Методическое пособие 279

	2		0
		1	1			2		3	0	1
16)	A	1			,	B					;
			2				1	1	2	1
		1	3

	1		2
17)	A	1	1

	1		2
18)	A	1	2
	3		4
		2	1
19)	A				,
		1	1
		2	3
	7			2
20)		3		1
	A
		4		2

					2			4
0	3					0		1
2		,		B						;
	0					1		1
						1		1
					1			4			2
0	3					0	1				1
1		,		B									;
	1					6		1		1
						2		1			1
	3			2	1	2
B								;
	4			1	1	3
3	1						3		2
							1			2
4 2			,		B						.
						4				3
5
	3						5			2

9

Задача 4. Для данной матрицы		A найдите обратную
матрицу	A 1 . Сделайте проверку,	т.е. покажите, что
AA 1 E .	Вычислите определитель	матрицы A 1 . Убеди-
тесь, что выполняется равенство | A 1 |				1	.
		|		A |

		1	2		3
1)	2		4		5 ;
	1		1
					2
5		2		1
	1	3
4)				2
	3	2
				1
2		3		4
7)	1	2		3 ;
	1	1
				2
	1		1	2
10)		9	7	6 ;
		1	1
				1
		1		3	7
13)		2		5	6 ;
		1		2
					11
	1			4	5
16)		6		5	3 ;
		3		2
					1
		1		3	5
19)		4		3	2 ;
		5		4
					2

		1	3	2
2)	2		4	1 ;
		1	2
				1
	1		2	3
5)	3		2	4 ;
	2		1
				0
1			2	2
8)	2		5	7 ;
	4		9
				10
	2		3	5
11)		0	1	3 ;
		3	5
				7
	2		3	3
14)		3	9	4 ;
		1	2
				2
	5		6	2
17)		2	1	1 ;
		4	5
				2
	3		4	5
20)		2	3	1 .
		3	5
				1

	5		3		1
3)	1		4	2 ;
	4		2
					1
	1		4		5
6)	2		6 10 ;
	1		3
					6
2		3		1
9)	4	5		2 ;
	5	7		3
		1	2		1
12)		4	3		2 ;
		5	4
					2
		3	8		5
15)		4	7		2 ;
		3	5
					1
		1	2		5
18)		1	3		6 ;
		2	6
				10

10

Задача 5. Решите матричное уравнение, сделайте проверку:

	3		2				1		2						3		2				1 2
1)					X		5				;			2) X		2							;
		5 4							6								1				1 1
	1			2			1			2					3		1				8		5
3)				5		X						;		4) X												;
			3					11		19						2	1				5 3
	2			3			7			12					3		2				4 5
5)		1				X		4				;		6) X		1					2					;
				2							7						1						3
	5 4						8 6								2		2		2			10
7)				X							;			8) X		1							7			;
		3 2				1 2											3			1
	2			1			14				9					1 3					7		4
9)		5				X						;		10)	X												;
				3				1			1					1	2				6			2
		6		1				2			3					3	2				3		9
11)			4			X			28		6		;	12)	X												;
				2												2	1				2			5
		3		2			15			7						2	1				4 2
13)			3			X					;			14)	X										;
				1				6		4						3	2				1 24
		2		1			12				8					1 2			1 8
15)			6			X		20				;		16)	X										;
				4							13					1	3				4 7
		5 1					7 1									3	1				19 1
17)				X						;				18)	X									;
			3 1			2 0										5	2				32 1
		2		4			3				7					2	1			3			1
19)			3			X						;		20)	X									.
				5				6		10						3	1			5			5

11

			Задача 6. Для данных матриц B и C найдите матрицы
BC ,			CB ,		B С ,						B С ,		B2 С2 ,							(2B)T С . Верно ли, что:
а) BC CB ; б) B2 С 2 (B C)(B C) ?
			B									C								B							C
	2			1	3					2		1	2							3 5 6					2		8 5
		8 7			6							5														3	1
1)								,			3		4		;		2)			2 4		3		,					0		;
		3 4			2						1	2	1						3 1							4	5 3
																						1
	6			1 3						3 0			1						2 3 2						3		2 1
3)		5 2			5				,		0 2		7		;		4)									3	1 2			;
																			1 3 1 ,
			1 3		8						1 3		2													5	3 0
																			4 1 3
	1			2	5					1 1			1						3 1 0						2		7 0
5)		3 0			6				,		2 3					;	6)		4 3 2				,			5				;
													3														3 1
		4		3	4							1 2							2 2 7							1	6
													1															1
	3			7	2					0 5			3						2 1		4				0		0 4
7)		1 8			3				,		2 4						8)		4 9			3		,		5	6			;
													1 ;															4
		4 2			3						2 1								2 7							7	4
													5								1							1
	8		5		1					4		7	6						3 4		3				2		2	0
9)		1	5		3			,			3	2			;		10)			1 2				,		5	4			;
													1									3						1
		1 1			0						0	1	2							5 0						1	1
																					1							2
		3 4			0					1 7			1						2 3			4			3		3 1
11)			4	5					,		0	2					12)			3 1	4			,		0	6 2		;
					1								6 ;
											2	1								1 2		2				1	9 2
		2 3			3								1

