Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)

.pdf
Скачиваний:
68
Добавлен:
11.06.2021
Размер:
1.07 Mб
Скачать

Лекция 9 февраля 2021 г.

1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Обсудим сначала понятие площадь . Всем хорошо знакомо, что площадь прямоугольника со сторонами a è b равна ab. ×òî ýòî

означает? Если длины сторон мы измеряли в сантиметрах, то фактически это означает, что в прямоугольнике размещается ab êâàä-

ратиков со стороной 1см. Это число, конечно, может быть и не

целым, тогда там разместятся не целые квадратики, а какие-то их части.

А как быть с параллелограммом?

 

 

B

a

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

C

 

AC

Ðèñ. 1

Так как площади треугольников ABC è ABCравны, то все сводится к вычислению прямоугольника CBBC, а его площадь равна ah.

Теперь займемся вычислением площади треугольника.

ZpppppppppppppppppppppZ

pp

p

ph

ZZZ

a

 

pppp

 

B

 

 

 

B

 

 

ZZZ

ppppppp

 

 

 

A

 

Cp

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

Ðèñ. 2

Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABBC. ßñíî,

что площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника, а площадь параллелограмма мы умеем находить. Она равна ah. Поэтому площадь треугольника равна

12ah:

1

2

Тем самым можно найти площадь любой фигуры, которая может быть разбита на треугольники. Например, площадь трапеции.

 

pp

p

b

 

AA

 

 

 

B

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h ppppppp

ppppp

AA

ApA

 

 

 

 

ppp

 

 

 

 

 

 

 

 

p

A

 

a

 

 

 

pD

Ðèñ. 3

Разбиваем трапецию ABCD на два треугольника ABC è BCD. Площадь каждого из них известна, поэтому получаем

ah2 + bh2 = a +2 bh:

А как быть с кругом. Здесь уже не обойтись без понятия предела. В круг радиуса R вписывается правильный n-угольник. Пло-

щадью круга называется предел площадей правильных вписанных n-угольников при n ! 1. Площадь каждого из треугольников,

на которые разбивается правильный вписанный n-угольник легко

посчитать

Sn = 12R2 sin 2n

(эта еще одна формула для площади треугольника, выражающая площадь через длину сторон и угол между ними, и которая непосредственно выводится из полученной нами выше). Вспоминая первый замечательный предел, получаем формулу для площади круга радиуса R

S = lim n12R2 sin 2n = R2:

Рассмотри теперь более общую ситуацию. Пусть задана функция y = f(x) > 0 на отрезке [a; b]. Множество точек между графиком

этой функции и осью Ox называется криволинейной трапецией.

Как вычислить площадь данной криволинейной трапеции. Давайте разобьем отрезок [a; b] íà n кусков точками a = x0 < x1 < : : : <

xn = b. В каждом куске [xk 1; xk] выберем точку k. Заменим кусок криволинейной трапеции между точками xk 1 è xk на прямоуголь- ник с основанием ∆xk = xk xk 1 и высотой f( k) (см. рис. 4). Площадь каждого такого прямоугольника равна f( k)∆xk. Поэто- му приближенное выражение для площади равно

e n

S = f( k)∆xk:

k=1

3

y 6

y = f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 a 1 x1 2 x2 3 x3

xn 1 n b

x

Ðèñ. 4

На самом деле это и есть определение площади криволинейной трапеции (надо только уточнить, что понимается под пределом).

Рассмотрим еще одну задачу, приводящую к вычислению предела подобных сумм.

aq

1q

xq1 q

F (x)

xnq

1 qn bq

 

2 xq2 q3 xq3 -

-

Ðèñ. 5

Предположим, что материальная точка перемещается из a â b по отрезку [a; b] под действием силы F (x), которая направлена параллельно отрезку [a; b], но значение которой, вообще говоря, ме-

няется от точки к точке. Требуется вычислить работу. Поступим следующим образом. Снова разобьем [a; b] íà n кусков точками

a = x0 < x1 < : : : < xn = b. В каждом куске [xk 1; xk] выберем точку k. Если считать, что на каждом маленьком отрезке сила мало меняется и приближенно равна силе в некоторой внутренней точке, то работа на каждом отрезке приближенно равна F ( k)∆xk. Поэтому приближенное выражение для работы равно

e n

A = F ( k)∆xk:

k=1

Чем больше мы измельчаем рассматриваемый отрезок, тем точ- нее мы вычисляем работу. И снова мы приходим к необходимости вычислять предел суммы, подобной той, которая встретилась при вычислении площади криволинейной трапеции.

2. Определенный интеграл

Начнем с ряда определений.

