683
.pdfто кажуть, що випадкова величина Х має щільність розподілу / (х). Справе
дливе співвідношення для всіх х: F'(x)-=- j'(x). Щільність розподілу має такі
властивості:
оо |
р |
1) /(х)~О (невід'ємна);2) J/(x)dx=-=1;3) |
Р{а<х<Р}= f.f(x)dx.(20) |
|
а |
До числових характеристик випадкових величин відносять: матеl\штичнс
сподівання М [Х], дисперсію D[ Х] та середнє квадратичне відхилення
Числові характеристики знаходимо за формулами:
- для дискретної випадкової величини
п |
|
|
|
М[Х]= L.XiPi; |
|
(21) |
|
і=І |
|
|
|
|
|
|
(22) |
- для неперервної випадкової величини |
|
|
|
М[Х]= Jx·.f(x)dx; |
(23) |
||
-х |
|
|
|
х |
оо |
/(x)d-r-(м[x])2 . |
|
D[X]= f (х-м[х])2Лх)d-r= |
f x 2 |
(24) |
Математичне сподівання характеризує середнє значення випадкової ве личини, а дисперсія визначає ступінь розсіювання значень випадкової події біля її середнього значення (математичного сподівання). Математичне споді
вання та дисперсію випадкової величини Х - числа появ подій при п незале жrшх випробувань, коли ймовірність появи події в одному іспиту дорівнює р,
знаходять за формулами:
М[Х]=пр; D[X)=npq; q=I-p. |
(25) |
11
Закони розподілу випадкових величин
Законом розподілу випадкової величини називають залежність між мож
ливими значеннями величини та відповідними ймовірностями.
Мають місце наступні закони розподілу. Біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини визначається залежністю (9), а закон розпо ділу Пуассона відповідно формулою (19).
Розподіл випадкової величини Х являється нормальним, коли її диферен ціальна функція (щільність розподілу) має вигляд
1 |
-(х-а) 2 |
|
|
,.., |
2 |
(26) |
|
f(x)=--e |
-а |
, -оо<х<оо, |
|
cr&. |
|
|
|
де а = М[ Х] - математичне сподівання, а =JD [ Х] .
Для нормального розподілу мають місце наступні співвідношення:
|
(27) |
Р(Іх-а[<є)=2Ф(~} |
(28) |
Р([х-аІ < 3а)=О,9973, |
|
де Ф(х) - функція Лапласа , Р(Іх - аІ <є) - ймовірність того, що випадкова
величина Х буде відхилятися від а на величину, меншу є.
Випадкова велrчина Х розподіляється рівномірно в інтервалі [а, ЬJ, коли
вона приймає будь-яке значення з цього відрізку з однією ймовірністю та її щільність розподілу визначається залежністю
f(x)=l- , хє[а,Ь], |
(29) |
Ь-а |
|
а за межами відрізка [а, Ь] щільність розподілу дорівнює нулю.
Розв'язок типових задач
1. В ящику змішано 20 деталей, які виробив перший робітпик, і 1О дета лей, які зроблені другим робітником. З ящика узято 5 детааей. Визначити ймовірність того, що: а) всі деталі зроблені першим робітником; б) взяли дві
12
деталі зроблені першим робітником: в) взяли хоч одну деталь, яка зроблена першим робітником.
Розв'язок а) Подія А - навмання узято 5 деталей із 3агальної кількості деталей
20 + І О= 30, які зробив перший робітник:
'і
Р(А)= т = С~о = О,І09 .
пС')30
б) Подія В - узято дві дста.1і, зроб,1ені першим робітником
Р(В) = т = |
с2 |
С3 |
?ОІ 2'15' |
20 |
10 =--=--:....._-_·_·=О,16. |
пС~о 2!18! 30!
в) Подія С - навмання узята хоча б одна дета.:1ь, яку зробив перший робі
тник. Ймовірність цієї події знаходимо через протилежну подію С - всі взяті
5 деталей зробив другий робітник
Р(С)=-1-Р(С)=І- С~5о= 1-0,0018 = 0,9982.
сзо
2. Три стрільці зробили по одному пострілу по мішені. Ймовірність того,
що перший стрілець влучає в ціль дорівнює 0,9, для другого стрільця й~ювір ність влучити в ціль складає 0,8, а для третього - 0,6. Знайти ймовірність то го, що: а) у мішень влучать два стрільці; б) у мішень влучить хоча б один стрілець; в) у мішень влучають не менше двох стрільців.
