Частина 2
.pdf“Курс вищої математики. Частина 2.”
|
|
20 |
|
|
|
15 |
|
|
|
10 |
|
|
|
5 |
|
-10 |
-5 |
5 |
10 |
|
|
-5 |
|
|
|
-10 |
|
|
|
-15 |
|
|
|
-20 |
|
Схема дослідження функцій Процес дослідження функції складається з декількох етапів. Для
якнайповнішого уявлення про поведінку функції і характер її графіка необхідно відшукати:
1) Область існування функції.
Це поняття включає і область значень і область визначення функції.
2)Точки розриву. (Якщо вони є).
3)Інтервали зростання і убування.
4)Точки максимуму і мінімуму.
5)Максимальне і мінімальне значення функції на її області визначення.
6)Області опуклості і угнутості.
7)Точки перегину.(Якщо вони є).
8)Асимптоти.(Якщо вони є).
9)Побудова графіка.
Застосування цієї схеми розглянемо на прикладі.
Приклад. Досліджувати функцію і побудувати її графік.
Знаходимо область існування функції. Очевидно, що областю визначення
функції є область (-∞; -1) (-1; 1) (1; ). |
|
|
|
|
|
||||||||||
У свою чергу, видно, що прямі |
х = 1, х = -1 є вертикальними асимптотами |
||||||||||||||
кривої. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Областю значень даної функції є інтервал (-∞; ∞). |
|
|
|
|
|
||||||||||
Точками розриву функції є точки х = 1, х = -1. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Знаходимо критичні крапки. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Знайдемо похідну функції |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y |
′ |
|
|
|
3x2 |
|
(x2 −1) − 2x x3 |
|
3x4 −3x2 − 2x4 |
|
x4 −3x2 |
|
|||
= |
|
|
|
(x |
2 −1)2 |
= |
(x2 −1)2 |
= (x2 −1)2 |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
Критичні крапки: x = 0; x = - |
3 ; x = 3 ; |
x = -1; x = 1. |
|
|
|
|
|
||||||||
Знайдемо другу похідну функції |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
y′′ = |
(4x3 |
−6x)(x2 −1)2 −(x4 −3x2 )4x(x2 −1) |
= |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
(x2 −1)4 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
|
(4x3 |
−6x)(x4 − 2x2 |
+1) −(x4 −3x2 )(4x3 − 4x) |
= |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
(x2 −1)4 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“Курс вищої математики. Частина 2.” |
|||||
|
|
= |
|
4x7 −8x |
5 + 4x3 −6x5 +12x3 −6x − 4x7 + 4x5 +12x5 −12x3 |
= |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x2 −1)4 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
2x5 |
+ 4x3 −6x |
= |
2x(x4 + 2x2 −3) |
= |
2x(x2 +3)(x2 −1) |
= |
2x(x2 |
+3) |
. |
||||||
|
|
(x2 −1)4 |
|
(x2 −1)4 |
(x2 −1)4 |
(x2 −1)3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Визначимо опуклість і угнутість кривої на проміжках. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
-∞ < x < -, у′′ < 0, крива опукла |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
- 3 < x < -1, |
|
|
|
у′′ < 0, |
крива опукла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
-1 < x < 0, |
|
|
|
|
у′′ > 0, крива увігнута |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 < x < 1, |
|
|
|
|
у′′ < 0, крива опукла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 < x < 3 , |
|
|
|
|
у′′ > 0, крива увігнута |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 < x <∞, |
|
|
|
|
у′′ > 0, крива увігнута |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Знаходимо проміжки зростання і убування функції. Для цього визначаємо знаки |
||||||||||||||||
похідної функції на проміжках. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
-∞ < x < -, у′ > 0, функція зростає |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
- 3 < x < -1, |
|
|
|
у′ < 0, |
функція убуває |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
-1 < x < 0, |
|
|
|
|
у′ < 0, функція убуває |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 < x < 1, |
|
|
|
|
у′ < 0, функція убуває |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 < x < 3 , |
|
|
|
|
у′ < 0, функція убуває |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 < x <∞, |
|
|
|
|
у′′ > 0, функція зростає |
|
|
|
|
|
|
|
|
Видно, що точка х = - є точкою максимуму, а точка х = 3 є точкою мінімуму.
Значення функції в цих крапках рівні відповідно 3/2 і -3 3 /2.
Про вертикальні асимптоти було вже сказано вище. Тепер знайдемо похилі асимптоти.
k = lim |
x2 |
|
= lim |
|
|
1 |
=1; |
||
|
−1 |
|
|
1 |
|||||
x→∞ x2 |
x→∞ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
x |
3 |
|
|
|
3 |
− x |
3 |
+ x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
= lim |
|
|
|
|
= 0 |
|||||||
b = lim |
−1 |
− x |
= lim |
|
x |
− |
1 |
= lim |
−1 |
|
|
1 |
|||||||||||||||
x→∞ x |
|
x→∞ |
|
|
x→∞ x |
|
x→∞ |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|||||
Разом, рівняння похилої асимптоти – |
у = x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Побудуємо графік функції:
32
“Курс вищої математики. Частина 2.”
