УМК МЖГ стр 157-253 Модуль 8-10_МЖГ

стенок трубопровода. В момент времени t = t0 + t слои жидкости, распо- ложенные выше по течению от сечения n-n, продолжают двигаться со ско- ростью υ0 в сторону затвора. Под влиянием этих слоев остановившаяся

масса жидкости в отсеке m–n	сжимается, стенки трубопровода растягива-
ются, давление повышается на	p и становится равным p = p0 + p . В ос-

вободившийся в результате этого объем в отсек m–n через сечение n–n за время t поступает часть жидкости еще не остановившихся слоев.

Повышение давления при гидравлическом ударе можно определить, применив теорему об изменении количества движения (импульсов) к массе остановившейся жидкости.

В проекциях на направление движения имеем:

–импульс внешних сил, действующих на выбранную массу:

−pωΔt ,

–изменение количества движения выбранной массы:

	−(ρω0	lυ0 + ρωυ0 tυ0 ),
где	ρωυ0 t – масса жидкости, втекшей в отсек mn за время						t .
	Приняв ω = ω0 имеем:
	p t = ρΔlυ + ρυ2 t .
			0		0
	Обозначив c = l / t , получим формулу Н.Е. Жуковского:
		p = ρcυ	0	+ ρυ2 ,			(9.22)
					0
или	p ρg =	H = cυ			g + υ2	g ,	(9.23)
			0		0

где с – скорость распространения волны гидравлического удара вдоль тру- бопровода, то есть скорость ударной волны. В общем случае с – скорость распространения любого малого возмущения в жидкости.

Так как υ0 << c , обычно считают:

p = ρcυ0 .

После мгновенного закрытия затвора фронт n-n ударной волны рас- пространяется вдоль трубопровода со скоростью с. Слои жидкости после- довательно, начиная от ближайшего к затвору, останавливаются, их ско- рость гасится до нуля.

На рис. 9.15 показан «мгновенный снимок» состояния трубопровода, эпюры распределения давления и скорости по длине трубопровода в момент времени t = t0 + lc . Фронт n-n ударной волны прошел путь l за промежуток

времени lc после закрытия задвижки. На этом участке трубопровода давле- ние увеличилось на p и стало равным p = p0 + p , а скорость движения жидкости погасилась до нуля, то есть υ = 0, стенки трубопровода растянуты, жидкость находится в сжатом состоянии, плотность равна ρ + Δρ .

197

t = t0

+

l

c

р

ρg

р

ρg

р0

ρg

υ = 0

υ = υ0 ρ

ρ + Δρ

υ0

В момент времени t = t0 + Lc фронт n-n ударной волны достиг ре- зервуара и занял положение n'n' (рис. 9.16).

t = t0 + L c

р

ρg

р

ρg

			ρ + ρ		υ = 0

υ = 0

198

В этот момент времени жидкость в трубопроводе находится в мгновен- ном состоянии покоя ( υ = 0) по всей длине трубопровода L. Давление увели- чилось на p и стало равным p = p0 + p , стенки трубопровода растянуты, жидкость сжата, плотность равна ρ + Δρ . Такое состояние системы не явля- ется устойчивым, так как по исходному предположению уровень, а следова- тельно, и давление в резервуаре не зависит от явлений, происходящих в тру- бопроводе. Таким образом, давление в резервуаре на уровне оси трубопрово- да (рис. 9.15) сохранит свое первоначальное значение, равное p0 .

t= t0 + Lc

Всвязи с этим в момент времени t = t0 + Lc возникает движение

жидкости из трубы в резервуар со скоростью υ0 = pρc , равной первона-

чальной, но направленной в противоположную сторону, то есть слой жид- кости в трубопроводе, примыкающий к резервуару, начнет вытекать в сто- рону резервуара. При этом давление в трубопроводе падает до давления ρ0 и стенки трубопровода восстанавливают первоначальную форму. Явление распространяется по трубопроводу к затвору.

