Методическое пособие 165

Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой перемен-

ной c использованием тождества ( [3] – [6])

n			n				n
yi		y	2 yi		y	xi 2		y	xi	y	2 .
i 1			i 1				i 1

Здесь

n

yi y 2 n y2 – общая сумма квадратов отклонений,

i 1

n							n
yi			y	xi 2			ei2 – сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией;
i 1							i 1
n
	y	xi			y	2	– остаточная сумма квадратов отклонений.
i 1

Степень близости связи признака Y и фактора X к линейной связи характеризует-

ся коэффициентом парной корреляции rxy. Для любой формы корреляционной зависимо-

сти теснота связи определяется с помощью выборочного корреляционного отношения [5]

n

n

R 1

yi

y

xi 2

y

xi

y

2

.

i 1

i 1

n

y2

n

y2

При линейной регрессии Y на X выборочное корреляционное отношение равно

rxy .

Квадрат выборочного корреляционного отношения называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объяснен-

ную вариацией факторного признака. Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.

В рассматриваемом случае R2 rxy2 0,73572 0,5413, т.е. в 54.13 % случаев изме-

нения х приводят к изменению y. Другими словами, точность подбора уравнения линейной парной регрессии – средняя. Остальные 45.87 % изменения Y объясняются факторами,

не учтенными в модели.

5.4. Интервальная оценка для коэффициента корреляции.

Доверительный интервал для коэффициента корреляции rxy определяется форму-

лой ([2], [3])

1

r

2

1

r

2

rxy tкрит

xy

;

rxy tкрит

xy

.

n

n

9

В нашем случае имеем

		1 0,74 2				1 0,74 2
	0,74 2,048				; 0,74 2,048					или (–0,907; –0,.564) .
		30				30

Согласно имеющимся данным (см. [3]) t	набл			r				n 2		0,74	28		5,82.
				xy			1		rxy2		1 0,74 2

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=28 находим tкрит(n–m–1;α/2) = tкрит(28; 0.025) = 2.048, где m = 1 – количество объясняющих перемен-

ных. Поскольку в рассматриваемом случае tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статисти-

чески значим.

5.5. Интервальные оценки параметров уравнения регрессии.

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина

2		yi	y	xi 2		ei2		943589,84
Sy		n m 1							33699,64.
								28
						n m 1

S2y = 33699,64 – необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг

линии регрессии); Sy Sy2 33699,64 183,57– стандартная ошибка оценки (стан-

дартная ошибка регрессии).

Для стандартного отклонения Sa случайной величины a имеем

				xi2
							1200261
S	a	S	y	i		183,57			120,28.
				n
					x		30 55,73

В свою очередь, стандартное отклонение Sb случайной величины b равно

	Sb		Sy					183,57			0,6.
			n		x			30 55,73

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надеж-

ность 95% будут следующими (см. [2], [3], [5]):
a tкритSa; a tкритSa и (1132,98;	1625,67),
b tкритSb;b tкритSb и (–4,69;	–2,22)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значения параметров и бу-

дут лежать в этих интервалах.

10

5.6. Проверка гипотез относительно уравнения линейной парной регрессии.

F – статистика

Проверка значимости модели линейной регрессии проводится с использованием

F–критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии ос-

таточной последовательности для данной модели.

Если расчетное значение Fтабл с k1=m и k2=n-m-1 степенями свободы больше фак-

тического значения F при заданном уровне значимости, то модель считается значимой,

где m – число факторов в модели.

Оценка статистической значимости линейной регрессии производится по следую-

щему алгоритму:

1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически не-

значимо: H0: R2=0 на уровне значимости α.

2. Далее определяется фактическое значение F– критерия [5]:

F	R2		n m 1		F	0,542		30 1 1
				,					11,53,
						1 0,542	1
1 R2			m

где учтено, что m=1 для парной регрессии.

3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для за-

данного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для об-

щей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n–2. Fтабл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при дан-

ных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α – вероятность от-

вергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной

0,05 или 0,01. Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=28 и уровнем значимости 0,05 равно Fтабл 4,2.

