Частина 4

“Курс вищої математики. Частина 4.”

3) Математичне очікування твору двох незалежних випадкових величин рівне твору їх математичних очікувань.

M ( XY ) = M (X )M (Y )

Ця властивість справедлива для довільного числа випадкових величин.

4) Математичне очікування суми двох випадкових величин рівне сумі математичних очікувань доданків.

M (X +Y ) + M ( X ) + M (Y )

Це властивість також справедливо для довільного числа випадкових величин.

Хай проводиться п незалежних випробувань, ймовірність появи події А в яких рівний р.

Теорема. Математичне очікування М(Х) числа появи події А в п незалежних випробуваннях рівно твору числа випробувань на ймовірність появи події в кожному випробуванні.

M (X ) = np

Проте, математичне очікування не може повністю характеризувати випадковий процес. Окрім математичного очікування треба ввести величину, яка характеризує відхилення значень випадкової величини від математичного очікування.

Це відхилення рівне різниці між випадковою величиною і її математичним очікуванням. При цьому математичне очікування відхилення рівне нулю. Це пояснюється тим, що одні можливі відхилення позитивні, інші негативні, і в результаті їх взаємного погашення виходить нуль.

Визначення. Дисперсією (розсіюванням) дискретної випадкової величини називається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування.

D( X ) = M [X − M (X )]2

Приклад. Для розглянутого выше прикладу закон розподілу випадкової величини має вигляд:

X	0	1	2
p	0,0625	0,375	0,5625

Знайти математичне очікування і дисперсію випадкової величини.

Математичне очікування випадкової величини рівне:

M ( X ) = 0 0,0625 +1 0,375 + 2 0,5625 =1,5

Можливі значення квадрата відхилення:

[x1	− M (X )]2	= (0 −1,5)	2	= 2,25
[x2 − M ( X )]2		= (1 −1,5)	2	= 0,25
[x3	− M (X )]2	= (2 −1,5)2		= 0,25

Тоді
	[X-M(X)]2	2,25	0,25	0,25
	p	0,0625	0,375	0,5625

21

“Курс вищої математики. Частина 4.”

Дисперсія рівна:

D( X ) = 2,25 0,0625 + 0,25 0,375 + 0,25 0,5625 = 0,375

Проте, на практиці подібний спосіб обчислення дисперсії незручний, оскільки приводить при великій кількості значень випадкової величини до громіздких обчислень.

Тому застосовується інший спосіб.

Обчислення дисперсії.

Теорема. Дисперсія рівна різниці між математичним очікуванням квадрата випадкової величини Х і квадратом її математичного очікування.

D( X ) = M ( X 2 ) −[M ( X )]2

Доказ. З урахуванням того, що математичне очікування М(Х) і квадрат математичного очікування М2(Х) – величини постійні, можна записати:

D( X ) = M [X − M (X )]2 = M [X 2 − 2XM (X ) + M 2 (X )]=

= M (X 2 ) − 2M ( X )M (X ) + M 2 ( X ) = M ( X 2 ) − M 2 (X ).

D( X ) = M ( X 2 ) −[M ( X )]2

Застосуємо цю формулу для рассмотренного вище за приклад:

X		0		1	2
X2		0		1	4
p		0,0625		0,375	0,5625
M ( X 2 ) = 0 0,0625 +1 0,375 + 4 0,5625 = 2,625
	D(X ) = 2,625 −[1,5]2			= 0,375

Властивості дисперсії.

1) Дисперсія постійної величини рівна нулю.

D(C) = 0

2) Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його в квадрат.

D(CX ) = C 2 D( X )

3) Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин рівна сумі дисперсій цих величин.

D( X +Y ) = D(X ) + D(Y )

4) Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин рівна сумі дисперсій цих величин.

D( X −Y ) = D(X ) + D(Y )

Справедливість цієї рівності витікає з властивості 2.

22

“Курс вищої математики. Частина 4.”

Теорема. Дисперсія числа появи події А в п незалежних випробувань, в кожному з яких ймовірність р появи події постійна, рівна твору числа випробувань на ймовірності появи і непояви події в кожному випробуванні.

