Частина 1

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Для визначення положення довільної крапки можуть використовуватися різні системи координат. Положення довільної крапки в какойабо системі координат повинне однозначно визначатися. Поняттям системи координат є сукупність точки початку відліку (початки координат) і деякого базису. Як на площині, так і в просторі можливе завдання найрізноманітніших систем координат. Вибір системи координат залежить від характеру поставленого геометричного, фізичного або технічного завдання. Розглянемо деякі найбільш часто вживані на практиці системи координат.

Декартова система координат.

Зафіксуємо в просторі крапку Про і розглянемо довільну точку М.

Вектор ОМ назвемо радиусвектором точки М. Еслі в просторі задати деякий базис, то точці М можна зіставити деяку трійку чисел – компоненти її радиусвектора.

Визначення. Декартовою системою координат в просторі називається сукупність крапки і базису. Точка називається початком координат. Прямі, що проходять через початок координат називаються осями координат.

1-а вісь – вісь абсцис

2-а вісь – вісь ординат

3-а вісь – вісь апликат Щоб знайти компоненти вектора потрібно з координат його кінця відняти

координати почала.

Якщо задані крапки А, B(x2, y2, z2), то АВ = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1).

Визначення. Базис називається ортонормованим, якщо його вектори попарно ортогональні і рівні одиниці.

Визначення. Декартова система координат, базис якої ортонормирован називається декартовою прямокутною системою координат.

Приклад. Дані векториarr(1; 2; 3), b (-1; 0; 3), с (2; 1; -1) і d (3; 2; 2) в деякому

базисі. Показати, що вектори, b і с утворюють базис і знайти координати вектора d в цьому базисі.

Вектори утворюють базис, якщо вони лінійно незалежні, іншими словами, якщо рівняння, що входять в систему:

α − β + 2γ = 0
2α + 0 β +γ = 0	лінійно незалежні.
3α +3β −γ = 0

Тоді d =αa + βb +γ c .

Ця умова виконується, якщо визначник матриці системи відмінний від нуля. 1 −1 2

20 1 ≠ 0

33 −1

	1	−1	2		=		0	1		+		2	1		+ 2		2	0		= −3 + (−2 −3) +12 = 4 ≠ 0
	2	0	1
	3	3	−1				1	−1				3	−1				3	3

21

						“Курс вищої математики. Частина 1.”
αa		+ βb	+γc	= d	1
	1	1	1
αa2		+ βb2	+γc2	= d2 Для вирішення цієї системи скористаємося методом Крамера.

αa3 + βb3 +γc3 = d3

d1

b1

c1

3

−1

2

0 1

2 1

2 0

∆1 =

d

b c

2

=

2 0

1

= 3

+

+ 2

= 3(−3) + (−2 − 2) +12 = −1.

2

2

3 −1

2 −1

2 3

d3

b3

c3

2

3

−

1

α =

∆1

= −1/ 4 ;

∆

a1

d1

c1

1

3

2

∆2 =

a2

d2

c2

=

2

2

1

= (−2 − 2) −3(−2 −3) + 2(4 −6) = −4 +15 − 4 = 7;

a3

d3

c3

3

2

−1

β =

∆2

= 7 / 4;

∆

a1

b1

d1

1

−1

3

∆3 =

a2

b2

d2

=

2

0

2

= −6 + (4 −6) +18 =10;

a

3

b

d

3

3

3

2

3

γ = ∆∆3 = 5 / 2;

Разом, координати вектора d в базисі a с : d { -1/4, 7/4, 5/2}.

Довжина вектора в координатах визначається як відстань між точками почала і кінця вектора. Якщо задано дві крапки в просторі А, B(x2, y2, z2), то

AB = (x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .

Якщо точка М(х, у, z) ділить відрізок АВ в співвідношенні λ/µ, то координати

цієї точки визначаються як:

x =	µx1 + λx2	;	y =	µy1 + λy2	;	z =	µz1 + λz2 .
	µ + λ			µ + λ			µ + λ

У окремому випадку координати середини відрізання знаходяться як: x = (x1 + x2)/2; у = (y1 + y2)/2; z = (z1 + z2)/2.

Лінійні операції над векторами в координатах.

Хай задані вектори в прямокутній системі координат a(xA , yA , zA ); b(xB , yB , zB ), тоді

a +b = c(xA + xB ; yA + yB ; z A + zB ); α a = (αxA ;αyA ;αz A )

22

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Скалярний твір векторів.