Если фактическое значение F–критерия меньше табличного, то говорят, что нет ос-

нований отклонять нулевую гипотезу. В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1–α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимо-

сти уравнения в целом. Поскольку фактическое значение F > Fтабл, то коэффициент де-

терминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистиче-

ски надежна).

11

t – статистика, критерий Стьюдента.

Проверим гипотезу H0 о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H1 – не равно нулю) на уровне значимости α=0.05. В случае если основная гипотеза окажется неверной, принимается альтернативная гипотеза.

Для проверки основной (нулевой) гипотезы используется t-критерий Стьюдента.

Найденное по данным наблюдений значение t –критерия (его еще называют наблюдаемым или фактическим) сравнивается с табличным (критическим) значением tкрит , определяе-

мым по таблицам распределения Стьюдента. Табличное значение определяется в зависи-

мости от уровня значимости α и числа степеней свободы, которое в случае линейной рег-

рессии равно n–2, где n-число наблюдений.

Если фактическое значение t –критерия больше табличногоtкрит (по модулю), то ос-

новную гипотезу отвергают и считают, что с вероятностью 1–α рассматриваемый пара-

метр или статистическая характеристика в генеральной совокупности значимо отличается от нуля.

Если фактическое значение t – критерия меньше табличного (по модулю), то нет оснований отвергать основную гипотезу, т.е. параметр или статистическая характеристика

вгенеральной совокупности незначимо отличается от нуля при уровне значимости α.

Внашем случае (см., например, [5])

tкрит n m 1;	2 tкрит 28;0,025 2,048,	tb	b			3,46	5,75 .
			S b			0,6

Поскольку 5.75 > 2.048, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Далее имеем

ta	a		1379,42		11,47.
	S a			120,28

Так как 11.47 > 2.048, то статистическая значимость коэффициента регрессии a

подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

5.7. Доверительные интервалы для зависимой переменной.

Прогнозирование на основе построенной модели предполагает, что сохраняются ранее существовавшие взаимосвязи переменных и на период упреждения. Для прогнози-

рования зависимой переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов. Прогнозные значения факторов xp подстав-

ляют в модель и получают интервальные прогнозные оценки изучаемого показателя (см. [2], [3]):

12

a bxp ;a bxp ,	tкритSy	1			x	xp 2
										.
		n		n
				xk				x	2
				k 1

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при достаточно большом числе наблюдений и xp = 211:

2,048 183,57	1		192,1 211 2	72,48,	576,79;721,75 .
30		93188,7

Следовательно, с вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при достаточно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденного интервала

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.

Интервальные прогнозные оценки изучаемого показателя рассчитываются с помо-

щью следующих формул [3]: (a +bxi – ; a +bxi + ),

tкритSy	1				x	xi 2					1		192,1 xi	2
	1								2,048 183,57	1					.
		n		n							30		93188,7
				xk			x	2
				k 1

Для наших исходных данных отсюда получаем следующую таблицу:

Таблица 2. Границы доверительных интервалов для Y при данных X .

xi		yi =1379,33–3,46xi	ei		ymin		ymax
161		822.83	384.09		438.74		1206.92
183		746.79	382.34		364.45		1129.13
149		864.31	385.84		478.46		1250.15
119		968	392.64		575.37		1360.64
230		584.33	385.02		199.32		969.35
201		684.57	382.33		302.24		1066.9
278		418.42	396.55		21.87		814.97
219		622.35	383.61		238.75		1005.96
180		757.16	382.47		374.69		1139.62

13

185		739.87	382.28		357.6		1122.15
139		898.87	387.73		511.14		1286.6
129		933.44	390		543.44		1323.43
91		1064.78	401.95		662.84		1466.73
132		923.07	389.28		533.79		1312.35
160		826.29	384.21		442.07		1210.5
290		376.94	400.74		-23.8		777.69
160		826.29	384.21		442.07		1210.5
231		580.88	385.17		195.71		966.04
316		287.07	411.51		-124.44		698.59
213		643.09	383.04		260.05		1026.13
138		902.33	387.94		514.39		1290.27
139		898.87	387.73		511.14		1286.6
180		757.16	382.47		374.69		1139.62
230		584.33	385.02		199.32		969.35
180		757.16	382.47		374.69		1139.62
210		653.46	382.81		270.65		1036.27
290		376.94	400.74		-23.8		777.69
270		446.07	394.03		52.04		840.11
210		653.46	382.81		270.65		1036.27

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при достаточно большом числе наблюдений не выйдут за пределы найденных интервалов.