D(X ) = npq

Середнє квадратичне відхилення.

Визначення. Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називається квадратний корінь з дисперсії.

σ(X ) = D(X )

Теорема. Середнє квадратичне відхилення суми кінцевого числа взаємно незалежних випадкових величин рівне квадратному Корню з суми квадратів середніх квадратичних відхилень цих величин.

σ( X1 + X 2 +... + X n ) = σ2 ( X1 ) + σ2 ( X 2 ) +... + σ2 ( X n )

Приклад. Завод випускає 96% виробів першого сорту і 4% виробів другого сорту. Навмання вибирають 1000 виробів. Хай Х – число виробів першого сорту в даній вибірці. Знайти закон розподілу, математичне очікування і дисперсію випадкової величини Х.

Вибір кожного з 1000 виробів можна вважати незалежним випробуванням, в якому ймовірність появи виробу першого сорту однакова і рівна р = 0,96.

Таким чином, закон розподілу може вважатися біномінальним. mx = pn =1000 0,96 = 960;

Dx = npq =1000 0,96 0,04 = 38,4;

Приклад. Знайти дисперсію дискретної випадкової величини Х – числа появ події А в двох незалежних випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні рівна і відомо, що М(Х)= 0,9.

Оскільки випадкова величина Х розподілена по біномінальному закону, то

M (X ) = np = 2 p = 0,9; p = 0,45;

D( X ) = npq = 2 p(1 − p) = 2 0,45 0,55 = 0,495.

Приклад. Проводяться незалежні випробування з однаковою ймовірністю появи події А в кожному випробуванні. Знайти ймовірність появи події А, якщо дисперсія числа появ події в трьох незалежних випробуваннях рівна 0,63.

По формулі дисперсії біномінального закону отримуємо:

D( X ) = npq = 3 p(1 − p) = 0,63;

3 p2 −3 p + 0,63 = 0 p2 − p + 0,21 = 0; p1 = 0,7; p2 = 0,3;

Приклад. Випробовується пристрій, що складається з чотирьох незалежно працюючих приладів. Ймовірність відмови кожного з приладів рівні відповідно р1=0,3;

23

“Курс вищої математики. Частина 4.”

p2=0,4; p3=0,5; p4=0,6. Знайти математичне очікування і дисперсію числа приладів, що відмовили.

Приймаючи за випадкову величину число приладів, що відмовили, видимий що ця випадкова величина може приймати значення 0, 1, 2, 3 або 4.

Для складання закону розподілу цієї випадкової величини необхідно визначити відповідну ймовірність. Приймемо qi =1 − pi .

1) Не відмовив жоден прилад.

p(0) = q1q2 q3 q4 = 0,7 0,4 0,5 0,4 = 0,084. 2) Відмовив один з приладів.

p(1) = p1q2 q3 q4 + q1 p2 q3 q4 + q1q2 p3 q4 + q1q2 q3 p4 = 0,302. 3) Відмовили два прилади.

p(2) = p1 p2 q3q4 + p1q2 p3 q4 + p1q2 q3 p4 + q1 p2 p3 q4 + q1 p2 q3 p4 + q1q2 p3 p4 = 0,38. 4) Відмовили три прилади.

p(3) = p1 p2 p3 q4 + p1 p2 q3 p4 + p1q2 p3 p4 + q1 p2 p3 p4 = 0,198. 5) Відмовили всі прилади.

p(4) = p1 p2 p3 p4 = 0,036.

Отримуємо закон розподілу:

x	0	1	2	3	4
x2	0	1	4	9	16
p	0,084	0,302	0,38	0,198	0,036

Математичне очікування:

M ( X ) = 0,302 + 2 0,38 +3 0,198 + 4 0,036 =1,8. M ( X 2 ) = 0,302 + 4 0,38 +9 0,198 +16 0,036 = 4,18.

Дисперсія:

D(X ) = M (X 2 ) −[M (X )]2 = 4,18 −3,24 = 0,94.

Функція розподілу.

У всіх розглянутих вище випадках випадкова величина визначалася шляхом завдання значень самої величини і ймовірності цих значень.

