Методическое пособие 457
.pdfИсследование и привидение к каноническому виду общего уравнения кривой второго порядка.
a x 2 |
|
|
|
2a |
|
|
|
x x |
2 |
|
|
a |
22 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
2a x |
|
|
|
2a |
2 |
x |
2 |
a |
0 |
0 |
(1) |
|||||||||||||||||||||||
11 |
1 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
группа _ старших |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Пусть a12 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
a x 2 |
|
|
|
a |
22 |
x |
2 |
|
|
2a x 2a |
2 |
x |
2 |
|
|
|
a |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Выделим полные квадраты при х: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a |
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
11 |
1 |
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
1 |
|
|
|
a |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
x |
2 |
|
2 |
|
a2 |
|
x |
|
|
|
|
a2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
2 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
22 |
|
2 |
|
|
|
a22 |
|
2 |
|
|
a22 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a22 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
||||
a11 |
|
x1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a22 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
a0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
a11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
|
|
|
a22 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x1 '' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 '' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|||||||
Получим a |
|
x ''2 |
a |
22 |
x |
2 |
''2 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x ''2 |
|
|
x |
2 |
''2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
- канонический вид кривой второго пор-ка. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
a11 |
|
|
|
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть кривая задана общим уравнением (1), поставим в соответствие группе старших членов симметричную матрицу S. Найдем собственные числа и собственные векторы этой матрицы. Получим:
|
a11 |
a12 |
a1 ' |
a2 ' |
|
|
|
||
|
|
|
||
S'' |
a12 |
a22 |
, 2 a1 B11 a2 B22 |
2 a1 B12 a2 B22 |
|
|
|
1 |
x '2 |
2 |
x |
2 |
'2 |
2a (B B )x ' 2a |
2 |
(B B )x |
2 |
' a |
0 |
0 |
|||||
|
1 |
|
|
1 |
11 |
21 |
1 |
12 |
22 |
|
|
||||||
1 , |
2 - собственные числа матрицы S. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
x1 ', x2 ' |
- координаты в навой системе, определенной |
||||||||||||||||
базисом из собственных векторов матрицы S. |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
x1 , |
|
|
X ' |
|
x1 ' , |
|
|
|
|
X BX ' |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
B11 |
|
B12 |
x1 ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
B21 |
|
B22 |
x2 ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2a1 x1 ' B11 |
|
|
x2 ' B12 |
|
|
2a2 x1 ' B21 x2 ' B22 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
x ' |
2 |
|
|
|
|
2 |
x |
2 |
'2 2a ' x ' 2a |
2 |
' x |
2 |
' a |
0 |
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение (4) приведем к каноническому виду |
|||||||||||||||||||||
путем выделения полного квадрата: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ' |
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
' |
|
|
|
|
a '2 |
|
a |
2 |
'2 |
|
||||||
|
|
|
|
x1 ' |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
a0 |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x1 '' |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 '' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
||||||
Получим |
|
|
1 |
x ''2 |
2 |
x |
2 |
''2 |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x ''2 |
|
|
x |
2 |
''2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Матрица В является матрицей поворота на угол |
||||||||||||||||||||||||||||
|
B |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для того, чтобы привести общее уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, нужно:
1.В соответствие группе старших ставим симметричную матрицу S.
2.Найти собственные числа и собственные векторы матрицы S.
3.Введем новые координаты, взяв в качестве базиса орты собственных векторов матрицы S.
4.После введения нового базиса, при котором исчезнут произведения текущих координат, общее уравнение кривой примет вид:
1 |
x '2 |
2 |
x |
2 |
'2 |
2(a t |
a |
t |
21 |
)x ' 2a |
2 |
(a t |
a |
t |
22 |
)x |
2 |
' a |
0 |
0 |
1 |
|
|
1 11 |
2 |
|
1 |
1 12 |
2 |
|
|
|
|
Введение нового базиса равносильно повороту системы координат на угол .
x1 |
x1 'cos |
x2 |
'sin |
формулы поворота. |
|
x2 |
x1 'sin |
x2 'cos |
|||
|
Исследование общего уравнения кривой по ее коэффициентам.
x ''2 |
|
x |
2 |
''2 |
|
|
|
a '2 |
|
a |
2 |
'2 |
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
, |
k |
1 |
|
|
|
a0 |
|||
|
k |
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2
1 , 2 - решения характеристического уравнения.
