Теория вероятностей и математическая статистика _ учебн
.pdf3.Var(X + C) = varX.
4.Var(CX) = C2varX.
5.Если X, Y – независимые, то var(X + Y) = varX + varY,
var(X – Y) = varX + (–1)2varY = varX + varY.
Среднее квадратическое отклонение
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно, поэтому принято использовать квадратный корень из дисперсии, который назвали с р е д н и м к в а д р а -
ти ч е с к и м о т к л о н е н и е м:
х varX.
Пр и м е р ы
1.х 0,81 0,9.
2.Z=8X–5Y+7. НайтиvarX,еслиХиYнезависимые,иvarX=1,5
иvarY=1.
Решение:varZ=64varX+25varY=64 1,5+25 1=12,1.
3. Пустьежедневныерасходынаобслуживаниеирекламуавтомобилейвавтосалонесоставляютвсреднем 120тыс.ден.ед., ачислопродаж Хавтомашинв течение дняподчиняется законураспределения:
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
p 0,25 0,2 0,1 0,1 0,1 0,1 0,05 0,05 0,025 0,025
Найтиматематическое ожиданиеежедневнойприбыли прицене машины150тыс. ден.ед.
Решение. Ежедневная прибыль подсчитывается по формуле
П=(150X–120).
Искомая характеристика Е(П) находится с использованием указанных ранее свойств математического ожидания (в тысячах денежныхединиц):
Е(П)=Е(150Х–120)=150Е(Х)–120= =150 2,675–120=281,25.
49
Теперь приведем интерпретацию математического ожидания и дисперсии в ф и н а н с о в о м а н а л и з е.
Известно распределение доходности Х некоторого актива (например, акции), т. е. известны значения доходности xi и соответствующие их вероятности pi за рассматриваемый промежуток времени. Тогда математическое ожидание отражает среднюю (прогнозную) доходность актива, а дисперсия или среднее квадратическое отклонение – меру отклонения, колебания доходности от ожидаемого среднего значения, т. е. риск данного актива.
3.5. Числовые характеристики некоторых дискретных случайных величин
1. Распределение Бернулли.
|
X |
0 |
|
1 |
||||||||
|
p |
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
EX = p, так как EX = 0 q + 1 p = p. |
|||||||||||
|
VarX = pq = p – p2 = p(1 – p) = pq. |
|||||||||||
2. |
Геометрическое распределение. |
|||||||||||
|
Р(Х = k) = pqk–1, k = 1, 2, ... |
|||||||||||
|
|
EX |
1 |
, varX |
q |
. |
|
|
|
|||
|
|
p |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|||||
3. Биноминальноераспределение. |
||||||||||||
|
Р (k) = Ck pkqn– k, где k |
|
, |
|||||||||
|
0,n |
|||||||||||
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EX = np, varX = npq. |
||||||||||
4. |
Распределение Пуассона. |
|||||||||||
|
|
|
ke |
– |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
р(Х k) |
|
|
, k 0, , 0. |
||||||||
|
|
|
k!
EX = , varX = 2.
50
3.6. Непрерывные случайные величины
Ранее мы рассматривали случайные величины, которые принимают изолированные или дискретные значения. Кроме таких случайных величин встречаются и другие случайные величины, например, которые принимают значения из некоторого интервала. Для описания таких случайных величин вводят понятие функции распределенияслучайной величины.
Пусть Х – некоторая случайная величина.
Функцию FX(x0) = P(x < х0) называют ф у н к ц и е й р а с - п р е д е л е н и я вероятностей случайной величины (интеграль-
ной функцией). В дальнейшем, если понятно, окакой функции распределения идет речь, мы будем обозначать эту функцию F(x). Функция распределения содержит всю вероятностную информациюослучайной величине.
П р и м е р Дискретнаяслучайная величина:
X |
1 |
2 |
5 |
8 |
p |
0,2 |
0,4 |
0,25 |
0,15 |
Графикинтегральной функциираспределенияприведеннарис. 5.
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
|
0 |
|
|
|
|
10 |
–2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
Рис.5
51
Свойствафункции распределенияслучайной величиныХ:
1.0 F(x) 1.
2.F(x) – неубывающая функция, т. е. если x2 x1, то F(x1) F(x2). Покажем это. Пусть x2 > x1, тогда
P(x < х2) = P(x < х1) + P(x1 х < х2); P(Х < х2) – P(Х < х1) = P(x1 Х < х2); F(х2) – F(х1) = P(x1 х < х2) 0.
Следствие. Вероятность того, что случайная величина примет значения из интервала [a, b), равна P(а х < b) = F(b) – F(a).
