Методическое пособие 388

Разобьем отрезок [a,b] на n элементарных отрезков:

[a, x1 ],[x1, x2 ],...[xk , xk 1 ],...[xn 1,b].

На каждом участке выберем произвольным образом точку sk . Из-за мало-

сти участков разбиения сила на каждом из них изменяется незначительно и ее можно считать постоянной и равной значению функции в выбранной точке.

Вычислим в этих точках значение силы F f (sk ) , и тогда величина работы на

каждом участке будет равна Ak = f

( sk ) sk..

Тогда работа, совершаемая силой на всем промежутке [a,b] , будет при-

	A An	n
ближенно равна сумме всех работ, т. е.		f (sk ) sk .
		k 1

За точное значение работы, совершаемой силой на промежутке [a,b], ес-

тественно принять предел этой суммы, когда число разбиений неограниченно увеличивается, и наибольшая длина малых отрезков стремится к нулю, т. е.

n

A lim f (sk ) sk .

n k 1

Таким образом, работа переменной силы равна определенному интегралу от данной силы на заданном отрезке [a,b]:

A b	f (s)ds	(3.33)
a

§ 10. Связь определенного интеграла с неопределенным. Формула Ньютона-Лейбница

Теорема. Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной для верхнего и нижнего предела интегрирования, т. е.

b	f (x)dx F(b) F(a) ,	(3.34)

a

где F(x) – любая первообразная функции f (x).

Доказательство. Пусть на [ a,b ] задана непрерывная функция y f (x) и

	f (x).
F(x) ее первообразная, то есть F (x)
Разобьем отрезок [a,b] точками a x0		x1 ...	xk	...	xn b

на n частей, которые будем обозначать xk xk 1 xk , так что

n

[a,b] xk (b a) .

k 1

51

Рассмотрим разность

F(b) F(a) [F(x1) F(a)] [F(x2 ) F(x1) ... [F(xk 1) F(xk )] ...

n

(3.35)

[F(b) F(xn 1)] [F(xk 1) F(xk )].

k 1

Применим к каждой квадратной скобке теорему Лагранжа, так как функция F(x) дифференцируема на всем отрезке [ a,b ] и F (x) f (x) .

Имеем F(xk 1 ) F(xk ) F (ck )(xk 1 xk ) f (ck ) xk , k 1,2,3,...n .

Подставляя эти разности в (3.35), получаем

n

F(b) F(a) f (ck ) xk . (3.36)

k 1

В силу условия существования определенного интеграла для непрерывной функции f (x), переходя к пределу в (3.36), получим

					b
F(b) F(a) lim f (ck ) xk f (x)dx ,
		n			a
таким образом, имеем d	f (x)dx F(b) F(a) .
a
Эту формулу принято записывать в виде
	b	f (x)dx F(x)		ba .		(3.37)
	a

§ 11. Формула парабол (Симпсона)

При выводе формулы трапеций мы заменяли кривую ломаной линией, а искомую площадь – суммой площадей трапеций. Естественно, точность формулы повысится, если кривую y f (x) заменить гладкой кривой, проходящей че-

рез соответствующие точки деления, например параболой (рис. 3.16).

y

Ao	A2 y f (x)	An
A1

0

x0

x1

x2

xn

x

Рис. 3.16

52

Разделим [a,b] на четное число равных частей n 2m и заменим дугу A0 A2 , соответствующую отрезку [x0 , x2 ] , дугой параболы y ax2 bx c с

осью симметрии, параллельной оси 0y и проходящей через три точки

A0 (x0 , y0 ) , A1(x1, y1) , A2 (x2 , y2 ) .

Уравнение такой параболы имеет вид y ax2 bx c . Подставляя в это уравнение вместо x и y последовательно координаты трех данных точек, получим три уравнения для вычисления трех неизвестных коэффициентов a,b,c . Это всегда возможно, таккакопределительэтойсистемы

x20		x0
			1
x 2		x	1	0.
1	2	1
x2		x2	1

Затем криволинейную трапецию заменим соответствующей параболической. Аналогичные замены произведем на всех остальных парных отрезках. Тогда сумма площадей параболических трапеций даст приближенное выражение

интеграла b f (x)dx.

a

y

y0

y1

y2

-

0

x

Рис. 3.17

Найдем площадь S одной криволинейной трапеции, ограниченной сверху

графиком параболы y ax2 bx c ,							сбоку прямыми													x , x и снизу от-
резком [ , ] (рис. 3.17). Тогда при x a,														y		a 2				b c,				при x 0,			y c ,
		a 2 b c.												0												1	1
при x ,	y
2	2
			2								x	3					x	2							2
		S (ax												b										(2a		6c).
Площадь				bx c)dx							3					2			cx				3
Откуда нетрудно видеть, что y							0	4y				y			2		2a 2					6c.
			( y								1
Следовательно, S =					0	4y	y		2	).
			3			1

