Методическое пособие 389

причем коэффициенты разложения новых базисных векторов по старому базису образуют столбцы этой матрицы. Матрица перехода A − невырожденная, так как в противном случае ее столбцы (а следовательно, и базисные векторы) оказались бы линейно зависимыми.

Обратный переход от нового базиса к старому осуществляется при по-

мощи обратной матрицы A 1 .

Найдем зависимость между координатами вектора X в разных базисах. Пусть рассматриваемый вектор X имеет в старом и новом базисах соот-

ветственно координаты X (x1, x2 , x3 ) − в старом и X (x1*, x2*, x3*) − в новом, т.е.

X x1e1 x2e2 x3e3 x1 * e1 * x2 * e2 * x3 * e3 *.

(4.5)

Подставив значения e1*,e2*,e3 * из системы (4.3) в левую часть равенства (4.5), получим после преобразований:

x1 a11x1 * a21x2 * a31x3*,x2 a12 x1 * a22 x2 * a23 x3*,x3 a13x1 * a23 x2 * a33 x3*,

т.е. в матричной форме:

X AX * или X * A 1X .

Пример 3.

По условию примера 2 вектор b {4, 4,5}, заданный в базисе e1,e2 ,e3 , выразить в базисе a1,a ,a3 .

Решение. Выразим связь между базисами: a1 e1 e2 ,

a2 e1 e2 e3 ,

a3 3e1 52 63.

Матрицапереходаотбазиса e1,e2 ,e3 кбазису a1 ,a 2 ,a3 имеетвид

				1		1	3
	A			1		1	5
								.
				0		1	6
		1			1	3	2
Вычисляем	A 1				6	6	8		.
		4
					1	1	2

51

	x1 *									1	3		2					4						2				0,5
Теперь	x			2	*			1		6		6	8					4				1		8				2				.
								4														4
										1		1	2					5						2				0,5
	x3				*
Таким образом, координатами вектора																					в базисе									1,		2 ,		3 являются
																				b									a		a		a
(0.5, 2, -0,5), т.е.			0,5					1	2			2 0,5			3 .
		b					a				a			a

1.4. Понятие евклидова пространства

В линейных пространствах наряду с действиями сложения и умножения на число часто вводят еще одну операцию, называемую скалярным произведением (как обобщение скалярного произведения в геометрическом векторном пространстве).

Каждой паре элементов X и Y линейного пространства ставится в соответствие, по некоторому правилу, действительное число, называемое скалярным произведением элементов X и Y , обозначаемое ( X ,Y ).

При этом это правило скалярного умножения должно удовлетворять следующим условиям (законам):

1.(X ,Y ) (Y , X ) − переместительный закон скалярного произведения.

2.Длялюбогодействительногочисла m : ( mX,Y) (X,mY) m(X,Y).

3.(X1 X 2 ,Y ) (X1,Y ) (X 2 ,Y ) распределительный закон

4.(X , X ) 0 , если X ненулевой вектор и (X , X ) 0 , если X нулевой

вектор.

Определение. Линейное пространство, в котором определена операция скалярного произведения, удовлетворяющая условиям (1−4) , называется

евклидовым пространством.

Приведем примеры евклидовых пространств.

1. Линейное пространство векторов R3 с определенным в нем скалярным произведением как произведение их модулей на косинус угла между ними (если векторы заданы в геометрической форме) или (если векторы заданы в алгебраической форме) как сумма произведений соответствующих проекций:

(X ,Y ) x1 y1 x2 y2 x3 y3 ) ,

(4.4)

которое, очевидно, удовлетворяет четырем условиям (1−4), поэтому является евклидовым пространством.

2. Рассмотрим n -мерное линейное пространство упорядоченных систем n действительных чисел. Скалярное произведение двух его элементов X (x1, x2 ,...xn ) и Y ( y1, y2 ,...yn ), по аналогии с формулой (4.2), определим

формулой

(X ,Y ) x1 y1 x2 y2 ...xn yn .

(4.5)

52

Легко видеть, что все условия (1−4) скалярного произведения при этом выполняются. Таким образом, это евклидово пространство.

n − мерное евклидово пространство обозначают Еn.

В евклидовом пространстве вводится понятие нормы вектора. Определение. Нормой (длиной) элемента X в евклидовом пространстве

Еn называется число

X				(X , X ) .	(4.6).

Для геометрического пространства Е3 понятие норма совпадает с понятием длина или модуль вектора. Из условия (4) скалярного произведения следует, что

X 0 для X 0 , X 0 при X =0. Из этого следует, что 0 0 .