14

6. ГРАФИК НАПИСАНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ И ЕЕ ОЦЕНКА

Научный руководитель оказывает содействие студенту в выборе темы курсовой работы и в определении вопросов, подлежащих рассмотрению, в формулировании ее целей и задач, в составлении библиографии по теме работы.

Также научный руководитель консультирует студента по вопросам, возникающим в ходе выполнении курсовой работы, и контролирует выполнение этапов работы, представленных в таблице.

Таблица 3. График написания курсовой работы

№	Этапы работы	Срок выполнения
п/п		(учебные недели)
1	Выбор темы	4-6
2	Работа с литературой, сбор фактического	7-10
	материала по теме
3	Написание работы	11-13
4	Сдача работы на кафедру и последующее	14-15
	ознакомление научного руководителя с на-
	писанной работой
5	Работа студента над замечаниями научного	15-16
	руководителя и подготовка к защите рабо-
	ты
6	Защита	17

По окончании работы над курсовой работой студент сдает ее на регистрацию лаборанту кафедры, после чего руководитель работы пишет отзыв на обороте титульного листа. В отзыве отражаются: степень раскрытия темы, логика и уровень изложения материала, а также замечания и предварительная оценка работы (объем отзыва – 1 страница). После исправлений и соответствующей доработки работы студент выходит на защиту.

При соблюдении графика выполнения курсовой работы и положительном отзыве научного руководителя проводится публичная защита и оценка курсовой работы

15

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Примерные темы курсовых работ

1.Модели парной регрессии.

2.Линейная модель парной регрессии

3.Нелинейные модели парной регрессии.

4.Оценки надежности результатов парной линейной регрессии.

5.Прогнозирование с помощью линейной модели парной регрессии.

6.Проверка общего качества уравнения линейной парной регрессии

7.Различные аспекты и обобщения парной регрессии.

8.Модели множественной регрессии.

9.Линейная модель множественной регрессии.

10.Нелинейные модели множественной регрессии.

11.Оценки надежности результатов множественной линейной регрессии.

12.Прогнозирование с помощью линейной модели множественной регрессии.

13.Проверка общего качества уравнения линейной множественной регрессии

14.Некоторые обобщения множественной регрессии.

15.Различные аспекты множественной регрессии

16.Системы регрессионных уравнений.

17.Системы одновременных уравнений.

18.Метод максимального правдоподобия в моделях регрессии.

19.Метод наименьших квадратов и его обобщения.

20.Методы оценивания параметров регрессионных моделей.

21.Прогнозирование в регрессионных моделях.

22.Использование фиктивных переменных в регрессионных моделях.

23.Регрессионные модели с качественной зависимой переменной.

24.Применение методов ранговой корреляции.

