Теоретические основы теплотехники 2
.pdfДифференциальные уравнения конвективного теплообмена
Дифференциальное уравнение теплообмена получается при рассмотре-
нии передачи теплоты теплопроводностью через, практический, неподвиж-
ный слой жидкости (пограничный слой), который имеет место вблизи твер-
дого тела, омываемого жидкостью (
|
t |
|
q |
|
|
|
n |
ж |
|
|
) и передачи теплоты к по-
граничному слою за счет конвективного теплообмена ( q tс tж )
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
c |
t |
ж |
|
n |
ж |
|
|
|
|
(98)
Дифференциальное уравнение энергии при условии однородности и не-
сжимаемости жидкости, отсутствия внутренних источников теплоты и рабо-
ты расширения, а также постоянства физических параметров жидкости в пределах элементарного объема формулируется следующим образом:
Dt
d
a |
t |
2 |
|
,
(99
где |
|
Dt |
|
t |
wx |
t |
wy |
t |
wz |
t |
- субстациальная (полная) производная; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
d |
|
|
x |
y |
|
|
z |
|
|
|
|
|||
|
t |
|
- характеризует локальное изменение температуры во времени в какой- |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
либо точке жидкости; |
wx |
t |
wy |
t |
wz |
t |
– характеризует конвективное |
|||||||||||
x |
y |
z |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
изменение температуры при переходе от точки к точке. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
При wx wy wz 0 |
уравнение (99) переходит в уравнение теплопро- |
водности для твердого тела без внутренних источников теплоты.
Дифференциальное уравнение неразрывности получается на основе за-
кона сохранения массы и, для сжимаемой жидкости имеет следующий вид:
41
|
|
|
w |
x |
|
w |
y |
|
w |
z |
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
y |
|
z |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0
.
(100)
В частном случае несжимаемых жидкостей const . уравнение (100)
запишется в виде
wx |
|
wy |
|
w |
z 0 . |
(101) |
|
|
|
||||
|
|
|
||||
x |
|
y |
|
z |
|
Уравнение движения (уравнение Навье-Стокса) получается на базе первого и второго законов Ньютона и в векторной форме записи можно представить в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dw |
2 |
(102) |
||||
|
|
|
|
|
g |
p |
w, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
где |
|
- плотность; |
Dw |
- полная производная; p – давление; g – ускорение |
|||||||
d |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
свободного падения; - динамический коэффициент вязкости.
Полученная система дифференциальных уравнений описывает бесчис-
ленное множество конкретных процессов.
Точные решения этой системы имеются только для отдельных частных случаев при ряде упрощающих предпосылок.
Основы теории подобия и метода анализа размерностей
В связи с ограниченными возможностями аналитического решения дифференциальных уравнений конвективного теплообмена решающее зна-
чение приобретает эксперимент.
Цель экспериментального исследования получение на основе экспери-
ментальных данных уравнений, по которым можно затем вести расчет тепло-
обмена в подобных процессах.
Для этого необходимо сформулировать основные условия, при выпол-
нении которых процессы будут подобны.
42
На все эти вопросы дает ответы теория подобия. Понятие подобия за-
имствовано из геометрии, где рассматриваются условия подобия геометриче-
ских фигур. Для подобия геометрических фигур достаточно соблюдения обычных признаков подобия (пропорциональность сходственных сторон, ра-
венство углов и др.). Для подобия физических процессов необходимо гово-
рить о подобии физических величин и явлений. Два или несколько явлений будут подобны, если подобны все физические величины , характеризующие эти явления, т.е. подобные между собою явления имеют одинаковые безраз-
мерные комплексы - критерии подобия. Этот вывод свидетельствует о том,
что в опытах нужно измерять те величины, которые входят в критерии по-
добия, характеризующие данный процесс.
Важной теоремой теории подобия является утверждение о том, что
решение дифференциального уравнения, описывающего данный процесс,
может быть представлено в виде функциональной зависимости между критериями подобия, характеризующими этот процесс и полученными из исходного уравнения. Это утверждение говорит о том, опытные данные надо обработать в виде зависимости между критериями подобия.
Наряду с приведенными выше двумя теоремами подобия, важным яв-
ляется и утверждение о том, что подобны между собой те явления, которые принадлежат к одному классу, к одному роду и имеют равные определяющие критерии подобия. Этот вывод позволяет полученные в опыте расчетные за-
висимости распространить на группу явлений, подобных исследованному.
Таким образом, теория подобия, при наличии дифференциальных уравнений, описывающих рассматриваемый процесс, позволяет, не решая сами уравнения, получить выражения чисел (критериев) подобия и на их основе получить расчетные зависимости – уравнения подобия.
При отсутствии дифференциальных уравнений, описывающих изучае-
мый процесс, используется метод анализа размерностей. Однако в этом слу-
чае должен быть известен перечень основных величин, оказывающих суще-
ственное влияние на развитие рассматриваемого процесса.