53

Применяя формулу ко всем отрезкам, где = x = b2ma , и складывая их, получим окончательно:

	b	b a
	f (x)dx		[ y0	y2m 2( y2	y4 ... y2m 2 ) 4( y1 y3 ... y2m 1 )] .
		6m
	a

Чем больше точек деления, тем выше точность выведенных формул. Более того, по заданной степени точности мы можем подобрать такое число точек деления n , чтобы обеспечить эту точность при вычислении интеграла.

Эта формула называется формулой парабол (или формулой Симпсона). Абсолютная погрешность вычислений по формуле парабол оценивается

соотношением

R

(b a)5

M , где M max

f (4) (x)

.

n

180 (2n)4

a x b

Пример. Вычислите 6

x2 dx. (Выполнить самостоятельно).

1

b a [

y0 y6

( y1 ... y5 )

72,5.

По формуле трапеций: S =

n

2

По формуле Симпсона при n =10 имеем S 71,6 .

УПРАЖНЕНИЯ

	1. Вычислить определенные интегралы:
1. 1 x4dx .			[	1] 2.		4	xdx
	0			5		1	.
	1		[2 2].
3.
	(x2 1)dx				4.	2
	1	.		5		cos xdx
						0	.

5.		4			dx		.
					2
	0				cos x
7.	1				xdx			.
					2
	0				1 x

		6.	3	dx
	[1].		o
				1 x2	.
	[1].	8.	7	49 x 2 dx
			0		.

	4	x 1			4		10.	12			dx
9.			.	[		].
					3					sin	2	(			x)
	0	x 1						0						6		.
								8		xdx
11. e ln 2 xdx .				[e 2 ].			12.
										3x 1 .
		1						1

[4 23].

[1].

[ 3 ].

[494 ].

[ 3 1].

[8].

54

2. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость:

		dx4 .				1].		dx			[ ].
1)					[		2) 0
								x 2 9	.
	1	x				3					6
		x 5						arctgx
3)	1		dx .		[расходится]. 4) 0					dx .	[ 8 ].
		x3 x						1 x 2
		3. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y x2									1, осью ох и
прямыми x 1 , x 4.					[24]
		4.		Найдите	площадь		фигуры,	ограниченной			линиями
y ln x , y				0 , x e.							[1]

5. Найдитеобъемтела, полученноговращениемвокругоси0хплоскойфигуры,

ограниченнойполуволнойсинусоиды y sin x (0 x ) иосью0х. [ 2 ]

2

2

6. Вычислите x3dx , разбив отрезок интегрирования [0,2] на 4 части.

0

Применить формулу трапеций и Симпсона.

ТЕМА 2 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Во многих задачах математики и прикладных дисциплинах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин, то есть приходится иметь дело с функциями двух, трех и более переменных. Многим явлениям, в том числе экономическим, присуща многофакторная зависимость Исследование таких зависимостей потребовало совершенствования математического аппарата, в частности, введения понятия функции нескольких переменных.

Глава 4. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Основные понятия функции нескольких переменных

Определение. Пусть имеется n переменных величин из некоторого множества X , и каждому набору их значений (x1, x2 ,...xn ) соответствует одно

вполне определенное значение переменной z . Тогда говорят, что задана функ-

ция нескольких переменных z f (x1, x2 ,...xn ) .

Переменные x1, x2 ,...xn называются независимыми переменными или ар-

гументами, z – зависимой переменной или функцией, а символ f означает

закон (способ, правило) соответствия. Множество X называется областью определения функции.

Рассмотрим некоторые примеры функций нескольких переменных.

1. Функция z a1x1 a2 x2 ... an xn b , где a1,a2 ,...an ,b − постоянные числа, называется линейной.

55

2. z	1 n	b x x		(b постоянные числа) называется квадратической.
	2 i, j 1	ij i	j	ij

3. Многомерным аналогом функции полезности являются функции:

а)	n				xi ci 0 − логарифмическая функция;
	z ai ln(xi ci ) где ai 0,
	i 1
б)	z n	ai	(x	c )1 bi − функция постоянной эластичности.
			i	i
	i 11 bi

4. На случай n переменных обобщается понятие производственной функции. Наиболее встречающиеся ее виды ( z величина общественного продукта, x1 затраты труда, x2 объем производственных фондов):

а) функция Кобба-Дугласа:

	z b x b1 x						b2 ;
			0	1		2
	б) функция с постоянной эластичностью замещения:
										h
	z e [e x			e	2		x	]		.
	0	1	1					2
	5. Давление в каждой точке		пространства						зависит от ее координат

M (x, y, z) , температуры t , влажности . В этом случае давление можно рассматривать как функцию пяти переменных P f (x, y, z, t, ).