Следовательно, в момент времени t = t0 + Lc возникает обратная от- раженная от резервуара волна, которая со скоростью с распространяется от резервуара к затвору. В трубопроводе восстанавливается первоначальное давление p0 и создается скорость – υ0 . Рис. 9.17 соответствует моменту

времени t = t0 + Lc + (L − l)c = t0 + (2L − l)c . К этому моменту времени отраженная волна прошла путь L − l , равный расстоянию от резервуара до сечения n-n. На этом участке трубопровода давление равно p0 , скорость

движения жидкости υ = −υ0 , стенки трубопровода и жидкость находятся в начальном состоянии, соответствующем давлению p0 . На участке трубо- провода длиной l давление равно p = p0 + p , скорость движения жидко- сти υ = 0 , стенки трубопровода растянуты, а жидкость находится в сжатом состоянии, плотность ρ + Δρ .

В момент t = t0 + 2Lc отраженная волна достигнет задвижки и за- ключенная в трубопроводе масса жидкости приобретет всюду начальный объем и давление ρ0 , находясь, однако, в состоянии движения в сторону резервуара. Инерция движущейся массы приведет к тому, что в момент времени t = t0 + 2Lc давление в сечении m-m у задвижки понизится на

p = ρcυ0 .

199

const		t = t0	+ 2L − l				p
			C				pg
			p0		p
	H0				pg
			pg
				n		m	0
		ρ	υ= -υ0	n	υ=0	m	ρ+Δρ
					l
				L
	υ	Эпюра υ

l

-υ0

Рис. 9.17. Гидравлический удар. Момент времени t = t0 + (2L - l)/C

Считаем, что давление при установившемся движении p0 таково, что в процессе гидравлического удара давление в трубе остается выше давления насыщенных паров жидкости p > pнп при данной температуре. Вследствие этого жидкость не может оторваться от затвора и внутри нее не образуются пустоты (каверны).

Понижение давления будет сопровождаться остановкой жидкости и деформацией стенок трубы. Явление будет распространяться от затвора к резервуару со скоростью c. Таким образом, в момент времени t = t0 + 2Lc у задвижки возникнет волна пониженного давления p = p0 − p . Эта волна начнет распространяться со скоростью c oт затвора к резервуару, создавая в трубопроводе новое состояние, характеризующееся падением скорости движения жидкости до υ = 0 и сжатием стенок трубы.

К моменту времени t = t0 + 2Lc + lc эта волна пройдет путь l , то есть достигнет сечения n-n.

На рис. 9.18 показаны «мгновенный снимок» состояния трубопрово- да, эпюры распределения по длине трубопровода давления pρg и скоро- сти υ в момент времени t = t0 + (2L + l)c . На участке трубопровода дли- ной l в этот момент времени давление равно p = p0 − p , скорость движе- ния жидкости υ = 0 , жидкость находится в состоянии, соответствующем

200

давлению p = p0 −	p , плотность ρ − Δρ , стенки трубопровода сжаты; на
участке трубопровода длиной L − l в этот момент времени давление рав-
но p0 , скорость движения жидкости υ = −υ0 , стенки трубопровода и жид-
кость находятся в начальном состоянии, соответствующем давлению									p0 ,
плотность равна ρ .
const			t = t0	+ 2L + l
				C
						p
			p0			pg
H0			pg			p
						pg
	n′			n			m
								0
	n′	ρ	υ = -υ0	n		υ=0	m
						l
				L	ρ −	ρ
υ			Эпюра υ
							l
						-υ0
Рис. 9.18. Гидравлический удар. Момент времени t=t0+(2L+l)/C

В момент времени t = t0 + 3Lc волна пониженного давления достиг-

нет резервуара.

Так как наступивший покой всей жидкости в этом разреженном (при p < p0 ) состоянии не может сохраняться вследствие того, что в резервуаре давление постоянно p = p0 , то в сечении n'-n' снова появляется скорость движения жидкости υ0 в направлении от резервуара к затвору, то есть в момент времени t = t0 + 3Lc возникает отраженная от резервуара волна, которая со скоростью с распространяется к задвижке, создавая в трубопро- воде новое состояние с первоначальным давлением p0 и скоростью υ0 .

201

В момент времени t = t0 + 3Lc + (L − l)c эта волна достигнет сече- ния на расстоянии l от затвора.