4

Определение 1. Разбиением отрезка [a; b] будем называть систему точек a = x0 < x1 < : : : < xn = b и точек k 2 [xk 1; xk], k = 1; : : : ; n.

aq

1q

xq1 q2 xq2 q3 xq3

xnq

1 qn bq

-

Ðèñ. 6

Будем обозначать разбиения буквой T .

Определение 2. Диаметром разбиения T называется величина

d(T ) = max ∆xk; xk = xk xk 1:

1 k n

Пусть дана функция f(x) на отрезке [a; b], è T некоторое раз-

биение этого отрезка.

 

Определение 3. Интегральной суммой для разбиения T называ-

ется величина

k

 

n

S(T ) =

f( k)∆xk:

 

=1

Определение 4. Число I называется пределом интегральных

ñóìì S(T ) ïðè d(T ) ! 0

 

I =

lim S(T );

d(T )!0

если для любого " > 0 найдется > 0 такое, что при d(T ) < выполняется неравенство

jI S(T )j < ":

Определение 5. Пусть задана функция f(x) на отрезке [a; b]. Определенным интегралом от функции f(x) îò a äî b называется

 

 

 

 

b

n

 

 

 

f(x) dx

lim

f( )∆x

:

a

= d(T )!0 k=1

k

k

 

Теорема 1 (о существовании определенного интеграла) . Äëÿ ëþ-

бой функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b], определенный ин- теграл ab f(x) dx существует.

3. Свойства определенного интеграла

Далее считаем, что все встречающиеся функции непрерывны на отрезке [a; b], и, следовательно, соответствующие интегралы суще-

ствуют.

a

1.

def

f(x) dx = 0:

a

5

2. Пусть a > b.

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

 

def

b

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x) dx =

f(x) dx:

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ab

1 dx = b

 

a:

 

 

 

 

 

Доказательство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 dx

 

lim

 

x

 

 

 

lim (b

a) = (b

a):

 

 

a

 

 

 

= d(T )!0 k=1

 

k = d(T )!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

 

 

 

 

 

ab Cf(x) dx = C ab f(x) dx:

 

 

 

 

Доказательство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cf(x) dx

 

 

 

lim

Cf(

)∆x

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

= d(T )!0 k=1

 

k

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C lim

 

 

 

f( )∆x

 

= C

f(x) dx:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

d(T )!0 k=1

k

k

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

ab(f(x) + g(x)) dx = ab f(x) dx + ab g(x) dx:

Доказательство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a (

f

x

 

g

x

 

 

dx

 

lim

 

 

(f( ) + g( ))∆x

 

 

(

 

) +

(

 

))

 

= d(T )!0 k=1

 

 

k

 

k

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

lim

 

f( k)∆xk +

 

lim

g( k)∆xk

 

 

 

 

 

d(T )!0 k=1

 

 

 

d(T )!0

=1

 

 

 

ab g(x) dx:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ab f(x) dx +

6. Пусть a < c < b. Тогда

b c b

f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx:

a

a

c

6

y 6

y = f(x)

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 a

c

 

b

x

Ðèñ. 7

Доказательство. Добавим в каждом разбиении T точку c â ñè-

стему точек fxkg (если ее не было в исходном разбиении). Новое разбиение обозначим через T . Очевидно, что диаметр разбиения

при этом не увеличится d(T ) d(T ). Поэтому

b

a

 

k

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n

 

 

f(x) dx = lim

f( k)∆xk = lim

 

f( k)∆xk

d(T )!0

=1

 

 

 

 

d(T )!0 k=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n1

 

 

 

 

n

 

 

 

lim

 

f

 

x

 

 

f

 

x

= d(T )!0(k=1

(

k)∆

 

k + k=n1+1

(

k)∆ k)

 

 

 

 

k=1

 

n1

 

 

 

 

 

n

 

 

= lim

f( k)∆xk +

lim

 

 

f( k)∆xk

d(T )!0 k=1

 

 

 

 

d(T )!0

n +1

 

 

 

 

 

 

 

=

c f(x) dx + b f(x) dx:

a

c

 

 

7. Для любого расположения точек a, b è c

 

b c b

f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx:

a a c

Доказательство. Пусть, например, c < a < b.

cq

aq

 

Ðèñ. 8

bq

-

Тогда по доказанному в предыдущем пункте

b f(x) dx =

a f(x) dx +

b f(x) dx:

c

c

a

 

7

Отсюда

c a f(x) dx + c b f(x) dx = ac f(x) dx + c b f(x) dx:

ab f(x) dx =

 

 

8.Åñëè f(x) 0 ïðè x 2 [a; b], òî

b

f(x) dx 0:

a

Доказательство.