Визначення. Скалярним твором векторів a і b називається число, рівне твору довжин цих сторін на косинус кута між ними.

a b = a b cos

Властивості скалярного твору:

1)

r

r

r

2

;

a

a

= a

r

r

r

2)

r

r

= 0, якщо

або

= 0 або b

= 0.

a

b

a b

a

3)

r

r

r

r

;

a

b

= b a

4)

r

r

+ c ) =

r

r

r

c ;

a

( b

a

b +

a

r

5)

r

r

r

b

r

(m a ) b = (m) a

= m( a b );

Якщо розглядати вектори в декартовій прямокутній системі координат, то

ar br = ха xb + уа yb + za zb;

Використовуючи отриману рівність, отримуємо формулу для обчислення кута між векторами:

cos ϕ =

xa xb

+ ya yb + za zb

;

r

r

a

b

Приклад.

Знайти (5 ar + 3 br )(2 - b ), якщо

r r

r

r

r

r r

= 10

r

2

−3

r

2

= 40 − 27 =13 ,

10 a

a

- 5 a b

+ 6 a

b - 3 b b

a

b

r

r

=

r

2

= 4,

r

r

=

r

2

=

9,

r

r

оскільки a a

a

b b

b

a

b = 0 .

Приклад. Знайти кут між векторами і, якщо

b = 6i + 4 j − 2k .

r

Тобто ar = (1, 2, 3),

= (6, 4 -2)

b

r

r

= 6 + 8 – 6 = 8:

a

b

br =

ar =

1+ 4 +9 =

14;

36 +16 + 4 = 56 .

cosϕ =

Приклад.

Знайти скалярний твір (3 - 2 b ) (5 - 6 b ), якщо

r r

r

r

r

r r

r

2

r

r

π

r

2

1

15 a

a

- 18 a

b - 10 a

b + 12 b

b = 15

a

−

28

a

b

cos

+12

b

=15

16

− 28 4 6

+

3

2

+ 1236 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.

Приклад. Знайти кут між векторами і, якщо b = 4i +5 j −3k .

23

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Тобто ar

= (3, 4, 5),

r

b = (4, 5 -3)

r

r

a

b = 12 + 20 - 15 =17 :

br =

ar =

9 +16 + 25 =

50;

16 + 25 +9 =

50 .

cosϕ =

Приклад. При якому m вектори ar = mi + j і b = 3i −3 j − 4k

перпендикулярні.

ar= (m, 1, 0);

b = (3 -3, -4) b

ar b = 3m −3 = 0; m =1.

r

Приклад. Знайти скалярний твір векторів 2ar + 3b + 4cr і, якщо

r

r

r

r

r

r

r

r

r

b +

r r

r

r

( 2a +

3b

+ 4c )( 5a + 6b + 7c ) = 10a

a

+12a

14a

c

+15a b +18b

b

+ 21b

c +

+

r r

r

r

r

r

r r

r

r r

+

r

r r

20c

a

+ 24b

c + 28c

c

=10 a

a

+ 27a b + 34a c

45b c +18b b +

28c c = 10 +

+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.

Векторний твір векторів.

Визначення. Векторним твором векторів і b називається вектор, що задовольняє наступним умовам:

1) cr = ar br sinϕ , де ϕ - кут між векторами і sinϕ ≥ 0; 0 ≤ϕ ≤π

2)векторr ортогональний векторам і

3)ar, b і cr утворюють праву трійку векторів. Позначається: cr = ar×br абоcr =[ar,b].

cr

b

ϕ

a

Властивості векторного твору векторів:

1) br×ar = −ar×br ;

2)ar×br = 0 , якщо ar br або ar= 0 або b = 0;

3)(m) ar×br = (m) = ar×br m( ar br );

4)ar×( br + сr) = ar×br + ar× сr;

5)Якщо задані вектори ar(ха, уа, za) і b (xb, yb, zb) в декартовій прямокутній системі координат з одиничними векторами, то

24

“Курс вищої математики. Частина 1.”

ir rj kr

a ×b = xa ya za xb yb zb

6) Геометричним сенсом rвекторного твору векторів є площа паралелограма, побудованого на векторах і b .

Приклад.

Знайти векторний твір векторів

ar = 2i +5 j + k і

b = i + 2 j −3k .

ar = (2, 5, 1);

br = (1, 2, -3)

r

r

ir rj

kr

r

5

1

r

2

1

r

2

5

r

r

r

a

×b

=

2

5

1

= i

2

−3

− j

1

−3

+ k

1

2

= −17i

+ 7 j

− k .

1

2

−3

Приклад. Обчислити площу трикутника з вершинами А, В(4, 0, 3)

З(0, 1, 0).

AC = (0 − 2;1− 2;0 − 2) = (−2;−1;−2)

AB = (4 − 2;0 − 2;3 − 2) = (2;−2;1)

ir

rj

kr

−1 − 2

− 2 − 2

r

− 2 −1

AC × AB =

r

r

r

r

+ 4)

+

− 2 −1 − 2

= i

− 2

1

− j

2

1

+ k

2

− 2

= i (−1− 4) − j(−2

2

− 2

1

+ kr(4 + 2) =

−5ir − 2 rj + 6kr.