П р и м е р
0,x 1;
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
F(x) |
|
x |
|
, 1 x 3; |
|
4 |
4 |
||||
|
|
|
|||
1, |
x 3, |
||||
|
|
|
|
|
тогда P(0 х < 2) = F(2) – F(0) = 0,5.
3. F(x) 0, если x – ; F(x) 1, если x + .
Если случайная величина может принимать значения только из интервала (a, b), то
F(x) = 0, если x < a и F(x) = 1, если x > b.
Х – н е п р е р ы в н а я с л у ч а й н а я в е л и ч и н а, если еефункция распределения кусочно-дифференцируема.
Утверждение. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет определенноезначение, равна нулю.
Доказательство. Действительно,
P(x1 х х1 + х) = F(x1 + х) – F(x1); х 0,
тогда, посколькуХ– непрерывнаяслучайнаявеличина,тоР(Х= х1) = = F(x1) – F(x1) = 0. Утверждение доказано.
52
Для непрерывных случайных величин можно ввести, кроме функции распределения случайной величины, еще и плотность распределения.
П л о т н о с т ь р а с п р е д е л е н и я случайной величи-
ны Х – функция fX(x) = FX(x).
Если в дальнейшем будет понятно, о какой случайной величине идет речь, мы будем обозначать плотность распределения случайной величины Х простоf(x).
b
Теорема. P(a x b) f (x)dx.
a |
|
b |
b |
|
|
P(a X b) F(b) F(a) F (x)dx f (x)dx. |
|
a |
a |
Утверждение. Зная плотность распределения случайной величины,можнонайти функциюраспределения.
x0
F(x0 ) f (x)dx, так как F(x0) = P(x < x0) = P(– < x < x0) =
x0
f (x)dx.
Свойствадифференциальной функции распределения:
1. f(x) . Следует из того факта, что функция распределения неубывающая.
|
|
|
|
2. |
f (x)dx 1. Поскольку |
|
f (x)dx P( x ) 1. |
|
|
|
|
Если случайнаявеличина принимаетзначениятолькоизинтер-
b
вала (a, b), то f (x)dx 1.
a
Плотность распределения называют еще законом распределениянепрерывной случайной величиныпоаналогии сдискретными случайными величинами.
53
3.7. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Так же как и в случае дискретных случайных величин, полезно рассматривать некоторые характеристики случайных величин, которые описывают нашу случайную величину «в среднем». Необходимые характеристики приведены в следующей таблице.
Случайная величина определена |
Случайная величина принимает |
на всей числовой оси |
значения только |
(интегралы сходятся абсолютно) |
из некоторого интервала (a, b) |
|
b |
E(X) xf (x)dx |
E(X) xf (x)dx |
|
a |
|
b |
Var(X) [x E(X)]2 f (x)dx |
Var(X) [x E(X)]2 f (x)dx |
|
a |
|
b |
x2 f (x)dx [E(X)]2 |
x2 f (x)dx [E(X)]2 |
|
a |
(X) var(X).
Все свойства, которыемы рассматривали для дискретных случайных величин, остаются в силе.
П р и м е р ы
1. Дана плотность вероятностиy= f (x) некоторойслучайной величиныX. Требуется:
1)Определить, чемуравенпараметра.
2)Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичноеотклонениеX.
3)Найти вероятностьпопадания случайнойвеличиныXвинтер-
вал[–0,5;0,5].
4)Построитьфункцию распределенияX.
5)Построить графикифункции и плотности распределения.
0,x 1;
|
4 |
, 1 x 1; |
f (x) ax |
|
|
|
|
x 1. |
0, |
|
54
1) Параметр а найдем из условия, которому должна удовлетво-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
рятьлюбаяплотность распределения: |
f (x)dx 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x)dx ax |
dx a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a. Откуда |
a |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) EX xf (x)dx – математическое ожидание; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
varX [x EX ]2 f (x)dx x2 |
f (x)dx [EX ]2 |
– дисперсия, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ(X) |
|
|
varX –среднеквадратическое отклонение. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
5 |
|
|
4 |
|
|
|
|
5 1 5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
x6 |
|
1 |
|
|
|
|
|
5 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
EX |
x |
|
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
1 |
2 6 |
6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
VarX x2 |
x4dx 02 |
|
, σ(X) |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3) Вероятность попадания случайной величины в заданный ин- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
тервал найдем по формуле P(a x b) f (x)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
P( 0,5 x 0,5) |
|
|
|
0,5 |
5 |
x |
4 |
dx |
5 |
|
x5 |
|
|
0,5 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
0,5 |
|
|
|
2 32 |
32 |
32 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) Найдем функцию распределения X F(x0 ) f (x)dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, x 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
x |
|
, 1 x 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
x 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
F(x) |
|
|
|
x |
|
dx, 1 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 1 x 1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55
5) Построим графики функции и плотности распределения случайнойвеличины Х.
