4 x cos(2x)dx ; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1. |
|
|
|
2x |
1dx ; |
2. |
3. |
|
4. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Вариант 14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
3 |
sin x |
|
|
1 |
3 |
|
2 |
|
dx |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
3. |
|
x e3x dx ; |
|
4. |
|
|
|
|
. |
|
|
|
2x |
1 3 |
|
cos3 |
x |
|
|
4 x2 |
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
Вариант 15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
2. |
|
ec o xs |
sin xdx ; |
3. |
x c o s |
|
d x; 4. |
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|||||||||
8 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
sin2 |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22
Задача № 3. Построить фигуру, ограниченную заданными линиями, и вычислить её площадь.
Вариант 1. а) y x2 x 1; y x 2.
|
б) |
y |
ctgx, |
|
x |
|
|
, |
y |
0; |
|
|
|
|||||||
|
6 |
|
|
|
||||||||||||||||
Вариант 2. |
а) |
y |
|
|
x2 |
6x |
4; |
|
y |
|
2x |
|
1. |
|
|
|||||
|
б) y ln x, x e, y 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Вариант 3. |
а) |
y |
|
|
x2 |
3x |
1; |
|
y |
2x |
|
3. |
|
|
||||||
|
б) |
y |
|
|
5 |
, |
y |
|
|
6 |
|
x . |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вариант 4. |
а) |
y |
|
|
x2 |
4x |
9; |
|
y |
|
x |
3. |
|
|
||||||
|
б) y |
|
|
3x 4 |
|
, x 3, x 5, y 0. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант 5. |
а) |
y |
|
|
x2 |
4x |
5; |
|
y |
|
3x |
|
1. |
|
|
|||||
|
б) y x3, y 2x, y x (x 0, y 0). |
|
|
|||||||||||||||||
Вариант 6. |
а) |
y |
|
|
x2 |
2x |
9; |
|
y |
|
4x |
|
1. |
|
|
|||||
|
б) y ex , |
y e x , |
x 2. |
|
|
|
||||||||||||||
Вариант 7. |
а) |
y |
|
|
x2 |
7x |
3; |
|
y |
|
x |
5. |
|
|
||||||
|
б) |
y |
|
|
|
x2 , |
xy |
1, |
|
y |
4. |
|
|
|
|
|||||
Вариант 8. |
а) |
y |
|
|
x2 |
5x |
17; |
|
y |
2x |
5. |
|
|
|||||||
|
б) |
y |
|
|
sin x, |
|
|
y cos x, |
y |
0, 0 x |
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||
Вариант 9. |
а) |
y |
|
|
x2 |
11x |
9; |
|
y |
4x |
3. |
|
|
|||||||
|
б) |
y |
1 |
|
, |
2 y |
|
|
x2 . |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вариант 10. |
а) |
y |
|
|
|
x2 |
2x |
3; |
|
y |
x |
|
1. |
|
|
|||||
|
б) |
y |
|
|
|
sin x, |
|
|
y |
cos x, |
x |
0. |
|
|
||||||
Вариант 11. |
а) |
y |
|
|
|
x2 |
2x ; |
y |
|
x2 |
|
4x . |
|
|
б) y ctgx, x |
|
, y 0; |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
Вариант 12. |
а) |
y |
x2 |
2x |
2 ; |
y |
x2 |
8x 10 . |
||
|
б) |
y ln x, x e2 , y 0 |
|
|||||||
Вариант 13. |
а) |
y |
x2 |
x ; |
y |
x2 |
5x |
4 . |
||
|
б) |
y |
6 |
, |
y |
5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 14. |
а) |
y |
x2 |
1; |
y |
x2 |
10x |
7. |
||
|
б) |
y |
3x 4 |
, x 4, x 6, y 0. |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 15. |
а) |
y |
x2 |
4x |
5; |
y |
x2 |
1. |
||
|
б) |
y x3, y 3x, y x (x 0, y 0). |
||||||||
Задача № 4. |
|
Найдите |
площадь |
фигуры, |
ограниченной линией, |
заданной уравнением в полярных координатах. |
|
|
|
||||
Вариант 1. |
2 |
2 cos |
; |
Вариант 2. |
1 |
sin 2 |
; |
Вариант 3. |
1 |
cos 2 |
; |
Вариант 4. |
2 |
cos |
; |
Вариант 5. |
1 |
sin 2 |
; |
Вариант 6. |
1 |
cos |
; |
Вариант 7. |
1 |
cos 2 |
; |
Вариант 8. |
1 |
sin ; |
|
Вариант 9. |
2 |
sin |
; |
Вариант 10. |
2 |
2sin |
; |
Вариант 11. |
1 |
sin 2 |
; |
Вариант 12. |
1 |
cos 2 |
; |
Вариант 13. |
2 |
cos |
; |
Вариант 14. |
2 |
2 cos |
; |
Вариант 15. |
2 |
2 sin |
; |
|
|
|
|
Задача № 5. Вычислить объём тела, получающегося при вращении вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых заданы.