Проте, такий метод застосовний далеко не завжди. Наприклад, у разі безперервної випадкової величини, її значення можуть заповнювати деякий довільний інтервал. Очевидно, що в цьому випадку задати всі значення випадкової величини просто нереально.

Навіть у разі, коли це зробити можна, часто завдання вирішується надзвичайно складно. Розглянутий тільки що приклад навіть при відносно простій умові (приладів тільки чотири) приводить до достатньо незручних обчислень, а якщо в завданні буде декілька сотень приладів?

Тому встає завдання по можливості відмовитися від індивідуального підходу до кожного завдання і знайти по можливості найбільш загальний спосіб завдання будьяких типів випадкових величин.

Хай х – дійсне число. Ймовірність події, що полягає в тому, що Х прийме значення, менше х, тобто Х < x, позначимо через F(x).

24

“Курс вищої математики. Частина 4.”

Визначення. Функцією розподілу називають функцію F(x), що визначає ймовірність того, що випадкова величина Х в результаті випробування прийме значення, менше х.

F(x) = P(X < x)

Функцію розподілу також називають інтегральною функцією.

Функція розподілу існує як для безперервних, так і для дискретних випадкових величин. Вона повністю характеризує випадкову величину і є одній з форм закону розподілу.

Для дискретної випадкової величини функція розподілу має вигляд:

F(x) = ∑P(X = xi )

xi <x

Знак нерівності під знаком суми показує, що підсумовування розповсюджується на ті можливі значення випадкової величини, які менше аргументу х.

Функція розподілу дискретної випадкової величини Х розривна і зростає скачками під час переходу через кожне значення хi.

Так для прикладу,, функція розподілу матиме вигляд:

1
0,8
0,6
0,4
0,2
0	0	1	2	3	4
Функция	0,084	0,386	0,766	0,964	1
распределения

Властивості функції розподілу..

1) значення функції розподілу належать відрізку [0, 1].

0 ≤ F(x) ≤1

2) F(x) – неубутна функція.

F(x2 ) ≥ F(x1 ) при x2 ≥ x1

3) Ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, поміщене в інтервалі (а, b), рівна приросту функції розподілу на цьому інтервалі.

P(a ≤ X < b) = F(b) − F(a)

4)На мінус нескінченність функція розподілу рівна нулю, на плюс нескінченність функція розподілу рівна одиниці.

5)Ймовірність того, що безперервна випадкова величина Х прийме одне певне значення, рівна нулю.

Таким чином, не має сенсу говорити про яке – або конкретному значенні випадкової величини. Інтерес представляє тільки ймовірність попадання випадкової величини в якій – або інтервал, що відповідає більшості практичних завдань.

Щільність розподілу.

25

“Курс вищої математики. Частина 4.”

Функція розподілу повністю характеризує випадкову величину, проте, має один недолік. По функції розподілу важко судити про характер розподіли випадкової величини в невеликій околиці тієї або іншої точки числової осі.

Визначення. Щільністю розподілу ймовірності безперервної випадкової величини Х називається функція f(x) – перша похідна від функції розподілу F(x).

f (x) = F ′(x).

Щільність розподілу також називають диференціальною функцією. Для опису дискретної випадкової величини щільність розподілу неприйнятна.

Сенс щільності розподілу полягає в тому, що вона показує як часто з'являється випадкова величина Х в деякій околиці точки х при повторенні дослідів.

Після введення функцій розподілу і щільності розподілу можна дати наступне визначення безперервної випадкової величини.

Визначення. Випадкова величина Х називається безперервною, якщо її функція розподілу F(x) безперервна на всій осі ОХ, а щільність розподілу f(x) існує скрізь, за виключенням( можливо, кінцевого числа крапок.

Знаючи щільність розподілу, можна обчислити ймовірність того, що деяка випадкова величина Х прийме значення, що належить заданому інтервалу.

Теорема. Ймовірність того, що безперервна випадкова величина Х прийме значення, що належить інтервалу (а, b), рівна певному інтегралу від щільності розподілу, узятому в межах від а до b.

