Poper_zgyn_plastyn

Перевіримо, чи відповідає функція (41) граничним умовам:

∞

∞

w(0, y) = ∑Y ( y) sin 0 = 0 ,

w(a, y) = ∑Y ( y) sin nπ = 0

n=1

n=1

∂

2

∞

2

π

2

∂

2

∞

2

π

2

w2

(0, y) = −∑Y ( y)

n

sin 0 = 0 ,

w2

(a, y) = −∑Y ( y)

n

sin nπ = 0 .

2

2

∂x

n=1

a

∂x

n=1

a

Друга частинна похідна функції прогинів

∂

2

w2

∞

= ∑Y ′′( y) sinαx = 0

∂y

n=1

дорівнює нулю на тих самих краях пластинки.
	Функція (41) повинна задовольняти основному рівнянню згину пластинок:
					∑∞ (Y IV − 2α 2Y ′′+α 4Y )sinαx =			q(x, y)	.	(42)
					n=1			D
	Розкладемо праву частину в ряд Фур’є по синусах:
						q(x, y)	∞
							= ∑Fn sinαx ,
						D
							n=1
де F ( y) =		2	a	q(x, y)	sin αxdx .
n		a ∫0		D
	Підставимо цей вираз у (42):
					∑∞ (Y IV − 2α 2Y ′′+α 4Y − Fn ( y))sinαx = 0 ,
					n=1
звідки
					Y IV − 2α 2Y ′′+α 4Y = Fn ( y) .					(43)

Отримане рівняння є неоднорідним лінійним рівнянням з сталими коефіцієнтами, та його розв’язок може бути представлений як сума загального розв’язку однорідного рівняння та часткового розв’язку неоднорідного рівняння:

	~
	Y = Yодн +Yнеодн .
Складемо характеристичне рівняння для однорідного диференціального рівняння,
що відповідає неоднорідному рівнянню (43):
λ4	− 2λ2α2 +α4 = 0 , або (λ2	−α 2 )2 = 0
Це рівняння має дві	пари кратних дійсних	коренів λ1,2 =α, λ3,4 = −α . Таким

кореням характеристичного рівняння відповідає загальний розв’язок диференціального рівняння у вигляді:

Yодн = C1eαy +C2 yeαy +C3e−αy +C4 ye−αy

21

або:

Yодн = An chαy + Bn y chαy +Cn shαy + Dn y shαy .

Якщо частковий розв’язок неоднорідного

~

~

рівняння становить Yнеодн =

Fn ( y) , то

загальним розв’язком задачі буде:

∞

~

(44)

w(x, y) = ∑[An chαy + Bn y chαy +Cn shαy + Dn y shαy + Fn ( y)] sin αx

n=1

~

~

y

Частковий розв’язок Fn ( y)

можна визначити як Fn ( y) = ∫ψ ( y −t)Fn (t)dt ,

0

де Fn (t)

- права частина диференціального рівняння (43),

ψ( y) -

частковий розв’язок

відповідного

однорідного

рівняння,

який

повинен

задовольняти

наступним

′′

′

=ψ(0) = 0,

′′′

Таким

умовам

умовам: ψ (0) =ψ

(0)

ψ (0) =1.

задовольняє

лише

лінійна

комбінація

отриманих

незалежних

розв’язків

chαy,

ychαy,

shαy,

yshαy :

1

ychαy −

shαy

α

ψ ( y) ψ( y) =

. Тоді

2α 2

~

1

y

1

a

Fn ( y) =

∫ (y −t) chα(y −t)−

shα(y −t)

∫q(x,t) sinαxdx dt

(45)

α

2

Da

α

0

0

Для визначення сталих

An ,

Bn , Cn , Dn використовуються граничні умови на краях

ОА та ВС. Наприклад, розглянемо пластинку, у якої ці краї жорстко защемлені. Тоді маємо наступні граничні умови:

При у=0 та у=b: w = ∂∂wy = 0 , або підставляючи в ці граничні умови функцію прогинів

(41):

∞	∞
∑Y (0) sinαx = 0	∑Y ′(0) sinαx = 0
n=1	n=1
∞	∞
∑Y (b) sinαx = 0	∑Y ′(b) sinαx = 0
n=1	n=1

Ці умови повинні виконуватися при будь-яких значеннях аргументу х, отже

Y (0) = 0,	′	= 0
	Y (0)
Y (b) = 0,	′	= 0
	Y (b)
Із записаних чотирьох умов можна визначити		чотири константи інтегрування

An , Bn , Cn , Dn .

При інших типах закріплення країв ОА та ВС отримаємо інші значення сталих.