Вариант 1. |
y |
sin x, |
|
y |
0, |
x |
0, x |
. |
|||||
Вариант 2. |
xy |
4, |
|
|
y |
|
0, |
x |
1, |
x |
4. |
||
Вариант 3. |
x2 |
|
y |
2 |
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
32 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вариант 4. |
y |
2 |
|
|
1 |
x |
2 |
, |
y |
0. |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 5. |
y |
tgx, |
y |
|
0, |
|
x |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Вариант 6. |
y |
8 |
|
, |
|
|
y 0, |
x |
2, |
|
|
|
x |
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант 7. |
y |
cos x, |
|
y |
0, |
x |
|
|
|
|
|
, |
x |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||
Вариант 8. |
y |
|
1 |
|
x |
2 |
|
|
|
1, |
|
y |
|
0, |
x |
0, |
x |
3. |
||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант 9. |
y |
ctgx, |
y |
|
0, |
|
x |
|
|
, |
x |
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||
|
|
4 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 10. |
|
y |
|
4x |
|
|
|
x2 , |
y |
|
0, |
|
x |
|
0, |
x |
3. |
|||||||||||||||
Вариант 11. |
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
22 |
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вариант 12. |
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
1, |
x |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
32 |
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вариант 13. |
|
y |
|
6 |
, |
|
|
|
|
y |
|
|
0, |
x 1, |
x |
e. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант 14. |
|
y |
|
sin x, |
|
|
y |
0, |
x |
0, |
x |
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
Вариант 15. |
|
y |
2 |
|
|
|
1 |
|
x |
2 |
, |
y |
|
0, |
|
x |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача № 6. Найдите длину дуги линии.
Вариант 1. |
y |
15 |
ln sin x , |
|
|
|
x |
|
|
|
. |
|
|
|
|||
3 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||
Вариант 2. |
x2 |
y2 |
9 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
. |
|||||
Вариант 3. |
y |
arcsin x |
1 |
x2 , |
0 |
x |
|||||||||||
16 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант 4. |
y |
1 |
ln cos x , |
0 |
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
6 |
|
|
|
|
25
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
. |
|||||
Вариант 5. |
|
y |
|
1 |
|
|
x2 |
arccos x, |
0 |
|
|
x |
||||||||||||||||||||||
|
|
9 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вариант 6. |
|
y2 |
|
x3, |
0 |
|
|
x |
|
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Вариант 7. |
|
y |
ln 1 |
x2 |
, |
|
0 |
|
|
x |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вариант 8. |
y |
|
x |
|
x |
|
x |
, |
между точками пересечения с осью |
|||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ox . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 9. |
|
y2 |
|
|
|
x |
1 3 , |
1 |
x |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Вариант 10. |
|
y |
3 |
|
|
|
ln |
cos x , |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Вариант 11. |
|
x2 |
|
y2 |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Вариант 12. |
|
y |
ln |
x2 |
1 , |
|
2 |
|
|
x |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Вариант 13. |
|
3y2 |
|
|
|
x3, |
0 |
|
x |
|
15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
. |
||||||||||||||||
Вариант 14. |
|
y |
|
1 |
|
x2 |
arcsin x, |
0 |
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
Вариант 15. |
|
y 1 ln |
sin x , |
|
|
|
|
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Задача № 7.
Вариант 1.
Вариант 3.
Вариант 5.
Вариант 7.
Вариант 9.
Исследовать на сходимость несобственный интеграл.
1 dx |
. |
|
|
Вариант 2. |
|||||
|
|
x2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
dx |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
Вариант 4. |
|
1 |
|
|
|
x2 |
|
||||
1 dx |
. |
|
|
Вариант 6. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
xe x2 dx . |
Вариант 8. |
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctgx |
dx . |
Вариант 10. |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
1 |
|
x2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
dx |
|||
|
||||
|
|
|
|
. |
|
4 |
x2 |
||
2 |
dx |
|||
|
||||
|
|
|
. |
|
0 |
x2 |
4 |
||
|
|
|
|
x2 e x3 dx .