12

		B								C				B					C
	5 9			4				1		1 1			5 1			3	3		5 5
13)		1	3		1		,		3	4	3 ;		14)	1	2	1 ,		7	1	2 ;
		2	1	6					0	5 2				8 4				1
																3			6 0
	3		5	1				3		2 5			1		1	1	1		0 4
15)		5	6			,			3	2	1			2	4			2	5	3
				1								;	16)			1 ,					;
		4 3		2					1	0 2				4 3				4	3	2
																1
	3 4				2			1		4 4			4		1	4	0		1	1
17)		1	5		3		,		1	3		2 ;	18)	2	4	6 ,		2	5	0 ;
		0	1		2				4					1 2				1	1
										1 2						1				2
	6 7			3				2		0		5	1		2	5	1		1 1
19)		3	1	0 ,					4	1	2 ;		20)	3	0	6 ,		2	3	3 .
		2 2		1					4	3				4	3			1	2
												7				4				1
		Задача 7. Вычислите определители матриц B , C , BC ,
B С ,			BT CT ,					BT CT ,				B2C3 ,		где B и C -				матрицы из
задачи 6.
		Задача 8. Найдите ранг данной матрицы методом эле-
ментарных преобразований:
1 3					1				3					1 2		1 1
	2 1				1				1					1 1		1 1
1)	3		11	1					19				2)	1 2		1 1
	1 12 2							16						1	1 3		1

13

	1		2		3		1
		2	1		1		0
3)
		1	1		1		1
		1		3	10		1
	2			1	1	1
		1		3	1	1
5)
		1		1	5	1
		1	4		4	0
	0			1	13		1
		2		3	3		1
7)
		1	4		4		0
		1		1	5		1
	1		1		1		1
		1	2		0		3
9)
		1		1	2		3
		2		2	4		6
			2	1	3		1
			3	1	2		0
11)
			1	3	4	2
			4	3	1		1
			2	3		1		4
			1	1		3	3
13)
			3	2		4		1
			1	0	2			1
			2	3	1		1
			3	1	4		2
15)
			1	2	3		1
			1	4	7		5

	1			3			5		6
		1		3			1		1
4)
		1		3			13	16
		2		6			9	11
	1			2	3		1
		2		3	1		2
6)
		3		1	2		2
		0		4	2		5
	3				1		2		4
		1			3		1		2
8)
		1			5		0		1
		7		15			11		8
		3		5			1	7
			1		5		0	1
10)
			3		1		2	4
			1		3		1	2
		1			2		1				1
			2		3		9			12
12)
			3		1		8			7
			2		4		2			2
		4			1		3	2
			8		2		6	4
14)
			3		1		4	2
			6		2		8	4
		2		1		3		1
			4		2	6		2
16)
			6		3	9		3
			1	1			1	1

14

	2 3			1	1				5		2	3	1
		3 1		2	4					4	1	2	3
17)								18)
		1 4		3	7					1	1	1	2
		1 2		1 5						3	4	1	2
	1		2	3	2				2 1			0	1
		2	3	1	4					3	3 2		1
19)								20)
		1	9	8	2					1	2	4	0
				7 2
		1	12							3	3	4	1

ТЕМА «СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ»

Задача 9. Исследуйте совместность каждой из данных систем линейных уравнений. В случае совместности решите системы тремя способами: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса.

2x1

1) 2x13x1

2x1

2) x14x1

3x1

3) x15x1

2x1

4) x1x1

x2	3x3	7
3x2	x3	1 ,
2x2	x3	6
x2	2x3	3
x2	2x3	4,
x2	4x3	3
x2	x3	12
2x2	4x3	6 ,
x2	2x3	3
x2	3x3	4
3x2	x3	11 ,
2x2	2x3	7

3x1

2x1x1

x1x12x1

2x1

3x15x1

3x1

2x15x1

2x2	4x3	8
4x2	5x3	11;
2x2	x3	1
x2	x3	1
x2	2x3	5;
	3x3	2
x2	4x3	15
x2	x3	8 ;
2x2	5x3	0
x2	2x3	3
2x2	5x3	5 ;
3x2	7x3	1

15

3x1

5) 3x12x1

8x1

6) x14x1

4x1

7) x18x1

3x1

8) 3x12x1

3x1

9) 2x1x1

4x1

10) 2x1x1

2x1

11) x14x1

2x1

12) x13x1

2x2	4x3	12
4x2	2x3	6 ,
x2	x3	9
3x2	6x3	4
x2	x3	2 ,
x2	3x3	5
x2	3x3	9
x2	x3	2,
3x2	6x3	12
2x2	4x3	21
4x2	2x3	9 ,
x2	x3	10
2x2	5x3	5
3x2	4x3	12
2x2	3x3	1,
x2	4x3	19
x2	2x3	11 ,
x2	2x3	8
x2	2x3	8
x2	2x3	11 ,
x2	4x3	22
x2	3x3	9
5x2	x3	20 ,
4x2	2x3	15