22

Ряди у функціях прогинів та його похідних сходяться швидше, чим тригонометричні ряди у розв’язку Нав’є, тому розв’язок Леві є зручнішим в практичних розрахунках навіть для прямокутної пластинки, опертої шарнірно по всьому контуру.

Аналогічно попередньому випадку для різних типів закріплення країв пластинки та різних типів діючого навантаження складаються таблиці коефіцієнтів Сі, за допомогою яких можна швидко обчислити значення максимальних згинальних моментів, поперечних сил та опорних реакцій, що виникають при згині прямокутної пластинки з заданим співвідношенням довжин її сторін. Такі таблиці наведені, наприклад у /7/ для рівномірно розподіленого навантаження; для пластинки, навантаженої гідростатичним тиском; для прямокутної пластинки під навантаженням у вигляді трикутної призми; для навантаження, рівномірно розподіленого по площі центральної частини пластинки, тощо.

8.3Розрахунок прямокутної пластинки на згин методом сіток.

Вбагатьох випадках навантаження та закріплення пластин можна застосувати чисельний метод скінчених різниць (метод сіток).

Метод скінчених різниць – наближений метод, який дозволяє замінити диференціальні рівняння системою лінійних алгебраїчних рівнянь. Як правило, рівняння у скінчених різницях отримують з диференціального рівняння шляхом заміни в ньому похідних їх наближеними виразами через різницеві співвідношення або значення функції

вокремих точках сітки.

Для того, щоб написати різницеву схему, яка наближено описує задане диференціальне рівняння, треба:

а) замінити область неперервної зміни аргументів функції областю дискретної їх

зміни,

б) замінити диференціальний оператор деяким різницевим оператором, а також сформулювати різницевий аналог для граничних та початкових умов.

Для виконання першої задачі у досліджуваній плоскій області вибирають деяку скінчену множину точок, в яких будуть шукати наближений розв’язок задачі. Така множина точок називається сіткою. Окремі точки називаються вузлами сітки. Якщо через вузли сітки провести прямі, паралельні осям, то область розіб’ється на комірки розмірами ∆x ×∆y . Для спрощення розрахунків звичайно сітку вибирають з квадратними комірками

∆x = ∆y = δ . При розрахунку пластин сітка повинна бути такою, щоб її вузлові точки знаходилися у найбільш небезпечних перерізах пластини, в яких виникають найбільші напруження. При наявності осей симетрії навантаженої пластини, ряд вузлових точок повинен розміщуватися на осях симетрії.

23

Для складання різницевого аналога основного рівняння згину пластинки в точці 0 сітки розглянемо значення функції прогинів в 13 точках, які пронумеровані на рис.8.

		7
	8	2	6
9	3	0	1	5
	10	4	12
		11

Рис.8 Будемо враховувати, що в точках, розміщених на прямій, паралельній одній з

координатних осей, значення другої координати лишається сталим. Використовуючи

визначення			частинної	похідної		в	точці	з	координатою	х	як
∂w	= lim	w(x + ∆x, y) − w(x − ∆x, y)			та	підставляючи		значення функції		прогинів	в
∂x
	∆x→0		2∆x

наступній(1) та попередній(3) точках, отримуємо різницевий вираз для першої частинної похідної по змінній х:

	∂w					=		w − w				.
									1	3
	∂x					0				2δ
Аналогічно :
	∂w							w	2	− w	4
					=								.
										2δ
	∂y			0

Індексами внизу позначені номери точок, в яких рахується значення функції. Для других частинних похідних:

∂w

−

∂w

w − w

w

− w

w − 2w + w

∂2 w

=

∂

∂w

=

∂x

∂x

−

(2δ) =

2

=

2

1

3

5

0

0

9

5

0

9

∂x

0

∂x

∂x

0

2δ

2δ

2δ

4δ

В отриманій формулі можна зменшити інтервал вдвічі, і тоді формула для другої похідної буде мати вигляд:

24

	∂2 w					=		w − 2w + w
								3					0		1
	∂x2			0							δ 2
Аналогічно
	∂2 w					=		w		4	− 2w + w					2		.
													0
	∂y 2			0							δ 2
	∂2 w					=			w − w − w									+ w			.
										6			8		12				10
	∂x∂y				0									4δ 2
Використовуючи вирази для других похідних, складаємо вирази для частинних
похідних четвертого порядку:
	∂4 w					=		w − 4w + 6w − 4w + w
								5					1				0				3		9
	∂x4			0											δ 4
	∂4 w					=		w − 4w						2	+ 6w − 4w							4	+ w
										7							0						11
	∂y 4			0											δ 4
											4w − 2w − 2w										− 2w − 2w							+ w + w + w + w
	∂4 w																			2							4
								=			0				1								3						6	8	10	12	.
	∂x2 ∂y2						0																	δ 4
Підставляємо отримані значенні похідних в ліву частину основного рівняння згину
пластинки та отримуємо його скінчено-різницевий аналог в точці 0:
D(20w −8(w + w												2	+ w + w						) + 2(w + w + w										+ w ) + (w + w + w + w ) = qδ 4							(46)
0								1							3		4						6			8		10		12	5	7		9	11