График плотности распределения Хизображен на рис. 6.
3
2,5
2
1,5
1
0,5
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
–4 |
–3 |
–2 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
–0,5 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.6
График функции распределения Х показан на рис. 7.
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
–4 |
–3 |
–2 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
–0,2
Рис.7
2. Известно, чтовпартиииз 20телефонныхаппаратов 5недействующих.Случайнымобразом изэтойпартиивзято4аппарата.Постро- итьзаконраспределенияслучайнойвеличиныХ–числанедействующих аппаратовиз отобранных. Найтидисперсию этой величины. Вкаких единицахона измеряется?Построитьинтегральную функциюраспределения случайнойвеличины Х, многоугольник распределения.
56
СлучайнаявеличинаХ–числонедействующихаппаратовизотоб- ранныхчетырех. Даннаяслучайнаявеличина–дискретная,принимаю- щая следующие возможные значения:
х1 = 0– среди отобранных аппаратоввсе работающие; х2 =1 –средиотобранныхаппаратов толькоодиннедействующий;
х3 =2 –средиотобранныхаппаратов ровнодванедействующих; х4 = 3 –средиотобранныхаппаратов ровнотри недействующих; х5 = 4 –всечетыреотобранных аппарата недействующие.
Найдем вероятности, с которыми случайная величина Х принимает свои значения, для чего воспользуемся классическим определением вероятности.
Для всех пяти случаев элементарными исходами являются любые комбинации четырех телефонов из 20 телефонов. Число элементарныхисходов:n=C420 = 4845.
Благоприятныеисходы:
1)набор изчетырех работающихтелефонов: m1 =C415 = 1365;
2)набор из трех работающих телефонов и одного неработаю-
щего: m2 C153 C51 2 275;
3) набор из двух работающих телефонов и двух неработающих:
m3 C152 C52 1050;
4)набориз одногоработающеготелефона и трехнеработающих:
m4 C151 C53 150;
5)набор из четырехнеработающих телефонов: m5 C54 5. Итак:
p P(X x ) |
|
m1 |
|
|
|
1365 |
|
|
0,2817; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
1 |
|
|
|
n |
|
|
4 845 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
p2 |
P(X x2 ) |
m2 |
|
|
|
2 275 |
|
0,4696; |
|||||||||
|
n |
|
4 845 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
p |
P(X x ) |
m3 |
|
|
1050 |
|
0,2167; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
3 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
4 845 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
p |
P(X x ) |
m4 |
|
|
150 |
|
|
0,031; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4 |
|
4 |
|
|
|
n |
|
|
|
4 845 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
p |
P(X x ) |
m5 |
|
|
5 |
|
|
|
0,001. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5 |
|
5 |
|
|
|
n |
|
|
|
4 845 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Законраспределенияслучайнойвеличины–переченьвозможных значений случайной величины с соответствующими вероятностями.
57
Законраспределения случайной величины Х–числа неработающихтелефонныхаппаратов из отобранныхчетырех:
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
... |
p1 + p2 + ... + pn = 1 |
p |
0,2817 |
0,4696 |
0,2167 |
0,031 |
0,001 |
... |
|
Тогда E(Х)= p1x1 +... +pnxn = 0 0,2817 + 1 0,4696 + 2 0,2167 + +3 0,031+4 0,001=1.
Найдем дисперсиюслучайной величины, воспользовавшисьследующей формулой:
varX E(X 2 ) (EX )2 p1x12 ... pn xn2 (EX )2
0 0,2718 1 0,4696 4 0,2167 9 0,031 16 0,001 1 0,63.
Найдем интегральнуюфункцию распределенияслучайной величины.
Fx(x0) = P(x < х0) – функция распределения случайной величиныХ.
0,x 0; |
|
|
|
|
|
|
|
P(X 0),0 x 1; |
|
|
|
P(X 0) P(X 1),1 x 2; |
|
||
FX (x) |
P(X 2),2 x 3; |
|
|
P(X 0) P(X 1) |
|
||
P(X 0) P(X 1) |
P(X 2) P(X 3),3 x 4; |
|
|
|
|
|
|
P(X 0) P(X 1) |
P(X 2) P(X 3) P(X 4), |
x 4. |
|
|
0, x 0; |
|
|
|
|
|
|
|
0,0 x 1; |
|
|
|
0,2817, |
1 x 2; |
|
FX (x) |
2 x 3; |
|
|
|
0,7513, |
|
|
|
0,968, |
3 x 4; |
|
|
|
|
|
|
1, x 4. |
|
|
М н о г о у г о л ь н и к |
р а с п р е д е л е н и я (рис. 8) – |
ломаная линия, соединяющая точки с координатами (xi, pi).
58