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

n

 

 

 

f

 

x

 

dx

lim

f( )∆x

:

a

(

 

)

 

= d(T )!0 k=1

k

k

 

Òàê êàê f( k) 0 è ∆xk 0, òî

n

f( k)∆xk 0

k=1

для любого разбиения T . Поэтому и ее предел неотрицательный.

9. Åñëè f(x) g(x) ïðè x 2 [a; b], òî

b b

f(x) dx g(x) dx:

aa

Доказательство. Так как f(x)

g(x) 0, то из предыдущего пунк-

та следует, что

ab(f(x)

 

Следовательно,

g(x)) dx 0:

b f(x) dx

b g(x) dx 0:

 

 

a

a

 

 

 

10. Åñëè m f(x) M ïðè x 2 [a; b], òî

b

m(b a) f(x) dx M(b a):

a

Доказательство. Из предыдущего пункта получаем

b b b

m dx f(x) dx M dx:

a a a

Из свойств 4 и 3 следует, что

b b

m dx = m 1 dx = m(b a):

aa

8

Аналогично ∫ b

b

 

M dx = M 1 dx = M(b a):

a

a

 

 

11.

 

Теорема 2 (теорема о среднем). Пусть функция f(x) непрерывна

на отрезке [a; b]. Тогда найдется точка 2 [a; b] такая, что

b

f(x) dx = f( )(b a):

a

y 6

y = f(x)

 

 

 

 

 

 

-

 

0 a

 

b

x

Ðèñ. 9

Доказательство. Непрерывная функция на отрезке достигает своего минимального значения m и своего максимального значения M.

Тем самым m f(x) M ïðè x 2 [a; b]. Следовательно, из свой-

ñòâà 10

ab f(x) dx M(b a):

m(b a)

Отсюда

ab f(x) dx M:

m b 1 a

Но непрерывная функция принимает все свои значения между минимальным и максимальном. Значит, существует такая точка2 [a; b], для которой

1 b

f( ) = b a a f(x) dx:

Умножив обе части на b a, получаем доказываемое равенство.

9

Лекция 16 февраля 2021 г.

4. Дифференцирование интеграла по верхнему пределу

Рассмотрим функцию f(t), непрерывную на отрезке [a; b].

q q q -

a x b t

 

Ðèñ. 10

 

 

Положим

(x) = ax f(t) dt:

 

Найдем (x). Имеем

 

 

 

(x) = lim

(x + ∆x) (x)

:

 

 

 

x!0

x

 

Вычислим выражение в числителе

 

 

(x + ∆x) (x) = ax+∆x f(t) dt

ax f(t) dt

 

= ax f(t) dt + xx+∆x f(t) dt

ax f(t) d = xx+∆x f(t) dt:

По теореме о среднем найдется такая точка 2 [x; x + ∆x], äëÿ

которой ∫ x+∆x

f(t) dt = f( )∆x:

x

Таким образом,

(x) = lim

f( )∆x

=

lim f( ):

 

x!0

x

x!0

Из непрерывности функции f(t) вытекает, что

lim

f( ) = f(x):

x!0

 

 

 

Следовательно, (x) = f(x).

 

 

 

Тем самым доказана следующая теорема.

Теорема 3 (о дифференцировании интеграла по верхнему пределу). Если функция f(t) непрерывна на отрезке [a; b], òî

(∫ x )

f(t) dt = f(x):

a

Иными словами, мы доказали, что (x) является первообразной для f(x). Отсюда вытекает, что у каждой непрерывной функции есть первообразная.

-

10

5. Основная формула интегрального исчисления. Формула Ньютона Лейбница

Пусть функция f(t) непрерывна на отрезке [a; b]. Мы выяснили, что ∫ x

(x) = f(t) dt

a

является первообразной для f(x). Пусть F (x) какая-то другая первообразная f(x). Тогда они могут отличаться только на посто-

янную. Тем самым

x

 

f(t) dt = F (x) + C

a

äëÿ âñåõ x 2 [a; b]. Подставив в это равенство x = a, получаем

0 = F (a) + C:

Следовательно, C = Fx (a). Итак, мы получили равенство f(t) dt = F (x) F (a):

a

Подставим x = b

b

f(t) dt = F (b) F (a):

a

Эта формула называется формулой Ньютона Лейбница и является основной формулой интегрального исчисления. Часто ее записывают в следующем виде

 

 

 

 

 

 

b

 

 

ab f(t) dt = F (t) a:

 

 

 

 

 

 

Пример 1.

 

 

 

 

 

0

sin t dt =

 

 

= cos

 

 

cos t 0

( cos 0) = 1 + 1 = 2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = sin t

 

 

 

 

0

 

t

Ðèñ. 11