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
-2 |
-1 |
1 |
2 |
|
|
-1 |
|
|
|
-2 |
|
|
|
-3 |
|
|
|
-4 |
|
Векторна функція скалярного аргументу. |
z
A(x, у, z)
r |
r(t) − r0 |
r0
у
х
Хай деяка крива в просторі задана параметрично: x = (t); ϕу = (t); ψz = f(t);
Радіусвектор довільної точки кривої: r = xir + yjr + zk =ϕ(t)ir +ψ(t) rj + f (t)kr .
Таким чином, радиусвектор точки кривої може розглядатися як деяка векторна функція скалярного аргументу t. При зміні параметра t змінюється величина і напрям вектора rr.
Запишемо співвідношення для деякої точки t0:
limϕ(t) =ϕ0 ; |
limψ(t) =ψ0 ; |
lim f (t) = f0 ; |
t→t0 |
t→t0 |
t→t0 |
33
“Курс вищої математики. Частина 2.”
Тоді вектор rr0 =ϕ0ir +ψ
Очевидно, що
lim |
|
rr(t) − rr |
|
= lim (ϕ(t) |
|
|
|||
t→t0 |
|
0 |
|
t→t0 |
|
|
|
limt t rr(t) = rr0 .
→ 0
0 rj + f0 kr |
- межа функції (t). lim r (t) = r0 . |
|
t→t0 |
−ϕ0 )2 + (ψ(t) −ψ0 )2 + (f (t) − f0 )2 = 0 тоді
Щоб знайти похідну векторної функції скалярного аргументу, розглянемо приріст радиусвектора при деякому прирості параметра t.
|
|
|
|
|
|
|
rr(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆r (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r (t + ∆t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆r = r (t + ∆t) − rr(t) ; |
||||||||||||||
rr(t + ∆t) = ϕ(t + ∆t)i +ψ(t + ∆t) j + f (t + ∆t)k ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
∆rr = (ϕ(t + ∆t) −ϕ(t))i + (ψ(t + ∆t) −ψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|||||||||||||||||||||||
(t)) j + ( f (t + ∆t) − f (t))k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∆r |
|
ϕ(t + ∆t) − |
ϕ(t) r |
|
|
ψ(t + ∆t) −ψ |
(t) |
|
r |
|
|
|
f (t + ∆t) |
− f (t) r |
||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
i |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
+ |
|
|
|
|
|
k |
|||
∆t |
∆t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆t |
|
|
|
|
|
|
|
|
∆t |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
або, якщо існують похідні (t), (t), f(t), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
lim |
∆rr |
= |
|
|
′ |
|
r |
|
|
|
′ |
r |
|
|
′ |
|
r |
|
r′ |
|
|
|||||||||||||
|
|
∆t |
ϕ (t)i |
+ψ (t) j + f |
|
(t)k |
= r |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
∆t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Це вираз – вектор похідна вектора r . |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
dx r |
|
dy |
r |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
i + |
|
|
|
|
j + |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
dt |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
drr |
|
|
|
|
|
|
′ |
2 |
|
|
|
′ |
2 |
|
|
|
|
|
|
′ |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
[ϕ (t)] |
[ψ (t)] |
[f (t)] |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Якщо є рівняння кривої: |
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕу = (t); |
|
|
ψz = f(t); |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x = (t); |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
то в довільній точці кривої А(xА, yА, zА) з радиусвектором |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
r = xir + yrj + zkr = ϕ(t)ir + ψ(t) rj + f (t)kr |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
можна провести пряму з рівнянням |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Оскільки похідна - вектор, направлений по дотичній до кривій, то |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x − xA |
= |
y − yA |
= |
z − zA |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dxA |
|
|
|
|
|
dyA |
|
|
dzA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34
“Курс вищої математики. Частина 2.”
Властивості похідної векторної функції скалярного аргументу.