В дальнейшем мы будем рассматривать в основном функции дух переменных. При этом практически все понятия и теоремы, сформулированные для n = 2, легко переносятся на случай n > 2.

1.1. Функции двух переменных

Рассмотрим множество D упорядоченных действительных чисел (x, y).

Определение. Если по какому-либо правилу или закону каждой паре чисел (x, y) D ставится в соответствие одно единственное действительное зна-

чение переменной z R , то говорят, что задана функция z двух переменных x и y , и обозначают z f (x, y) или f :D R .

Переменные x, y (независимые переменные) называются аргументами,

зависимая переменная z называется функцией.

Множество значений (x, y) , при которых функция существует, то есть

принимает конечные действительные значения, называется областью сущест-

вования или областью определения функции. Областью существования функ-

ции двух переменных может быть вся плоскость ( x0y) или ее часть, ограниченная некоторыми линиями, называемыми границами области.

Пример 4. Найти область определения функции z arcsin( x 2 y 2 3). Решение. Функция определена при условии 1 x2 y 2 3 1 , которое

равносильно неравенству 2 x2 y2 4 .

56

Граничными линиями являются окружности x2 y2 2 и x2 y2 4 , кото-

рые тоже принадлежат области определения. Таким образом, область определения есть концентрическое кольцо, ограниченное этими окружностями.

Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой. Область

вместе со своей границей называется замкнутой.
Примером замкнутой области является круг с окружностью, окрестно-
стьюточки M 0	называютвсевнутренниеточкикругасцентром M 0		ирадиусом .
Значение	функции	z f (x, y) в точке M 0 (x0 , y0 )	обозначают
z0 f (x0 , y0 ) или z0 f (M 0 )		и называют частным значением функции.
По аналогии с функцией одной переменной, функция двух переменных

может быть задана таблично, аналитически или графически.

Геометрическим изображением (графиком) функции двух переменных z f (x, y) является некоторая поверхность в пространстве.

В самом деле, каждой точке N0 (x0 , y0 ) , принадлежащей некоторой области плоскости (x0y) , соответствует точка M 0 (x0 , y0 , z0 ) , принадлежа-

щая графику функции и являющаяся концом перпендикуляра NM к плоскости (здесь z0 аппликата точки M 0 ). Множество всех таких точек образуют неко-

торую поверхность в пространстве (нависшую над , «крышей» над ней). Эта поверхность называется графиком функции z f (x, y).

Строить поверхности в пространстве довольно сложно и трудно, поэтому в некоторых случаях можно получить наглядное представление о самой функции двух переменных и её поведении, рассматривая её линии уровня, то есть линии, где функция принимает постоянные значения.

На плоскости x0y находят точки, в которых функция имеет постоянные

значения z c . Эти точки образуют некоторую	линию. Изобразив линии
f (x, y) c последовательно для c c1 , c c2 ,...c cn	с одним и тем же шагом,
мы получим так называемые линии уровня данной функции.
Там, где линии уровня расположены густо, функция изменяется быстро

(на поверхности имеем крутой подъём), а где линии уровня расположены редко, функция изменяется медленно (поверхность пологая). Этот способ, в частности, применяется при черчении географических карт. На них линиями уровней служат высоты над уровнем моря или глубины дна моря (так называемые изолинии). Линии одинаковой температуры называются изотермами, линии одинакового давления – изобарами, линии одинаковой контрастности – изогелиями.

Аналогом функции трёх переменных в физическом смысле являются ска-

лярные поля.

Если в каждой точке трёхмерного пространства задана скалярная величина U U (x, y, z) , то говорят, что задано скалярное поле или потенциал поля.

Если T T (x, y, z) означает температуру в каждой точке некоторой области пространства, то это будет температурное поле или поле температур.

57

Аналогично можно рассматривать, например, поле давлений P P(x, y, z) , силовоеполе I I (x, y, z) ит. д.

Для функции трёх переменных аналогом линий уровня являются поверхности уровня, то есть множество точек, в которых функция принимает постоянные значения U (x, y, z) C .