На рис. 9.19 показаны «мгновенный снимок» состояния трубопрово- да, эпюры распределения скорости υ и давления pρg по длине трубо- провода в момент времени t = t0 + 3Lc + (L − l)c . На участке трубопрово- да длиной l в этот момент времени давление равно p = p0 − p , скорость движения жидкости υ = 0 , жидкость находится в разреженном состоянии, соответствующем указанному давлению, плотность ρ = Δρ , стенки трубо- провода сжаты. На участке трубопровода длиной L − l в этот момент вре- мени давление равно p0 , скорость движения жидкости υ = υ0 , стенки тру- бопровода и жидкость находятся в начальном состоянии, соответствую- щем давлению p0 , плотность равна ρ .

t = t0

+

4L − l

C

p

pg

p0

p

pg

n

pg

m

n		m
		ρ −	ρ
	l
L

l

Вмомент времени t = t0 + 4Lc отраженная волна достигнет затвора.

Вэтот момент времени вся жидкость в трубопроводе будет находиться в первоначальном состоянии с давлением p0 и скоростью υ0 , направленной

в сторону закрытой задвижки. В связи с этим произойдет новый гидравли- ческий удар, давление у затвора опять мгновенно повысится до p = p0 + p и явление повторится в вышеописанной последовательности.

202

На рис. 9.20 показано изменение давления в сечении m-m у затвора.

Давление представлено отрезками, отличающимися от

p0 попеременно на

+Δp и −

p , причем чередование происходит через промежуток времени

2L c , который называется фазой удара τ0 . Период колебаний масс жидко-

сти при гидравлическом

ударе равен T0 = 2τ0 .

Диаграмма

давле-

ния в точке, находящейся

2L

на

расстоянии l

от

за-

C

твора, показана на рис.

9.21. Промежутки време-

ни,

в

течение которых

L 2L 3L 4L 5L

6L

давление в точке l отли-

C

C

C

C

C

C

чается

от

p0 ,

будут

меньше, чем в сечении у

2(L + l)

затвора.

Длительность

L − l

этих промежутков равна

C

C

τl = 2(l −l) c как для

по-

вышенного давления,

так

и для пониженного. Пе-

l

l

l

риод же колебаний оста-

C

C

C

ется прежним: T0 = 2τ0 .

Изменение

скоро-

сти в точке, находящейся

на расстоянии l от затво-

ра, показано на рис. 9.22.

Здесь

в соответствии с

L

2L

3L

4L

5L

6L

C

C

C

C

C

C

проведенным

выше

ана-

лизом,

чередуются

фазы

скорости

υ = +υ0 с

фаза-

ми

скорости

υ = 0

и

2(L + l)

υ = −υ0 . У входа в тру-

C

l

C

бопровод

скорость

скач-

кообразно

меняется

от

l

L − l

+υ0 на

−υ0

в моменты

C

C

времени L/c, 5L/c, 9L/c и

L

2 L

3 L

4

L

5 L

6 L

C

C

т.д. и от +υ0 на −υ0 в

C

C

C

C

моменты 3L/c, 7L/c и т. д.

203

Рассмотренный выше процесс гидравлического удара соответствует случаям, когда потерями на трение можно пренебречь.

Гидравлический удар, начинающийся с волны повышения давления называют положительным, а начинающийся с волны понижения давле-

ния – отрицательным.

Если внезапно откроется прежде закрытое регулирующее устройство в конце трубопровода, то давление у затвора вначале резко уменьшится на p , затем через интервал времени, равный фазе, сменится повышением

давления и т.д. Процесс можно проанализировать так же, как для гидрав- лического удара, начинающегося с повышения давления.

С резкого понижения давления начинается и гидравлический удар при внезапной остановке насоса. Вода из нагнетательной линии после от- ражения с большой скоростью возвращается по направлению к насосу. Ес- ли на напорной линии за насосом установлен обратный клапан, при ударе воды об обратный клапан пониженное давление сменится резким повыше- нием давления.

7.2. Скорость распространения волны гидравлического удара

Определим скорость распространения ударной волны в упругом тру- бопроводе круглого поперечного сечения. Рассмотрим отсек длиной l

(см. рис. 9.14).