Элемент, норма которого равна единице, называется нормированным. Для любых двух элементов евклидова пространства X и Y имеет место

равенство

	(X ,Y )						X								Y				.	(4.7)

Это неравенство называется неравенством КошиБуняковского.

Докажем это неравенство.

Пусть m некоторое действительное число. Тогда имеет место неравенство

0 X mY 2 (X mY , X mY )

(X , X ) 2m(X ,Y ) (Y ,Y )m2 m2 (Y ,Y ) 2m(X ,Y ) (X , X ).

Полученную сумму можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно m . Поскольку он сохраняет знак (неотрицателен), его дискриминант неположителен:

D (X ,Y )2 (Y ,Y )(X , X ) 0 , (X ,Y )2 (X , X )(Y ,Y ) ,

Из этого следует:

(X ,Y ) (X ,Y )2 (X ,Y )(X ,Y ) (X ,Y ) (X ,Y X Y .

Изнеравенства(4.7) можнополучить, вчастности, следующеенеравенство:

	x y				2	(x y, x y) (x, x) 2(x, y) (y, y)																									x				2	2				x								y								y				2	(				x								y				)2 ,
откуда следует
							x y								x								y				,																																		(4.8)

называемое неравенством треугольника.

53

Вевклидовом пространстве вводится понятие угла между элементами X

иY по формуле

cos(X ,Y )		(X ,Y )						(X ,Y )	.	(4.9)
			X		Y			(X , X ) (Y ,Y )

Очевидно, что для векторов это определение совпадает с обычным определением угла между ними.

Элементы X и Y называются ортогональными, если

( X ,Y ) = 0.	(4.10)
Систем элементов: e1,e2 ,...en называется ортогональной,	если все ее

элементы попарно ортогональны. Ортогональная система элементов всегда линейно независима.

В евклидовом пространстве наиболее удобно пользоваться ортогональным базисом, то есть базисом, который одновременно является ортогональной системой. Действительно, если e1,e2 ,...en такой базис, то любой элемент

(вектор) X можно представить в виде:

X c1e1 c2e2 ... cnen .

(4.11)

Ортогональный базис из нормированных элементов называется ортонормированным базисом. Во всяком n - мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. В трехмерном евклидовом пространстве Е3 таким базисом является базис i, j,k .

§ 2. Линейные операторы

2.1. Отображение и преобразование плоскости

В математике большую роль играет понятие отображения одного множества в другое. В качестве множества может быть взята, например, совокупность точек плоскости или пространства, совокупность векторов, совокупность некоторых геометрических образов и т.п. Простейшим из отображений является отображение плоскости в другую плоскость или саму в себя. Одним из основных понятий матричной алгебры является понятие линейного оператора.

Определение. Под отображением f плоскости P в плоскость Q пони-

мают закон или правило, по которому каждой точке плоскости P ставится в соответствие некоторая определенная точка на плоскости Q. Символически это записывается так: f : P Q,

где f называют оператором (оператор отображения).

Точки плоскости Q называются образами точек плоскости P , а точки плоскости P − прообразами точек плоскости Q.

54

Если, в частности, f будет отображать точки плоскости P в точки этой

же плоскости, то есть отображать плоскость саму в себя, то такое отображение называется преобразованием этой плоскости. Символически это записывается так: f : Q Q.

Отображения или преобразования в дальнейшем будем называть опера-

торами.

Всё сказанное может быть применительно к векторам.

Вектор Y называют образом вектора X , а X − прообразом вектора Y . В этом случае будем говорить, что оператор А переводит вектор X в век-

тор Y , и писать: Y A(X ) .

2.2. Линейные операторы

Определение. Оператор называется линейным, если для любых векторов X 1 и X 2 пространства и произвольного числа удовлетворяются следующие условия:

1) f ( X ) f (X ),

2) f (X1 X 2 ) f (X1 ) f (X 2 ) .

(4.12)

Из этого определения следует, что для линейного оператора справедливо следующее соотношение:

f ( X1 X 2 ) f (X1 ) f (X 2 ) ,

(4.13)

где и любые числа. Поясним эти два условия.

Известно, что вектор X коллинеарен вектору X и получается растяжением его в раз. Первое условие означает, что образ вектора X также кол-

линеарен образу X и также получается из него растяжением в раз.

Для пояснения второго условия положим:

X

, ,Y

X Y

.

0R

0P ,

0M

Пусть

R , P , M

− образы точек

R, P,

M

соответственно при данном

преобразовании.