1) |
|
d |
(rr |
+ rr |
− rr ) = |
drr1 |
+ |
drr2 |
|
− |
|
drr3 |
|
|||||||||||
dt |
|
|
|
|
dt |
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|||||||||
2) |
d (λr ) |
= λ |
dr |
, де λ = (t) λ– скалярна функція |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) |
|
d(rr1 rr2 ) |
= |
drr1 |
|
rr |
+ rr |
drr2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
dt |
dt |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
4) |
|
d(rr1 ×rr2 ) |
= |
drr1 |
×rr + rr |
× |
drr2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
2 |
1 |
|
dt |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рівняння нормальної площини до кривої матиме вигляд:
|
dxA |
(x − xA ) + |
dyA |
( y − yA ) + |
dzA |
(z − zA ) = 0 |
||
|
|
|
|
|||||
|
dt |
|
dt |
dt |
||||
Приклад. Скласти рівняння дотичної і нормальної площини до лінії, заданої |
||||||||
рівнянням rr = i cos t + j sin t + |
3tk в точці t = π/2. |
|
|
Рівняння, що описують криву, по осях координат мають вигляд:
x(t)= cost; у(t)= sint; z(t)= 3t ;
Знаходимо значення функцій і їх похідних в заданій точці:
x(t)= -sint; |
|
|
у(t)= cost; |
||||||
x′(π/2)= -1; |
|
|
у′(π/2)= 0; |
|
z′(π/2)= |
||||
x(π/2)= 0; |
|
у(π/2)= 1; |
|
|
z′(π/2)= 3 π/2 |
||||
x |
|
y −1 |
|
z − |
π |
|
3 |
|
|
= |
= |
|
2 |
|
|
||||
−1 |
0 |
|
3 |
|
|
- це рівняння дотичної.
Нормальна площина має рівняння:
−1 (x − 0) + 0 + 3(z − |
π 3 ) = 0 |
|
2 |
− x + 3z − 32π = 0
Параметричне завдання функції.
Дослідження і побудова графіка кривою, яка задана системою рівнянь вигляду:
x = ϕ(t)
y = ψ(t) ,
проводиться загалом те аналогічно дослідженню функції вигляду у = f(x).
35
Знаходимо похідні:
Тепер можна знайти похідну
“Курс вищої математики. Частина 2.”
dxdt = ϕ′(t)
dy = ψ′(t)dt
dydx = ψϕ′′((tt)) . Далі знаходяться значення параметра t, при
яких хоч би одна з похідних (t) або (t) рівна нулю або не існує. Такі значення параметра t називаються критичними.
Для кожного інтервалу (t1, t2) (t2, t3) ., (tk-1, tk) знаходимо відповідний інтервал (x1, x2) (x2, x3) ., (xk-1, xk) і визначуваний знак похідної dydx на кожному з отриманих
інтервалів, тим самим визначаючи проміжки зростання і убування функції.
Далі знаходимо другу похідну функції на кожному з інтервалів і, визначаючи її знак, знаходимо напрям опуклості кривої в кожній крапці.
Для знаходження асимптот знаходимо такі значення t, при наближенні до яких або х або у прагне до нескінченності, і такі значення t, при наближенні до яких і х і у прагне до нескінченності.
У останньому дослідження проводиться аналогічним також, як і дослідження функції, заданої безпосередньо.
На практиці дослідження параметрично заданих функцій здійснюється, наприклад, при знаходженні траєкторії рухомого об'єкту, де роль параметра t виконує час.
Нижче розглянемо докладніше деякі широко відомі типи параметрично заданих кривих.
Рівняння деяких типів кривих в параметричній формі.
Коло.
Якщо центр кола знаходиться на початку координат, то координати будь-який її крапки можуть бути знайдені по формулах:
x = r cost |
0 ≤ t ≤ 3600 |
|
|
y = r sin t |
|
Якщо виключити параметр t, то отримаємо канонічне рівняння кола:
x2 + y2 = r2(cos2t + sin2t)= r2
Еліпс.
Канонічне рівняння: |
x2 |
+ |
y2 |
=1. |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
|
|
“Курс вищої математики. Частина 2.” |
У |
|
|
C |
|
M(x, у) |
t |
|
|
ПРО |
N P |
Для довільної точки еліпса М(х, у) з геометричних міркувань можна записати:
x
cost
х і у
= a з ОВР і siny t = b з OCN, де а- велика піввісь еліпса, а b- менша піввісь еліпса,
– координати точки М.
Тоді отримуємо параметричні рівняння еліпса:
x = a costy = bsin t
де 0 ≤ t ≤ 2
Кут t називається ексцентричним кутом.
Циклоїда.
у
|
|
|
З |
|
|
|
М |
До |
|
|
πа |
|
πх |
|
Про |
Р |
В |
2а |
Визначення. Циклоїдою називається крива, яку описує деяка крапка, лежача на колі, коли коло без ковзання котиться по прямій.
Хай коло радіусу а переміщається без ковзання уздовж осі х. Тоді з геометричних міркувань можна записати: OB = МВ = at; PB = MK = asint;
MCB = t; Тоді у = MP = KB = CB – CK = а – acost = а(1 – cost). x = at – asint = а(t – sint).