В течение времени t движение жидкости выше рассматриваемого

участка	l происходит, как и до закрытия затвора,			со скоростью υ0 . За
счет этого в рассматриваемый отсек за время			t войдет объем жидкости:
	W = Q t = ω0υ0		t .	(9.24)
Этот объем займет часть объема отсека			l , который образовался за
счет растяжения стенок трубопровода (		W1 ) из-за повышения давления на
p и за счет сжатия жидкости в отсеке(		W2 ).		равным r = r0 + r ,
При	растяжении стенок радиус	трубы	станет

площадь сечения трубы ω увеличится по сравнению с первоначальным

значением ω0 и W1 примет вид:
W1 = (ω − ω0 )	l = ΔωΔl .	(9.25)
Первоначальный объем жидкости в отсеке ω0		l при увеличении дав-
ления на p уменьшится на величину:
W2 = βcω0	l p ,	(9.26)
или с учетом того, что βc = 1 Eж (см. модуль 1, п. 1), на величину:
W2 = ω0 l	p Eж .	(9.27)
204

Понятно, что

W =

W1 +

W2 .

Подставляя значения

W ,

W1

и

W2 по (9.24), (9,25) и (9.26), по-

лучаем:

ω υ

t = ω

l

p

+ ΔωΔl

(9.28)

0

0

0

Eж

или

υ

t

= Δω +

p

(9.29)

0

l

ω0

Eж

Подставляя из (9.23) υ0

t → 0 , получаем:

и переходя к пределу

dp

=

dω

+

dp

ρc2

ω0

Eж

Отсюда скорость распространения ударной волны

с =

dp ρ

.

(9.30)

dp E

ж

+ d ω ω

0

Приведем формулу (9.30) к виду, удобному для использования в рас- четах. Примем, что напряжение в стенках трубы подчиняется формуле Мариотта:

σ = pD2e .

Далее принимаем, что деформации подчиняются закону Гука, Е и Eж не зависят от давления. С учетом сказанного:

dw		=	d (pr 2 )	= 2	prdr	= 2	dr
								.
w0			pr2		pr2
							r0
			0		0

Заменяя относительное удлинение drr0 = dσ E , получаем:

dω = 2 dσ . w0 E

Подставив согласно формуле Мариотта: ds = D dp ,

dω

2e

получим

=

dp

D

.

(9.31)

w

E

e

0

Подставив (9.31) в (9.30), найдем:

c =

Eж

r

.

(9.32)

1 +

D

×

Eж

E

e

205

Если труба абсолютно жесткая ( E = ∞ ), то:
c0 =		.
	Eж r		(9.33)
Последнее выражение представляет собой скорость распространения
возмущений (в данном случае – ударной волны)			при неупругих стенках

трубопровода. Она равна скорости звука c0 в жидкости, занимающей неог- раниченно большой объем.

Если стенки трубы упругие, то (D/e) (К/Е) > 0 и с < с0. При темпера-

туре воды 10 ° С принимают с0 = 1425 ÷ 1435										м/с. Для расчетов примем
Eж = 20,3 ×108 Па, тогда:
c =	20,3 ×108						=1425 м/с,
0			1000
для воды	c =		1425						.	(9.34)

1 + D × Eж e E

7.3. Гидравлический удар при резком понижении давления

(с разрывом сплошности потока)

Если давление в трубопроводе понизится до давления (упругости) насыщенных паров жидкости при данной температуре, то начнется «хо- лодное кипение», образуются пары жидкости. При резком уменьшении давления могут образоваться полости, заполненные смесью пара и воздуха (при достаточно низком давлении), то есть произойдет разрыв сплошности потока, разрыв «колонны» жидкости. Так как движение жидкости в тру- бопроводе не остановилось, то при возникновении отраженных волн с из- менением направления массы жидкости устремляются к месту разрыва сплошности. При быстром сжатии полости с пониженным давлением про- исходит соударение масс (колонн) жидкости. Повышение давления при этом превышает p , найденное по формуле Жуковского.

По исследованиям различных авторов повышение давления при разры- ве сплошности pр.сп. может быть найдено по следующему соотношению:

Dpр.сп. = rсu0 + (1 ¸ 2) p0 ,

где p 0 – давление при установившемся движении.

Для уточнения коэффициента перед p требуется дальнейшее накоп- ление экспериментальных данных.

206