Рівняння вигляду (46) можна скласти для кожного з внутрішніх вузлів пластинки. Інтенсивність q поверхневого навантаження представляє собою рівномірно розподілене навантаження, що діє на площині одної комірки з центом у вузлі, для якого складається скінчено-різницеве рівняння. Отже, коли на всю комірку з стороною δ та центром в точці О діє рівномірно розподілене навантаження інтенсивності q , то qо= q. Якщо розподілене навантаження займає половину площі комірки, то qо= q/2. Якщо у вузлі О прикладена зосереджена сила, то q0 = Fδ 2 . Згинальний момент М, прикладений у вузлі на краї пластинки, представляється у вигляді розподіленого по стороні комірки моменту m = M δ .

При складанні скінчено-різницевих рівнянь в частину з них увійдуть значення функції прогинів для вузлів, що розташовані поза контуром. Значення функції прогинів на контурі та поза контуром знаходяться з граничних умов (27), (28), (29) або (31). Для відповідних точок записуються значення прогинів, кутів повороту або зусиль за допомогою скінчених різниць.

25

Число отриманих скінчено-різницевих рівнянь дорівнює числу внутрішніх вузлів сітки. За допомогою граничних умов з рівнянь виключаються значення функції прогинів у контурних та поза контурних точках. Отже, кількість рівнянь співпадає з кількістю невідомих. Для виключення з рівнянь невідомої циліндричної жорсткості D, яка залежить від невідомої товщини пластини, обидві частини рівнянь поділимо на δ 2 та введемо в

розгляд нові невідомі

w = wD δ 2 .

(47)

Тепер систему можна розв’язати, але попередньо бажано перевірити правильність її складання. Для правильно складеної системи матриця коефіцієнтів при невідомих або відразу є симетричною, або її можна привести до такого вигляду за допомогою множення та ділення окремих рядків на прості множники.

Після				знаходження											коренів								системи				легко можна знайти						значення згинальних
									2	w					2		w
							∂						+ µ			∂
											2							2
	M x = −D						∂x									∂y
моментів
									2	w					2		w
							∂						+ µ			∂
											2							2
	M y = −D						∂y									∂x
у вузлових точках сітки, наприклад у точці 0 (рис.8):
				w − 2w + w																		w		2	− 2w + w					= −[(w		− 2w + w )+ µ(w					)].
M	x			= −D			1							0			3				+ µ					0	4								− 2w + w
			0									δ 2													δ 2					1		0	3	2	0	4
Аналогічно:
				w				2	−			2w + w							4				w − 2w + w							= −[(w		− 2w + w )+ µ(w			− 2w + w )].
M	y		= −D											0							+ µ			1		0	3				2
														2												2
			0										δ												δ							0	4	1	0	3

По знайдених значеннях погонних згинальних моментів у вузлових точках будуються епюри M x , M y .

Аналізуючи отримані епюри згинальних моментів, можна визначити найнебезпечніший переріз пластини. У складних випадках навантаження необхідно обчислити еквівалентний згинальний момент

M екв = M x2 + M y2 − M x M y

для різних перерізів та вибрати переріз, в якому він буде найбільшим. По гранях елемента пластини, вирізаного в небезпечному перерізі, будуть діяти нормальні напруження

σx =	M	x	, σ y =	M y	, де W =	h2	– осьовий момент опору.
	W			W		6

Рахуючи, що матеріал пластини є пластичним, застосовуємо четверту теорію міцності:

26

σ розрIV = (σ x −σ y )2 +σ xσ y ≤ R ,

(48)

де R – розрахунковий опір.

Підставляючи у вираз (48) значення напружень, знайдемо товщину пластини з умови міцності за формулою:

h ≥	6(M x − M y )2	+ M x M y	=	6M	екв .
	R
				R

Отримане значення треба перевірити на виконання умови жорсткості:

	wmax	≤	1	.	(49)
	b		300
Якщо умова жорсткості виконується,			то розрахунок		закінчено, якщо не

виконується , то з умови (49) визначають величину максимального прогину, а по ній та

	формулах (47) та формулі циліндричної жорсткості	D =		Eh3		знаходять товщину
			12(1		− µ2 )

пластини, при якій одночасно виконуються і умова міцності, і умова жорсткості. Розглянемо приклад розрахунку прямокутної пластинки на поперечний згин

методом сіток.