16

Приложение 2

Варианты практической части курсовой работы

																																					Вариант 1
					x		-39							-17						-51						-81						30				1				78					19			-20						-15						-61						-71						-109						-68						-40
					y				79							57					86					101						52				65				57					62			73						73						69						106						186						84						80
							x				90						-40					31						116						13			-62				-61						-20						30			-20						10						90				70						10				-50
							y				49						80					51						45						54			82				69						58						51			74						63						48				56						55				81
																																					Вариант 2
		x		-39						-17							-51					-81								30						1				78					19					-20						-15							-61					-71							-109							-68				-40
		y		158						114							172					202								104					130					114					124					146						146							138					212							372							168				160
			x		90						-40							31					116								13					-62				-61					-20						30						-20								10				90					70						10						-50
			y		98						160							102					90							108						164				138					116						102						148								126				96					112						110						162
																																					Вариант 3
					x				-39							-17					-51						-81					30				1				78					19			-20						-15						-61						-71						-109						-68					-40
					y				1							23					-6						-21					28				15				23					18					7						7				11						-26						-106						-4					0
							x				90						-40					31						116						13			-62				-61						-20						30			-20						10						90				70						10				-50
							y				31						0					29						35						26			-2				11						22						29						6			17						32				24						25				-1
																																									Вариант 4
					x				-39							-17					-51						-81					30				1				78					19			-20						-15						-61						-71						-109						-68					-40
					y				21							43					14						-1					48				35				43					38			27						27						31						-6						-86						16					20
							x				90						-40					31						116						13			-62				-61						-20						30			-20						10						90				70						10				-50
							y				51						20					49						55						46			18				31						42						49			26						37						52				44						45				19
																																									Вариант 5
			x	-39							-17								-51					-81							30					1				78							19						-20						-15						-61				-71							-109						-68				-40
			y	-5							-115								30					105						-140						-75				-115							-90						-35						-35						-55				130							530						20				0
x			90						-40								31					116									13					-62				-61					-20								30						-20						10					90								70					10							-50
y			-155						0							-140						-175								-130						10				-55					-110							-145							-30									- 85		-160							-120						-125							-5
																																									Вариант 6
			x		-39								-17						-51							-81					30					1				78					19					-20						-15						-61						-71					-109						-68							-40
			y		195								85						230						305						60				125					85				110						165						165						145						330						730						220						200
					x				90					-40							31					116						13				-62				-61						-20						30				-20						10						90						70				10				-50
					y				45					200							60					25						70				210				145							90					55				170						115						40						80				75				205

17

																																														Вариант 7
									x				11								33							-1						-31					80				51					128					69						30					35						-11						-21							-59							-18							10
									y				79								57							86						101					52				65					57					62						73					73						69						106							186							84							80
									x				140										10						81						166					63				-12						-11					30					80							30					60				140							120							60							0
									y				49										80						51						45					54				82						69					58					51							74					63				48							56							55							81
																																														Вариант 8
		x				11								33										-1									-31					80					51					128					69							30							35							-11						-21							-59									-18						10
		y				158								114										172									202					104					130					114					124							146							146						138							212							372									168						160
		x				140								10										81									166					63					-12					-11					30							80							30							60						140							120									60						0
		y				98								160										102									90					108					164					138					116							102							148						126							96							112									110						162
																																														Вариант 9
										x				11							33							-1						-31				80					51				128						69				30							35						-11				-21									-59							-18						10
										y				1							23							-6						-21				28					15					23					18						7					7						11				-26							-106									-4							0
										x				140										10						81						166				63					-12						-11					30				80							30					60				140							120							60							0
										y				31										0						29						35				26					-2						11					22				29							6					17				32							24							25							-1
																																													Вариант 10
										x					11							33						-1						-31						80			51					128					69						30					35						-11						-21							-59					-18								10
										y					21							43						14						-1						48			35					43					38						27					27						31						-6							-86							16						20
									x				140										10						81						166					63				-12						-11					30					80							30					60				140							120							60							0
									y				51										20						49						55					46				18						31					42					49							26					37				52							44							45							19
																																													Вариант 11
				x				11									33									-1							-31					80					51					128								69					30							35						-11						-21							-59								-18						10
				y				-5								-115										30							105					-140					-75					-115							-90						-35							-35						-55						130							530									20					0
x			140									10									81										166							63					-12					-11					30								80									30						60					140									120							60									0
y			-155									0									-140										-175						-130						10					-55					-110								-145								-30					-85							-160								-120								-125								-5
																																																	Вариант 12
			x					11									33							-1									-31					80			51						128						69							30							35					-11							-21							-59								-18							10
			y				195										85							230									305					60			125						85						110						165								165					145								330							730							220							200
						x			140									10										81						166					63				-12					-11						30						80							30					60						140							120									60							0
						y			45									200										60						25					70				210					145						90						55					170							115								40							80							75				200
																																													Вариант 13
								x				61									83					49								19				130					101						178						119							80					85					39					29							-9							32						60
								y				79									57					86							101					52					65						57							62						73					73					69					106							186							84						80
							x			190											60					131								216						113					38				39				80						130								80				110						190							170							110								50
							y					49									80					51								45						54					82				69				58							51							74					63					48							56										55					81

18