43
Например, для свободной конвекции такой перечень величин опреде-
ляется следующей исходной зависимостью:
|
|
f l , g t , , , ,c |
P |
, |
|
|
|
(103) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
l |
– характерный для данного процесса линейный размер, м; |
|
– коэффи- |
|||||
|
|
||||||||
циент объемного расширения; ρ – плотность жидкости; |
μ – динамический |
||||||||
коэффициент вязкости; λ – коэффициент теплопроводности жидкости; |
t |
– |
|||||||
|
|||||||||
разность температур стенки и жидкости, °C; сp – |
удельная теплоемкость |
жидкости, Дж/(кг·K).
Непосредственное экспериментальное исследование этой зависимости вследствие необходимости проведения большего числа опытов неосуще-
ствимо.
Теория размерностей в этом случае позволяет свести данное выраже-
ние от семи независимых переменных к зависимости от двух обобщенных безразмерных переменных (к уравнению подобия).
Критерии подобия и критериальные уравнения
Рассмотрим безразмерные комплексы величин, входящие в дифферен-
циальные уравнения, преобразованные в безразмерные уравнения:
l |
|
wl |
wl |
|
|
|
g l |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
; |
|
; |
; |
a |
; |
|
, |
|
a |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
где – кинематический коэффициент вязкости.
(104)
Записанные безразмерные комплексы, составленные из размерных ве-
личин, называются критериями подобия.
Критерий Нуссельта характеризует соотношение тепловых потоков,
передаваемых конвекцией и теплопроводностью, является обычно искомой величиной, поскольку в него входит коэффициент теплоотдачи
Nu |
l |
. |
(105) |
|
|||
|
|
|
44
Критерий Рейнольдса характеризует соотношение между силами инер-
ции и молекулярного трения (вязкости)
Re |
wl |
|
|
||
|
,
(106)
где w – средняя (линейная) скорость жидкости (м/с).
Критерий Прандтля характеризует физические свойства жидкости и их влияние на конвективный теплообмен
Pr |
|
|
c p |
|
a |
|
|||
|
|
|
c |
p |
|
||
|
|
|
|
|
,
(107)
Критерий Пекле характеризует отношение плотности теплового пото-
ка, передаваемого конвекцией, к плотности теплового потока, передаваемого теплопроводностью
Pe |
wl |
Re Pr |
|
a |
|||
|
|
(108)
Критерий Грасгофа характеризует соотношение подъемной силы, воз-
никшей вследствие разности плотностей нагретых и холодных частиц жид-
кости и силы молекулярного трения и является параметром интенсивности свободного движения жидкости
|
g tl |
|
|
3 |
|
Gr |
|
. |
|
2 |
|
(109)
Характеристики теплофизических свойств жидкостей, входящие в вы-
ражение чисел подобия, в общем случае зависят от температуры. Поэтому для определения численных значений критериев подобия указывается темпе-
ратура, при которой берутся теплофизические характеристики.
Как было рассмотрено ранее, система дифференциальных уравнений,
характеризующая процесс, приводится к безразмерному виду при соответ-
45
ствующих условиях однозначности. В конечном счете получается общий вид критериального уравнения
Nu f x, y,z,w |
x |
,w |
y |
,w |
z |
, ,Re, Pr,Gr ,Fo,Bi . |
|
|
|
|
(110)
Важное значение, при решении задач нестационарной теплопроводно-
сти, имеют критерии подобия Fo (Фурье) и |
Bi (Био). |
Выражение для критериев Fo и Bi |
получены путем анализа диффе- |
ренциальных уравнений теплообмена и теплопроводности (92 и 93). |
Критерий Фурье ( Fo a ) - характеризует безразмерное время.
l02
Написание Критерия Био похоже на форму записи критерия Нуссельта
|
l |
|
|
|
Bi |
0 |
, |
(111) |
|
|
||||
|
|
|
где – коэффициент теплопроводности твердого тела (в то время как в кри-
терий Нуссельта - относится к окружающей среде)
Уравнения вида (110) называется критериальными.
В случае теплообмена, осложненного массообменном и изменением аг-
регатного состояния жидкости в процессе теплообмена, критерий Нуссельта зависит еще от ряда критериев.
Следует отметить, что. поскольку критериальные уравнения получены на основе эксперимента, в каждом случае указывается диапазон применимо-
сти уравнения, что принимается в качестве определяющей температуры и линейного размера при определении соответствующих критериев.
Обработка и обобщение результатов эксперимента
Предположим, что анализ конвективного теплообмена в условиях вы-
нужденного движения , позволил установить, что коэффициент теплоотдачи,
а следовательно, и критерий Нуссельта, зависит
Nu f Re,Pr |
(112) |
46
Из эксперимента определяют необходимые величины, входящие в кри-
терии подобия, и подсчитывают их значения. Предположим, что зависимость между критериями подобия имеет степенной вид т.е.