0
e ln x dx |
. |
|||
0 |
x |
|||
|
||||
|
|
|
||
e |
dx |
|
||
|
|
|||
|
|
. |
||
1 |
x ln x |
26
|
1 |
|
|
x |
2dx |
|
|
|
1 |
|
|
|
xdx |
|
|
||||||
Вариант 11. |
|
|
|
. |
|
Вариант 12. |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
1 |
|
x6 |
0 |
|
1 |
x2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2dx |
|
|
|
1 |
|
|
xdx |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вариант 13. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
Вариант 14. |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
x3 |
0 |
|
1 |
x4 |
|||||||||||||
Вариант 15. |
|
|
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
4 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача № 8. Вычислить приближённо определённый интеграл с помощью формулы прямоугольников, формулы трапеций и формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на n частей. Все вычисления производить с точностью до 0,001.
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 1. |
4 1 |
|
|
x3 dx, n |
8. |
Вариант 2. |
4 |
|
|
x3 dx, n |
10 . |
|||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 3. |
16 |
|
x2 dx, n |
|
10. |
Вариант 4. |
4 64 |
x3 dx, n |
|
8. |
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 5. |
4 8 |
|
|
x3 dx, n |
8. |
Вариант 6. |
9 |
|
|
x3 dx, n |
10 . |
|||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 7. |
18 |
|
x2 dx, n |
|
10. |
Вариант 8. |
4 27 |
x3 dx, n |
|
8. |
||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 9. |
4 1 |
|
|
|
x3 dx, n |
8 . |
Вариант 10. |
|
4 27 x2 dx, n |
8 . |
||||||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант 11. |
|
|
|
|
4 x2 |
|
|
|
9 dx, n |
8 . |
Вариант 12. |
4 4 |
x2 dx, n |
10 . |
||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 13. |
4 8 |
|
x3 dx, n |
|
10 . |
Вариант 14. |
1 |
x3 dx, n |
|
10 . |
||||||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 15. |
4 x2 |
|
16 dx, n |
10 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
Самостоятельная работа по теме «Функция двух переменных»
Задача № 1. Изобразить область определения |
D(z)функции двух |
|||||||||||||||||||||||||
переменных |
z |
f (x; y) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
Вариант 1. |
z |
|
|
x |
y . |
|
|
Вариант 6. |
z |
ln |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вариант 2. |
z |
ln(xy). |
|
|
Вариант 7. |
z |
4 |
|
x2 |
y2 |
9 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вариант 3. |
z |
9 |
|
Вариант 8. |
z |
x |
|
|
|
sin y . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3y2 . |
|
|
|
z |
|
|
|
x2 |
|
y2 |
25 . |
|
|||||||
Вариант 4. |
z |
|
|
|
x |
|
|
Вариант 9. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вариант 5. |
z |
|
|
|
. |
|
|
Вариант 10. |
z |
4 |
|
|
x |
y2 |
1 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача № 2. Найти частные производные функции двух переменных 2-го порядка.