Тогда

Y ) 0M

f (X ) 0R

, f (Y ) oP , f (X

и согласно второму условию

f (X Y ) f (X ) f (Y )

0M

0R 0P .

M

P

R

M

R

X

Y

P

0

Рис 4.1

55

Следовательно, второе условие означает, что всякий параллелограмм 0PMR преобразуется в параллелограмм 0P M R (рис. 4.1).

Пример. Пусть над векторами плоскости проведено следующее преобразование: каждый вектор растянут в k раз AX kX . Такой оператор называется оператором подобия, а коэффициент k - коэффициентом подобия. Покажем, что это преобразование является линейным преобразованием.

Для этого проверим выполнение условий линейности:

1 )	A ( kX ) k ( X ) ( kX ) AX .
2 )	A ( X Y ) k ( X Y ) kX kY AX	AY

Следовательно, оператор линейный.

2.3. Матрица линейного оператора

Для простоты рассмотрим произвольную пару неколлинеарных векторов e1 и e2 с общим началом в линейном пространстве R2 (на плоскости).

Эти векторы могут быть взяты в качестве базиса, в котором любой вектор на плоскости может быть разложен единственным образом в виде:

X x1e1 x2e2 ,

где x1 и x2 − проекции вектора X в базисе e1 и e2 .

Рассмотрим какой-нибудь линейный оператор Y = A x .

Этот оператор переводит базисные векторы e1 и e2 в некоторую другую

пару векторов e1 Ae1, e2 Ae2 , каждый из которых, в свою очередь, может быть разложен в базисе e1,e2 :

				e1	Ae1 a11e1 a12 e2,
				e2 Ae2 a 21e1 a 22 e2 .
Матрица	a	a		называется матрицей линейного оператора А.
	A 11	12
	a21	a22

Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица преобразования в данном базисе.

Верно и обратное, всякой матрице второго порядка соответствует линейный оператор на плоскости. Для этого достаточно проверить выполнение условий линейности:

1)A( X ) AX , так как множитель можно выносить за знак матрицы,

2)A(X Y ) AX AY , на основании распределительного свойства

матриц.

56

Замечание. Все эти рассуждения и определения можно распространить на трехмерные вектора в пространстве и на n – мерные вектора в n − мерном пространстве.

Пример 1. Пусть Y AX							есть линейный оператор подобия с коэффици-
ентом подобия k , то есть Y kX . В координатной форме это будет так:
y	kx	, y	2	rx	2	или y1	kx1 0x2 ,
1`	1					y2	0x1 kx2 ,
значит, матрица линейного преобразования имеет вид
							k	0
							A		.
								k
							0

Пример 2. Пусть Y AX есть оператор поворота плоской прямоуголь-

ной системы координат на угол . Возьмём базис i, j,k .

Тогда X x1i x2 j , x1 r cos ,

x 2 r sin .

После поворота на угол будем иметь y1 r cos( ) x1 cos x2 sin , y2 r sin( ) x1 sin x2 cos .

cos

Таким образом, матрицей оператора будет: A

sin

Пример 3. Матрицей тождественного оператора Y

легко проверить, матрица A 1 00 1

2.4. Связь между проекциями вектора и его образа

sin cos .

AX X будет, как

Пусть вектор x имеет проекции x1, x2 в базисе e1,e2 пространства R2 ,

тогда x x1e1 x2e2 .

Рассмотрим линейное преобразование, заданное матрицей

a	a
A 11	12
a21	a22

в базисе e1,e2 , и найдём проекции y1, y2 вектора y Ax в том же базисе. Имеем

			y1e1	y2e2
y	Ax				,	(4.14)

57

С другой стороны,

y Ax A(x1e1 x2e2 ) x1 Ae1 x2 Ae2 x1(a11e1 a21e2 )

x2 (a12e1 a22e2 ) (a11x1 a12 x2 )e1 (a12 x1 a22 x2 )e2 .

Сравнивая равенства (4.13) и (4.14), получаем

y2 a11 x1 a12 x2 y2 a12 x1 a22 x2

Равенства (4.16) можно записать в матричном виде

						Y AX ,
где	x		y		a	a
	X 1	,	Y		A 11	12	.
	x2		y2		a21	a22

(4.15)

(4.16)

Пример. Пусть линейный оператор задан матрицей		1	2		и дана
	A
		2	3

точка М(1,2). Требуется найти координаты точки М1, полученной из М в результате применении оператора А.