Розв'язок
а) Розглянемо наступні випадкові події: подія А - у мішень влучив пер ший стрі;~ець. Тоді подія А - перший стрілеuь не влучив у ціль; подія В - у
мішень влучив дру1·ий стрі.1ець; В - у мішень не влучив другий стрілець; по
дія С - |
третій стрілець влучив, подія С - третій стрілець зробив промах. |
|||
За |
умовою задач~ |
Р(А) =-= О,9; |
Р(А) = \- Р(А) := О,\ ; |
!'{В) = 0, 8; |
Р(В) '°'І - Р(В)-= 0,2; Р(С) = 0,6; Р(С) "" І - Р(С)-~ 0,4 .
Подія D - у мішень влучили два стрільці. Подія D відбувається:
D = ABCu АВСu АВС;
13
P(D) = Р(АВС u АВС u АВС)= Р(А)Р(В)Р(С) + Р(А)Р(В)Р(С) +
+Р(А)Р(В)Р(С) = 0.444
б) Подія Е - у мішень влучить хоча б один зі стрільців. Подія Е протиле жна події Е -- всі стрільці зробили промах, тоді:
Р(Е) = Р(АВС) = Р(А)Р(В)Р(С) = 0,008;
Р(Е) = 1- Р(Е) = 1- 0,008 =О,992.
в) Подія К - у мішень влучать не менше двох стрільців. Ця подія склада
ється з таких несумісних подій: КІ - в мішень влучили два стрільці; К2 - в
ціль влучили всі три стрільці.
К=КІ+К2; Kl=D; К2=АВС;
Р(К) = Р(КІ + К2) = Р(КІ) + Р(К2) =P(D) + Р(АВС) = 0,444 + 0,432 = 0,876.
3. На склад надійшло 20 деталей, виготовлених заводом № І, 40 деталей -
заводом № 2 та 60 деталей - заводом № 3. Перший завод виготовляє 90%
стандартних деталей, друтий завод - 95%, а третій - 85%.
1. Чому дорівнює ймовірність того, що узята зі складу деталь буде стан
дартною?
2. Знайти ймовірність того, що узята бракована деталь, яка виготовлена
на друтому заводі.
Розв'язок
l) Подія А - зі складу узяли стандартну деталь. Ймовірність події визна
чаємо за формулою (7). Вводимо гіпотези:
Н 1- взяли деталь, виготовлену па заводі № 1:
Р(Н )- т _ |
20 |
|
6' |
І - п - |
20 + 40 |
+ 60 |
Н 2 - взяли деталь, виготовлену на заводі № 2:
40 1
Р(Н7)=-=-·
- 120 3,
Н 3 - взяли детааь, виготовлену на заводі No 3:
Р(Н |
з |
) = 60 = _!_. |
|
120 2 |
14
За умовою задачі
2) Подія В - взяли браковану деталь. Ймовірність події Н2 - деталь ви
готовлена заводом № 2 - знаходимо за формулою Бсйєса (8). Споqатку зна ходимо умовні ймовірності подій:
Рн:ип =1-РнІ(А) =0,1; Рн2(В) =І-Рн,(А) =0,05;
рН (8) =І - РН 3(А) =О,15;
3
4. Кожний п'ятий покупець, який заходить до магазину, робить покупку.
Чому дорівнює ймовірність того, що: а) із чотирьох покупців, що зайшли в
магазин, двоє зроблять покупку; б) із шести покупців не більше двох зроб лять покупку; в) із 100 покупців 30 зроблять покупку; r) із 400 покупців не менше 50 і не більше 100 покупців зроблять покупки.
Розв'язок
Умові задаqі відповідає схема повторних випробувань. Покупеuь робить
покупку з ймовірністю р= т =_!____ =~. Ймовірність протилежної події (по
п5k ~
купець не робить покупки) q =І - р = 0,8.
а) У цьому випадку п= 4, т-= 2 і оскільки кількість випробувань в експе рименті мала, то користуємося формулою (9):
гj2 ) =С] · p 2q 2 =0,1536.