Nu c Re |
n |
Pr |
m |
, |
(113) |
|
|
||||
где c, n, m – безразмерные постоянные величины. |
|
||||
Логарифмируя (112) получаем |
|
|
|
|
|
lg Nu lg c n lg Re mlg Pr . |
(114) |
Наносим опытные значения критериев подобия во всем диапазоне про-
веденных исследований на график lg Nu f lg Re (рис. 7).
Очевидно, если связь (112) действительно является степенной, получим семейство прямых линий, каждая из которых соответствует определенному значению критерия Pr .
Рис. 7. Обобщение опытных данных в критериальной форме
В этом случае показатель степени при
n tg ,
Re определится как
(115)
47
где
- угол наклона прямых линий к оси lg Re .
Затем опытные данные наносят на график в координатах
lg |
Nu |
f lg Pr . |
||
Re |
n |
|||
|
|
|||
|
|
|
(116)
Из этого графика определяют показатель степени m при критерии Pr
|
m tg , |
где |
– угол наклона прямой к оси lg Pr . |
Постоянная с определяется из соотношения
(117)
c |
|
Nu |
|
. |
||
Re |
n |
Pr |
m |
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
(118)
Таким образом, определяются все постоянные коэффициенты в крите-
риальных уравнениях.
4. Теплообмен при естественной конвекции
Интенсивность конвективного теплообмена в значительной степени определяется развитием течения жидкости около поверхности тела, которое при естественной конвекции зависит от разности температур тела и окружа-
ющей среды, от формы и расположения поверхности тела в пространстве и расположения близлежащих тел.
При изучении естественной конвекции рассматриваются три характер-
ных случая: теплообмен между жидкостью и телом, расположенным в не-
ограниченном пространстве; теплообмен в ограниченных прослойках; сов-
местное протекание естественной и вынужденной конвекции.
При движении жидкости, вызванном естественной конвекцией, на по-
верхности теплообмена образуется динамический и тепловой пограничные слои. Температура в пограничном слое меняется плавно от температуры на стенке tс до температуры среды tж. Скорость на границах пограничного слоя
48
близка к нулю, а максимальное значение имеет на некотором расстоянии от стенки.
При движении жидкости вдоль поверхности пограничный слой разви-
ваются и переходит из ламинарного в турбулентный.
На основании теории подобия для естественной конвекции в большом объеме была получена критериальная зависимость в виде
Nu f Gr Pr .
Теплообмен на вертикальной поверхности
(119)
Развитие течения вдоль горячей вертикальной поверхности показано на рис. 8. Сначала толщина нагретого слоя жидкости мала и течение ламинар-
ное. Постепенно по высоте стенки движением увлекается все большее коли-
чество жидкости. Толщина ламинарного слоя растет. Затем он разрушается и наступает турбулентный режим течения.
Рис. 8. Развитие течения и изменение коэффициента теплоотдачи при естественной конвекции у вертикальной поверхности.
На участке ламинарного течения α уменьшается в связи с увеличением толщины пограничного слоя движущейся жидкости, а на участке переходно-
го течения вследствие повышения степени турбулизации и уменьшения тол-
49
щины ламинарного слоя коэффициент теплоотдачи резко возрастает и далее по высоте стенки, при развитом турбулентном течении, сохраняется посто-
янным.
Коэффициент теплоотдачи при свободном движении жидкости в боль-
шом объеме определяется из следующих уравнений подобия:
для вертикальных труб и плоских стенок при ламинарном течении жидкости
(103<GrPr<109) |
Nu 0,76 Gr Pr 0,25 Pr |
Pr 0,25 |
; |
(120) |
|
ж |
c |
|
|
для вертикальных труб и плоских стенок при турбулентном течении жидко-
сти (GrPr) >109 |
0,33 |
Prж |
0,25 |
|
|
Nu 0,15 Gr Pr |
Prc |
. |
(121) |
В этих уравнениях определяющей температурой является температура окружающей среды; за определяющий размер принимается длина участка от
начала теплообмена l.
Теплообмен на горизонтальном цилиндре. Развитие естественной конвекции около горизонтального цилиндра аналогично развитию естествен-
ной конвекции у вертикальной поверхности. Здесь также можно выделить ламинарный, переходный и турбулентный участки пограничного слоя. В за-
висимости от температурного напора и диаметра цилиндра переход ламинар-
ного течения в турбулентное может происходить на поверхности цилиндра
или за пределами соприкосновения движущейся среды с цилиндром.
При Gr Pr m < 10-3 [(определяющий размер - диаметр, определяющая температура tm 0,5 tс tж ] вокруг тела образуется неподвижная пленка с переменной температурой. Такой режим называется пленочным. В этих усло-
виях критерий Нуссельта зависит только от формы тела(для тонкой проволо-
ки Nu 2 ). |
|
При изменении комплекс 10-3 < Gr Pr |
< 5 102 наблюдается режим |
m |
|
переходный от пленочного к ламинарному. Наибольшее значение коэффици-
ента теплоотдачи при переходном режиме определяется уравнением
50