1 |
, |
2 |
a |
a |
22 |
a |
2 |
(по теореме Виета) |
|
|
|
11 |
|
12 |
|
|
|
||||
|
|
1. |
Пусть |
1 |
2 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
а) |
|
1 |
2 |
0 , т.е. знаки совпадают |
– |
кривая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
эллиптического типа. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
если знак k совпадает со знаками |
1 , |
2 , то – |
||
|
|
|
|
|
|
эллипс. |
|
|
знак k не совпадает – уравнение мнимого эллипса
k=0 – точка
б) |
1 |
2 |
0 - кривая гиперболического типа |
|
|
если знак k совпадает со знаками 1 , 2 , то – гипербола.
k=0 – пара пересекающихся прямых. 2. Пусть 1 2 0 уравнение параболического типа
Примеры решения некоторых задач из типовых расчетов по курсу "Линейная алгебра и аналитическая геометрия".
1. Написать разложение вектора c по базису из векторов p, q, r , если
c |
11, 6,5 , p |
3, |
2,1 , q |
|
|
1,1, |
|
2 |
, |
|
2,1, |
3 . |
||||||
|
|
|
r |
|||||||||||||||
а) По определению: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
2 |
2 |
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
1 p |
2 q |
3 |
|
|
0 |
|
2 1 |
|
|
|
|
0 , где |
1 , |
2 , 3 - |
||||
r |
|
|
2 |
|
3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
решения однородной системы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
1 |
8 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , то однородная система имеет единственное |
|||||||||||||||||
решение |
|
|
|
|
|
0 , |
т.е. |
вектора |
p, q, |
|
|
линейно |
||||||
1 |
|
|
2 |
3 |
r |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
независимы и образуют базис в пространстве. Столбцы определителя – координаты соответствующих векторов.
б) Запишем разложение вектора c по базису из векторов p, q, r :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
2 |
|
2 |
3 |
11 |
|
c |
1 p |
|
2q |
3 |
|
|
2 1 |
|
|
|
|
6 |
|
|||
|
r |
|
2 |
|
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
3 3 |
5 |
|
|
|
1 |
2 2 |
3 3 |
|
|
5 |
1 |
|
2 2 |
|
3 3 |
5 |
||||
|
2 1 |
2 |
3 |
|
|
6 |
|
2 |
|
5 |
3 |
4 |
|
|||
|
3 1 |
|
2 |
2 3 |
|
|
11 |
5 2 |
|
11 3 |
4 |
|
||||
|
1 |
2 |
2 |
3 3 |
|
|
5 |
1 |
2 |
2 |
3 3 |
5 |
||||
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
2 |
5 |
3 |
4 |
|
8 |
3 |
|
|
8 |
|
|
|||
c |
2 p |
3q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
2
3
2 3 1
2.Коллинеарные ли вектора c1 и c2 , построенные по
векторам a и b ?
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
1,2, 1 , b |
2, |
7,1 , c1 6a |
2b , c2 |
3a |
b . |
||||||||||||
а) Найдем координаты векторов c1 |
и c2 : |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6a |
6,12, |
6 , |
2b |
4, |
14,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
c1 |
6a |
2b |
10,26, |
10 , c2 |
|
3a b |
5, |
18,10 . |
По определению коллинеарности двух векторов их текущие координаты должны быть пропорциональными.