1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных

При рассмотрении функции двух переменных будем пользоваться понятием связной области.

Открытая область называется связной, если любые её две точки можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области. Область называется ограниченной, если все её точки принадлежат некоторому кругу радиуса R . В противном случае она будет неограниченной. Примером неограниченной области может служить множество точек первого координатного угла, а ограниченной – окрестность точки M 0 .

Определение. Число А называется пределом функции двух переменных

z f (x, y) f (P) при

P P0 , (x x0 , y y0 ) , если для любого 0

существует такое 0 , что для всех точек из области (P0 ) , отличных от точ-

ки P0 (x0 , y0 ) , удовлетворяющих условию

x x0

,

y y0

,

выполняется неравенство

f (x, y) A

.

При этом пишут:

A lim f (x, y) .

(4.1)

x x0

y y0

Пример. lim x y 2

2.

x 3 y 1

Функция двух переменных называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Заметим, что если число A есть предел функции z f (x, y) , то из определения предела функции следует, что разность f (x, y) A является беско-

нечно малой, когда точка P(x, y) произвольным образом неограниченно приближается к точке P0 (x0 , y0 ) .

Вычисление предела функции двух переменных значительно сложнее, чем функции одной переменной. Причина заключается в том, что на прямой существует только два направления – справа и слева, а на плоскости таких направлений бесконечное множество, и пределы функции по разным направлениям могут не совпадать с теми, по которым точка стремится к своему предельному значению.

58

Определение. Функция z f (x, y) называется непрерывной в точке Po (x0 , y0 ) , если она определена в этой точке и в некоторой её окрестностии имеет предел

lim f (x, y) f (x0 , y0 ) .

(4.2)

x x0 y y0

Если функция f (x, y) непрерывна в каждой точке области , то она назы-

вается непрерывной в этой области.

Замечание. Все свойства пределов функций и свойства непрерывных функций двух переменных аналогичны свойствам функции одной переменной.

Если условие (4.2) нарушается в точке, то функция называется разрывной в этой точке. Точки разрыва функции двух переменных могут образовывать целые линии разрыва.

Например, функция z y 2 x имеет линию разрыва y x .

§ 2. Частные производные функции двух переменных

Пусть функция z f (x, y) определена в некоторой области . Возьмем точку P(x, y) из данной области, зафиксируем аргумент y , а ар-

гументу x дадим приращение x . Тогда функция z получит приращение

x z f (x x, y) f (x, y) , называемое частным приращением функции z f (x, y) по x .

Если зафиксируем аргумент x , а аргументу y дадим приращение y , то функция получит частное приращение по y :

y z f (x, y y) f (x, y) .

Если придать приращение обоим аргументам, то получим полное приращение функции двух переменных:

z f (x x, y y) f (x, y) .

(4.3)

Пусть существует предел отношения частного приращения функции двух переменных к приращению этого аргумента, когда последнее стремится к нулю:

lim	x z		lim	f (x x, y) f (x, y)	.
	x
x o			x 0	x

Этот предел называется частной производной функции двух переменных

	по x и обозначается символом	f x (x, y) или f				,	z .
				x			x
	Аналогично получим частное приращение по y :
	f y	(x, y)	lim	y z				f		z	.
				y				y		y
			y 0

59

Таким образом, частная производная функции двух переменных по одному из её аргументов равна пределу отношения частного приращения функции по этому аргументу к его приращению, когда последнее стремится к нулю.

При вычислении частной производной по одному из её аргументов, второй аргумент принимается за константу.

Следует так же заметить, что все свойства производной и все правила дифференцирования функции одной переменной остаются верными и для функции двух и большего числа переменных.

Пример 1. Вычислить частные производные функции

Решение.

z x3 y

ln x tg y4

5x2

sin y 7 .

z

3x2

y

1 tgy4

10x,

z

x3

ln x

4y3

cos y .

x

y

2 y

cos2 ( y4 )

x

2.1. Геометрический смысл частных производных

Для функции z f (x, y) геометрическим изображением (графиком) является некоторая поверхность (Рис. 4.1). Выясним геометрический смысл частных

производных	z		f x (x, y) ,	z		f y (x, y).
	x			y	z
			y			x
						M (x, y, z)

0 y

N(x, y,0)

x

K

Рис. 4.1

Полагая y const , мы получаем плоскую кривую x , представляющую

собой сечение поверхности соответствующей плоскостью, параллельной координатной плоскости x0z . Пусть MK касательная к кривой x в точке M (x, y, z)

и угол, образованныйэтойкасательнойсположительнымнаправлениемоси 0x .

60