P(a < X < b) = ∫b f (x)dx

a

Доведення цієї теореми засноване на визначенні щільності розподілу і третій властивості функції розподілу, записаній вище.

Геометрично це означає, що ймовірність того, що безперервна випадкова величина прийме значення, що належить інтервалу (а, b), рівна площі криволінійної трапеції, обмеженою віссю ОХ, кривій розподілу f(x) і прямими x=a і x=b.

Функція розподілу може бути легко знайдена, якщо відома щільність розподілу, по формулі:

F(x) = ∫x f (x)dx

−∞

Властивості щільності розподілу.

1) Щільність розподілу – ненегативна функція.

f(x) ≥ 0

2)Невласний інтеграл від щільності розподілу в межах від - ∞ до ∞ рівний

одиниці.

∞∫ f (x)dx =1.

−∞

Приклад. Випадкова величина підпорядкована закону розподілу з щільністю:

26

						“Курс вищої математики. Частина 4.”
		a sin x,		при	0 ≤ x ≤ π
		f (x) =		при	x < 0	или	x > π
		0,
Потрібно знайти коефіцієнт а, побудувати графік функції щільності розподілу,
визначити ймовірність того, що випадкова величина потрапить в інтервал від 0 до										π .
Побудуємо графік щільності розподілу:										4
	0.5
	0.4
	0.3
	0.2
	0.1
		0.5	1	1.5	2		2.5	3
Для знаходження коефіцієнта а скористаємося властивістю									∞∫ f (x)dx =1.
									−∞
∞	0	π		∞	π				π = 2a =1;
∫ f (x)dx = ∫0dx + ∫a sin xdx + ∫0dx = a∫sin xdx = −a cos x
−∞	−∞	0		π	0				0
				a = 1 .
				2
Знаходимо ймовірність попадання випадкової величини в заданий інтервал.

Приклад. Задана безперервна випадкова величина х своєю функцією розподілу f(x).

π

≤ x ≤

π

Acos 2x, при −

4

4

f (x) =

> π

0,

при

x

4

Потрібно визначити коефіцієнт А, знайти функцію розподілу, побудувати

графіки функції

розподілу і

щільності

розподілу, визначити ймовірність того, що

π

випадкова величина х потрапить в інтервал

; 2 .

6

Знайдемо коефіцієнт А.

∞

−π/ 4

π/ 4

∞

Asin 2x

π

/ 4

∫ f (x)dx = ∫0dx + ∫Acos 2xdx + ∫0dx =

= A =1.

−∞

−∞

−π/ 4

π/ 4

2 −π/ 4

Знайдемо функцію розподілу:

π

x

x

1)

На ділянці x < −

:

F(x) = ∫ f (x)dx = ∫0dx = 0.

4

−∞

−∞

π

π

−π/ 4

x

sin 2x

2)

На ділянці

−

≤ x ≤

: F(x) =

∫0dx +

∫cos 2xdx =

4

4

2

−∞

−π/ 4

x

−π/ 4

= sin22x + 12 .

27

“Курс вищої математики. Частина 4.”

		π		−π/ 4	π/ 4	x	sin 2x	π	/ 4
	3) На ділянці x >		:	F(x) = ∫0dx +	∫cos 2xdx + ∫0dx =
									=1.
		4					2
				−∞	−π/ 4	π/ 4		−π/ 4

	при	−			π	≤ x ≤	π
cos 2x,				4			4
Разом: f (x) =								;
0,	при		x		> π
						4

при

x < −

π

0,

4

π

π

sin 2x +1

F(x) =

,

при −

≤ x ≤

;

2

4

4

π

при

x >

1,

4

Побудуємо графік щільності розподілу:
f(x)		1
		0.8
		0.6
		0.4
		0.2
-0.75	-0.5	-0.25	0.25	0.5	0.75
		ЛЕКЦІЯ 4.

Побудуємо графік функції розподілу:
F(x)		1
		0.8
		0.6
		0.4
		0.2
-0.75	-0.5	-0.25	0.25	0.5	0.75

π

Знайдемо ймовірність попадання випадкової величини в інтервал

6

; 2 .