Вариант 1. |
а) |
z |
5x3 y |
2 |
|
|
7xy |
|
|
|
|
y4 |
x5 ; |
б) |
z |
ln x2 |
y3 . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вариант 2. |
а) |
z |
3x4 y |
2 |
|
|
|
2xy |
|
|
|
y3 |
x3 ; |
б) |
z |
arcsin |
3x2 y4 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вариант 3. |
а) |
z |
5x2 y |
|
|
y3 |
|
x |
xy4 |
; |
б) |
z |
arctg |
x |
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
y |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4xy3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y5 |
|
x4 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вариант 4. |
а) |
z |
|
|
|
|
|
|
x |
2 y |
б) |
z |
sin 2x 3y . |
|||||||||||||||
Вариант 5. |
а) |
z |
4x3 |
|
3x2 y |
|
|
y3 |
7 ; |
б) |
z |
cos |
|
x |
|
e y . |
||||||||||||
|
|
|
|
y |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вариант 6. |
а) |
z |
3xy5 |
|
|
2 y4 |
|
|
x5 |
78; |
б) |
z |
e3x2 |
y3 . |
|
|
|
|||||||||||
Вариант 7. |
а) |
z |
3x3 y |
2 |
|
|
|
2xy |
|
|
|
y5 |
x4 ; |
б) |
z |
ln x3 |
y2 . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вариант 8. |
а) |
z |
2x2 y4 |
|
|
|
5xy |
|
|
|
y2 |
x3 ; |
б) |
z |
arccos 4x3 |
y4 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3x3 y |
|
|
x5 |
|
|
|
|
y6 |
|
|
|
sin3 |
|
|
|||||||||||
Вариант 9. |
а) |
z |
|
|
|
|
y |
x ; |
б) |
z |
3x |
2 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
4x2 |
|
2xy2 |
y3 |
|
|
|
б) z arcsin e2 x |
|
|
|||
Вариант 10. а) |
z |
|
|
8; |
|
5y . |
||||||||
Задача № 3. |
Исследовать на экстремум функцию z f (x; y) . |
|
|
|||||||||||
Вариант 1. |
z |
y2 |
4x |
4 |
4xy |
|
5x2 |
2 y . |
|
|
||||
Вариант 2. |
z |
6x |
|
2xy |
1 |
|
x2 |
y2 |
10 y . |
|
|
|||
Вариант 3. |
z |
5xy |
5 |
3x2 |
y |
3y2 |
|
x . |
|
|
||||
Вариант 4. |
z |
x |
|
y2 |
2 |
xy x2 |
y . |
|
|
|
||||
Вариант 5. |
z |
3xy |
4 y |
x2 |
y2 |
|
x |
1. |
|
|
||||
Вариант 6. |
z |
9 y |
|
3xy |
6x |
3y2 |
x2 |
4 . |
|
|
||||
Вариант 7. |
z |
4x 3y2 |
5 |
|
7 y |
3x2 |
|
5xy . |
|
|
||||
Вариант 8. |
z |
6x |
|
2xy |
5 |
|
x2 |
|
y2 |
10 y . |
|
|
||
Вариант 9. |
z |
10 y |
8 |
x2 |
xy |
|
x |
2 y2 . |
|
|
||||
Вариант 10. |
z |
4x |
1 |
|
x2 |
3xy |
|
4 y2 |
|
6 y . |
|
|
Самостоятельная работа по теме «Дифференциальные уравнения»
Задача № 1. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка.
Вариант 1. y |
ye2 x |
|
, y( 0 ) 1. |
e2 x |
8 |
|
|
|
x |
3 |
y2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вариант 2. |
y |
|
|
|
|
|
|
|
, |
y( 2 ) 1. |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
y |
2 |
x2 |
|
|
|
||||
|
|
2 yex |
|
|
|
|
|
|
||||
Вариант 3. |
y |
|
|
, |
y( 0 ) |
4 . |
|
|||||
ex |
3 |
|
Вариант 4.
Вариант 5.
y |
xy2 |
x |
|
, |
y( 0 ) 0. |
|||
|
|
|
|
|||||
4 |
x2 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
y |
|
y y ln y |
, y( 2 ) e . |
|||||
|
|
|
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
xy2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вариант 6. |
y |
|
|
|
|
|
, |
|
y( 0 ) |
3 . |
|
||||||||
2 y |
|
yx2 |
|
||||||||||||||||
Вариант 7. |
y |
|
y |
cos x |
|
, |
y( |
|
|
) |
4 . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
3 2 sin x |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вариант 8. |
y |
2xy |
|
2y, |
y( |
1) |
3. |
|
|
||||||||||
Вариант 9. |
y |
|
|
y |
1 |
|
|
, |
|
y(1) 3. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x2 |
x |
|
|
||||||||||||||
Вариант 10. |
y |
|
2 y2 |
|
2 y |
, |
y( |
2 ) |
|
1 |
. |
||||||||
|
|
x |
|
3 |
|
|
3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача № 2. Найти общее решение дифференциального уравнения.