10 |
26 |
|
10 |
вектора не коллинеарны. |
||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
13 |
10 |
|
||
|
|
|
3.Найти косинус угла между векторами AB и AC ,
если A |
2,4, 6 |
, B 0,2, |
4 , |
C 6,8, |
10 . |
|
|
||
а) |
Найдем |
|
координаты |
вектора |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB 0 |
( 2),2 |
4, 4 |
( 6) |
2, |
2,2 , AC |
8,4, 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB AC |
|
|||||
По определению cos(AB |
|
AC) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
AC |
|
||||
2 8 |
( 2) 4 |
2 |
|
( 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
22 ( 2)2 |
22 |
|
82 |
|
42 ( 4)2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(AB AC) 90
4.Вычислить площадь параллелограмма,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
построенного |
на |
векторах |
a |
3b и 3a |
b , |
если |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
1, a ^ b |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
По |
|
|
определению |
векторного |
|
произведения |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
S |
a b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
(a 3b ) (3a b) 3 * 0 a b 9a b 3 * 0 |
|
|
8a b |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 (кв. ед.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
S |
|
8a |
b |
|
8 * sin(30 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5. |
|
Компланарны ли вектора a , b , |
|
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
a |
|
|
7,4,6 , b |
2,1,1 , c |
19,11,17 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По определению вектора компланарны, если определитель, составленный из координат перемножаемых векторов равен 0.
|
7 |
4 |
6 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
(1 7 17) |
(4 1 19) |
(2 11 6) |
||
|
19 |
11 |
17 |
|
|
|
|
|
(19 1 6) |
(11 1 7) |
(2 8 17) |
288 |
|
Векторы не компланарны.
6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1 , A2 , A3 , A4 и его высоту, опущенную из вершины A4 на
грань A1 A2 A3 .
A1 (1, 1,2) , A2 (2,1,2) , |
A3 (1,1,4) , A4 (6, |
3,8) . |
|
|
|
|||
а) Объем тетраэдра |
равен 1/6 объема параллелепипеда, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
построенного на векторах A1 A2 , |
|
A1 A3 , A1 A4 . Объем |
соответствующего параллелепипеда вычисляется через смешанное произведение соответствующих векторов. Найдем их координаты.
A1 A2 1,2,0 , A1 A3 0,2,2 , A1 A4 5, 2,6 .
|
1 |
2 |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 A2 A1 A3 A1 A4 |
|
0 |
2 |
2 |
12 . |
||||
|
5 |
2 |
6 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
1 |
|
|
12 |
|
|
2(куб.ед) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
тетр |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) Искомую высоту найдем по формуле Vтетр |
1 |
|
Sосн |
h |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Sосн |
|
|
|
S A A A |
|
|
1 |
Sпараллелограмма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
A1 A2 |
|
|
A1 A3 |
|
|
|
|
1 2 0 |
|
4i 2 j 2k |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
S |
A A A |
|
|
|
|
|
|
A A A A |
1/ 2 16 4 4 |
|
|
6 (кв.ед.) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3Vтетр |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 (см) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. |
|
|
|
|
Найти |
|
|
|
расстояние от |
точки |
|
M 0 (1, |
1,2) |
до |
||||||||||||||||||||||||||
плоскости, |
|
проходящей через |
M1 (1,5, |
7) , M 2 ( |
3,6,3) , |
M 3 ( 2,7,3) .