Пусть М(1.2) , а М1(y1,y2).
y		1		2		1			3
										.
			2	3		2			4
y2

Таким образом, точка М1(−3,−4).

§ 3. Собственные векторы и собственные числа линейного оператора

Рассмотрим линейный оператор в R3

y Ax ,

где A – матрица линейного оператора, который переводит некоторый ненулевой вектор x в коллинеарный ему вектор x :

Ax		x ,			x	0 .	(4.17)

В этом случае вектор x называется собственным вектором оператора A , а число – собственным числом этого оператора.

Отметим, что если x – собственный вектор данного оператора, то всякий ненулевой коллинеарный ему вектор, будет также собственным вектором этого оператора с тем же собственным числом λ.

Действительно, пусть x * коллинеарный вектору x .

58

Тогда x *= m x .

На основании свойств линейных преобразований имеем

Ax* A(mx) mAx m ( x) ((mx) x *,

то есть Ax* x *.

Это означает, что x * − собственный вектор преобразования A , а λ − его собственное число.

Из этого свойства следует, что если у линейного оператора существует собственный вектор, то он будет находиться не однозначно, а с точностью до коэффициента m . (таким образом, собственных векторов линейного оператора существует бесчисленное множество).

Следует заметить, что имеются линейные операторы, для которых каждый вектор является собственным. Например, для преобразования подобия с коэффициентом подобия k любой вектор является собственным с собственным числом, равным коэффициенту подобия.

Есть операторы, которые не имеют собственных векторов.

Таким оператором является, например, поворот на угол . При повороте на угол векторы не остаются параллельными друг другу.

Поставим себе задачу найти все собственные векторы линейного оператор Y AX , заданного матрицей A :

где матрица A берётся в базисе e1, e2 , e3 , x 0 .

Для решения предположим, что x(x1, x2 , x3 ) собственный вектор пре-

образования A , а число λ − его собственное число. Тогда

(4.18)

Ax

x .

a

a

a

x

y

11

12

13

1

1

a22

a23

,

,

Пусть A a21

x x2

y y2

.

a32

a31

a33

x3

y3

Запишем равенство (4.18) через проекции (в виде системы):

y1 a11x1 a12 x 2 a13 x 3 ,y2 a 21x1 a 22 x 2 a 23 x 3 ,y3 a 31x1 a 32 x 2 a 33 x 3 ,

(a11 )x1 a12 x 2a 21x1 (a 22 )xa 31x1 a 32 x 2 (a

a11x1 a12 x 2a 21x1 a 22 x 2a13 x1 a 32 x 2

a13 x 3 0,

2 a 23 x 3 0,

33 )x 3 0.

a13 x 3 x1 ,

a 23 x 3 x 2 , .

a 33 x 3 x 3 ;

(4.19)

59

Эта однородная система всегда совместна и имеет ненулевые решения, так как x 0 и её определитель должен быть равным нулю, т.е.

	(a11 )	a12	a13
	a21	(a22 )	a23	0 .	(4.20)
	a31	a32	(a33 )

Это уравнение называется характеристическим уравнением линейного оператора A.

После вычисления этого определителя получаем кубическое уравнение, решая которое, находим его корни, которыми являются собственные числа преобразования λ.

Пусть λ − корень уравнения (4.20). Тогда, если подставить его значение в систему уравнений (4.19), то эта система будет иметь ненулевые решения, так как ее определитель (4.20) равен нулю. Обозначим это решение через

x(x1, x2 , x3 ) . Его проекции удовлетворяют системе (4.19), следовательно для этого вектора и собственного числа λ имеет место равенство (4.20). Таким

образом, x − собственный вектор с собственным числом λ .

Уравнение (4.20) называется характеристическим уравнением матри-

цы A , а его корни − собственными числами этой матрицы.

Таким образом, мы получили правило для вычисления собственных чисел данного линейного оператора.

Чтобы найти все собственные векторы данного линейного оператора, заданного матрицей A , нужно составить и решить характеристическое уравнение (4.20) . Каждый действительный корень λ этого уравнения является собственным числом. Соответствующие этому числу собственные векторы находятся из системы (4.19).

Примечание. Для матрицы А второго порядка характеристическое уравнение будет иметь вид

							(a11 )	a12		0.	(4.21)
							a21	(a22 )
		Пример 1. Найти собственные векторы оператора на плоскости, задан-
					0	3
ного матрицей A						.
					3
						8
Составим характеристическое уравнение
		3		0 или λ2 − 8λ − 9 =0.
	3	8

Отсюда λ1 = 9 ,λ2 = −1.

60