AC × AB =

25 + 4 +36 =

65.

S∆

=

65

(ед2).

2

Приклад. Довести, що вектори, і cr = i − j + k

компланарны.

1 −1 1

1 −1 1

3

−7

8

0

− 4

5

оскільки вектори

лінійно

залежні, то вони

~

,

7

−3 2

0 4

−5

компланарны.

Приклад. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах, якщо

(ar +3b) ×(3ar +b) = 3ar×ar + ar×b +9b ×ar +3b ×b = −b ×ar +9b ×ar = 8b ×ar

S = 8b ar sin 300 = 4 (ед2).

Змішаний твір векторів.

Визначення. Змішаним твором векторів, b і c називається число, рівне скалярному твору вектора ar на вектор, рівний векторному твору векторів br і cr.

25

br×cr

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Позначається або ( ar, br , cr).

Змішаний твір по модулю рівний об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах, b і cr.

ar

c

br

Властивості змішаного твору:

1)Смешанное твір рівний нулю, якщо: а)хоть один з векторів рівний нулю; би)два з векторів коллинеарны; у)векторы компланарны.

2) (ar×b) cr = ar (b ×cr)

3) (ar,b,cr) = (b,cr, ar) = (cr, ar,b) = −(b, ar,cr) = −(cr,b, ar) = −(ar,cr,b) 4) (λar1 + µar2 ,b,cr) = λ(ar1 ,b,cr) + µ(ar2 ,b,cr)

5) Об'єм трикутної піраміди, утвореної векторами, b і, рівний

			1		(ar,br,cr)
6)Еслиar	= (x1, y1, z1) , br	6
		= (x2 , y2 , z2 ), cr = (x3 , y3 , z3 ) , то
		r r r				x1	y1	z1
				=		x2	y2	z2
		(a,b,c)
						x3	y3	z3

Приклад. Довести, що крапки А, B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежать в одній площині.

Знайдемо координати векторів:

Знайдемо змішаний твір отриманих векторів:

AB AC AD =		− 2	−6	1				− 2 −6 1						0	−6	1		= 0 ,
		4 −3		− 2		=		0	−15	0		=		0	−15	0
		− 4	− 2	2				0	10	0				0	10	0

Таким чином, отримані вище вектори компланарны, отже точки A, B, C і D лежать в одній площині.

26

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Приклад. Знайти об'єм піраміди і довжину висоти, опущеної на грань BCD, якщо вершини мають координати A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

Знайдемо координати векторів: Об'єм піраміди

Для знаходження довжини висоти піраміди знайдемо спочатку площу підстави BCD.

ir

kr

BD × BC =

j

r

r

r

r

r

r

1

4

−3

= i (−8 −3) − j(−2

+12) + k (−1−16) = −11i

−10 j

−17k.

4

−1

− 2

BD × BC =

112 +102 +172

= 121+100 + 289 =

510

Sосн = 510

/ 2 (ед2)

Оскільки V =

Sосн h

;

h =

3V =

120

= 4 510

. (ед)

510

3

Sосн

17

Рівняння поверхні в просторі.

Визначення. Будь-яке рівняння, що зв'язує координати x, у, z будь-якої точки поверхні є рівнянням цієї поверхні.

Загальне рівняння площини.

Визначення. Площиною називається поверхня, вагу точки якої задовольняють загальному рівнянню:

Ax + By + Cz + D = 0

де А, В, З – координати вектора N = Air + Brj + Ckr -вектор нормалі до площини.

Можливі наступні окремі випадки:

А= 0 – площина паралельна осі Ох У = 0 – площина паралельна осі Оу З = 0 – площина паралельна осі Оz

D = 0 – площина проходить через початок координат

А= У = 0 – площина паралельна площині хОу

А= З = 0 – площина паралельна площині хОz

У= З = 0 – площина паралельна площині yOz А = D = 0 – площина проходить через вісь Ох

У= D = 0 – площина проходить через вісь Оу З = D = 0 – площина проходить через вісь Oz

А = У = D = 0 – площина співпадає з площиною хОу А = З = D = 0 – площина співпадає з площиною xOz

У= З = D = 0 – площина співпадає з площиною yOz

Рівняння площини, що проходить через три крапки.

27

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Для того, щоб через три какиеабо точки простору можна було провести єдину площину, необхідно, щоб ці крапки не лежали на одній прямій.

Розглянемо точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в загальній декартовій системі координат.

Для того, щоб довільна точка М(x, у, z) лежала в одній площині з точками М1, М2, М3 необхідне, щоб вектори M1M 2 , M1M 3 , M1M були компланарны.