Разом: |
x = a(t −sin t) |
при 0 |
≤ t ≤ 2 π- це параметричне рівняння циклоїди. |
|
|
−cost) |
|||
|
y = a(1 |
|
|
Якщо виключити параметр, то отримуємо:
|
a − y |
− |
2ay − y |
2 |
|
πa ≤ x ≤ 2πa |
|
x = 2πa − a arccos |
a |
|
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x = a arccos a − y |
− |
|
2ay − y 2 , |
|
0 ≤ x ≤ πa |
||
|
a |
|
|
|
|
|
|
Як видно, параметричне рівняння циклоїди набагато зручніше у використанні, чим рівняння, що безпосередньо виражає одну координату через іншу.
37
“Курс вищої математики. Частина 2.”
Астроїда.
Дана крива є траєкторією точки кола радіусу R/4, що обертається без ковзання по внутрішній стороні кола радіусу R.
R/4
R
Параметричні рівняння, задаючі зображену вище криву
|
3 |
t |
|
|
x = a cos |
|
0 |
≤ t ≤ 2 |
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
y = a sin |
t |
|
|
|
|
|
|
Перетворюючи, отримаємо: x2/3 + y2/3 = a2/3(cos2t + sin2t)= a2/3
Похідна функції, заданої параметрично.
Хай
Припустимо, що ці функції мають похідні і функція x = (t) ϕмає зворотну функцію t =
Ф(х).
Тоді функція у = (t) може бути розглянута як складна функція у = ψ[Ф(х)].
dy |
= |
dy |
|
dt |
= |
dψ(t) |
|
dФ(x) |
|
dx |
dt dx |
dt |
dx |
||||||
|
|
|
оскільки Ф(х) – зворотна функція, то Остаточно отримуємо:
Таким чином, можна знаходити похідну функції, не знаходячи безпосередньої залежності у від х.
Приклад. Знайти похідну функції
Спосіб 1: Виразимо одну змінну через іншу, тоді
dy |
= ± b(−2x) = ± |
bx |
dx |
2a a2 − x2 |
a a2 − x2 |
x = a cost
Спосіб 2: Застосуємо параметричне завдання даній кривій: .
y = bsin t
dydx = −bacossintt = − atgtb x2 = a2cos2t;
38
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“Курс вищої математики. Частина 2.” |
|||||
1 |
|
=1+tg |
2 |
t |
|
tg |
2 |
t = −1 |
+ |
a2 |
= |
a2 − x2 |
tgt = ± |
a2 − x2 |
; |
dy |
= ± |
bx |
|
cos2 |
t |
|
|
x2 |
x2 |
x |
dx |
a a2 − x2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Кривизна плоскої кривої. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
У |
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
Визначення: Кут α повороту дотичної до кривій при переході від крапки А до крапки В називається кутом суміжності.
Відповідно, більш зігнута та крива, у якої при однаковій довжині більше кут суміжності.
Визначення: Середньою кривизною Кср дуги AB називається відношення
відповідного кута суміжності α до довжини дуги AB .
Kср = α
AB
Відзначимо, що для однієї кривої середня кривизна її різних частин може бути різною, тобто дана величина характеризує не криву цілком, а деякий її ділянка.
Визначення: Кривизною дуги в крапці НО називається межа середньої
кривизни при прагненні довжини дуги AB 0.
KA = lim Kср = lim α |
|
A→B |
AB→0 AB |
Легко бачити, що якщо позначити AB = S, то за умови, що кут α - функція, яка залежить від S і дифференцируема, то
K A = |
dα |
|
|
|
|
|
|
dS |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
Визначення: Радіусом кривизни кривої називається величина R = |
|
1 |
|
||||
|
|
. |
|||||
K A |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
Хай крива задана рівнянням у = f(x). |
|
|
|
39
“Курс вищої математики. Частина 2.”
у
B
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
ϕ |
|
ϕ+∆ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kcp = |
∆ϕ ; |
|
|
|
|
lim Kcp = |
dϕ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dS |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆S |
|
|
|
∆S →0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dϕ |
|
|
|
|
|
dϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Якщо ϕ = (x) і S = S(x), то |
|
= |
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
dS |
|
|
dS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
dϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В той же час |
|
|
= tgϕ; |
ϕ = arctg |
|
|
|
= |
|
dx2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
dx |
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
dy |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для диференціала дуги: |
dS |
= |
|
|
|
|
1 |
+ |
dy |
2 |
, тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dϕ |
|
|
|
|
|
d 2 y / dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ (dy / dx)2 |
|
|
d 2 y / dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + (dy / dx)2 |
|
dy |
2 3 / 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
K A |
|
= |
|
dϕ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K A |
|
= |
y′′ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Оскільки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
У інших позначеннях: |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
dS |
|
+ |
dy |
2 |
3 / 2 |
|
|
|
[1+ ( y′)2 ]3 / 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розглянемо криву, задану рівнянням: у = f(x).
A
C(а, b)
40