5x1

x14x1

7x1

6x1x1

3x1

2x1x1

8x1

4x14x1

2x1

7x15x1

3x1

5x12x1

2x1

5x17x1

x13x14x1

9x27x22x2

2x24x22x2

x22x2

x2

x2x2

2x2

3x29x26x2

2x23x25x2

x2

x2

2x2

4x25x29x2

4x35x3

x3

x35x34x3

2x3

3x3x3

3x36x33x3

4x3x3

3x3

2x32x34x3

x33x34x3

2x36x38x3

6

1 ;

2

2

3 ;

5

1

9 ;

2

2

1 ;

7

1

3 ;

7

6

4;

0

2

4;

1

0

2;

1

16

2x1

13) 3x1x1

3x1

14) 3x1x1

3x1

15) 3x1x1

3x1

16) 5x1x1

3x1

17) 5x1x1

x1

18) 2x13x1

3x1

19) 2x13x1

x1

20)3x12x1

x24x25x2

5x2

x24x2

x25x24x2

x2x2

2x2

x2x2

2x2

2x23x22x2

4x2x2

2x2

5x2x2

3x2

3x3	0
2x3	1 ,
x3	3
6x3	8
x3	4,
2x3	9
x3	4
6x3	36	,
2x3	19
x3	11
2x3	8	,
4x3	16
x3	9
2x3	14,
4x3	19
3x3	14
4x3	16,
5x3	8
2x3	11
x3	4 ,
4x3	11
6x3	15
4x3	13	,
x3	9

3x1		5x2
		2x2
x1
2x		7x
	1	2

x		2x
	1	2
2x1		3x2
3x		x
	1	2
5x1		x2
		4x2
3x1
2x		3x
	1	2
3x1		4x2
		5x2
x1
2x		x
	1	2
2x1		3x2
		4x2
3x1
5x		x
	1	2
4x1		9x2
		4x2
7x1
3x		5x
	1	2
2x1		8x2
		5x2
2x1
4x		3x
	1	2
5x1		6x2
		3x2
2x1
3x		3x
	1	2

3x3x3

2x3

3x3

4x3x3

2x3

x33x3

x33x34x3

2x37x35x3

5x3x3

4x3

7x3

6x3x3

2x3

x3

x3

4

8 ;

1

6

2;

5

1

7;

4

2

4;

5

5

2;

9

1

11;

5

0

1 ;

7

2

9.

1

17

Задача 10. Найдите общее решение каждой из данных систем методом Гаусса.

3x1 2x2 2x3 x4 4x5 0 1) 7x1 5x2 3x3 2x4 x5 0 ,

x1 x2 x3 7x5 0

	6x 3x 2x 4x 7x 0
		1	2		3	4	5
			4x2	3x3 2x4 4x5 0,
2)	7x1
	x x x 2x 3x 0
		1	2		3	4	5
	x 2x x 4x x 0
		1	2		3	4	5
3)	2x1 x2 3x3 x4 5x5 0,
	x 3x x 6x x 0
		1	2		3	4	5
	x 2x 3x 2x x 0
		1	2		3	4	5
4)	x1 2x2 7x3 4x4 x5 0 ,
	x 2x 11x 6x x 0
		1	2		3	4	5
	3x1 x2 4x3 2x4 x5 0
			2x2	3x3 7x4 2x5 0,
5)	2x1
	x 11x 34x 5x 0
		1	2		4	5
	x x 10x x x 0
		1	2		3	4	5
6)	5x1 x2 8x3 2x4 2x5 0 ,
	3x 3x 12x 4x 4x 0
		1	2		3	4	5
	2x1 x2 2x3 x4 x5 0
				3x3 2x4 x5 0 ,
7)	x1 10x2
	4x 19x 4x 5x x 0
		1		2	3	4 5

x1 x2 3x3 4x4 14x1 5x2 2x3 x4 3;3x1 4x2 x3 3x4 2

x x 4x 2x 0
	1	2		3		4
3x1 4x2 x3 3x4 1;
2x 3x 3x x 1
		1	2		3	4
x x 3x 4x 0
	1	2		3		4
2x1 x2 2x3 x4 1 ;
4x 3x 8x 9x 1
		1	2		3	4
x 5x 3x 4x 4
	1		2	3		4
2x1 9x2 2x3 x4 7;
x 4x x 3x 3
	1		2	3		4
x 4x 2x 3x 5
	1		2	3		4
2x1 7x2 4x3 x4 9;
x 3x 2x 2x 4
	1		2	3		4
x 2x 2x 3x 4
	1		2	3		4
2x1 5x2 x3 4x4 9;
x 3x x x 5
	1		2	3		4
x 2x 3x 4x 1
	1		2	3		4
4x1 7x2 2x3 x4 3;
3x 5x x 3x 2
		1	2	3		4

18