б) Нехай подія А - із 6 покупців пе більше двох придбають товар. Подія А є сумою таких несумісних подій: А 1 - ніхто з покупців не купив товар; А 2 -
тільки один покупець зробив покупку; А3 - рівно два покупці придбали то
вар. Ймовірність подій А1, А 2 і А3 знаходимо за формулою Бернуллі (9),
коли п= б, т =О, І, 2.
Р(А) = Р(А 1) + Р(А2) + Р(А3);
15
,О |
О 6 |
І |
1 5 |
2 |
2 |
4 |
Р(А)=Сб ·р |
q |
+Сб·Р |
q |
+Сб ·р |
q |
=0,9. |
в) Подія В - з 1ОО покупців 30 зроби,1и покупки. Число випробувань (кі JІІ,кість покупців) п= І ОО велике і використаємось локальною теоремою Лап
ласа ( 17), ко:ти т =30:
|
|
|
|
|
(30) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(В)=Р100 |
= с=<р(х); |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
-vnpq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т - пр 30-100·0,2 |
- 2.5 . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Х=--= |
~100·0,2·0.8 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
-ГпРЧ |
. |
|
|
|
|
|
||
з |
таблиці |
значень |
функції |
<р(х) (додаток |
І) |
3НаХОДИМО |
||||||
<р(х) = <р(2, 5) -= 0,0175. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(В)= _!_·0,0175 = 0.0044 . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
г) Ймовірність події С - |
що з 400 покупців не менше 50 і не бі,1ьш |
l ОО |
||||||||||
куплять |
товар, |
необхідно |
знайти |
за |
формулою ( 18). |
Для |
таких значень |
|||||
n = 400, k 1 = 50 і k1 = 100: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
k 1 |
-пр |
50-400-0,2 =-3 75· |
|
|
|
||||
|
|
х1 = |
r;;;;q .J100. 0,2. 0,8 |
, |
, |
|
|
|
||||
|
|
|
k |
2 -пр |
100 - 400-0,2 =2,5. |
|
|
|
|
|||
|
|
х2 = |
с= |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-vnpq |
|
|
|
|
|
|
|
||
З таблиці |
значень |
функції |
Ф(х) (додаток |
2) |
визначаою, |
що |
||||||
Ф(-3,75) =-Ф(З,75) = - 0,4999, Ф(2,5) = 0,4938 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
Тоді |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(С) = Р4оо(50 < k < 100) = Ф(2,5)-Ф(-3,75) = 0,4938+ 0,4999 =0,9957 .
4. а) З ящика, в якому лежать 5 стандартних та 2 нестандартні деталі. на вмання вийняли 2 деталі. Скласти закон розподілу випадкової вслич:ини Х -
чиспа вийнятих нестандартних дста.аей. Знайп1 матсматич:нс оч1кувапня
М [х) і дисперсію D[x) цієї випадкової ве.ш•шпи.
16
Розв'язок
Х - дискретна випадкова величина, яка може прийняти значення О, І, 2, 3,
4 (число 6 може з'явитись тільки таку кількість разів при чотирьох
підкиданнях). Ймовірність цих значень визначаємо за формулою Бернуллі
(9). Заумовою задачі п=4; р= _!_; |
q =~. |
|
|
|
|
|
|||
|
6 |
6 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(0) |
|
'о |
о |
|
4 |
-"" 0,48; |
Ро=Р(х=О)=Р4 =С4р |
q |
|
|||||||
|
|
|
(!) |
|
І |
І 3 |
|
||
P1=P(x=l)=P4 |
=С4р |
q |
=0,39; |
||||||
. |
) |
= |
р(2) |
= |
С'2 |
2 |
q |
2 |
О/? |
Р2= р(Х= 2 |
|
4 |
4р |
|
|
= ,_; |
|||
Рз =Р(х = З)= Р4(3) =С 43р 3q |
І |
=0,01; |
4
Перевірка: L Рі = 0,48 + 0,39 ~ 0,12 + 0,01 +О = І.