π

=

2

π/ 4

2

sin 2x π/ 4

1

−

3

= 0,067;

P

< x < 2

∫ f (x)dx = ∫cos 2xdx + ∫0dx =

=

6

π/ 6

π/ 6

π/ 4

2

π/ 6

2

4

Ту ж саму ймовірність можна шукати і іншим способом:

π			= F(2) − F(π/ 6)	=1 −	sin(π/ 3) +1	=	1	−	3	= 0,067.
P	6	< x < 2			2		2		4

Числові характеристики безперервних випадкових величин.

28

“Курс вищої математики. Частина 4.”

Хай безперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу f(x). Допустимо, що всі можливі значення випадкової величини належать відрізку [а,b].

Визначення. Математичним очікуванням безперервної випадкової величини Х, можливі значення якої належать відрізку [а,b], називається певний інтеграл

b

M ( X ) = ∫xf (x)dx

a

Якщо можливі значення випадкової величини розглядаються на всій числовій осі, то математичне очікування знаходиться по формулі:

M ( X ) = ∞∫xf (x)dx

−∞

При цьому, звичайно, передбачається, що невласний інтеграл сходиться. Визначення. Дисперсією безперервної випадкової величини називається

математичне очікування квадрата її відхилення.

D( X ) = ∞∫[x − M (X )]2 f (x)dx

−∞

По аналогії з дисперсією дискретної випадкової величини, для практичного обчислення дисперсії використовується формула:

∞

D( X ) = ∫x2 f (x)dx −[M ( X )]2

−∞

Визначення. Середнім квадратичним відхиленням називається квадратний корінь з дисперсії.

σ(X ) = D(X )

Визначення. Модою М0 дискретної випадкової величини називається її найбільш ймовірне значення. Для безперервної випадкової величини мода – таке значення випадкової величини, при якій щільність розподілу має максимум.

f (M 0 ) = max.

Якщо багатокутник розподілу для дискретної випадкової величини або крива розподілу для безперервної випадкової величини має два або декілька максимумів, то такий розподіл називається двохмодальним або багатомодальним.

Якщо розподіл має мінімум, але не має максимуму, то воно називається

антимодальним.

Визначення. Медіаною MD випадкової величини Х називається таке її значення, щодо якого рівноімовірне набуття більшого або меншого значення випадкової величини.

P(X < M D ) = P(X > M D )

29

“Курс вищої математики. Частина 4.”

Геометрично медіана – абсциса крапки, в якій площа, обмежена кривою розподілу ділиться навпіл.

Відзначимо, що якщо розподіл одномодальное, то мода і медіана співпадають з математичним очікуванням.

Визначення. Початковим моментом порядку до випадкової величини Х називається математичне очікування величини Хk.

αk = M[ X k ].

n

Для дискретної випадкової величини: αk = ∑xik pi .

i=1

∞

Для безперервної випадкової величини: αk = ∫xk f (x)dx .

−∞

Початковий момент першого порядку рівний математичному очікуванню.

Визначення. Центральним моментом порядку до випадкової величини Х називається математичне очікування величини (X − mx )k .

µk = M[(X − mx )k ]

n

Для дискретної випадкової величини: µk = ∑(xi − mx )k pi .

i=1

Для безперервної випадкової величини: µk = ∞∫(x − mx )k f (x)dx .

−∞

Центральний момент першого порядку завжди рівний нулю, а центральний момент другого порядку рівний дисперсії. Центральний момент третього порядку характеризує асиметрію розподілу.

Визначення. Відношення центрального моменту третього порядку до середнього квадратичного відхилення в третьому ступені називається коефіцієнтом асиметрії.

µ

ax = σ33

x

Визначення. Для характеристики островершинности і плосковершинности розподіли використовується величина, звана ексцесом.

µ

Cx = σ44 −3

x

Окрім розглянутих величин використовуються також так звані абсолютні моменти:

Абсолютний початковий момент: βk = M[ X k ] .

Абсолютний центральний момент: νk = M[ X − mx k ] .

30