а) Составим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
|
|
x 1 y 5 z ( 7) |
|
|
|
|
|
|
|
x 1 y 5 z 7 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
3 1 6 5 3 ( 7) |
0 , |
|
|
|
4 |
1 |
10 |
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 1 7 5 3 ( 7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
10 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Уравнение плоскости имеет вид 2x |
2y z 15 0 |
||||||||||||||||||||||||||||
б) Расстояние от точки M 0 (1, |
1,2) до плоскости M 1 M 2 M 3 |
||||||||||||||||||||||||||||
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формуле |
||||||||
|
|
|
|
Ax0 By |
|
|
Cz0 D |
|
|
|
2 *1 ( 2) *1 1* 2 15 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
d |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
21 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|||
|
|
|
A |
2 |
B |
2 |
C |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
( 2) |
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
8. Написать уравнение плоскости, проходящей через A( 1,2, 2) , перпендикулярно вектору BC . B(13,14,1) ,
C(14,15,2) .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) Найдем координаты вектора BC . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,1,1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
BC |
|
14 |
|
13,15 |
14,2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) |
Искомое |
|
|
уравнение |
|
плоскости |
|
имеет |
|
вид |
|||||||||||||||||||||||
|
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1(x |
( |
1)) |
1(y |
2) |
1(z |
( |
2)) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
y z 1 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9. |
|
|
Найти |
угол |
между |
|
плоскостями |
3x y 5 |
|
0 и |
|||||||||||||||||||||||
2x |
y |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
cos |
|
|
|
|
|
|
|
A1 A2 |
|
B1 B2 |
C1C2 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
A12 |
|
B12 |
C12 |
A2 2 |
B2 2 |
C2 2 |
11 5 |
|
|
|
55 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
arccos |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. |
|
|
Найти координаты точки A , |
равноудаленной от В и |
|||||||||||||||||||||||||||||
С. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(x,0,0) , B( 2, 4, 6) , C( 1, 2, 3) .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По условию задачи |
|
BA |
|
|
AC |
. Найдем BA |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
BA |
|
( 2 x)2 |
( 4 0)2 |
|
|
( 6 0)2 |
|
|
|
|
( 2 x)2 |
50 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
AC |
|
|
(x |
1)2 |
(0 |
2)2 |
(0 |
3)2 |
|
|
|
(x 1)2 13 |
|
|
||||||||||||||
( 2 x)2 |
50 ( x 1)2 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2x |
40 |
x |
|
20 |
|
|
|
|
|
|
A( 20,0,0) . |
|
|
||||||||||||||||
11. |
Написать |
|
|
каноническое |
уравнение |
прямой |
|||||||||||||||||||||||
2x 3y 2z 6 0 , x 3y z 3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Найдем вектор |
S |
|
li |
mj |
|
nk , параллельный |
искомой |
прямой. Так как он должен быть перпендикулярен к
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
нормальным векторам |
N1 2i 3 j 2k и N 2 i 3 j k , |
|||||||||||||||
заданных плоскостей, то за S можно принять векторное |
||||||||||||||||
произведение N1 |
и N 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
S N1 N 2 |
2 |
3 |
2 |
13i 8 j 3k |
||||||||||||
|
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом l = 13, m = -8, n = -3.
12.В качестве точки M1 (x1 , y1 , z1 ) , через которую
проходит искомая прямая, можно взять точку пересечения ее с любой из координатных плоскостей, например с yOz. Так как x1 0 , то y1 и z1 определим из системы
уравнений, заданных плоскостей, если в них положить x=0:
3y 2z 6 0
3y z 3 0
Решая эту систему, находим y1 4 3 , z1 2
x y 43 z 2
13 |
8 |
3 |
13. Найти общее решение для каждой из данных систем и проанализировать ее структуру (указать базис пространства решений однородной системы, установить размерность пространства, выделить частное решение неоднородной системы).
3x1 |
2x2 |
|
4x3 |
x4 |
2x5 |
0 x1 |
2x2 |
|
|
3x3 |
4x4 |
1 |
||||
3x1 |
2x2 |
2x3 |
x4 |
0 |
|
|
4x1 |
7x2 |
|
2x3 |
x4 |
3 |
||||
3x1 |
2x2 |
16x3 |
x4 |
6x5 |
0 3x1 |
5x2 |
|
x3 |
3x4 |
2 |
||||||
|
|
Составим определитель из координат векторов и |
||||||||||||||
проверим образуют ли они |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
базис |
2 |
2 |
5 |
1 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
1 |
|
4 |
5 |
6 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
2 |
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
4 |
1 |
3 |
3 |
0 |
x1 , x2 , x3 |
|
|
базис |
|
|||||
|
0 |
0 |
1 |
|
3 |
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
3 |
|
|
2x4 |
3x5 |
|
|
x4 |
t1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
4 |
1 |
|
|
3x4 |
3x5 |
. Пусть |
, тогда |
|
||||||
|
|
|
x5 |
t |
|
|
||||||||||
0 |
|
0 |
1 |
|
|
3x4 |
3x5 |
|
|
2 |
|
|
|
|||
x1 |
|
7t1 |
6t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
3t1 3t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ : |
7t1 |
6t2 ;0;3t1 |
3t2 ; t1 ; t2 |
|
|
|
|
|
|