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 e2 x . |
|||||||||
Вариант 1. |
а) |
y |
|
e |
|
|
x |
, |
|
|
|
|
|
|
б) |
y |
2 y |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вариант 2. |
а) |
x2 y |
xy |
|
|
|
|
|
2 y2 , |
|
б) |
xy |
|
y |
x2 cos x . |
|
||||||||||||||||||||
Вариант 3. |
а) |
x2 |
y2 |
|
2xyy |
0 , |
|
б) |
y |
2xy |
xe x2 . |
|
||||||||||||||||||||||||
Вариант 4. |
а) |
y |
|
x3 |
|
y3 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
б) |
1 |
x2 |
y |
2xy |
x . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
xy2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||||||||
Вариант 5. |
а) |
y |
|
|
|
ctg |
, |
|
б) |
y |
|
|
|
x ln x . |
||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
x |
|
|
x ln x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вариант |
6. |
|
а) |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
sin |
y |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y sin x |
y cos x |
x2 sin2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вариант 7. |
а) |
xyy |
|
|
|
x2 |
|
2 y2 |
0, |
|
б) |
y |
y cos x |
cosx |
esin x . |
|||||||||||||||||||||
Вариант 8. |
а) |
y |
|
|
|
y |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
б) |
y sin x |
y cos x |
e2 x . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x |
|
sin |
|
y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вариант 9. |
а) |
y |
|
y |
|
tg |
|
y |
, |
|
|
|
|
|
|
б) |
y |
y |
x2ex . |
|
||||||||||||||||
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 10. а) |
xy y y ln |
y |
, |
б) y cos2 x y e tgx . |
|
x |
|||||
|
|
|
|
30
Задача № 3. Найти решение задачи Коши для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.
Вариант 1. |
|
y |
2y |
y |
|
0, |
y( 0 ) |
1, |
y ( 0 ) 0 . |
|
|||||
Вариант 2. |
|
y |
2y |
2y |
0, |
|
y( 0 ) |
1, y ( 0) |
1. |
|
|||||
Вариант 3. |
|
y |
y |
2y |
|
0, |
y( 0 ) |
|
5, y ( 0) |
4. |
|
||||
Вариант 4. |
|
y |
4y |
4y |
|
0, |
y( 0 ) |
|
3, y ( 0) |
1. |
|
||||
Вариант 5. |
|
y |
9 y |
0, |
y( 0 ) |
|
0, y ( 0 ) |
3. |
|
|
|||||
Вариант 6. |
|
y |
3y |
0, |
|
y( 0 ) |
3, |
|
y ( 0 ) 3. |
|
|
||||
Вариант 7. |
|
4 y |
12 y |
9 y |
0, y( 0 ) |
2, |
y ( 0 ) 4 . |
||||||||
Вариант 8. |
|
y |
4y |
0, |
|
y( 0 ) |
|
3, |
|
y ( 0) 2. |
|
|
|||
Вариант 9. |
|
y |
7y |
12y |
|
0, |
|
y( 0 ) |
1, y ( 0) |
2 . |
|
||||
Вариант 10. |
|
y |
3y |
2y |
|
0, |
y( 0 ) |
|
3, y ( 0 ) 4. |
|
|||||
Задача № 4. Найти общее решение линейного дифференциального |
|||||||||||||||
уравнения второго порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вариант 1. |
а) |
y |
2y |
8sin 2x ; |
|
б) |
y |
8y 16 y |
2xex |
||||||
Вариант 2. |
а) |
y |
9 y |
6e3x ; |
|
|
б) y |
25y |
2cos3x |
||||||
Вариант 3. |
а) |
y |
25y |
24sin x; |
б) |
y |
y |
2 y |
e x |
x 2 |
|||||
Вариант 4. |
а) |
y |
2 y |
5y |
16e x ; |
|
б) |
y |
16y |
64y 2sin 2x |
|||||
Вариант 5. |
а) |
y |
3y |
12x |
1; |
|
|
|
б) |
y |
4y |
13y cos2x |
|||
Вариант 6. |
а) |
y |
6y |
9y 9cos 3x ; |
|
б) |
y |
5y |
2x2 |
3x 2 |
|||||
Вариант 7. |
а) |
y |
6 y |
10 y |
4e2 x ; |
|
б) |
y |
9y |
2sin 2x |
|||||
Вариант 8. |
а) |
y |
2y |
y |
|
50sin 3x ; |
|
б) y |
9 y |
3x2 |
2 |
||||
Вариант 9. |
а) |
y |
y |
x2 ; |
|
|
|
б) |
y |
|
4y |
8y |
sin 2x 2cos2x |
||
Вариант 10. |
а) |
y |
4y |
4y |
4 |
|
8x ; |
|
б) |
y |
9y |
cos3x |
Самостоятельная работа по теме «Ряды»
Задача № 1 а) Пользуясь одним из признаков сходимости рядов с положительными членами, установить, сходится или расходится числовой ряд с положительными членами;
б) установить, сходится или расходится знакочередующийся ряд; если ряд сходится, то выяснить, как он сходится: абсолютно или условно;