|
|
і=О |
|
|
|
|
|
Закон розподілу приймає вигляд |
|
|
|
||||
х |
І |
о |
І |
І |
2 |
3 |
4 |
р |
|
0,48 |
|
0,33 |
0,12 |
ОЛІ |
о |
Знайдемо значення функції роз1юділу F(x) і нанесемо їх на рисунок: |
|||||||
--х:<х~О |
F(x)=P(x<O)=O; |
|
|
|
|||
О<х~І |
|
F(x) = Р(х < 1) = Р(х =О)= О, 48; |
|
|
|||
І <х~2 |
|
F(x) =Р(х < 2) = Р(х =О)+ Р(х = 1) = 0,87; |
|
||||
2<х~3 |
|
F(x) = Р(х < З)= Р(х =О)+ Р(х = 1) + Р(х = 2) =О, 99; |
|
||||
3<х~4 |
|
F(x) = Р(х < 4) -= Р(х =О), Р(х "" \) + Р(х = 2) _.._ Р(х = 3) = l; |
|||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4<х<оо |
F(x) = |
|
L рі =J _ |
|
|
|
і=/1
18
F(x)
~
0,5 ,____
о |
2 |
з |
4 |
х |
5. а) Відома функція щільності розподі,1у випадкової величини х:
о |
|
|
те |
,якщо |
-YJ <х <-- |
||
|
|
|
2 |
j(x)= Acos 2 х |
|
те |
те |
,якщо |
--:с:;х:с:;- |
||
|
|
2 |
2 |
о |
|
1t |
|
,якщо |
Х>- |
|
|
|
|
2 |
|
Потрібно:
І) Знайти значення коефіцієпта А;
2)Обчис.:шти функцію розподілу F(x);
3)Обчиспити математичне очікування М [ Х] і середньо квадратичне від
хилення а[Х];
4) Чому дорівнює ймовірність того, що х приймає значення з інтервалу
(о.~}
5) Побудувати графіки /(х) та F(x).
Розв'язок
І. Х - неперервна випадкова ве,1ичина. Значення коефіцієпта А визначає мо за формулою (20). За умовою функція щільності розподілу не дорівнює
. |
. |
.г те теj |
,тому |
пулю пльки па штерваш L-2; 2 |
к/2
f f(x)(/x =І;
-тт/2
19
л/2 |
л/7 |
|
( |
x+sin2x) |
lrr.1 2 |
|
J Acos2xt:ix=A |
( |
l+cos2xdx=_i |
=_i·n=J· |
|||
-л/2 |
-тт1' 2 |
2 |
2\ |
2 |
-л/2 2 |
, |
І
А=-=-.
1t
2. Функцію розподілу випадкової величини визначаємо за співвідношен
ням:
х
F(x) = J f(x)dx.
Щільність розподілу має різний вигляд на трьох інтерва,1ах. Визначаємо F(x) на кожному із іптервалів:
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
а) -оо<х<-~. f(х)=О,то F(x)= |
J OcL\"=0; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
-а_; |
|
|
|
|
|
п |
|
п . |
2 |
|
2 |
|
-лІ 2 |
|
х |
|
|
|
6)--~х~-, f(x)=-cos |
|
х,то F(x)= |
J Od\"+ |
J /(x)di:= |
|
|||||||
2 |
|
2 |
1t |
|
|
|
-оо |
|
-тт/2 |
|
|
|
=- хJ ms |
2 |
xdr-=- |
хJ І+са;2хdx=ll'- х+-- |
|
=-І(х+-Іsю2\"+-п) |
; |
||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
sin2x)x |
|
|
. |
|
||
1t -тт/2 |
|
1t -тr./2 2 |
|
те |
2 |
-л/2 |
п |
2 |
2 |
|
||
|
|
|
-тг./2 |
|
|
тr/2 |
|
ТJ |
|
|
|
|
1t |
|
. |
f |
OdY+ J eosxd\"+ |
J Odx=I; |
|
|
|||||
в) х>-,то |
F(x)= |
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
-тr,/2 |
|
тг.12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) функцію розподілу запишемо у вигляді:
|
о |
|
1t |
|
|
,коли |
х<-- |
|
|
1 . |
І . |
|
2 |
|
те |
п: |
1t |
||
F ( х)= -(x+-sin2x+-) ,коли |
--~х~- |
|||
1t |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
те |
|
|
|
,коли |
х>- |
|
|
|
|
2 |
|
3. Математичне очікування ЛІ[Х] визначаємо за формулою (23)
2 |
тrІ2 |
2 |
2 |
лІ2 |
І + cos 2х |
М[Х]=- |
J |
xcos |
xcl\"=- |
J |
x---dx=O. |
п:-тr/2 |
|
1t--n:/2 |
2 |
20