( M1M 2 , M1M 3 , M1M ) = 0

Таким чином

Рівняння площини, що проходить через три крапки:

	x − x1	y − y1	z − z1
	x2 − x1	y2 − y1	z2 − z1	= 0
	x3 − x1	y3 − y1	z3 − z1

Рівняння площини по двох точках і векторі, колінеарному площині.

Хай задані точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) і вектор ar = (a1 , a2 , a3 ) .

Складемо рівняння площини, що проходить через дані точки М1 і М2 і довільну точку
М(х, у, z) паралельно вектору ar.
Вектори і вектор ar = (a1 , a2 , a3 )			повинні бути компланарны, тобто
Рівняння площини:		( M1M , M1M 2 , ar ) = 0
		x − x1	y − y1	z − z1
		x2 − x1	y2 − y1	z2 − z1		= 0
		a1	a2	a3

Рівняння площини по одній точці і двом векторам колінеарним площині.

Хай задано два вектори ar = (a1 , a2 , a3 ) іb = (b1 ,b2 ,b3 ) , колінеарні площини. Тоді

для довільної точки М(х, у, z), належної площини, вектори ar,br, MM1 повинні бути компланарны.

Рівняння площини:

x − x1	y − y1	z − z1
a1	a2	a3		= 0
b1	b2	b3

Рівняння площини по точці і вектору нормалі.

28

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Теорема. Якщо в просторі задана точка М0(х0, у0, z0), то рівняння площини,

що проходить через точку М0 перпендикулярно вектору нормалі					N (A, B,	C)	має
вигляд:
	A(x – x0)+ B(у – y0)+ C(z – z0)= 0.
Доказ. Для довільної точки М(х, у, z), належної площини, складемо вектор
M 0 M = (x − x0 , y − y0 , z − z0 ) .		Оскільки	вектор N - вектор		нормалі,	то	він
перпендикулярний площині,		а, отже,	перпендикулярний і вектору M 0 M .				Тоді
скалярний твір

M 0 M N = 0

Таким чином, отримуємо рівняння площини

A(x − x0 ) + B( y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0

Теорема доведена.

Рівняння площини у відрізках.

Якщо в загальному рівнянні Ах + Ву + Сz + D = 0 поділити обидві частини на -D

− DA x − DB y − CD z −1 = 0 ,

замінивши, отримаємо рівняння площини у відрізках:

ax + by + cz =1

Числа а, b, з є точками перетину площини відповідно з осями х, у, z.

Рівняння площини у векторній формі.

r n = p, де

rr = xi + yj + zk - радиусвектор поточної точки М(х, у, z)

nr = i cosα + j cos β + k cosγ - одиничний вектор, що має напрям, перпендикуляра, опущеного на площину з початку координат.

αі γ - кути, утворені цим вектором з осями х, у, z.

p– довжина цього перпендикуляра.

Укоординатах це рівняння має вигляд:

xcosα + ycosβ + zcos - p = 0.

Відстань від крапки до площини.

Відстань від довільної точки М0(х0, у0, z0) до площини Ах+ву+сz+d=0 рівна: d = Ax0 + By0 +Cz0 + D

A2 + B2 +C 2

29

“Курс вищої математики. Частина 1.”

Приклад. Знайти рівняння площини, знаючи, що точка Р(4; -3; 12) – підстава перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю площину.

OP = (4;−3;12); OP = 16 +9 +144 = 169 =13

N = (134 ;−133 ;1213)

Таким чином, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, скористаємося формулою:

A(x – x0)+ B(у – y0)+ C(z – z0)= 0.

134 (x − 4) −133 ( y +3) + 1213 (z −12) = 0

134 x −1613 −133 y −139 + 1213 z −14413 = 0 134 x −133 y + 1213 z −16913 = 0

4x −3y +12z −169 = 0.

Приклад. Знайти рівняння площини, що проходить через дві точки P(2; 0; -1) і Q(1; -1; 3) перпендикулярно площини 3х + 2у – z + 5 = 0.

Вектор нормалі до площини 3х + 2у – z + 5 = 0 N = (3;2;−1) паралельний шуканій

площині. Отримуємо:

	x − 2	y −0		z +1
	1− 2 −1−0 3 +1							= 0
	3	2		−1
	x − 2	y	z +1
	−1	−1	4			= 0
	3	2	−1

(x − 2)(1−8) − y(1−12) + (z +1)(−2 +3) = 0

−7(x − 2) +11y + (z +1) = 0

−7x +14 +11y + z +1 = 0

−7x +11y + z +15 = 0

Приклад. Знайти рівняння площини, що проходить через крапки А(2 -1, 4) і У(3, 2 -1) перпендикулярно площини х + у + 2z – 3 = 0.

Шукане рівняння площини має вигляд: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормалі до цієї площини n1 (A, B, C). Вектор AB (1, 3 -5) належить площині. Задана нам площина,

30