8.4 Приклад розрахунку пластини методом сіток.

	y						Вихідні дані:
								a=8.4 м
							µ=0.3
			q				q=0.01 МПа
								Е=2 105 МПа
							R=210 МПа
								ωmax	=1/300
		x						a

a

a

27

Рис.9

Завдання:

1.Для заданої прямокутної пластини вибрати сітку з квадратними комірками таким чином, щоб на меншій стороні прямокутника розміщалось не менше чотирьох комірок.

2.Записати скінчено-різницеві рівняння для кожного внутрішнього вузла сітки.

3.Використовуючи граничні умови, знайти зв’язок між значеннями функцій прогинів wi у позаконтурних та внутрішніх вузлах сітки.

4.Перейти до координат wi та розв’язати отриману систему лінійних рівнянь.

5.Побудувати епюри згинальних моментів M x , M y в небезпечних перерізах

пластини.

6.З умови міцності визначити товщину пластини h .

δ = 8.44 = 2.1

f

g

h

g

f

a

O I

VI

VII

VI

В I

a

b

c

d

II

III

IV

1

2

3

4

5

6

1

2

3

II		III		IV

b

c

d

e

V		А
								i

VIII

k

IX l

k

VIII

i

V

e

7.Перевірити виконання умови жорсткості. У випадку, якщо ця умова не виконується, перерахувати товщину пластини з умови жорсткості.

Розв’язок.

28

1.Вибираємо сітку з квадратними комірками (рис.10).

2.Записуємо скінчено-різницеві рівняння для кожної внутрішньої точки, враховуючи симетричність конструкції та навантаження.

т.1

δD4 [20 w1 −8 (w2 + wII + wVI + w4 )+ 2 (wIII + wI + wVII + w5 )+ w3 + wb + wg + w1 ]= q ;

т.2

δD4 [20 w2 −8 (wIII + w3 + w1 + w5 )+ 2 (wIV + wII + w4 + w6 )+ wc + w2 + wVIII + wVI ]= q 2 ;

т.3

δD4 [20 w3 −8 (wIV + wVIII + w6 + w2 )+ 2 (wV + wIII + w5 + wIX )+ wd + w1 + w3 + wk ]= 0 ;

т.4

δD4 [20 w4 −8 (2w1 + w5 + wVII )+ 2 (2w2 + 2wVI )+ 2wII + wh + w6 ]= q ;

т.5

δD4 [20 w5 −8 (2w2 + w4 + w6 )+ 2 (2w3 + 2w1 )+ 2wIII + wVII + wIX ]= q 2 ;

т.6

δD4 [20 w6 −8 (2w3 + wIX + w5 )+ 2 (2wVIII + 2w2 )+ 2wIV + w4 + wl ]= 0 ;

3.Визначаємо контурні та позаконтурні значення функції прогинів з граничних умов.

Граничні умови на краю ОА ( жорстко закріплений):

w		OA = 0 ;	wI = wII = wIII = wIV = wV = 0 ;

29

∂w		OA	= 0 ;	∂w		I	=	wVI − wa	;
∂y				∂y
								2δ

Граничні умови на краю ОВ ( жорстко закріплений):

w		OB = 0 ;	wVI = wVII = wVIII = wIX = 0 ;

∂w

OB

= 0 ;

∂w

VI

=

w1

− wg

;

∂x

∂x

2δ

wb = w1 wc = w2 ; wd = w3

wg = w1

wh = w4 ; wk = w3

wl = w6

4.Підставляємо співвідношення, отримані в п.3, у скінчено-різницеві рівняння.

1)δD4 (23w1 −8w2 + w3 −8w4 + 2w5 )= q ;

2)δD4 (−8w1 + 22w2 −8w3 + 2w4 −8w5 + 2w6 )= q 2 ;

3)δD4 (w1 −8w2 + 23w3 + 2w5 −8w6 )= 0 ;

4)δD4 (−16w1 + 4w2 + 21w4 −8w5 + w6 )= q ;

5)δD4 (4w1 −16w2 + 4w3 −8w4 + 20w5 −8w6 )= q 2 ;

6)δD4 (4w2 −16w3 + w4 −8w5 + 21w6 )= 0

Виконуємо заміну значень функції прогинів в і-й точці wi на змінні wi за формулою:

		=	D wi	.
	w
	i		δ 2

30