Лекции / tfkp1
.docxКонформные отображения
П римеры
Найти линейную функцию, отображающую треугольник с вершинами в точках 0, i, – 1 плоскости (z) на подобный ему треугольник с вершинами в точках 1 + i, 0, 2 плоскости (w).
Сначала найдем образ границы области |z + i| <=3, то есть окружности радиуса R = 3 с центром в точке z0 = – i.
Если особая попала на границу, то образ границы будет проходить через бесконечность - будет прямой; если особая не попала на границу, то образ будет окружностью, у нас не попала - значит наша окружность тоже перейдет в окружность.
Чтобы построить окружность надо знать центр и радиус, центром будет точка симметричная с особой относительно исходной окружности. Симметричные точки лежат на луче выходящем из центра произведение расстояний до центра равно радиусу окружности в квадрате (ОA * OB = R^2 = 3^2).
Это будет центр искомой окружности уже на плоскости (w), теперь чтобы найти радиус отображаем любую точку окружности.
Например -4i (любую удобную), радиус будет расстояние от нее до центра 5/2
Точка -2 лежит вне круга.